CC BY
9
ВестАик геоАаук, декабрь, 2020, № 12
УДК 552.122 DOI: 10.19110/geov.2020.12.3
моделирование петрографических структур. статья 2
Ю. Л. Войтеховский1,2, А. А. Захарова1, М. Д. Климоченков3
1 Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург 2 Геологический институт ФИЦ КНЦ РАН, Апатиты 3 Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», Москва
Voytekhovskiy_YuL@pers.spmi.ru
Для целей моделирования и классификации структур и текстур биминеральных горных пород предложена диаграмма нового типа — барицентрический тетраэдр (рт, р,у, р,у ру вероятностей тернарных межзерновых контактов. Рассчитано положение линии равновесия Харди — Вайнберга. Установлены соответствия между полями и границами классификации в барицентрическом тетраэдре и ранее предложенном барицентрическом треугольнике (р,,, ру, рц) вероятностей бинарных межзерновых контактов. Обсуждены перспективы классификации петрографических структур и текстур в барицентрическом тетраэдре на основе классификации Ньютона кривых 3-го порядка.
Ключевые слова: кристаллические горные породы, петрографические структуры и текстуры, равновесие Харди — Вайнберга.
MODELING pETROGRAPHIC SMTURE5. PAPER 2
Yu. L. Voytekhovsky1,2, A. A. Zakharova1, M. D. Klimochenkov3
1 Saint-Petersburg Mining University, Saint-Petersburg 2 Geological Institute FRC KSC RAS, Apatity 3 National University of Science and Technology «MiSiS», Moscow
Voytekhovskiy_YuL@pers.spmi.ru
For the purposes of modeling and classification of structures and textures of bimineral rocks, a diagram of a new type is proposed — a barycentric tetrahedron (piii, piij, pijj, pjjj) of probabilities of ternary intergrain contacts. The position of the Hardy-Weinberg equilibrium line is calculated. Correspondences between the classification fields and boundaries in the barycentric tetrahedron and the previously proposed barycentric triangle (pii, pij, pjj) of the probabilities of binary intergrain contacts are established. The prospects for the classification of petrographic structures and textures in a barycentric tetrahedron based on Newton's classification of curves of the 3rd order are discussed.
Keywords: crystalline rocks, petrographic structures and textures, Hardy-Weinberg equilibrium.
Введение
Удачная феноменологическая классификация петрографических структур и текстур должна предусматривать возможность ее физической интерпретации. Исторический пример — теория кристаллического пространства с решетками Браве, правильными системами точек, федоровскими группами симметрии и т. д. С оговорками буквально в каждом законе, но кристаллохимия постепенно наполняет термодинамическим содержанием эту изначально геометрическую конструкцию. В горных породах обращают на себя внимание бинарные (2-мерные, по поверхностям), тернарные (1-мерные, по ребрам) и куотернар-ные (0-мерные, в точках) межзерновые контакты — дефекты структуры, зоны разрыва химических связей, каналы свободной энергии [1, 9]. После установления равновесия горной породы как физико-химической системы наступает период дополнительной минимизации свободной энергии ее межзерновых границ [2, 3]. Эффект столь значителен, что в мономинеральных горных породах (мраморах, кварцитах), фирновом льде, керамике, отожженных металлах и сплавах реа-
лизуется «структура Коксетера» сухой пены (с толщиной стенок в одну молекулу Н2О) вопреки требованиям кристаллической решетки минеральной фазы [6].
В предыдущей статье даны примеры 2D-модели-рования (в сечениях) биминеральных петрографических структур и текстур в барицентрическом треугольнике (ри, pij, р^ вероятностей бинарных межзерновых контактов, обсуждены их соотношения с линией равновесия Харди — Вайнберга [5, рис. 3]. Далее для целей моделирования и классификации структур и текстур предложена диаграмма нового типа — барицентрический тетраэдр (рш, рщ, р^, р^ вероятностей тернарных межзерновых контактов. Рассчитано положение линии равновесия Харди — Вайнберга в нем, установлены соответствия между полями и границами классификации в обеих диаграммах.
Массивные текстуры и равновесие
Харди — Вайнберга
«Массивная текстура, Науман — текстура пород зернистой структуры без особой ориентировки со-
Для цитирования: Войтеховский Ю. Л.. Захарова А. А.. Климоченков М. Д. Моделирование петрографических структур. Статья 2 // Вестник геонаук. 2020. 12(312). C. 32—35. DOI: 10.19110/geov.2020.12.3.
For citation: Voytekhovsky Yu. L., Zakharova A. A.. Klimochenkov M. D. Modeling petrographic structures. Paper 2. Vestnik of Geosciences. 2020. 12(312). pp. 32—35. doi: 10.19110/geov.2020.12.3.
Vestnik of Geoscieaces, December, 2020, No. 12
ставных частей, однородных во всех направлениях. См. беспорядочно-зернистая структура. <...> Беспорядочно-зернистая структура, Розенбуш — структура без определенной ориентировки зерен, т. е. одинаковая во всех направлениях; типичная структура пород массивной текстуры» [7, с. 42, 189]. Важно, что в приведенных определениях применительно к массивной текстуре (и, по-видимому, только к ней) категории текстуры и структуры отождествляются, ибо здесь составные части сводятся к минеральным зернам.
Но не только в этом состоит ее особенность. Среди петрографических структур и текстур массивная текстура — единственная, которая может быть определена строго как равновесие вероятностей р^ (1, ] = 1, ..., п) Харди — Вайнберга разных межзерновых контактов при заданных вероятностях р1 минеральных зерен разных видов в п-минеральной горной породе:
(Р1Ш1 + ... + РпШп)2 = I ру ШШ = 1,
где Ш1Ш| имеет смысл бинарного контакта минеральных зерен 1-го и >го видов, р11 = р12, р^ = 2р^.
Для простейшего случая (п = 2) линия равновесия Харди — Вайнберга задается уравнением р11р22 = (р12 / 2)2 в барицентрическом треугольнике вероятностей (р11, р22, р12) [5, рис. 3]. Неожиданность состоит в том, что массивные текстуры образуют не поле диаграммы (выше или ниже линии равновесия), а границу между ними, на которую фигуративная точка реальной текстуры (для которой подсчитаны вероятности р11, р22, р12) попасть не может. Это кажется тем более странным, что массивные текстуры известны во всех классах горных пород (от кислых до ультраосновных). Строго говоря, отнесение текстуры к массивной — статистическая задача, решаемая с помощью критериев согласия [4].
Равновесие Харди — Вайнберга
для тернарных контактов
Уже на примере биминеральных горных пород видно, что статистика тернарных межзерновых контактов более информативна, чем статистика бинарных контактов. Вероятности тернарных контактов (р111, р112, р122, р222) могут быть показаны в барицентрическом тетраэдре. При этом каждый тернарный контакт порождает три бинарных вполне определенного вида (рис. 1). Это позволяет установить соотношения между ними: р11 = р111 + р112/3, р22 = р222 + р122/3, р12 = 2рш/3 + 2рш/3.
Рис. 1. Тернарные контакты однозначно определяют разнообразие бинарных
Fig. 1. Ternary contacts uniquely define the variety of binary contacts
Подстановкой этих значений в уравнение равновесия Харди — Вайнберга для биминеральной горной породы р11 р22 = (р12 / 2)2 получим уравнение класси-
фицирующей поверхности (К-поверхности), разбивающей тетраэдр на две области:
(3рш + рш) (р122 + 3р222) = (р 112 + р122)2.
Ее следы на гранях барицентрического тетраэдра показаны на рис. 2.
Уравнение линии равновесия Харди — Вайнберга для полиминеральной горной породы в вероятностях тернарных контактов имеет вид:
(р1Ш1 + ... + рпШп)3 = I рук щтт = 1,
где ш1Ш|Шк имеет смысл тернарного контакта минеральных зерен 1, ] и к-го видов, р111 = р13, р^ = 3р^р^ р^к = 6р^рк. Для биминеральной горной породы:
Р111 = Pi3, Р112 = 3Pi2P2, Pi22 = 3PiP22, p222 = P23- Линия равновесия лежит в К-поверхности (рис. 2).
Рис. 2. К-поверхность (красные линии — следы на гранях тетраэдра) и линия равновесия Харди — Вайнберга (синяя) в барицентрическом тетраэдре во фронтальной (слева) и аксонометрической (справа) проекциях. К-поверхность и линия равновесия симметричны относительно оси L2 тетраэдра
Fig. 2. K-surface (red lines — traces on the faces of the tetrahedron) and the Hardy-Weinberg equilibrium line (blue) in the barycentric tetrahedron in the frontal (left) and axonometric (right) Projections. K-surface and the equilibrium line are symmetrical about the L2 axis of the tetrahedron
Итак, линия равновесия Харди — Вайнберга является классификационной границей лишь для простейшего случая бинарных контактов в биминераль-ных горных породах, т. е. в барицентрическом треугольнике. Уже в барицентрическом тетраэдре, т. е. для тернарных контактов в биминеральных горных породах, а тем более для полиминеральных горных пород, независимо от типов контактов (бинарные или тернарные), она таковой не является. Но во всех случаях может быть построена К-поверхность, разбивающая соответствующую диаграмму (треугольник, тетраэдр, ... многомерный симплекс) на два поля, в которых равновесие Харди — Вайнберга нарушается в сторону моно- или полиминеральных межзерновых контактов. Именно их сочетание определяет все разнообразие петрографических структур и текстур.
Перспективы классификации
Два класса структур и текстур вряд ли удовлетворят петрографов даже в случае биминеральных горных пород. Каковы перспективы более детальной клас-
ВесТНик геоНаук, декабрь, 2020, № 12
сификации в терминах вероятностей межзерновых контактов? Линия равновесия Харди — Вайнберга в барицентрическом треугольнике задана уравнением Р11 Р22 = (Р12 / 2)2 и разделяет области, в которых фигуративные точки определяют эллипсы рп Р22 > (Р12 / 2)2 или гиперболы рп Р22 < (Р12 / 2)2 с общим уравнением центральной кривой 2-го порядка 2 рщ тт = 1 j = 1, 2). Эти линии названы нами структурными индикатрисами. (Очевидна аналогия с коноскопиче-скими фигурами, которые суть результаты статистического взаимодействия луча света с атомами кристаллической решетки, преобразованные с помощью линз в геометрические образы. Переход из поля эллипсов в поле гипербол выглядит как удлинение эллипсов, их разрыв в любой точке линии равновесия Харди — Вайнберга в пару параллельных прямых и далее изгибание последних в ветви гипербол.)
Аналогично, барицентрический тетраэдр может быть разбит на области, в которых сохраняют свой топологический тип (число асимптот, ветвей, их взаимное или самопересечение, наличие изолированных точек, ...) структурные индикатрисы 3-го порядка, задаваемые общим уравнением 2 р^ ттт = 1 Ц, j, к = = 1, 2). Проблема состоит в адаптации классификации Ньютона кривых 3-го порядка на плоскости [8]. Некоторые из них показаны на рис. 3.
Рис. 3. Кривые 3-го порядка на плоскости Fig. 3. Cubic curves on the plane
Выводы
Линия равновесия Харди — Вайнберга — математическое выражение массивной текстуры — образует не поле, а границу в любой барицентрической диаграмме: вероятностей бинарных или тернарных контактов в биминеральной или полиминеральной горной породе. Фигуративная точка структуры и текстуры реальной горной породы не может попасть на линию равновесия. Отнесение текстуры к массивной — статистическая задача, решаемая с помощью критериев согласия.
Лишь в простейшем случае (бинарные контакты в биминеральной горной породе) линия равновесия служит классификационной границей и разбивает барицентрический треугольник на два поля — с нарушением равновесия в сторону моно- или полиминеральных контактов. В барицентрическом тетраэдре
(тернарные контакты в биминеральной горной породе) рассчитана соответствующая К-поверхность, разбивающая его на два поля. Линия равновесия Харди — Вайнберга лежит в К-поверхности.
Перспектива детализации классификации структур и текстур горных пород по статистикам тернарных контактов видится в методе структурной индикатрисы. Для биминеральных горных пород он состоит в адаптации классификации Ньютона кривых 3-го порядка на плоскости, т. е. в указании соотношений между вероятностями (рш, рш, Р122, Р222) для отнесения структур и текстур к тому или иному типу.
Проблема строгого определения и классификации петрографических структур и текстур порождает нетривиальные математические задачи, что говорит о содержательности подхода. Криволинейные классификационные границы, выражающие межзерновые отношения в горных породах в терминах вероятностей, позволяют усомниться в корректности прямолинейных границ в аналогичных барицентрических диаграммах, принятых (обычно путем соглашения) для минеральных систем.
Авторы благодарят рецензентов за конструктивные замечания, способствовавшие более ясному изложению результатов.
Литература
1. Беленький В. З. Геометрико-вероятностные модели кристаллизации. Феноменологический подход. М.: Наука, 1980.88 с.
2. Бродская Р. Л. Термодинамические (кинетические) критерии формирования и эволюции структуры минеральных агрегатов // Зап. ВМО. 1988. № 5. С. 623—633.
3. Вернон Р. Х. Метаморфические процессы. М.: Недра, 1980. 228 с.
4. Войтеховский Ю. Л., Захарова А. А. Массивная текстура горной породы: гранит массива Акжайляу, Казахстан // Труды XV Всерос. научн. школы «Математические исследования в естественных науках». Апатиты: K & M, 2018. С. 56—57. https://doi.org/10.31241/MIEN.2018.15.07
5. Войтеховский Ю. Л., Захарова А. А. Моделирование петрографических структур // Вестник геонаук. 2020. № 10. С. 38—42. https://doi.Org/10.19110/geov.2020.10.5.
6. Жабин А. Г. Онтогения минералов. Агрегаты. М.: Наука, 1979. 275 с.
7. Левинсон-Лессинг Ф. Ю, Струве Э. А. Петрографический словарь. М.: Госгеолиздат, 1963. 448 с.
8. Савелов А. А. Классификация Ньютона. Плоские кривые: систематика, свойства, применения. Москва — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. С. 44—53.
9. Салтыков С. А. Стереометрическая металлография. М.: Металлургия, 1958. 446 с.
References
1. Belenkiy V. Z. Geometriko-veroyatnostnye modeli kristalli-zatsii. Fenomenologichesky podhod(Geometric-probabilistic models of crystallization. Phenomenological approach). Moscow: Nauka, 1980, 88 pp.
2. Brodskaya R. L. Termodinamicheskiye (kineticheskiye) kriterii formirovaniya i evolutsii struktury mineralnykh agregatov (Thermodynamic (kinematic) criteria of formation and evolution
Vestaik of Geoscieaces, December, 2020, No. 12
of mineral aggregates structures). Proc. Rus. Mineral. Soc, 1988, No. 5, pp. 623-633.
3. Vernon R. H. Metamoficheskiye processy (Metamorphic processes). Moscow: Nedra, 1980, 228 pp.
4. Voytekhovsky Yu. L., Zakharova A. A. Massivnaya teks-tura gornoyporody: granit massiva Akzhailau, Kazakhstan (Massive texture of a rock: granite of the Akzhailau massif, Kazakhstan). Proc. 15th Rus. Sci. School «Math. Invest. in Natural Sci. ». Apatity: K & M, 2018, pp. 56-57. https://doi.org/10.31241/ MIEN.2018.15.07
5. Voytekhovsky Yu. L., Zakharova A. A. Modelirovaniye petrograficheskikh structur (Modeling petrographic structures). Vestnik geonauk, 2020, No. 10, pp. 38—42. https://doi. org/10.19110/geov.2020.10.5.
6. Zhabin A. G. Ontogeniya mineralov. Agregaty (Ontogeny of minerals. Aggregates). Moscow: Nauka, 1979. 275 pp.
7. Levinson-Lessing F. Yu., Struve E. A. Petrograflcheskiy slovar (Petrographic dictionary). Moscow: Gosgeolizdat, 1963, 448 pp.
8. Savelov A. A. Klassifikatsiya Nyutona. Ploskiye krivye: sistematika, svoystva, primeneniya (Newton's classification. Flat curves: systematics, properties, applications). Moscow — Izhevsk: NIC «Regular and chaotic dynamics», 2002, pp. 44—53.
9. Saltykov S. A. Stereometricheskaya metallograflya (Stereometric metallography). Moscow: Metallurgy, 1958, 446 pp.
Поступила в редакцию / Received 07.12.2020
