Моделирование плоского изгиба стержней с учетом деформаций поперечного сдвига Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

МЕХАНИКА. Механика деформируемого твердого тела

DOI.org/10.5281/zenodo.2578489 УДК 531/534

Н.П. Васильченко, Е.Ю. Черевко, Н.А. Воронцова

ВАСИЛЬЧЕНКО НАТАЛЬЯ ПЕТРОВНА - к.т.н., доцент кафедры, e-mail: vasilchenko.np@dvfu.ru

ЧЕРЕВКО ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА - к.т.н., доцент кафедры, e-mail: cherevko.eyu@dvfu.ru

Кафедра механики и математического моделирования Инженерной школы

ВОРОНЦОВА НАТАЛЬЯ АНАТОЛЬЕВНА - к.т.н.,

доцент филиала в г. Большой Камень, e-mail: vorontsova.na@dvfu.ru

Дальневосточный федеральный университет

Суханова ул. 8, Владивосток, 690091

Моделирование плоского изгиба стержней с учетом деформаций поперечного сдвига

Аннотация: В настоящее время в строительстве, судостроении, авиастроении широко распространены многослойные конструкции с применением композиционных материалов, которые обладают низкой сдвиговой жесткостью. Однако влияние такого параметра, как геометрические характеристики, наиболее резко проявляется при расчетах конструкций из материалов с малой величиной модуля сдвига. Следовательно, необходимо уточнить классические алгоритмы расчета стержневых конструкций и их элементов за счет поправки от деформаций поперечного сдвига.

В данной работе рассматривается авторский уточненный подход к расчету стержневых систем с учетом влияния самоуравновешенных составляющих краевой нагрузки, при котором искомые компоненты напряженного состояния не должны нарушать условий равновесия любого элементарного объема тела. Данный подход с необходимой для оценки надежности стержневых конструкций судов точностью обеспечивает учет деформации поперечного сдвига. Ключевые слова: стержневые системы, краевая нагрузка, деформация поперечного сдвига, конструкция судов, надежность судовых конструкций.

Введение

Вопросы плоского изгиба стержней с учетом деформаций поперечного сдвига рассматривались в целом ряде работ (см., например [1-9]). Одно из положений: ввиду значительных математических трудностей при решении трехмерных задач теории упругости в расчетной практике выделяются две группы задач, позволяющие провести замену системы уравнений теории упругости системами приближенных уравнений, содержащих меньшее количество независимых переменных, чем исходные уравнения. Это задачи теории стержней и задачи исследования напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек. В основу классического подхода положены гипотезы Кирхгофа-Лява для пластин и оболочек и Кирхгофа-Клебша в теории стержней, позволяющие заменить тензор напряжений системой усилий и моментов.

© Васильченко Н.П., Черевко Е.Ю., Воронцова Н.А., 2019 О статье: поступила: 30.10.2018, финансирование: бюджет ДВФУ.

Такой приближенный подход, применяемый для решения практических задач, имеет свои ограничения, определяемые как геометрическими характеристиками исследуемых конструкций, так и физическими свойствами материала.

В настоящее время прогресс в области композиционных материалов способствует широкому распространению многослойных конструкций в строительстве, судостроении, авиастроении, которые в основном обладают низкой сдвиговой жесткостью, тогда как влияние такого параметра, как геометрические характеристики, наиболее резко проявляется при расчетах конструкций из материалов с малой величиной модуля сдвига. Следовательно, возникает необходимость уточнения классических алгоритмов расчета стержневых конструкций и их элементов за счет поправки от деформаций поперечного сдвига. При решении прикладных задач статики и динамики судовых конструкций и их элементов в основном используются теории С.П. Тимошенко и С.А. Амбарцумяна, которые позволяют учесть деформации поперечного сдвига путем введения функции прогиба, зависящей от сдвига. Это приводит к наиболее простой структуре основных уравнений и делает ясными геометрические представления о распределении тангенциальных перемещений по высоте пластин, оболочек или сечения балки. Однако если для балок из материалов с большим значением модуля сдвига расчеты с применением этих методов не приводят к сколь-нибудь заметным различиям в значениях прогибов, то разница в случае применения материалов с пониженной жесткостью на сдвиг будет ощутимой, так как величины дополнительных прогибов от деформаций поперечного сдвига, определенные по указанным гипотезам [2], ощутимо различаются.

В указанных теориях компоненты напряженного состояния определяются непосредственно из уравнений закона Гука, что приводит к значениям поперечных касательных напряжений, противоречащих условиям равновесия элементарных объемов стержней, пластин и оболочек. Равновесие обеспечивается лишь в среднем слое по толщине либо сечения в целом, в зависимости от характера гипотез и метода построения теории. Для стержней варианты, построенные на основе гипотезы прямых сечений, не в состоянии отразить сложный характер напряженного состояния в краевой зоне, так как они не учитывают самоуравновешенные составляющие краевой нагрузки.

К рассматриваемому классу теорий можно отнести также работу В.В. Пикуля [5]. В этой работе на основе принципа максимального удовлетворения уравнений равновесия теории упругости построена теория стержней, тонких пластин и оболочек, особенностью которой является возможность учета влияния самоуравновешенных составляющих краевой нагрузки и полное удовлетворение уравнений равновесия любого элементарного объема.

В связи с вышесказанным возникает необходимость развития общего принципа построения расчетных алгоритмов, учитывающих влияние самоуравновешенных составляющих краевой нагрузки. При этом искомые компоненты напряженного состояния не должны нарушать условий равновесия любого элементарного объема тела.

Цель данной работы - предложить общий подход учета деформаций поперечного сдвига, позволяющий построить уточненный вариант технической теории для расчетного проектирования плоского изгиба судовых конструкций с достаточной для практики точ -ностью.

Постановка задачи

В инженерной практике метод приведения уравнений равновесия теории упругости к уравнениям технической теории изгиба С.П. Тимошенко является практически единственным, в котором производится анализ влияния сдвига на изгиб балок. Поскольку в его основу положена гипотеза о чистом сдвиге элементов балок, фактически анализ сводится к оценке влияния сдвига на прогибы балок. Определяя напряженное состояние элементов, следует учесть, что единственными компонентами, удовлетворяющими уравнениям равновесия теории упругости, являются нормальные напряжения. Все другие либо определяются из соот-

ношений Коши (поперечные касательные напряжения), либо в силу предполагаемой малости не определяются вообще. Например, если использовать соотношение Коши

Yyz = ш,у + ш^, (1)

где ш,у, - производные от тангенциального перемещения ш по у, z соответственно, и предположить, что угол сдвига Yzy = Ку) • ф, то поперечные касательные напряжения определяются как

Tzy = Gf(y) • ф, (2)

где ф - функция сдвига.

Эти напряжения в общем случае не удовлетворяют уравнениям равновесия теории упругости. Такой подход вполне правомерен, если применяются приближенные методы расчета. Однако в последние годы широко используется расчетный метод проектирования конструкций - метод конечных элементов. В этом случае предполагается, что получаемые решения сходятся к точным при увеличении количества элементов. Соответственно, следует предполагать такую же сходимость в случае одномерных элементов, что в действительности не имеет места при определении касательных и поперечных нормальных напряжений. Следует отметить, что поперечные нормальные напряжения игнорируются в технической теории изгиба стержней, хотя в зонах возмущения они соизмеримы с основными напряжениями.

Несмотря на относительную простоту исходных допущений в теории стержней, в расчетной практике нет единого мнения о степени учета влияния поперечного сдвига даже применительно к изгибу однородных балок. Расчет сложных конструкций с учетом влияния деформаций поперечного сдвига встречается очень редко, поэтому в предлагаемой статье рассматривается уточненный подход учета деформаций поперечного сдвига применительно к расчету стержневых систем.

В техническом варианте теории изгиба [6, 7] после определения компонентов перемещений и функции среднего сдвига находят компоненты напряженного состояния и, в частности, поперечные касательные напряжения т^ = ^у) • ф. Эта последняя операция приводит к значениям напряжений т^, которые не удовлетворяют уравнениям равновесия теории упругости.

Вероятно, более логичными будут рассуждения, если соотношение (1) сразу записать

в виде

ш,у = Yzy - V (3)

Тогда из (3) следует, что тангенциальные перемещения будут равны

ш(у) = -уу^ + /0У(ш,у + у^^у. (4)

Первое слагаемое определяет тангенциальные перемещения точек поперечного сечения согласно теории чистого изгиба, второе - учитывает влияние сдвига.

Введя понятие осредненной по высоте сечения деформации поперечного сдвига - фср, задаем приближенный закон изменения тангенциальных перемещений от сдвига

Ку, Yzy) = ( | ^^у ) • фср = ^(у) • фср.

У ^уу I

0

Выражение (4) принимает вид

ш(у) = -уу^ + ^у^у) фср = уу^

у

• фср = -уу^ + ^(у) • фср.

В данном случае в явном виде не навязывается закономерность изменения деформаций сдвига или касательных напряжений по высоте сечения.

Средние деформации сдвига могут быть, в частном случае, равными нулю, но это не говорит о равенстве нулю касательных напряжений по высоте сечения. Следовательно, для определения касательных напряжений необходимо привлекать уравнения равновесия теории упругости.

Именно такой подход используется ниже для решения задач поперечного изгиба стержней с учетом деформаций поперечного сдвига.

В технической теории изгиба основными неизвестными являются некоторые интегральные характеристики (прогиб балки, обусловленный изгибом, прогиб от сдвига и т.д.). Тогда функцию ф всегда можно выразить через основные неизвестные задачи, например,

dvc

Если ф = уср, где уср - средний по высоте сечения угол сдвига, то Vc можно трактовать как осредненные по высоте поперечные смещения точек от сдвига.

Тогда закон изменения тангенциальных перемещений точек по высоте сечения будет определяться зависимостью

w(y) = -yv,z + (J0yf(y)dy) • (5)

Проведенные исследования показали, что корректность результатов в зоне возмущения во многом определяется выбором функции f(y).

Обсуждение результатов

Функция f(y) должна учитывать особенности депланации поперечного сечения стержня при учете деформаций поперечного сдвига. Обычно за основу берется решение классической теории изгиба стержней, согласно которому касательные напряжения в точках на уровне стыковки пояска и стенки терпят разрыв непрерывности.

Так, для сечения в виде двутавра для выбора функции f(y) в работах, рассматривающих вопросы расчета стержней с учетом деформаций поперечного сдвига, предлагаются следующие варианты функций f(y).

Параболический закон (рис. 1):

ВД^-а^+Й; (6)

fSc т/Ь1 ye[hi,hi-5i] где k = {1, , 5Ь 52 - толщины верхней и нижней полок двутавра,

(бс т/Ь2 ye[hi,-(h2-62)].

b1 , b2 - ширина верхней и нижней полок.

h2

VZZsVZZz

x

T77777j77777A

Рис. 1. Эпюра касательных напряжений.

h

y

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОМ ШКОЛЫ ДВФУ. 2019. № 1(38)

В данном случае предлагается квадратичный закон изменения деформаций поперечного сдвига с разрывами (рис. 1) - эпюра касательных напряжений первого рода. Коэффициент разрыва, отражающий степень участия элементов сечения в сдвиге, определяется из очевидного соотношения: т^уСУо)

= Q•

Sx(Уo) ^х(Уо) 5

Ь '

т£у(Уо) ГЬ / I • 5СТ

где Ь - ширина пояска, 5СТ - толщина стенки. Закон ломаной линии ^У) = к;

где

к =

или

к =

5с т/Ъ1, У<-(hl-5пl); 1, - (hl - 5п1) < У < (h2 - 5п2);

,5с т/Ь2, У>(h2-5п2).

0, У < —(^ — 5п1);

1, -(hl-5пl)<y<(h2-5п2); .0, У>^2-5п2).

(7)

(8)

Коэффициент к определяется по формуле (7) в случае равномерного распределения деформаций поперечного сдвига в пределах элементов сечения; по формуле (8) - в случае предположения, что на сдвиг работает только стенка балки, а пояски в силу их незначительных толщин работают только на изгиб.

Рис. 2. Распределение нормальных напряжений в сечении заделки.

Однако при определенных соотношениях геометрических параметров и значений физических констант материала применение функций (7), (8) приводит к некорректным законам распределения нормальных напряжений в краевой зоне защемленных или упруго защемленных балок. В частности, нормальные напряжения в опорном сечении изменяют знак в пределах толщины полки (рис. 2), что неестественно и определяется только видом принятых функций распределения деформаций поперечного сдвига.

Естественно, предполагая линейный закон распределения напряжений в пределах стенки, мы фактически «ожесточаем» зону стесненного сдвига, так как заранее привязываем точки возможной смены знаков в эпюре нормальных напряжений к области пояска балки.

Обсуждение результатов

Таким образом, функция вида ^у, х = 0) = к(1 — ^у) (1 + обладает определенными преимуществами, позволяющими учитывать поперечные деформации при моделировании плоского изгиба методом конечных элементов с достаточной точностью. Если представить ее в развернутом виде

„2

«у.х = 0) = к(1 — £ +

то, интегрируя, получим

f(y,x = 0) + (9)

^ ' V 2Ьг 2Ь2 3Ь1Ь2/ 4 '

Следовательно, для несимметричных относительно оси x балок, функция (9) приводит к симметричной составляющей в выражении для тангенциальных перемещений точек по высоте сечения (рис. 3, а).

а

б

в

Рис. 3. Эпюры составляющих полного тангенциального перемещения: а - составляющая от изгиба; б, в, г - составляющие от сдвига.

На рис. 3, б приведена эпюра перемещений точек по высоте профиля в соответствии с законом плоских сечений, полученная методом конечных элементов.

= -уу'. (10)

На рис. 3, в и 3, г показаны составляющие тангенциальных перемещений, учитывающие влияние деформаций поперечного сдвига. Ординаты эпюры, приведенной на рис. 3, в, определяются функцией, изменяющейся по кубическому закону (~у3 • фср). Последняя эпюра (рис. 3, г) соответствует квадратичному закону (~у2 • фср). Такое распределение характерно для сечений балок, несимметричных относительно оси х.

Рис. 4. Эпюры касательных напряжений в области пояска.

г

у

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОМ ШКОЛЫ ДВФУ. 2019. № 1(38)

Однако проведенные с использованием метода конечных элементов расчеты показали, что в случае применения функции «(у, х = 0) = к(1 — (1 + ^у) при к<1 и ^ = ^ =

h/2 перерезывающие силы, определяемые как /^^Тгу^у^у, не удовлетворяют условиям

равновесия. Это объясняется тем, что степень участия тонких поясков балки в сдвиге сечения с достаточной точностью определяется ординатами параболы (рис. 4). Площадь эпюры в зоне а практически равна площади эпюры в зоне б.

Учитывая сказанное, в случае расчета балок с тонкими поясками функцию «(у) с достаточной точностью можно выбрать в виде:

для симметричных относительно оси х сечений

«у^^р);

для несимметричных сечении

У\ii _У h2,

Заключение

Таким образом, в работе предложен общий подход, который позволяет построить уточненную техническую теорию расчета плоского изгиба стержней с учетом деформаций поперечного сдвига на основе уравнений равновесия теории упругости. При этом введение гипотезы о единой кривой путем введения функции ^у) и вариационного принципа минимума погрешности между первым и вторым приближениями для касательных напряжений позволяют с достаточной для инженерных расчетов точностью описывать напряженное состояние в точках поперечных сечений стержней с различными геометрическими характеристиками. Функция ^у), предложенная в работе, учитывающая особенности депланации поперечного сечения стержня за счет деформаций поперечного сдвига, может успешно применяться для анализа напряженно-деформированного состояния судовых конструкций при их проектировании.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. БоИцов Г.В., Крыжевич Г.Б. Вероятностные методы в расчетах прочности и надежности судовых конструкции: монография. СПб.: ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. 257 с.

2. Каган-РозенцвеИг Л.М. Техническая теория касательных напряжении в изгибаемом стержне // Вестник гражданских инженеров. 2017. № 3(62). С. 40-49.

3. Каган-РозенцвеИг Л.М. Уточнение формулы для касательных напряжении технической теории изгиба // Вестник гражданских инженеров. 2014. № 6(47). С. 84-89.

4. Машиностроение: энциклопедия в 40 т. Т. 1-3. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин: в 2-х кн. / под общ. ред. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1995. 624 с., ил.

5. Пикуль В.В. Устойчивость оболочек. Владивосток: Дальневост. федеральн. ун-т, 2016. 340 с.

6. Синельщиков А.В., Панасенко Н.Н. Математическая модель жесткостных характеристик тонкостенных стержней замкнутого профиля корабельных конструкций // Вестник АГТУ. Сер. Морская техника и технология. 2016. № 2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematiches-kaya-model-zhestkostnyh-harakteristik-tonkostennyh-sterzhney-zamknutogo-profilyakora-belnyh-konstruktsiy (дата обращения: 12.01.2019).

7. Харлаб В.Д. К технической теории касательных напряжений при плоском изгибе балок // Вестник гражданских инженеров. 2016. № 1(54). С. 82-88.

8. Харлаб В.Д. Развитие элементарной теории касательных напряжений при плоском изгибе балок // Вестник гражданских инженеров. Ч. 1. 2015, № 1(48), с. 82-87. Ч. 2. 2015, № 4(51), с. 74-78. Ч. 3. 2017, № 5(64), с. 77-82.

9. Timoshenko S.P. History of strength of materials. New York, McGraw-Hill Book C., 1953. 452 p.

Mechanics of Deformable Solids www.dvfu.ru/en/vestnikis

DOI.org/10.5281/zenodo.2578489

Vasilchenko N., Cherevko E., Vorontsova N.

NATALIA VASILCHENKO, Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, e-mail: vasilchenko.np@dvfu.ru

ELENA CHEREVKO, Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, e-mail: cherevko.eyu@dvfu.ru

Department of Mechanics and Mathematical Modeling, School of Engineering

NATALIA VORONTSOVA, Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor,

School of Engineering Branch Office in the city of Bolshoi Kamen,

e-mail: vorontsova.na@dvfu.ru

Far Eastern Federal University

8 Sukhanova St., Vladivostok, 690091, Russia

Rods flat bending simulation with regard to transverse shear deformations

Abstract: At the present time, the multilayer structures with composite materials that have low shear stiffness are widely used in construction, shipbuilding, and aeronautics. However, the influence of such a parameter as geometric characteristics is the most significantly expressed in the calculations of structures made of materials with a small value of shear modulus. Therefore, it is necessary to adjust the classical algorithms for calculating core structures and their elements with respect to the correction for transverse shear deformations.

This paper presents the author's refined approach to the calculation of core systems, taking into account the influence of self-balanced components of the edge load in which the desired components of the stress state should not violate the equilibrium conditions of any elementary volume of the body. This approach, with the accuracy necessary for assessing the reliability of the ship's core structures, takes into account the transverse shear deformation. Keywords: rod systems, edge load, transverse shear deformation.

REFERENCES

1. Boytsov G.V., Kryzhevich G.B. Probabilistic methods in calculating the strength and reliability of ship structures: monograph. SPb., Central Research Institute named after academician A. N. Krylov, 257 p.

2. Kagan-Rosenzweig L.M. Technical theory of tangential stresses in a bent rod. Bulletin of Civil Engineers. 2017;3:40-49.

3. Kagan-Rosenzweig L.M. Refinement of the formula for the tangential stress of the technical theory of bending. Bulletin of Civil Engineers. 2014;6:84-89.

4. Mechanical engineering: encyclopedia, in 40 vol. Vol. 1-3. Dynamics and strength of machines. Theory of mechanisms and machines, in 2 books. M., Mechanical Engineering, 1995, 624 p.

5. Pikul V.V. The stability of the shells. Vladivostok, Far Eastern Federal University, 2016, 340 p.

6. Sinelshchikov A.V., Panasenko N.N. Mathematical model of stiffness characteristics of thin-walled rods of the closed profile of ship structures. Bulletin of ASTU. Marine technology and technology series. 2016;2. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskaya-model-zhestkostnyh-harakteristik-tonkostennyh-sterzhney-zamknutogo-profilya-korabelnyh-konstruktsiy. - 01/12/2019.

7. Harlab V.D. To the technical theory of tangential stresses in plane bending of beams. Bulletin of Civil Engineers. 2016;1:82-88.

8. Harlab V.D. The development of the elementary theory of tangential stresses in plane bending of beams. Bulletin of Civil Engineers. Part 1, 2015;1:82-87. Part 2, 2015;4:74-78. Part 3, 2017;5:77-82.

9. Timoshenko S.P. History of strength of materials. New York. McGraw-Hill Book C., 1953, 452 p.