CC BY
113
3/2010 мв.ВЕСТНИК
ИЗГИБ ДВУХСЛОЙНОЙ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С УЧЕТОМ МАССОВЫХ СИЛ И ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
A TWO-LAYER BEAM BENDING ON AN ELASTIC BASIS WITH CONSIDERATION OF MASS FORCES AND SHEAR DEFORMATION
Е.В.Барменкова, В.И.Андреев Elena V. Barmenkova, Vladimir I. Andreev
МГСУ
В настоящей работе приводится расчет двухслойной балки с учетом деформаций сдвига. Нижний слой балки моделирует фундамент, а верхний - конструкцию, при этом учитывается собственный вес каждого слоя.
In the present paper is given the calculation of a two-layer beam taking into account shear deformation on an elastic basis, the lower layer of which simulates the foundation, and the upper one - the structure, at the same time is considered the weight of each layer.
Введение.
Под двухслойной балкой в данной статье понимается одномерная модель фундаментной плнты, работающей вместе с сооружением (рис.1,а). В работе [2] приведен расчет рассматриваемой конструкции, полученной по общей теории изгиба составных балок и плит с учетом собственного веса каждого слоя (рис.1,б), что существенно отличает поставленную задачу от традиционной (рис.1,в), когда объемные нагрузки приводятся к верхней поверхности фундаментной плиты. В упомянутой работе показано, что напряженное состояние двухслойной балки существенно зависит от постановки задачи.
а) /Я=У1к1 + Yih2
II lilll I I II
6} ^Х-2 ■Уг khi |Yг
-^ ) h. |Y.
ГУ.
xc
*
я r 1
Рис. 1. Расчетная схема изгиба двухслойной балки на упругом основании
Сооружение и его основание должны рассматриваться в единстве, т. е. должно учитываться взаимодействие сооружения с основанием. Для совместного расчета сооружения и основания могут быть использованы аналитические, численные и другие методы (см. п.5.1.4 в [6]). В настоящей работе приводится расчет двухслойной балки с учетом деформаций сдвига, нижний слой которой (к1, Е1, и1) моделирует фундамент, а верхний (к2, Е2, и2) - конструкцию, при этом учитывается собственный вес каждого слоя (у1, у2) (рис. 1,6). При этом приводятся результаты аналитического и численного расчетов двухслойной балки на упругом основании с одним коэффициентом постели без учета и с учетом деформаций сдвига.
1. Вычисление приведенных характеристик сечения.
С учетом единичной ширины балки (— 1) площадь каждого слоя равна (рис.2)
^ = ЬНХ = к1; = Ьк2 = к2 .
b=1
Рис. 2. К определению центра тяжести сечения Приведенный статический момент сечения относительно оси z1 первого слоя ра-
вен:
Sz1 " В2 h2
2
Координата приведенного центра тяжести двухслойной балки определяется следующим образом:
у = ^ = Е2 к2(к1 + Ю
Ус ^ 2( ЕХЬХ + Е 2 к,)'
Осевые моменты инерции каждого слоя равны
г hi3 ^ ,2 = 12 +
h23 , ( h + h2
13 = — + h3 —-2
2 12 2l 2
'Ус
2. Вывод формулы для напряжений ay и уравнения изгиба двухслойной балки на упругом основании с учетом деформаций сдвига.
Для определения напряжений a y используем дифференциальные уравнения рав-
новесия
2
дx 8у дx ду
= 0;
- + у = 0.
(1)
(2)
Определим касательные напряжения в слоях, для чего воспользуемся формулой для нормальных напряжений а х в многослойной балке с учетом сдвигов [1]:
=
Е,Мгу
- Е
V
_
dx ОР dx
У
у
А = Е
Г d2 V К
3)
V
dx2 + ОР
(д - Р)
У,
где - приведенная жесткость сечения на изгиб, ОР - приведенная сдвиговая жесткость сечения, К - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в сечении, р - реактивный отпор основания.
Зависимость между реактивным отпором основания и осадкой его поверхности предполагается линейной и записывается в следующем виде: р = кх , где к - коэффициент постели основания.
Подставляя (3) в (1) и интегрируя, находим выражение для касательных напряжений
Г 73. 11 / ЛЛ
д^ху
ду
дх
- -Е,
d3 V ^ К d(д - р(х})
dx
га)
ху
d3V Кк dv^ ' 2
ОР
у
dx3 ОР dx
2
dx
+ (x).
у
Найдем функции gi из условий Xу = 0 в крайних волокнах:
А
У = У в
У = Ун
= о
т(1) = 0
xy
g 2 (x} = Е 2
d V Кк dv
+
2
У в
^ dx3 ОР dx J
С л3
x} = Е
d V Кк dv - + -
V
dx ОР dx
У н
2
Здесь Ув и Ун - соответственно расстояния от оси 2С до верхних и нижних волокон
Ун = Ус + V2; Ув =-(^2 + V2 - Ус) ■
2
2
Окончательные выражения для касательных напряжений в первом и втором слоях балки имеют вид
г(1) = Е
ху 2
^с13V Кк ^^
Сх3 ОГ Сх
(У2 - У 2);
_(2) = _Е_ хУ 2
/ 3
С V Кк dv Сх3 ОГ Сх
(У2 - У н2) ■
(4)
Подставляя равенства (4) в уравнение (2) получим
да
(')
дт
(О
( ^4
ду
дх
■Г' =■
2
2 Л
С V Кк С V Сх4 ОГ Сх2
(у,2 - У2 )-
■У г
(5)
Здесь У, = Ун для первого слоя и У, = ув для второго слоя. Интегрируя (5), найдем выражения для напряжений оу
а. = ^
У' 2
С4 V Кк С2 V
2,Л
Сх ОГ Сх
г
.3 Л
'V
2 У
У'У "Т
-Г,'У + (х).
(6)
Напряжения а у. должны удовлетворять следующим граничным условиям:
1) У = У«, ^у2 = 0;
2) у - y*, ^у2 =ауХ\
3) У ^ У „, сГу1 = -Ь.
Из первого и третьего граничных условий можно определить функции /1(х) и /2 (х), поле чего выражения для напряжений а у. принимают вид
сту1 =■
Ег
( Л4
2
_ Кк С2 V Сх4 ОГ Сх2
3
2 У 2 у3
У Н У Л Л
V 33 у
-п (у - у „) - kv;
Из второго граничного условия получим уравнение ^ С4V , В7 ^ С2 V ,
—т - к——К—- + ку = д *,
Сх
ОГ Сх2
(7)
(8)
где д * = /1 +/2 - приведенная изгибная жесткость сечения, определяемая
равенством
Е 2
о7 = — 7 2
2
У «У *-
(У*)3 2 у I
3
3
А 2
2
У2 У *-
(у*)3 2 у3
3
3
Подставив в это выражение значения ув, ун и у *, можно показать, что
2
3/2010 ВЕСТНИК _3/20™_МГСУ
Д = ЕХ1Х + Е21
2 2 ■
Уравнение (8) будет отличаться от уравнения изгиба балки с учетом сдвига на упругом основании, соответствующего переносу объемных сил к поверхностной нагрузке (рис. 1,а), тем, что изгибная жесткость в этих двух уравнениях будет разная, что должно привести к различиям в прогибах.
3. Пример расчета.
Рассмотрим изгиб шарнирно закрепленной двухслойной балки с постоянным по длине поперечным сечением, лежащей на упругом Винклеровском основании, со следующими характеристиками: к1= 1 м, к2 = 8 м, Е1= 107 кПа, Е2 = 106 кПа, у1 = 25 кН/м3, у2 = 2,5 кН/м3, и1 = 0,2, и2 = 0,25, Ь = 30 м, Ь = 1 м, А=1,2 (см. рис. 1,в). Характеристики грунта: Егр? = 40000 кН/м2, угр = 0,3.
Ниже приведена формула первого коэффициентов постели, используемого в расчетах. В случае однослойного упругого основания имеем [5]:
, Е гр
к - • (9)
где Егр, угр - модуль деформации и коэффициент Пуассона, Нс - глубина сжимаемой толщи основания. Глубина сжимаемой толщи основания определяется согласно [6].
Аналитическое решение задачи получено с помощью метода начальных параметров [4]. С целью сравнения результатов расчетов в таблице 1 приведены значения максимальных изгибающих моментов, поперечных сил и вертикальных перемещений без учета деформаций сдвига и с учетом деформаций сдвига.
Также рассматриваемая задача решалась численно с использованием программного комплекса ЛИРА (ПК ЛИРА). Расчетная схема представляет собой идеализированную модель двухслойной балки. При этом двухслойная балка моделируется универсальным стержнем. Для стержня заданы вес и жесткостные характеристики. Кроме того, задан коэффициент постели, вычисленный по формуле (9). Результатами расчёта схемы являются перемещения узлов схемы и усилия в сечениях элементов (см. табл. 1).
Таблица 1
Максимальное Максимальное Максималь-
значение значение ное значение
Решение вертикальных изгибающих сдвигающих
перемещении, моментов, усилии,
мм тм т
Изгиб двухслойной балки без учета аналитическое 2,55 359,4 52,1
деформаций численное 2,55 358,3 52,1
сдвига
Изгиб двухслойной бал- аналитическое 3,08 336,8 49,7
ки с учетом
деформаций численное 2,87 338,7 50,0
сдвига
ВЕСТНИК 3/2010
Из приведенной таблицы видно, что расхождение между результатами аналитического и численного расчетов в целом незначительно. Следует заметить, что в расчетах рассматривается балка с приведенными жесткостными характеристиками, а напряжения можно определить, используя полученные значения внутренних усилий, согласно формулам (3), (4) и (7), полученным в приведенном выше выводе. Эпюры напряжений с учетом деформаций сдвига приведены на рисунке 3 (эпюры ах, оу построены в центре балки, эпюра -т^ построена в точке х=0).
Рис.3. Эпюры напряжений в двухслойной балке с учетом деформаций сдвига
4. Заключение.
На основании полученных результатов в настоящей работе можно сделать следующие выводы:
• Уравнение изгиба плиты на упругом основании при рассмотрении двухслойной плиты содержит приведенную изгибную жесткость, существенно отличающуюся от жесткости нижнего слоя.
• При рассмотрении двухслойной балки оба слоя деформируются совместно, при этом нейтральный слой смещается в сторону верхнего слоя, откуда следует, что вся фундаментная плита может находиться в условиях растяжения, как это имеет место в рассмотренном примере.
• С учетом деформаций сдвига значения внутренних усилий получаются меньше, а вертикальных перемещений больше по сравнению с результатами расчетов без учета деформаций сдвига [2].
Литература.
1. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М., Высшая школа, 1995
2. Андреев В.И., Барменкова Е.В. Изгиб двухслойной балки на упругом основании с учетом массовых сил// XVIII Polish-Russian-Slovak Seminar «Theoretical Foundation of Civil Engineering». Warszawa, 2009, pp. 51-56
3. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков A.A. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М., АСВ, 1996
4. Клепиков С.Н. Расчет конструкций на упругом основании. Киев, 1967
5. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.-Л., Госстройиздат, 1954
6. СП 50-101-2004. Проектирование и устройство оснований и фундаментов зданий и сооружений
1. Alexandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Strength of materials. M., High school, 1995
ах,кПа
о>,кПа ixy, кПа
630 19,4
3/2010 мв.ВЕСТНИК
2. Andreev V.I., Barmenkova E.V. A two-layer beam bending on an elastic basis with consideration of mass forces// XVIII Polish-Russian-Slovak Seminar «Theoretical Foundation of Civil Engineering». Warszawa, 2009, pp. 51-56
3. Vardanian G.S., Andreev V.I., Atarov N.M., Gorshkov, A.A. Strength of materials with the fundamentals of theory of elasticity and plasticity. M., ASV, 1996
4. Klepikov S.N. The calculation of structures on an elastic basis. Kiev, BUDIVELNIK, 1967
5. Pasternak P.L. Fundamentals of a new method of calculation of foundations on an elastic basis by means of two subgrade coefficients. M.-L., Gosstroiizdat, 1954
6. SP 50-101-2004. Design and construction of soil bases and foundations for buildings and structures.
Ключевые слова
Двухслойная балка, фундаментная плита, нейтральный слой, уравнение изгиба балки, деформации сдвига, упругое основание, изгибная жесткость, эпюра напряжений, механика грунтов, теория упругости.
A two-layer beam, the foundation slab, the neutral axis, the equation of the beam bending, the shear deformation, an elastic basis, the flexural rigidity, the stress diagram ,soil mechanics, theory of elasticity.
Рецензент: проф., д.т.н. З.Г.Мартиросян
E-mail автора: [email protected]
