Моделирование параметров денежных потоков при изменении их темпов роста и коэффициентов дисконтирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Моделирование параметров денежных потоков при изменении их темпов роста и коэффициентов дисконтирования

В.П. Карев

оценщик, действительный член Российского общества оценщиков, кандидат технических наук (г. Москва)

Д.В. Карев

заместитель генерального директора закрытого акционерного общества «Ауриус» (г. Москва)

Владимир Петрович Карев, [email protected]

Фактов всегда достаточно -не хватает фантазии.

Д. Блохинцев

Введение

В работе авторов [1] было проведено сравнительное моделирование стоимости бизнеса - предприятия по производству химической продукции, по реальным параметрам фаз бизнеса (рост, рецессия, спад) в интервале от 14 до 86 лет. Расчет стоимости бизнеса осуществлялся двумя способами:

1) на основе двустадийной модели расчета прогнозной стоимости и постпрогнозной (терминальной) стоимости с использованием модели Гордона;

2) на основе предложенной авторами модели прогнозных фаз бизнеса.

Показано, что двустадийная модель для приведенного примера расчета стоимости бизнеса неприменима ввиду значительных значений погрешности в 100^24 процента в сравнении с реальными значениями дисконтированных денежных потоков.

Авторами отмечено, что, поскольку полученные результаты и сделанные на их основании выводы справедливы лишь для частного случая, отказываться от применения двустадийной модели в целом и модели Гордона в частности преждевременно и исследование свойств и поведения таких моделей по-прежнему - одна из самых актуальных задач инвестиционно-проектировочной и оценочной деятельности. Ссылки на то, что искусственное разделение процесса дисконтирования будущих денежных потоков оцениваемого объекта на «прогнозный» и «постпрогнозный» периоды постепенно становится все менее популярным из-за якобы явной противоречивости характера предполагаемого «поведения» объекта оценки в эти периоды, по мнению авторов, не очень убедительны. В частности, в альтернативной модели ДДП модели EBO (Edwards - Bell - Olson) также осуществляется расчет терминальной стоимости - дисконтированной стоимости чистых активов. Любая модель становится популярной и применимой лишь при условии ее понятности и «комфортности» для участников оценочно-проектировочного сообщества. А пока в литературе практически не представлены результаты исследований численных рядов коэффициентов дисконтирования и темпов роста денежных потоков, их взаимосвязей в двустадийных моделях и практические рекомендации для решения конкретных задач, стоящих перед инвестиционными проектировщиками или оценщиками бизнеса или недвижимости, приносящей доход.

По мнению авторов, для успешной реализации расчетов денежных потоков с применением двустадийных моделей необходимо следующее:

1) понимать природу, временные зависимости и специфику выбора и применения тех или иных моделей расчетов коэффициентов дисконтирования, в частности, возможности использования реальных численных исходных данных, а также верифицикации точности проектных или оценочных расчетов результатами проводимого маркетингового анализа или представительными данными об объектах-аналогах;

2) и инвестиционным проектировщикам, и оценщикам знать цену каждой единицы коэффициента дисконтирования или темпа роста денежного потока на каждом из прогнозных периодов инвестиционного проектирования или оценки. При этом существенно, что для ретроспективного, прогнозного и постпрогнозного периодов вклад этих цен в изменение величины денежного потока, как правило, разный;

3) понимать, что каждая неправильно заданная единица величины коэффициента дисконтирования или темпа роста - это источник погрешности расчетной величины денежного потока от его истинного значения.

В статье представлены впервые полученные результаты исследований по следующим направлениям:

1) постановка задачи, описание моделей, процесса моделирования и собственно результаты моделирования для прогнозного периода в зависимости от вариаций значений коэффициентов дисконтирования и темпов роста чистого денежного потока, модель и результаты расчета случайных погрешностей величин чистой дисконтированной стоимости в прогнозном периоде (NPVd1 - Net Present Value discounted);

2) постановка задачи, описание моделей и процесса моделирования и собственно результаты моделирования на модели Гордона для постпрогнозного периода в зависимости от вариаций значений коэффициентов дисконтирования и темпов роста чистого денежного потока модели и результаты расчета систематических и случайных погрешностей величин чистой дисконтированной стоимости в постпрогнозном периоде (NPVd2);

3) результаты моделирования итоговой стоимости предприятия на основе прогнозной модели и модели Гордона, расчетов суммарных погрешностей, а также соответствующие практические рекомендации оценщикам и инвестиционным проектировщикам.

Общепринято, что основой для проведения моделирования является классическое выражение для расчета итоговой чистой дисконтированной стоимости объекта оценки NPVd с применением двустадийной модели:

где NCFt- чистый денежный поток (прибыль) на t-м периоде планирования;

NCFn - чистый денежный поток (прибыль) за последний прогнозный год;

Kd - коэффициент дисконтирования для собственного капитала;

G - предполагаемый (прогнозируемый) постоянный темп роста денежного потока на теоретически бесконечный по времени (n + 1)-й постпрогнозный период;

n - количество периодов (лет) прогнозного планирования.

Само понятие «двустадийная модель» наиболее полно объясняется в работе З. Мерсера и Т. Хармса [2]. Авторы этой работы отмечают, что модель содержит две стадии расчета итогового денежного потока.

Первый член выражения (1) - денежные потоки для прогнозного периода, завершаемого в n-м году. Хотя, по мнению З. Мерсера и Т. Хармса, точное прогнозирование будущего практически невозможно, порой умелые аналитики способны подготавливать вполне разумные прогнозы краткосрочных (на 5^10 лет) финансовых результатов. Этот член отражает приведенную стоимость промежуточных денежных потоков PVICF (Present Value of Interim Cash Flows). В настоящей статье в прогнозном периоде производится дисконтиро-

(1)

вание чистых денежных потоков - суммы чистой прибыли и амортизации, и для удобства изложения эта величина названа NPVd1 (NPVd - Net Present Value discounted, 1 - номер стадии моделирования).

Второй член выражения (1) - терминальная стоимость (это все остающиеся денежные потоки, начиная с (n + 1)-го года). После окончания первого, прогнозного, периода двустадийная модель ДДП преобразуется в модель Гордона, а поскольку точность прогноза аналитика уменьшается, условие о постоянном темпе роста становится менее существенным. После дисконтирования с (n + 1)-го года по настоящее время возникает текущая оценка терминальной стоимости - приведенная терминальная стоимость PVTV (Present Value of the Terminal Value). По аналогии с первой стадией на второй стадии производится моделирование чистой дисконтированной терминальной стоимости NPTV, поэтому эта стоимость для удобства расчетов названа в настоящей статье NPVd2 (NPVd - Net Present Value discounted, 2 - номер стадии моделирования).

Моделирование в прогнозном периоде

В этом разделе авторы постарались ответить на два вопроса:

1) как на величину NPVd влияют вариации коэффициента дисконтирования Kd и темпов роста денежных потоков, постоянных по периодам прогнозного планирования G;

2) какие при этом могут быть величины погрешностей от Kd и G?

Для ответа на эти вопросы на пяти периодах прогноза построены модели варьирования значений Kd в интервале 12^21 процент с дискретным шагом в 1 процент и варьирования значений G в интервале 0^30 процентов с шагом в 5 процентов.

Приняты следующие допущения.

Предположим, что модель чистого денежного потока NCFt на t-м периоде планирования формируется следующим образом:

NCFt = NCFt-1 (1 + G), (2)

где G - постоянный темп роста денежного потока по периодам планирования;

NCFt ^ - чистый денежный поток на (t - 1)-м периоде планирования.

За весь период планирования (? = 1... л) суммарная величина чистого денежного потока составит:

]ГN0F1 (1 + в ). (3)

t=1

Зададим значения N0Ftпо периодам планирования ^ = 1.п), равные единице, и значения 1+ в, равные по всем периодам планирования. Тогда прирост N0F по периодам планирования определяется преобразованным из выражения (3) выражением (4):

X (1 + в)'. (4)

t=1

Процедура дисконтирования суммарного денежного потока NPVd1, рассчитанного на основании выражения (4), с равными единице значениями N0Ft может быть представлена следующим образом:

NPVd1 =£ (1 + в.. (5)

1 £ (1 + Ю)1

Выражения (4) и (5) позволяют вычислять значения NPVd1 как функцию, зависящую только от трех параметров:

1) величина коэффициента дисконтирования К#;

2) величина темпа роста денежных потоков в; _____

3) количество периодов прогнозного планирования ^ = 1. л).

Введем новые понятия для пары мультипликаторов:

• единичный мультипликатор дисконтирования (МУ1) - относительный прирост/падение величины NPVd1 на 1 процент изменения КУ;

• единичный мультипликатор темпов роста денежного потока (Мв1) (далее - темпы роста) - относительный прирост/падение величины NPVd1 на 1 процент изменения в.

Мультипликаторы отражают относительные изменения и функциональные зависимости денежных потоков от перечисленных параметров. Их применение позволяет повысить эффективность моделирования и исследования чистых дисконтированных денежных потоков как в прогнозном, так и в постпрогнозном периодах. Впервые они предложены и использованы одним из авторов в работе [3].

Для упрощения изложения далее выражение «единичный мультипликатор» заменено на «мультипликатор».

Моделирование мультипликаторов

Основная цель моделирования мультипликаторов - выявление диапазона их значений в практически значимых пределах для дальнейшего использования в качестве достоверной справочной информации при проведении оценки или инвестиционного проектирования.

При проведении моделирования ставились следующие задачи:

1) расчет рядов значений мультипликатора дисконтирования посредством варьирования значений № в пределах от 12 до 21 процента на интервале значений в в пределах от

0 до 30 процентов на пяти периодах планирования. Расчет мультипликатора дисконтирования МУ1 проводится на основании следующего выражения:

NPVd1(i+1) - NPVd1i

МбЛ =-------^-------------х 100% , (6)

1 NPVd1i

где NPVd1j- дисконтированный денежный поток для единичного значения NCFt для /'-го коэффициента дисконтирования;

NPVd1(/ + 1) - дисконтированный денежный поток для единичного значения NCFt для (/ + 1)-го коэффициента дисконтирования;

2) расчет ряда значений мультипликатора темпов роста на основе полученных в результате моделирования рядов единичных мультипликаторов дисконтирования. Расчет мультипликатора темпов роста Мв1 проводится на основании следующего выражения:

NPVв1(■ 1) - NPVв1j

Мв1 =------1/1---------^ х 100%, (7)

1 NPVв1j

где NPVвj - дисконтированный денежный поток для единичного значения N0Ft для /-го коэффициента темпов роста;

NPVв1(j+ 1) - дисконтированный денежный поток для единичного значения N0Ft для (/ + 1)-го значения темпа роста.

Для проведения моделирования построена таблица, в которой представлены необходимые промежуточные параметры моделирования и пример расчетов для комбинации параметров № = 20% и в = 5% (см. табл. 1).

Таблица 1

Промежуточные параметры моделирования без учета инфляции

Период прогнозного планирования t 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й NPVd1

Показатель степени 1 2 3 4 5 -

Темпы роста денежных потоков й,, % 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 -

Значение (1 + й) 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 -

Степени (1 + й) 1,05 1,10 1,16 1,22 1,28 -

Коэффициент дисконтирования Кб, % 20 20 20 20 20 -

Значение (1 + Кб) 1,20 1,20 1,20 1,20 1,20 -

Степени (1 + К.Щ 1,20 1,44 1,73 2,07 2,49 -

NPVdt = (1 + й; у / (1 + Кб) 0,88 0,77 0,67 0,59 0,51 3,41

В таблице 2 представлен результат моделирования мультипликаторов дисконтирования МУ1 и мультипликаторов темпов роста Мв1. При некотором фиксированном /-м значении в - в} и различных коэффициентах дисконтирования (в диапазоне 12-21 процент) вычисляются значения полной чистой дисконтированной стоимости NPVd1. Для полученных

Таблица 2

Результаты моделирования единичных мультипликаторов Мd1 и МЄ1

Коэффициенты дисконтирования % Значения Мбу в дискретных рядах темпов роста , %

0 5 10 15 20 25 30

12 2,47 2,55 2,63 2,71 2,78 2,85 2,92

13 2,43 2,51 2,59 2,67 2,74 2,81 2,88

14 2,39 2,48 2,55 2,63 2,70 2,77 2,84

15 2,36 2,44 2,52 2,59 2,67 2,73 2,80

16 2,32 2,40 2,48 2,56 2,63 2,70 2,76

17 2,29 2,37 2,45 2,52 2,59 2,66 2,72

18 2,26 2,34 2,41 2,49 2,56 2,62 2,69

19 2,22 2,30 2,38 2,45 2,52 2,59 2,65

20 2,19 2,27 2,34 2,42 2,49 2,55 2,62

21 2,16 2,24 2,31 2,38 2,45 2,52 2,58

Средние арифметические значений Мбу по рядам темпов роста 2,31 2,39 2,47 2,54 2,61 2,68 2,75

Средние арифметические значений Мйу по рядам йу с шагом 5 процентов, % 3,55 3,37 3,15 2,94 2,73 2,54 2,37

Средние арифметические значений Мйу по рядам йу с шагом 1 процент, % 1 1 0,71 0,67 0,63 0,59 0,55 0,51 0,47

в соответствии с выражениями (6) и (7) значений рассчитаны средние арифметические рядов мультипликаторов МУ1 и Мв1, причем для Мв1 они представлены для точечных значений дискретного ряда в1/ темпов роста с шагом 5 процентов и с шагом 1 процент. Для дальнейших расчетов используются ряды значений МУ1 и Мв1 с шагом 1 процент.

Моделирование погрешностей в прогнозном периоде

№ и в рассчитываются как при проведении оценки, так и при инвестиционном проектировании. Какие же их значения наиболее вероятны при проведении оценки или проектирования? Естественно, что моделируемые коэффициенты дисконтирования и темпы роста зависят от внешней экономической конъюнктуры и положения предприятия на рынке, то есть в принципе зависят от случайных факторов. По этой причине выбор их значений можно трактовать как расчет параметров рядов случайных величин № и в, подчиняющихся закону нормального распределения. При этом ошибки при выборе этих величин могут трактоваться как случайная (несистематическая) погрешность, возникающая как следствие субъективного мнения инвестиционных проектировщиков или оценщиков. При этом ряды единичных мультипликаторов МУ1 и Мв1 являются источником информации, позволяющем рассчитать искомые значения погрешностей. В частности, можно выделить два основных источника формирования погрешностей:

1) погрешность определения К#, выражаемая в величинах МУ1(;

2) погрешность определения в, выражаемая в величинах Мв1/.

Таким образом, задача определения искомой погрешности сводится к суммированию погрешностей по информации, заложенной в параметрах рядов МУ1 и Мв1. В теории метрологии и работе [4], в частности, определено, что составляющие погрешностей для суммирования должны быть заданы в виде числовых характеристик для случайных некоррелированных величин:

Мх^ ^ Мх^ ^

или числовых характеристик для случайных коррелированных величин:

Мх^ °ы1; Мхв^ °в1 и Я'

где МхЫ1 и Мхв1 - математические ожидания рядов МУ1 и Мв1;

°М1 и °в1 - среднеквадратические отклонения элементов рядов МУ1( и Мву от своих математических ожиданий;

Я - коэффициент взаимной парной корреляции распределения значений в рядах МУ1 и Мв 1.

Оба этих варианта могут быть обобщены при выполнении следующих условий:

1) Я = 0^0,25 (от очень слабой корреляция до ее отсутствия). Суммирование среднеквадратических отклонений осуществляется по формуле:

о£ = ^/о2 + о2 + 2а1а2 = о1 + о2; (8)

2) Я = ±0,65^1(от сильной до 100-процентной корреляции). Знак «-» означает взаимную корреляцию двух разносторонне возрастающих последовательностей. Суммирование среднеквадратических отклонений осуществляется по формуле:

о£ = ^/о2 + о\ + 2Яо1о2. (9)

Отметим, что выражение (9) обобщает оба варианта вне зависимости от наличия корреляции, величины ее коэффициента и знака.

В работе [5] отмечено, что практически все значения нормально распределенной случайной величины х с вероятностью 99,7 процента лежат в интервале [х - 3о; х + 3а] при условии, что величина х истинная. В таблице 2 приведены результаты обработки величины х. В этом случае правило «трех ° » преобразуется в правило «трех Б», где Б - величина стандартного отклонения, выражаемая следующим образом:

Б , (10) V п -1

где п - количество элементов МУ1/ в рядах выборки в таблице 2.

В таблице 3 представлены результаты моделирования погрешностей прогнозного периода для рядов МУ1 и Мв1 с шагом 1 процент.

Таблица 3

Результаты моделирования погрешностей в прогнозном периоде

Значение коэффициента корреляции Я, % -99,96

Стандартное отклонение ЭЫ1 ряда Мб1, % 2,703

Стандартное отклонение Эй1 ряда Мй1, % 0,541

Суммарная погрешность Э11, % 2,163

Интервал распределения х по правилу ЭЭр % 6,488

Моделирование итоговой стоимости

При использовании двустадийной модели терминальная стоимость объекта оценки рассчитывается с использованием модели Гордона. Эта модель задумана как модель расчета дисконтирования дивидендов, но повсеместно используется для оценки стоимости внебиржевых компаний. Эта модель вызывает много нареканий со стороны оценщиков и инвестиционных проектировщиков. В частности, в работе [б] отмечается, что «вклад терминальной стоимости в рассчитанной по методу ДДП стоимости предприятия обычно составляет не менее 40^60%, а в некоторых отраслях, упоминаемых в работе [7] (фармацевтика, издательское дело, программное обеспечение, розничная торговля и другие), -80% и выше».

В работе [8] все проблемы вычисления постпрогнозной стоимости предлагается решать введением так называемой продленной стоимости посредством формулы, аналогичной модели Гордона, с той лишь разницей, что верхний член модели приведен в степень, равную 0,5. Расчеты показали, что такая коррекция члена изменяет значение терминальной стоимости в среднем лишь на 3^5 процентов. Так стоило ли ради этого огород городить?

В работе [9] вновь предлагается использовать значение продленной стоимости в виде терминальной стоимости, равной величине прибыли NOPLAT (чистой прибыли без вычета процентов по инвестициям или кредитам), дисконтированной за три периода в пост-прогнозном периоде. Но почему три постпрогнозных периода дисконтирования, а не больше или меньше? Кроме того, в работах [8] и [9] ни слова не сказано о характере формирования терминальной стоимости и величинах ее вклада в итоговую стоимость. Полагаем, что эта тема постепенно превращается в благодатное поле для псевдонаучных гаданий.

О критериях величины терминальной стоимости

Действительно, каким же должен быть вклад терминальной стоимости в итоговую стоимость? Для того чтобы логически обосновать долю вклада терминальной стоимости, рассмотрим возможные факторы, учитываемые при ее выборе.

В работе З. Мерсера и Т. Хармса [2] представлены результаты одного из самых интересных комплексных исследований о ДДП в целом и модели Гордона в частности. А научная редакция русского перевода этой работы профессора В. Рутгайзера сделала ее интересной вдвойне. Так вот, на странице 51 в разделе «Практические выводы...» приведено важное замечание: «В типичном для метода DCF прогнозе на пять лет терминальная стоимость составляет от 60 до 80% полной приведенной (текущей - PV) стоимости. А далее перечисляются некоторые свойства терминальной стоимости:

• чем выше Kd, тем меньше ее величина;

• чем выше темп роста G, тем выше ее величина; темп роста в долгосрочном периоде не должен быть слишком высоким (примерно 3^4%; 8^10% - в предельном случае);

• терминальная стоимость более чувствительна к темпам роста G, чем к изменению величины Kd;

• двузначные значения темпов роста могут дать «совершенно невероятные по размеру доходы».

Расчет итоговой стоимости осуществляется следующим образом:

NPVd = NPVd1 + NPVd 2, (11)

где NPVd1 - прогнозный, рассчитываемый по периодам планирования на основании выражения (5) дисконтированный денежный поток для единичного значения N0Ft в предположении, что значение N0Ft ( = 1. л) равно одной условной денежной единице;

NPVd2 - дисконтированный денежный поток терминальной стоимости для единичного значения, рассчитанный на основании модели Гордона.

Значение NPVd2 рассчитывается с использованием части выражения (1) и значения N0Fn, рассчитываемого с использованием выражения (4):

N0Fn (1 + в)

NPVdг =--------^—. (12)

2 (1 + Кй)л К - в) 1 1

В таблице 2 работы [1] для двустадийной модели приведены результаты моделирование величин NPVd1 и NPVd2 и итоговой стоимости NPVd для № в диапазоне 12^21 процент и в = 7,23 процента в прогнозном периоде и в = 2,42 процента в постпрогнозном периоде.

Аналогичное моделирование проведено и в настоящей работе. Условия и ограничения моделирования для всех периодов были приняты следующие:

• № задавался в интервале 12^21 процент с шагом в 1 процент;

• в задавалось в интервале 0,0^10,0 процента с шагом через 2,0 процента.

Авторы согласны с выводами Мерсера и Хармса (см. выше), что такие темпы роста

перекрывают большинство всех возможных вариантов моделирования и позволяют получить вполне достоверные результаты.

Введем новое понятие - мультипликатор Гордона (Мг) - численный коэффициент, показывающий относительную величину дисконтированной терминальной стоимости в итоговой стоимости и определяемый следующим образом:

NPVd2 м

Мг =-----------2----. (13)

NPVd1 + NPVd2

Математические модели расчета терминальной стоимости и, соответственно, мультипликатора Гордона представлены в таблицах 4 и 5.

Таблица 4

Варианты моделирования величин Мг по заданным значениям КО ; и 1

Кб, % 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

'-р % О II о О 52,5 49,9 47,3 45,0 42,8 40,6 38,7 36,8 35,0 33,3

О2 = 2% 59,9 57,0 54,2 51,5 49,0 46,6 44,4 42,3 40,3 38,4

О 4 = 4% 67,7 64,5 61,4 58,5 55,7 53,1 50,6 48,3 46,0 43,9

06 = 6% 75,8 72,4 69,1 65,9 62,9 60,0 57,3 54,7 52,2 49,8

О8 = 8% 84,0 80,4 76,9 73,5 70,3 67,2 64,3 61,5 58,8 56,2

О10 = 10% 92,2 88,4 84,8 81,3 77,9 74,7 71,5 68,5 65,6 62,8

Данные таблицы 4 представляют собой семейство графиков в виде параллельных прямых со 100-процентной взаимной корреляцией. Но наиболее интересным свойством этого симметричного семейства прямых является возможность корректного вычисления всего этого ансамбля классических средних по Колмогорову (см. [10 и 11]). Были произведены вычисления следующих усредненных показателей значений Мг.

• математические ожидания: среднее - 60 процентов;

• средние квадратические величины: среднее - 59,1 процента;

• значения медианы: среднее - 58 процентов;

• общее среднее - 59 процентов.

Осредненные данные из таблицы 4 позволили вычислить среднюю величину Мг, составляющую не более 60 процентов от величины итоговой стоимости. Именно это значение принимается в настоящей статье для определения максимального вклада терминальной стоимости в итоговую стоимость объекта оценки в качестве критерия Мгкр = 60%.

Хотя расчет терминальной стоимости в работах других авторов наверняка производился на основе математической модели, аналогичной выражению (13), теоретическая значимость введения в настоящей статье мультипликатора Гордона заключается в установлении объективного свойства числовых рядов в этой модели и полученных результатах моделирования в виде статистически достоверного критерия величины Мг.

В таблице 5 показаны результаты моделирования итоговой стоимости, представляющие собой, во-первых, матрицу функций [О,] двух аргументов (первый - коэффициент дисконтирования КО; по строкам; второй - темп роста по столбцам), во-вторых - простую номограмму функций трех переменных КО,, Э.!и Мг, в которой цветом выделены значения Мг, позволяющие по заданным КО, и выбрать значение Мг, не превышающее величину установленного критерия Мг.

Общее количество элементов матрицы равно 60 и рассчитывается следующим образом:

О,, = КО, х е1, (14)

где КО, = 10 - количество строк матрицы [О,];

й]= 6 - количество столбцов матрицы [О,].

1 Таблица составлена на основе данных таблицы 2 из работы [1].

Таблица 5

Номограмма для выбора по заданным значениям Кб и Э величин Мг или рекомендованных параметров расчетов терминальной стоимости

Номер строки (І) Параметр, % Номер столбца (])

1 2 3 4 5 6

в і 0 2 4 6 8 10

1 Кб1 12 12 12 12 12 12

Мг1 47,1 62,6 68,3 74,8 82,1 90,4

2 Кб2 13 13 13 13 13 13

Мг2 44,5 59,1 64,5 70,7 77,6 85,6

3 К^ 14 14 14 14 14 14

МГз 42,0 55,6 60,8 66,6 73,3 80,9

4 Кб, 15 15 15 15 15 15

Мг4 39,7 52,3 57,2 62,8 69,0 76,2

5 Кб5 16 16 16 16 16 16

МГ5 37,5 49,2 53,8 59,0 64,9 71,7

6 Кбб 17 17 17 17 17 17

Мг6 35,5 46,2 50,5 55,4 61,0 67,4

7 Кб7 18 18 18 18 18 18

Мг7 33,6 43,3 47,4 52,0 57,2 63,2

8 Кб, 19 19 19 19 19 19

МГ8 31,8 40,6 44,4 48,7 53,6 59,2

9 Кб9 20 20 20 20 20 20

МГ9 30,1 38,1 41,6 45,6 50,2 55,4

10 Кб10 21 21 21 21 21 21

МГ10 28,6 35,6 39,0 42,7 46,9 51,8

Для успешного проведения оценки или инвестиционного проектирования, по мнению авторов, возможны следующие варианты ситуаций и, соответственно, практические рекомендации по использованию итоговых данных моделирования, представленных на номограмме (см. табл. 5):

• если в процессе оценки или инвестиционного проектирования значение Мг не соответствует критерию Мгкр = 60% (от величины итоговой МРУб), то варианты с превышением (Мг > Мгкр) следует отбросить и перейти в этой строке на ближайший вариант с меньшим значением Э;

• при Мг < Мгкр следует принять вариант, при котором Мг < Мгкр, с соответствующими заданными Кб, и Э, но не правее отмеченной цветом клетки номограммы в этой строке.

Если оценщик имеет веские причины не выполнять изложенные условия, закон не возбраняет их игнорировать и представить заказчику любые результаты оценки, которые

оценщик убежденно считает достоверными и соответствующими сущности оцениваемого бизнеса и поставленного задания на оценку.

Однако следует помнить, что при Мгкр = 60% 21 элемент матрицы [О- (или 35%) из таблицы 5 имеет значения Мг > Мгкр. Если снизить величину критерия до Мгкр = 50%, количество элементов, превышающих этот критерий, составило бы 38 из 60, или 63,8%!

Моделирование мультипликаторов терминальной стоимости

Как и для прогнозного периода, также введем понятия для новой пары мультипликаторов, используемых при расчетах терминальной стоимости:

• единичный мультипликатор дисконтирования (Мб2) - относительный прирост/падение величины ЫРУб2 на 1 процент изменения Кб;

• единичный мультипликатор темпов роста (МЭ2) - относительный прирост/падение величины ЫРУб2 на 1 процент изменения Э.

Расчет мультипликатора дисконтирования Мб2 проводится на основании следующего выражения:

ЫРУб0, 1 . - ЫРУб, „

Мб2 =-------^-------------— х 100%, (15)

2 ЫРУб2-

где МРУб2- - величина терминальной стоимости для /'-го значения коэффициента дисконтирования;

МРУб2(/+1 ^ - величина терминальной стоимости для (/ + 1)-го значения коэффициента дисконтирования.

Расчет мультипликатора темпов роста Мб2 производится на основании следующего выражения:

МРУЭ*,-,+1)- ЫРУв2„

Мв2 =------—------------ х 100%, (16)

2 ЫРУв^хАв v ’

где МРУЭц - величина терминальной стоимости для --го значения коэффициента темпов роста;

МРУЭ2/1 - + 1) - величина терминальной стоимости для (- + 1)-го значения коэффициента темпов роста;

АЭ = 2,0 - коэффициент компенсации шага табличной сетки данных темпов роста в 2,0 процента (см. табл. 5) для получения значения единичного мультипликатора с шагом в 1 процент прироста производства.

Для моделирования принят следующий диапазон данных:

• измерения величины МРУб2- и последующего вычисления на основании выражения

(15) значений мультипликаторов дисконтирования Мб2/ в пределах 12*21 процент с шагом 1 процент;

• измерения величины МРУ02- и последующего вычисления на основании выражения

(16) мультипликаторов темпов роста Мб2/ в пределах 0^10 процентов с компенсируемым шагом 1 процент.

В таблице 6 представлены результаты моделирования мультипликаторов Мб2- и Мй2/ в определенном выше диапазоне данных. В качестве исходных данных для моделирования используются модифицированные данные из таблицы 5. По всем группам из таблицы 6 /--х мультипликаторов дисконтирования Мб2 и мультипликаторов темпов роста МЭ2 вычислены их средние арифметическое значения ОМб, и (Жв2/ для каждой группы в целом без ограничений по Мг и той же группы с ограничениями по Мг.

Далее аналогичная процедура вычисления средних арифметических 0Мб2 и 0Мв2 проведена дляу-х групп мультипликаторов дисконтирования и і-х групп мультипликаторов темпа роста для данных, ограниченных значением мультипликатора Гордона. В итоге сформированы две пары массивов значений средних арифметических (см. табл. 6):

1) мультипликаторы Мб2 для всего массива данных, выделенные цветом и ограниченные по критерию мультипликатора Гордона;

2) мультипликаторы Мв2 для всего массива, ограниченные мультипликатором Гордона и выделенные цветом.

Для обеих пар массивов значений средних арифметических также вычислялись математические ожидания Мх и среднеквадратические отклонения о.

Таблица 6

Результаты моделирования мультипликаторов терминальной стоимости Мб2у и Мву

Номер строки (І) Параметр, % Номер столбца (]) 0Мв2і

1 2 3 4 5 6

в і 0 2 4 6 8 10 Массив в целом Ограничение (Мг)

Кбі 12 12 12 12 12 12

1 Мб21у 12,5 13,8 15,7 18,7 24,2 36,8 - -

Мв2іі 12,3 13,7 15,9 19,6 27,2 17,7 12,5

Кб2 13 13 13 13 13 13 - -

2 Ш22у 11,9 13,1 14,6 17,0 21,0 28,9 - -

Мв22 11,7 12,9 14,6 17,5 22,6 15,9 12,5

14 14 14 14 14 14 - -

3 11,4 12,4 13,7 15,6 18,7 24,1 - -

Мв2у3 11,2 12,2 13,6 15,8 19,6 14,5 11,9

Кб, 15 15 15 15 15 15 - -

4 Мб24у 11,0 11,8 13,0 14,6 16,9 20,9 - -

Мв2у4 10,8 11,6 12,8 14,6 17,4 13,4 11,9

Щ 16 16 16 16 16 16 - -

5 Мб25у 10,6 11,4 12,3 13,7 15,6 18,6 - -

Мв2у5 10,4 11,1 12,1 13,6 15,8 12,6 12,0

Кбб 17 17 17 17 17 17 - -

6 Мб26у 10,3 10,9 11,8 12,9 14,5 16,9 - -

Мв2у6 10,0 10,7 11,5 12,7 14,5 11,9 11,5

Кб7 18 18 18 18 18 18 - -

7 Мб27 9,9 10,5 11,3 12,2 13,6 15,5 - -

Мв2у7 9,7 10,3 11,0 12,1 13,5 11,3 11,5

8 Кб, 19 19 19 19 19 19 - -

Мб2Щ 9,7 10,2 10,8 11,7 12,8 14,4 - -

М^8 9,5 10,0 10,6 11,5 12,7 10,8 11,6

9 Кб9 20 20 20 20 20 20 - -

Мб29 9,4 9,9 10,5 11,2 12,2 13,5 - -

Мв29 9,2 9,7 10,2 11,0 12,0 10,4 11,6

10 Кб10 21 21 21 21 21 21 - -

Мб2Щ 9,1 9,6 10,1 10,8 11,6 12,8 - -

М^10 9,0 9,4 9,9 10,5 11,4 10,1 11,1

Среднее арифметическое ОМб2] столбца Мб2] в целом, % 10,6 11,4 12,4 13,8 16,1 20,2 Среднее арифметическое Мв2 / ОМв2 = 12,9% Среднее арифметическое Мв2 / ОМв2 = 9,76%

Среднее арифметическое для массива Мб2 в целом: ОМб2 = 14,1 %

Среднее арифметическое ОМбу столбца Мб2.с ограничениями Мг, % 10,6 11,1 11,4 12,1 12,5 13,6

Среднее арифметическое массива Мб2 с ограничениями по критерию Мг / ОМб2 = 11,9%

Моделирование погрешностей терминальной стоимости

Полученные в таблице 6 ряды данных Мб2] и Мв2( использованы для проведения моделирования случайных (несистематических) погрешностей терминальной стоимости без ограничений и с ограничениями по критерию мультипликатора Гордона Мгкр. Результаты моделирования случайных погрешностей терминальной стоимости с использованием выражений (9) и (10) представлены в таблице 7.

На основе данных таблицы 5 проведено моделирование систематических погрешностей, возникающих при расчете терминальной стоимости без ограничений на критерий мультипликатора Гордона Мгкр. Природ возникновения этой погрешности - превышение процентной величиной терминальной стоимости критерия Мгкр. Очевидно, что у величин терминальной стоимости, не превышающих этот критерий, погрешностей не возникает. Формирование рядов данных рассогласований АМг.. производится на основании следующего логико-расчетного выражения:

Если Мг..< Мгп, то АМг.. = 0; иначе АМг.. = Мг..- Мг . (17)

у Кр у у у Кр ' '

Результаты моделирования систематической погрешности с использованием выражений (9) и (10) представлены в таблице 8.

Моделирование погрешностей итоговой стоимости

Погрешности итоговой стоимости можно отнести к предельным погрешностям для данной процедуры моделирования. Они включают в себя:

• случайную суммарную погрешность прогнозного периода из таблицы 3;

Таблица 7

Результаты моделирования случайных погрешностей терминальной стоимости

Результаты моделирования погрешностей рядов Md21 и Мб21 без ограничений

Значение коэффициента корреляции И, % -99,96

Стандартное отклонение Эк621 ряда Мб2, % 15,469

Стандартное отклонение Эв21 ряда Мй2, % 6,480

Суммарная погрешность ЭХ21 без ограничений, % 10,058

Интервал распределения х по правилу 3Б1 без ограничений, % 30,173

Результаты моделирования погрешностей рядов Md2 2 и Мб2 2 с ограничениями по Мг * кр

Значение коэффициента корреляции И, % -89,47

Стандартное отклонение ВЫ22 ряда Мб2, % 13,006

Стандартное отклонение 5а1 ряда Мб2, % 6,656

Суммарная погрешность ЭГ22с ограничениями по Мгкр,% 7,653

Интервал распределения х по правилу 3Б1 с ограничениями по Мгкр, % 22,958

Таблица 8

Результаты моделирования систематической погрешности терминальной стоимости

Значение коэффициента корреляции И, % -31,0

Стандартное отклонение БМ23 ряда Мб2(, % 14,313

Стандартное отклонение Эв23 ряда Мй2, % 16,563

Суммарная погрешность ЭХ23без ограничений, % 18,227

• случайные суммарные погрешности расчета терминальной стоимости в постпрог-нозном периоде Б121 без ограничений по критерию Мгкр и Б122 с ограничениями по Мгкр из таблицы 7;

• систематическую погрешность Б123, возникающую при расчете терминальной стоимости без ограничений на критерий Мгкр из таблицы 8.

Очевидно, что простое суммирование случайных погрешностей дает завышенный по отношению к истинному значению результат. Ведь вероятность того, что все истинные значения суммируемых погрешностей имеют один знак и близки к предельным значениям, очень мала. Таким образом, чтобы получить результат более близкий к реальному, производят не арифметическое, а геометрическое сложение.

Иное дело систематическая погрешность, всегда увеличивающая сумму случайных погрешностей как минимум на регулярную среднюю величину. Вот почему при моделировании итоговых погрешностей АГит используется следующая смешанная формула геометрического и алгебраического суммирования:

А1ит А1сл + А1сист 7^1 +^2 + А1сМст , (18)

где Аал - случайные погрешности;

А1сист - систематические погрешности.

Так как результаты моделирования терминальной стоимости содержат два варианта -без ограничений и с ограничениями, то и итоговая погрешность рассчитывается в двух вариантах. В таблице 9 представлены результаты моделирования суммарной погрешности итоговой стоимости с использованием формулы (18).

Таблица 9

Результаты моделирования суммарных погрешностей итоговой стоимости

Результаты моделирования погрешностей без ограничений

Суммарная погрешность прогнозного периода Бл, % 2,163

Случайная суммарная погрешность терминальной стоимости БГ21, % 10,058

Систематическая погрешность терминальной стоимости БД3, % 18,227

Суммарная погрешность итоговой стоимости Б1 без ограничений, % 28,514

Результаты моделирования погрешностей с ограничениями по Мгкр

Суммарная погрешность прогнозного периода Бл, % 2,163

Случайная суммарная погрешность терминальной стоимости БГ22, % 7,653

Суммарная погрешность итоговой стоимости Б1 с ограничениями, % 7,653

Разница суммарных погрешностей итоговой стоимости АБГ % 20,562

Заключение

Введение в инструментарий моделирования параметров относительных величин денежных потоков - единичных мультипликаторов дисконтирования и темпов роста денежных потоков, позволило исследовать закономерности поведения двустадийной модели ДДП в прогнозном и в постпрогнозном периодах и наглядно представить процесс моделирования как денежных потоков, так и их возможных погрешностей.

Введение относительного показателя связи терминальной и итоговой стоимости -мультипликатора Гордона и критерия, ограничивающего его величину, позволило снизить возможные, в том числе и систематические, погрешности расчетов денежных потоков с использованием метода ДДП почти в четыре раза.

Авторы надеются, что приведенные в работе результаты исследования и практические рекомендации по ограничениям терминальной стоимости и расчетам погрешностей денежных потоков позволят оценщикам и инвестиционным проектировщикам повысить качество результатов своих работ по оценке и инвестиционному проектированию.

ЛИТЕРАТУРА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Карев В. П., Карев Д. В. Фазы бизнеса предприятия и оценка его стоимости // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2011. № 5 (116).

2. Мерсер З, Хармс Т. Интегрированная теория оценки бизнеса / под научной редакцией В. М. Рутгайзера. М. : Маросейка, 2008.

3. Карев В. П. Математическое моделирование бизнеса - оценка, инвестиционное проектирование, управление предприятием. М. : Маросейка, 2010.

4. Шлыков Г. П. Суммирование погрешностей : лекция. Серия : Метрология. Пенза : ПГУ, 2003. Вып. 3. URL: http://stup.ac.ru

5. Выборочное стандартное отклонение. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki

6. Тришин В. Н., Зимин В. С. Прогнозирование и анализ точности метода дисконтированных денежных потоков. Ретроспективное обозрение ранее выполненных отчетов об оценке // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2006. № 7.

7. Дойль П. Маркетинг, ориентированный на стоимость. СПб., 2001.

8. Матыцкий В. В. Определение, смысл и расчет продленной и текущей продленной стоимости предприятия (условие среднегодового потокообразования). URL: http://www. appraiser.ru (дата обращения: 2008 год).

9. Рябых Д. А. Оценка бизнеса и анализ эффективности проектов. URL: http://www. appraiser.ru (дата обращения: 2007 год).

10. Среднее Колмогорова. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki

11. Колмогоров А. Н. Математика и механика : избранные труды / отв. ред. С. М. Никольский, сост. В. М. Тихомиров. М. : Наука, 1985.

закона. Таким образом, учитывая реальное намерение сторон при передаче здания в уставной капитал ООО «Арен» прекратить договор аренды первоначального земельного участка в отношении соответствующей его части, необходимой для эксплуатации здания, переданного ООО «Арен», Управление не имело право требовать предоставления согласия ОАО «Пензхиммаш» на разделение первоначального земельного участка. Президиум ВАС РФ поддержал указанное решение и отменил постановление суда кассационной инстанции.

II. Соинвестор вправе требовать причитающуюся ему часть объекта инвестиций только в случае, если соответствующее имущество перешло в собственность основного инвестора, заключившего договор соинвестирования. Срок исковой давности по требованию о виндикации недвижимости начинает исчисляться с момента, когда истец узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а не с момента, когда ему стало известно о внесении в ЕГРП записи о праве другого лица (общество «СтройСети» против общества «Теплоэнергетическая компания СУ-53» и других. ВАС № 6271/11).

Между несколькими инвесторами (основными инвесторами) был заключен договор инвестирования, в соответствии с которым по итогам инвестиционной деятельности объект инвестиций (недвижимость) распределялся среди инвесторов. Один из инвесторов заключил с истцом договор соинвестирования, который предусматривал, что в результате исполнения этого договора истец-соинвестор получит определенную часть объекта инвестиций. По окончании инвестиционной деятельности часть недвижимости, причитающаяся основному инвестору, была продана ответчику, истец же ничего не получил. В связи с этим он обратился в суд с иском о признании права собственности и истребовании недвижимости из чужого незаконного владения.

Отменяя акты судов первой и кассационной инстанций, Высший Арбитражный Суд Российской Федерации (далее - ВАС РФ) указал, что соинвестор не имеет вещных прав на объект инвестиций. Ему принадлежит лишь обязательственное право требовать от основного инвестора, заключившего договор соинвестирования, предоставления соответствующей части объекта инвестиций. При этом указанное право прекращается, если обусловленная часть объекта инвестиций была продана другому лицу; в этой ситуации истец вправе требовать от основного инвестора возмещения убытков. Кроме того, ВАС РФ указал, что в случае заявления виндикационного требования в отношении объекта недвижимости, срок исковой давности начинает исчисляться с момента, когда лицо узнало или должно был узнать о нарушении своего права, а не с момента, когда ему стало известно о внесении в ЕГРП записи о праве другого лица.

* * *

Продолжение. Начало на с. 15

Окончание на с. 78