Моделирование отрывных течений на входе во всасывающие каналы с использованием метода дискретных вихрей в нестационарной постановке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аверкова О. А., канд. техн. наук, доц. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ НА ВХОДЕ ВО ВСАСЫВАЮЩИЕ КАНАЛЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПОСТАНОВКЕ*

[email protected]

Разрабатывается метод математического моделирования отрывных течений на входе во всасывающие каналы в многосвязных областях с разрезами. Программно-алгоритмичекская реализация метода позволила построить поле скоростей на входе во всасывающий канал с выступом. Произведены сравнения с опытными данными.

_Ключевые слова: отрывные течения, всасывающие каналы, метод дискретных вихрей._

Для исследования отрывных течений на входе во всасывающие каналы используются метод Н.Е. Жуковского [1-4], метод дискретных вихрей в нестационарной постановке [5-7], метод дискретных вихрей в стационарной постановке [8]. Актуальность исследования отрывных течений не вызывает сомнения, поскольку это необходимо для разработки эффективных аспираци-онных систем сниженной энергоемкости [9-14]. Целью данной работы является исследование ма-

тематической модели отрыва потока, построенной на основе метода дискретных вихрей в нестационарной постановке.

Расчетная область течения задачи, решаемой методом дискретных вихрей, изображена на рис.1. Геометрические размеры укрытия: АВ = 1,2м; СВ = 0,5м; СБ = 0,3м; БЕ = 0,1м; Е¥ = 0,1м; ¥К = 0,4м; КЬ = 0,1м. Скорость в отсосе 0,52 м/с.

Рис. 1. К постановке задачи

Математическая постановка задачи состоит в решении уравнения Лапласа для потенциальной функции ф в каждый расчетный момент времени: Дф = 0, при заданных значениях граничной нормальной составляющей скорости дф

дн

= (х) — ип , где х - точка границы Б.

Функция ип выражает влияние свободных вихрей, сходящих в поток с острой кромки Ь в каждый расчетный момент времени.

Границу области дискретизируем набором присоединенных вихрей и контрольных (расчетных точек). Расстояние между присоединенными вихрями 0,01м. На изломах и концах линий должны быть расположены вихри. По середине, между двумя присоединенными вихрями находятся кон-

трольные точки. Тогда, если присоединенных вихрей N то контрольных точек N-1.

Рассмотрим начальный момент времени t = +0, когда включается всасывающее отверстие. В этот момент времени в области содержатся только присоединенные вихри. Влияние всех

этих вихрей на контрольную точку Хр вдоль направления нормали определяется из выражения:

N

V,

,(хр)в( хр ) г е),

(1)

к=1

где

о( хр )=

(Х1 — £>2 — (Х2 — е)П

24 (х 1 — £)2 + (х 2 — £)2 ]' (хх,х2) - координаты точки хр; (£,£2) -

координаты присоединенного вихря с циркуляци-

ей Г ), расположенного в точке О;1 ; {//, ,//2} -

координаты орта вектора нормали Я к границе

области; \'л( л"/;) - скорость в точке хр вдоль

направления Я, которая известна при постановке задачи.

Изменяя р от 1 до N-1 в выражении (1) получим систему N-1 уравнений с N неизвестными

циркуляциями Г ) , где к = 1, N . Дополним

рассматриваемую систему уравнением, являющимся дискретным аналогом условия Томпсона -неизменности циркуляции по жидкому контуру, охватывающему профиль и след (сумма циркуля-ций присоединенных вихрей, расположенных на данной линии и свободных вихрей, сходящих с нее, равна нулю) [15]. Тогда получим замкнутую систему линейных алгебраических уравнений:

' N _

к=1

После определения неизвестных циркуляций скорость в любой точке области вдоль любого заданного направления определяется из выражения (1), где вместо Хр подставляется рассматриваемая точка.

В каждый момент времени происходит отрыв свободных вихрей с острой кромки Ь. Строго говоря вихрь лежащий на этой кромке уже являлся свободным, поскольку по доказанной в работе [15] гипотезе Чаплыгина-Жуковского-Кутта присоединенный вихревой слой на профиле, с которой сходит пелена свободных вихрей обращается в нуль. Сход свободных вихрей осуществляется по направлению скорости потока. Циркуляции свободных вихрей с течением времени не изменяются.

С учетом сошедших свободных вихрей система уравнений для определения неизвестных циркуляций присоединенных вихрей в момент времени t = т • Дt имеет вид:

^в(хр,еже) =^(*р); p=-1,

к=1

N

Е Г & ) = 0.

N т _

ЕО(хр, е)Г(е) + ЕG(*р, )у(<;Т) = (*р); p = 1, N -1,

к=1 т=1

N т

Е г (е)+еУ(?т )=о,

„ к=1 т=1

где у(^Т) - циркуляция свободного вихря сошедшего с острой кромки в момент времени Т ,

расположенного в точке ^ .

Скорость в любой заданной точке определяется из выражения:

N т

V (Х) = Е О(Х,£к )г(¿к ) + Е G(х,дТ)у(дТ).

к=1 т=1

В каждый расчетный момент времени определяются новые положения свободных вихрей по формулам:

х' = Х + УхХ, у = у + ,

где составляющие скорости, вычисляе-

мые по предыдущей формуле Я = {1,0} и Я = {0,1} соответственно. Шаг по времени в

расчетах Дt = 0,01с.

Если свободный вихрь приближался к непроницаемой границе на расстояние меньшее X (расстояние между соседними присоединенным вихрем и контрольной точкой), то он отодвигался от нее по нормали на расстояние X. Если же свободный вихрь приближался к всасывающему отверстию на тоже расстояние, то вихрь удалялся из рассмотрения.

В случае приближения к вихрю на расстояние х < X величина скорости им вызываемой определялась из формулы:

г( х) = хг / X, где V - скорость, вызываемая вихрем на расстоянии X.

По разработанной компьютерной программе, рассчитано поле скоростей (рис. 2), где видно удовлетворительное согласие расчетов и натурного эксперимента.

Рис. 2. Профили скоростей во всасывающей щели

Таким образом, с использованием идеологии метода дискретных вихрей в нестационар-

ной постановке построен метод математического моделирования нестационарных вихревых течений на входе во всасывающие каналы, в спектре действия которых могут находиться разрезы (тонкие тела).

*Исследования выполнены при поддержке Совета по грантам Президента РФ (код проекта НШ-588.2012.8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Посохин, В.Н. К расчету течения вблизи щелевидного отсоса-раструба/ В.Н. Посохин, Н.Б. Салимов, К.И. Логачев, А.М. Живов // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2002. - № 10. - С. 81-84.

2. Логачев, И.Н. Моделирование отрывных течений вблизи всасывающей щели/ И.Н. Логачев, К.И. Логачев, В.Ю. Зоря, О.А. Аверкова // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2010. - Т. 11. - № 1. - С. 43-52.

3. Логачев, И.Н. Математическое моделирование отрывных течений при входе в экранированный плоский канал/ И.Н. Логачев, К.И. Логачев, О.А. Аверкова // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2010. - Т. 11. - № 1. - С. 6877.

4. Логачев, И.Н. Математическое моделирование струйного течения воздуха при входе в плоский канал с козырьком и непроницаемым экраном/ И.Н. Логачев, К.И. Логачев, О.А. Аверкова // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2010. - Т. 11. - № 1. - С. 160-167.

5. Логачев, К.И. Расчет течений на входе в отсосы-раструбы методом дискретных вихрей/ К.И. Логачев, А.И. Пузанок, В.Н. Посохин // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. - 2004. - № 7-8. - С. 61-69.

6. Логачев, К.И. Закономерности изменения дисперсного состава пылевых аэрозолей в аспирационном укрытии/ К.И. Логачев, О.А. Аверкова, В.Ю. Зоря // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2007. - № 9. -С. 46-52.

7. Аверкова, О.А. Особенности поведения аэрозольных частиц в аспирационном укрытии стандартной конструкции/ О.А. Аверкова, В.Ю. Зоря, К.И. Логачев // Химическое и нефтегазовое машиностроение. - 2007. - № 11. - С. 34-36.

8. Логачев, К.И. Расчет течения вблизи круглого всасывающего патрубка/ К.И. Логачев, В.Н. Посохин// Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. - 2004. - № 1. - С. 29-32.

9. Логачев, И.Н. Характеристика пылевых выбросов при перегрузках сыпучих материалов / И.Н. Логачев, К.И. Логачев, О.А. Аверкова // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. -2009. - № 3. - С. 63-67.

10. Логачев, К.И. Численное моделирование пылевоздушных течений вблизи вращающегося цилиндра-отсоса / К.И. Логачев, А.И. Пузанок // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2005. - № 9. - С. 63-70.

11. Логачев, К.И. Компьютерное моделирование пылегазовых потоков в пульсирующих аэродинамических полях/ К.И. Логачев, А.И. Пузанок, В.Ю. Зоря // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2006. - Т. 7. - № 1. - С. 195-201.

12. Логачев, К.И. Численное исследование поведения пылевой аэрозоли в аспирационном укрытии/ К.И. Логачев, И.Н. Логачев, А.И. Пузанок // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2006. - № 5. - С. 65-71.

13. Логачев, И.Н. О прогнозировании дисперсного состава и концентрации грубодисперс-ных аэрозолей в местных отсосах систем аспирации/ И.Н. Логачев, К.И. Логачев // Известия высших учебных заведений. Строительство. -2002. - № 9. - С. 85-90.

14. Аверкова, О.А. К вопросу о моделировании пылегазовых потоков в аспирационном укрытии/ О.А. Аверкова, В.Ю. Зоря, И.Н. Логачев, К.И. Логачев // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2009. - Т. 10. - № 1. - С. 371-376.

15. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент/ И.К. Лифанов. - М.:Янус, 1995. - 520с.