CC BY
24УДК: 51.77 MSC2010: 00A72
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ
© И. В. Зайцева
Ставропольский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ аграрный УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
пер. Зоотехнический, 12, Ставрополь, 355017, Российская Федерация
Санкт-Петербургский государственный университет факультет прикладной математики - процессов управления Университетская наб., д. 7-9, Санкт-Петербург, 199034, Российская Федерация e-mail: irina.zaitseva.stv@yandex.ru
Modeling of the Optimal Allocation of Labor Resources.
Zaitseva I. V.
Abstract. The article presents models of optimal distribution of labor resources. The developed game-theoretic model of a static optimal-purpose problem is described as a game in a normal form. The game is given a lot of workers and a lot of businesses, and the situation is a substitution. Each substitution is one of the possible assignments of employees to enterprises. To select an employee or an enterprise, an evaluation criterion is introduced.
The number of evaluation criteria is called the utility for the employee from the appointment to the enterprise (the degree of satisfaction of the player's interests), and for the enterprise — the utility for the enterprise from the appointment of an employee (the degree of satisfaction of the player's interests). From the numbers of the evaluation criterion, the utility matrix is written and the matrix of players ' winnings in the game is built. According to the matrix, a compromise set is built in the game and a compromise win is found, which is a guaranteed win for the least satisfied player. An algorithm for constructing a compromise set is presented. For the algorithm, its time estimate and complexity class are found.
This paper considers game-theoretic model of dynamic optimal assignment in the example of the functioning of the labour market. The deterministic model of the optimal distribution of workers by enterprises is described, taking into account the changing conditions over time. At each moment of time, the States of the employee and the enterprise are determined. Moments of time are moments of stationary States of the system. In each stationary state is determined by the game in normal form. The game is a compromise situation, the optimal policy of the labor exchange, and also calculates the income of the system from the appointments as the sum of the functions of the winnings of all players. The functioning of the labor market as a system for some periods of time is presented in the form of a multi-step game on the tree.
In a one-step game based on the principle of optimal compromise set there is a compromise situation and the corresponding compromise vector of control. On the tree of a multi-step game there is a compromise income of the system in a few steps, when the sequence of games was realized, and a compromise path corresponding to the sequence of compromise control vectors.
The compromise income of the system and the sequence of compromise controls are found by means of recurrent relations of dynamic programming. Thus, it is possible to specify the optimal behavior of all participants in the labor market at any given time. The article presents the solution of the static and dynamic problem of optimal distribution of labor resources based on principle of optimal compromise set.
Keywords: compromise set, modeling, optimality principle, distribution, labor resources.
Введение
В первой части работы рассмотрена теоретико-игровая модель статической задачи оптимального назначения. Заданы множество работников Б = {в1,...,вт} и множество предприятий Н = {Н1, ...,Нп}, и описана игра в нормальной форме Г = {1,Х, {Нг}™+п), в которой игроками являются работники и предприятия, а ситуацией является подстановка рк. Каждая подстановка есть одно из возможных назначений работников на предприятия из множества Р = {рк, к = 1, 2, ...,п!}.
Каждый работник вг оценивает для себя работу на том или ином предприятии Н^. Критерий оценки может включать, например, заработную плату, соответствие полученной специальности, количество времени, необходимого на дорогу от дома до работы, предоставляемые льготы и т.д. Учтя все преимущества и недостатки, работник выносит предприятию свою оценку € X + , где X + — множество положительных целых чисел (г = 1, 2, ...,т, ] = 1, 2, ...,п). Число назовем полезностью для работника вг от назначения на предприятие Н^ и будем понимать его как степень удовлетворенности интересов игрока вг. Аналогично, предприятие Н^ оценивает каждого работника вг некоторым числом вн, г € X +. На эту оценку влияет совокупность таких факторов, как профессиональная квалификация работника, назначаемая заработная плата, умение работать в коллективе, творческая инициатива и т. д. Число вн, г назовем полезностью для предприятия Н^ от назначения на него работника вг, и будем понимать под ним степень удовлетворенности интересов игрока Н^.
Оценки обеих сторон записаны в матрицы полезности Лтхп = и
Впхт = (внг), по которым построена матрица выигрышей игроков Шп\х(т+п) в игре Г. Строки матрицы выигрышей Шп \х(т+п) соответствуют ситуациям рк из множества ситуаций X = Р = {рк, к =1, 2, ...,п!}, столбцы соответствуют игрокам из множества I. Элементом матрицы Шп \х(т+п) является функция выигрыша игрока
в определенной ситуаций. По матрице Шп!Х(т+п) построено компромиссное множество Сн = {ръ € X} в игре Г и найден компромиссный выигрыш, который является гарантированным выигрышем наименее удовлетворенного игрока. Алгоритм построения компромиссного множества Сн описан по шагам. Найдена его временная оценка и класс сложности. Во второй части работы на примере функционирования рынка труда рассмотрена теоретико-игровая модель динамической задачи оптимального назначения. Описана детерминированная модель оптимального распределения работников Ы* = {ш1, т2,..., т\м4\} по предприятиям Ь* = {/1,/2,..., 1\ьг\} с учетом изменяющихся условий за Т периодов времени. В каждый момент времени £ = 0,1, 2,...,Т определены множества социально-экономических состояний работника Аьтк = {аьтк | аьтк = (а,т, а2тк,..., атк)} и финансово-экономических состояний предприятия Б, = {Ъ\Л | Ъ\Л = {ЦЛ ,ЩЛ ,...,Щ} (к =1, 2,..., |Ы*| , < =1, 2,..., |^|). Состояние работника тк описывает вектор параметров аг, компоненты которого оценивают, например, его квалификацию, доход, семейное положение, жилищные условия и т. д. Состояние предприятия описывает вектор параметров Ъ* с компонентами, соответствующими, например, оценке его основных фондов, размерам производства, качеству продукции, прибыли, численности работников и т. д. Векторы состояний работников и предприятий задают вектор состояния рынка труда, или системы, = (усО'т1 ,агт2,...,а1'т^г],, Ъ^, Ъ*2, ...,Ъ* ^ € Б* в момент времени где Б* — множество состояний системы в момент времени п — номер состояния.
Моменты времени £ являются моментами стационарных состояний системы. В каждом стационарном состоянии БП определена игра в нормальной форме
Сьп = {Ктк }М1 , {К* (аналогичная той, которая описана в ста-
тической задаче оптимального назначения в первой части работы). В игре Огп найдена компромиссная ситуация рп € , оптимальная политика биржи труда € Qt, а также вычислен доход системы от назначений V ,рп) как сумма функций выигрышей всех игроков. Переход системы из состояния БПп в состояние Б*+1 € Бпроисходит под действием общего вектора управлений
Щ+1 = (иа+ ,...,и«т+1 ,...,иат1 „ ,иЪ]+1 ,...,иЬ^+1 ,...,иб!+0 € где — множе-
' у т1 тк т\М4\ г1 1\Щ/
ство общих векторов управления в момент времени Каждая компонента векторов
иа4+1 = иа1 ,иа2 ,...,иати и иьт = и^ ,ия ,...,и«< I управляет соответствующим
атк \ тк тк тк / Ь1Л \ ^
параметр°м векторов состояний атк = «,атк ,...,атк ои Ъ1 = №л2, ,...,ъг, о, то
есть задает вектор состояния работника ат1 и вектор состояния предприятия Ъ^1 в следующий момент времени £ + 1, а значит и новое состояние системы Б!+1 € Б*+1.
Под действием общих векторов управления из множества Цг+1 система переходит из состояния Б^ € Бt во множество состояний Б^1.
Функционирование системы в течение Т периодов времени представлено в виде многошаговой игры на дереве О. Вершины дерева соответствуют состояниям системы в определенный момент времени, дуги дерева соответствуют общим векторам управления. В периоды времени (¿,£ + 1) система находится в переходных состояниях. В многошаговой игре О переход системы из вершины Б| за один шаг описывает одношаговая игра Г|. Стратегиями игроков тк и являются их общие векторы управления паь+1 € Ц^1 и пьь+1Ц^1, которые составляют общий вектор стратегий,
или общий вектор управления Ц^1, определяющий ситуацию Б^+1 € Б^1 в игре , Б t+1
— множество ситуаций в игре . Функции выигрыша игроков в игре заданы на множестве ситуаций Б^1 с помощью матриц полезности Л^ Л^1, В^ В^1. Доход системы от перехода К18181+1 (Ц+1) из состояния Б| в состояние Б^+1 за один шаг в общем случае вычисляется как разность доходов системы от назначений V (Бд+1, рх) и V Б ,рх) в соответствующих состояниях. В одношаговой игре на основе принципа оптимальности компромиссного множества найдена компромиссная ситуацию БХ+1 € Б^1 и соответствующий ей компромиссный вектор управления Ц+1 На дереве многошаговой игры О найдем компромиссный доход системы за Т шагов !т (Г0, Г,..., Г£,..., Г^-1), когда реализовалась последовательность игр Г0, Г^,..., Г-1, ГГ,..., Г^-1, и компромиссный путь Ц = (Ц1, Ц2,..., ит), соответствующий последовательности компромиссных векторов управления {Ц;}^1. Компромиссный доход системы Ст и последовательность компромиссных управлений {ЦХ}^1 найдены с помощью рекуррентных соотношений динамического программирования.
1. Теоретико-игровая модель оптимального распределения
ресурсов
Рассмотрим множество работников S = {si,...,sm}, желающих устроиться на работу, и множество предприятий H = {h1, ...,hn}, которые предлагают рабочие места. Предположим, что каждое предприятие hj имеет одну вакантную должность, на которую оно желает принять работника, и работник si может быть принят только на одно предприятие. Требуется произвести назначение работников оптимальным образом.
В качестве множества H можно рассмотреть предприятия, нуждающиеся в работниках, а под S понимать множество типов работников.
на работы можно представить подстановкой рк вида:
где первая
Будем считать, что каждое предприятие из множества Н имеет работников только одного типа, и каждый работник из множества Б, в свою очередь, может найти работу только на одном предприятии. В качестве множества Б можно рассмотреть также множество типов работников, а под Н понимать регионы, в которых можно найти для них работу. Решением этой задачи является выбор работника для каждого предприятия оптимальным образом.
Рассмотрим игру в нормальной форме Г = {1,Х, {Н^}™^), где I = {1, 2, 3,...,т + п}-множество игроков, X — множество всех ситуаций в игре, Нг : X ^ К1 — функция выигрыша игрока г. Формально назначение работников
1 2 ... т Нк кг ... ки
строка неизменна и соответствует номерам работников из Б, а вторая — игрокам из Н. Рассмотрим случай, когда т = п. Количество таких подстановок |Р| = п!. Ситуацией в игре будем считать подстановку. Таким образом |Х| = |Р| = п!.
Пусть каждый игрок оценивает свое назначение некоторым положительным числом, которое назовем полезностью для данного игрока от полученного назначения. Будем считать, что полезность тем больше, чем больше игрок удовлетворен полученным назначением. Таким образом, полезность показывает степень удовлетворенности интересов игрока.
Запишем полезности для игроков из множеств Б и Н в матрицы Л и В, которые назовем матрицами полезности.
Матрицы Лтхп = (аШк) и В„хт = (внкг) (I = 1,...,т,к = 1,...п) (индекс I соответствует номерам игроков из множества Б, индекс к соответствует номерам игроков из множества Н) имеют вид:
(
А
«1^1 «2^1
а1Н2 а2Ь,2
а1Ьп
а2кп
\
В
( Рн,1
вЬ,21
2 2
[вЬ,1т в]%2т
\
\ атН1 атН2 ... атНп ) \ вНп1 вНп2 ... вНпт )
Функции выигрыша игроков зададим на множестве подстановок Р следующим образом:
Н1(рк) = ацы , Н2(рк) = а2Н1, . . . , Нт(рк) = ЫтК ;
Нт+1 (рк) = вй!1, Нт+2(рк) = внг2, . . . , Нт+п(рк) = внпт, к =1, 2, ..., п!.
Сформируем матрицу выигрышей Шп !Х(т+п) (строки соответствуют подстановкам, образующим множество ситуаций X, а столбцы — номерам игроков из множества I):
( Н (Р1) Я2(р1) ... Нт+п (Р1) \
W
Hi(pfc) H2(pk )
Hm+ra(pfc )
V Н1(рп!) Н2(р п!) ... Нт+п(рп!) /
В качестве решения задачи предлагается компромиссное множество. Ниже приведем определение компромиссного множества.
Определение 1. Компромиссное множество Сн определяется следующим образом: Сн = {ж € X : шах(Ыг - Нг(ж)) < шах(Ыг - Нг(ж')),Уж' € х}, где Ыг = шахНг(ж).
I г г J х€Х
Определение 2. Будем говорить, что алгоритм принадлежит классу сложности О (/ (п)), если время его работы Т < 9 ■ / (п), где 9 — константа, зависящая от скорости вычисления ЭВМ. В этом случае время Т называют временной сложностью алгоритма.
В наших обозначениях |11 = т + п, |Х| = п!, Жп!Х(т+п). Представим алгоритм, который из состоит из 4-х шагов [3]:
1 шаг. Вычислим идеальный вектор Ы = (Ы1,..., Ыт+п), где Ыг = шахНг(х).
х€Х
(Т1 < 9 ■ п!(т + п)).
2 шаг. Для каждой ситуации х € X и найдем отклонение функции выигрыша ¿-го игрока Нг(ж) от компоненты идеального вектора Ыг, то есть для У х € X и вычислим Ыг — Нг(ж). Так делаем для всех игроков из множества I.
(Т2 < 9 ■ (т + п)п!).
3 шаг. Для каждой ситуации ж € X найдем максимальное отклонение разности Ыг — Нг(ж) по множеству игроков I, то есть вычислим шах(Ыг — Нг(ж)).
(Тз < 9 ■ (т + п)п!).
4 шаг. На множестве ситуаций X найдем такую точку ж*, которая доставляет минимум выражению шах(Ыг — Нг(ж)), то есть найдем ситуацию ж*:
штшах(Ыг — Нг(ж)) = Ы- — Н-(ж*).
(Т4 < 9 ■ п!).
Тогда время работы алгоритма построения компромиссного множества оценивается как Т < 9 ■ п!(т + п + 1), то есть алгоритм принадлежит классу 0(п!(т + п + 1)).
Замечание 1. В случае т > п (т < п) следует ввести т — п (п — т) фиктивных игроков из Н (Б) и положить для них функции выигрыша равными нулю. Далее применить описанный алгоритм.
2. Теоретико-игровая модель оптимального распределения трудовых ресурсов с учетом изменяющихся условий
Рассмотрим функционирование рынка труда в течение нескольких периодов времени. Работники, предприятия и биржа труда являются его активными участниками. Работники подают сведения о своих профессиональных квалификациях и предполагаемой работе на биржу труда. Предприятия, испытывая необходимость в различных работниках, также подают заявки на биржу. Биржа труда, изучив спрос на работников того или иного профиля с учетом предложения со стороны работников, выбирает политику по распределению работников по предприятиям. Таким образом удовлетворяются запросы обеих сторон [5].
Предположим, что работник в любой момент времени может находиться в одном из конечного числа социально-экономических состояний. Состояние работника описывает вектор параметров, компоненты которого оценивают, например, его квалификацию, образование, доход и т.д. Каждое предприятие, в свою очередь, может находиться в одном из конечного числа финансово-экономических состояний, определяемых вектором параметров с компонентами, соответствующими, например, оценке его основных фондов, размеров производства, прибыли, численности работников и т. д. Векторы состояний работников и предприятий задают вектор состояния рынка (или системы) труда в каждый момент времени.
Пусть каждый работник, находясь в определенном социально-экономическом состоянии, оценивает для себя работу на том или ином предприятии. Критерий оценки может включать, например, заработную плату, соответствие полученной специальности, количество времени, необходимого на дорогу от дома до работы, предоставляемые льготы и т. д. Учтя все преимущества и недостатки, работник выносит предприятию свою оценку. Аналогично предприятие, находясь в определенном финансово-экономическом состоянии, дает оценку каждому работнику, на которую влияет совокупность таких факторов как профессиональная квалификация работника, назначаемая заработная плата, умение работать в коллективе и т. д. Оценки обеих сторон задают их матрицы полезности, в зависимости от которых биржа труда в каждом состоянии рынка труда выбирает свою политику [6].
Будем считать, что после распределения работников по предприятиям, то есть после проведения биржей труда определенной политики, рынок труда имеет некоторый доход. Назовем его доходом от назначений и будем понимать под ним доход биржи труда от проведённой политики. Доход от назначений может вычисляться, например, как сумма доходов работников и предприятий от полученных назначений, которые, в свою очередь, определяются по их матрицам полезности. Можно приписать доходам работников и предприятий различные весовые коэффициенты и вычислить доход от назначений как сумму этих доходов, взятых с весовыми коэффициентами.
Пусть в начальный момент времени задано состояние рынка труда, определено множество политик биржи труда, а также матрицы полезности работников и предприятий и их доходы от возможных назначений. Решение статической задачи о назначениях дает оптимальную политику биржи и соответствующие назначения работников на предприятия. В качестве принципа оптимальности можно выбрать, например, максимизацию суммарного дохода от назначений или принцип компромиссного множества [7].
Известно, что под влиянием изменений в экономике конъюнктура рынка труда может измениться. В следующий момент времени в зависимости от решения, принятого на предыдущем этапе, и, возможно, от иных причин может измениться множество предприятий, имеющих потребность в работниках, множество работников, нуждающихся в работе, а также множество их состояний. Могут измениться и критерии оценки обеих сторон и, соответственно, их матрицы полезности. Следовательно, возникает новая ситуация на рынке труда, в которой бирже труда необходимо определить оптимальную политику и в соответствии с ней произвести назначения, то есть необходимо решить новую задачу об оптимальных назначениях. Пусть для определенности имеется конечное множество таких ситуаций, причем в каждой из них может быть реализован любой из двух принципов оптимальности: принцип максимизации суммарного дохода от назначений или принцип компромиссного множества.
Те моменты времени, когда ситуация на рынке труда определена и оптимальное решение дает статическая задача о назначениях, будем называть моментами стационарных состояний рынка труда, или системы. Рассмотрим периоды времени, когда происходит процесс изменения конъюнктуры рынка. Будем называть их переходными периодами рынка труда. Переход рынка труда из одного состояния в другое осуществляется под действием общего вектора управления. Его компонентами являются векторы управлений из множества векторов управлений работников и предприятий.
Каждая компонента векторов управлений работника и предприятия изменяет соответствующий параметр их векторов состояний, то есть управляет этими параметрами. Например, работник может повысить свою квалификацию, увеличить или уменьшить свой доход, изменить семейное положение и т. д. Предприятие может изменить свои основные фонды, размеры производства, повысить качество выпускаемой продукции, увеличить прибыль, сократить или увеличить число работников и т.д.
Будем считать, что рынок труда от перехода из одного состояния в другое под действием общего вектора управления имеем доход, который назовем доходом от перехода за один шаг. Доход от перехода за один шаг может вычисляться как сумма доходов от перехода работников и предприятий, взятых с различными весовыми коэффициентами, а может быть найден как разность доходов от назначений рынка труда в соответствующих состояниях. Необходимо найти оптимальный вектор управления и соответствующий доход от перехода рынка труда из одного состояния в другое на основе известных принципов оптимальности.
Пусть работники и предприятия могут изменять параметры своих векторов состояний некоторое конечное число раз. Значит множество общих векторов управления конечно и конечно число возможных состояний рынка труда. Таким образом, возникает многошаговая модель функционирования рынка труда. Ее удобно представить на конечном связном графе (дереве). Вершины дерева соответствуют состояниям рынка труда в определенный момент времени. Дуги дерева соответствуют общим векторам управления, под действием которых осуществляется переход рынка труда из одного состояния в другое. В каждой вершине необходимо решить статическую задачу оптимального назначения и определить соответствующий доход системы, и, кроме того, найти оптимальный путь на дереве, соответствующий последовательности оптимальных векторов управления и доход от перехода рынка труда из одного состояния в другое за общее число шагов.
В качестве принципа оптимальности выберем принцип компромиссного множества, и решим задачу поиска компромиссного дохода от функционирования системы за Т шагов и соответствующего компромиссного пути методом динамического программирования [8].
Перейдем к решению задачи. Считаем, что переход работников и предприятий в новые состояния детерминирован, то есть они переходят в новые состояния с вероятностью, равной единице. Процесс распределения работников по предприятиям в каждый момент времени осуществляет биржа труда [9]. Построим игры в моменты стационарных состояний системы. Пусть распределение работников по предприятиям происходит в течение Ь моментов времени, где Ь = 0,1,....,Т — 1 (Т —
число периодов распределения). В каждый момент времени £ множество работников, состоящих на бирже труда, обозначим через Ы* = {т^, т2,..., т|М1|}, множество предприятий, нуждающихся в работниках, обозначим через = |/1, /2,..., /|£1|}
и определим игру в нормальной форме С* = {К^ }[М=1| , {К*, где
= {те1,..., т|м1|, ¿1,..., } — множество игроков, X* — множество ситуаций в игре, : X* ^ Д1 — функция выигрыша игрока тк, К/ : X* ^ Д1 — функция выигрыша игрока /^ (к = 1, 2,..., |Ы*| , / = 1, 2,..., |Ь*|) [10]. Назначение работников б й / 12 ... |Ы*| \
на работы можно представить подстановкой р^ вида: , где пер-
у ^ ¿е ... у
вая строка неизменна и соответствует номерам работников Ыа вторая — игрокам из Ь*. Ситуацией в игре будем считать подстановку, X* = Р* = {р^| й = 1, 2,..., |Ь*|} — множество ситуаций (подстановок), IX= (|Ь*|)!. Каждой ситуации р^ однозначно соответствует политика биржи труда ^ из множества ( = ,д2, ...,д|^1| ^.
В каждый момент времени £ игроки т^ и /^ находятся в некоторых состояниях, определяемых векторами параметров а^ и : а^ = (а^, атк ,...,атк),
= №-.Л"), где = {ак1 ак = (<,ак,-..,а^к), к = 1,2,..к|Ы*|} —
множество векторов состояний игрока т^ в момент времени
= 1 = №'...,Ь0 = 1, 2,..., ^Ч} — множество векторов состояний игрока /^ в момент времени Вектор состояния системы задается векторами
состояний всех игроков: = (а^х,а^2,...,а^|М1|Д,612,...,Ь*|ь1^, где П — номер
состояния в момент времени В каждый момент времени £ определим матрицы полезности игроков А* и В* следующим образом. Пусть количество векторов состояний у каждого игрока т^ и /^ одинаково. Занумеруем векторы состояний а^ игрока т^ индексом г, г = 1, 2,..., |А*|, векторы состояний игрока /^ индексом ^, = 1, 2,..., |ВТогда матрицы А* и В* имеют вид:
( aimi (Pi) ... «lm|Ml| (pi) ... «imi (p|Li| |) ... «lm|Mt| (P|L4| |) ^
A*
«imi (Pi)
aim|Mt| (pi)
|M4| '
«¿mi (P|L4| l)
aim|Mt| (P|L'| l)
\ а|А1|тх (Р1) а|А1|т|М1| (Р1) а|А1|тх (Р|Ь1|!) а|А1|т|М1| (Р|Ь1|!) /
где номера строк соответствуют номерам состояний игрока т^, г = 1, 2,..., |А*|. Например, а1т1 (р1) — оценка игроком т1 (работником) состоянии 1 того игрока (предприятия), который ему соответствует в ситуации р1 (при политике ^1). Матрица В*
имеет вид:
( Ри1 (Р1> ... Ри |ьг| (Р1> ... аИ! (Р|V11)
Б*
(Р1ЬЧ !) ^
¡3]11 (Р1) ... (Р1) вА1 (Рт!) ... (Р|^|!)
\ (Р1) в1ВЦ1\щ (Р1) в|В'|11 (Р^|!) в1ВЦ1\щ (Р|Ь'|!) /
где номера строк соответствуют номерам состояний игрока ¡4, ] = 1,2,..., |В*| . Например, (Р1) — игроком ¡1 (предприятием) в состоянии 1 того игрока (работника), который ему соответствует в ситуации р1 (при политике Функции выигрыша игроков определим на множестве ситуаций X* для каждого состояния системы БП Е Б*. Пусть состояние системы БП описывает век-
тор Б^ = уаЬт1, аьт2,..., ^ ,Ъ*1 ,Ъ\2, ...,Ъ* ^. Его компонентами являются векторы состояний агтк Е А и Ъ\ Е В*, которые занумерованы индексами г и ] соответственно. Тогда функции выигрыша игроков в ситуации р1 зададим следующим образом.
Для игрока т1 определяем, каким индексом г занумерована компонента а1т1 вектора , и выбираем соответствующий элемент агтг (р1) в первом столбце матрицы полезности А*. Для остальных игроков под номерами т2, т3,..., т|мч определяем, какими индексами занумерованы компоненты агт2, а*тз,..., агт^м11, и выбираем элементы с соответствующими номерами во 2-ом, 3-ем,... ,|М*|-ом столбцах матрицы А*.
Для игрока ¡1 определяем каким индексом ] занумерована компонента Ъ* вектора Б^ и выбираем соответствующий элемент (р1) в первом столбце матрицы полезности Б*. Для остальных игроков ¡2, ¡з, ...,¡|Lt| определяем какими индексами занумерованы компоненты Ъ^ ,Ъ*д,... , Ц,^^ и выбираем элементы с соответствующими номерами во 2-ом, 3-ем,... ,|Ь*|-ом столбцах матрицы Б*.
Аналогичным образом задаются функции выигрыша игроков в ситуациях р2,р3, ...,р^\!. Запишем функции выигрыша игроков в матрицу выигрышей (строки соответствуют ситуациям р1, р2 ,р3, игрокам из множества I*):
,Р|Lt|! из множества ситуаций X*, столбцы —
(
т
к
т1
(Р1)
ы
ктт (Р1) ч (Р1)
ы к ы
К (Р1) \
Чщ
К1\Щ (Р4)
ККт1 ЫЧ !) ... Ктт (Рт О ip|Lt|О (РЩ
По матрице построим компромиссное множество !Н = {р?} и определим соответствующую политику биржи труда ^ € Ф*. Доход системы от назначений V
в компромиссной ситуации € С^ определим как сумму функций выигрыша всех
I м£ I I I
игроков: V = Е 1=1 Кк Ы + Е¿=1 Кч Ы.
В рассматриваемой модели в каждый момент времени £ = 0,1,2, ...,Т — 1 определим множества управлений игроков т^ и
(к = l,2,...,м, ^ = l,2,...,|^|): ц*1 = |мат-к1 к^ = (и^— и^)}.
= \ мь(+1 |и6«+1 = (иЬ1 ,иЬ2 , ...,и^ ) >, которые составляют общий вектор управления цп+1 = (иат+11 ,...,и«т+г1 ,...,и«т+1 „,-.,иь?+1 ,...,и^+1 ) € где ц4+1 -
' у т1 тк т|М4| ¡1 ¡^ г|Ь'|/
множество общих векторов управления на шаге Каждая компонента векторов
и„4+1 = 1и01,...,и«т, и и, т = и 1 ,и2 , ...,и- управляет соответствующим
атк V тк тк тк / V ¡^ ¡^ ^ /
параметром векторов состояний а^к = ,аттк ,...,атк 0 и = , ,-Л, 0
из множеств А4 и В4, то есть задает вектор состояния работника ат,,1 и вектор состояния предприятия 6+1 в следующий момент времени £ + 1, а значит и новое состояние системы € . Таким образом, под действием общих векторов
управления из множества система переходит из состояния € во множе-
ство состояний 54+1. Поскольку переход в каждое состояние € 54+1определяется одним из общих векторов управления Ц^1
€ Ц4+1, то количество состояний на шаге £ +1 равно количеству общих векторов управления на шаге |54+1| = |Ц4+1|. Функционирование системы в течение £ = 0,1, 2, ...,Т периодов времени удобно представить в виде многошаговой игры О на конечном связном графе (дереве). Опишем этапы построения дерева многошаговой игры О.
Рассмотрим этапы построения дерева многошаговой игры [11].
1 этап. Задание одношаговой игры Г0 в начальной вершине 50 и множества доходов от перехода за один шаг (Ц1). Пусть в момент времени £ = 0 система находится в состоянии 50, которое соответствует начальной вершине, или корню дерева. В вершине 50 определим игру в нормальной форме
Г0 = ^51, {Нт,}[М=1| , {НО . Опишем стратегии игроков тк и /¿, множество
ситуаций 51 и функции выигрыша игроков и . Стратегии игроков т^ и могут быть следующими: они могут управлять одним из параметров а^, а^, а^
и , Ь2 ,..., векторов состояний а^ и 60 , соответственно, управлять одновременно двумя параметрами векторов а^. и 60 , ..., управлять одновременно всеми ^ параметрами вектора состояния а^ и V параметрами вектора состояния 60 (под управлением
параметром будем понимать его изменение; если параметр сохранен прежним, то считаем, что игрок в данный момент времени им не управлял). В общем случае игрок ти в начальный момент времени управляет всеми параметрами вектора а°тк, поэтому его стратегия будет иметь вид: пп1 = [па1 , иа2 ,..., пар ). Стратегии игрока ¡4
агпк V тк тк /
в момент времени Ь = 0 определяются аналогично. Игра Г0 происходит следующим образом. Игроки тк и ¡4 (к = 1, 2,..., |М0| , I = 1, 2,..., 1) выбирают свои стратегии иа^к Е и щ^ Е и определяют общий вектор стратегий, или общий вектор управления и}( Е и1, ситуацию в игре и функции выигрыша. Ситуацией в игре Г0 будет являться вершина дерева Б^ Е Б1 на следующем шаге Ь =1, Б1 — множество ситуаций в игре Г0. Общий вектор управления и^ Е и1 описывает переход из вершины Б0в Я^. Функции выигрыша игроков зададим на множестве ситуаций Б1 помощью матриц полезности А0, А1, Б0 и Б1. Например, если игрок тк в начальной вершине находился в состоянии г и имел выигрыш К° = а^т1 (рб) в статической игре С0, а после перехода в вершину он находится в состоянии ] и имеет выигрыш Кт 1 = а]т1 (Рт) в статической игре С}(, то его функцию выигрыша в игре Г0 зададим как разность выигрышей в играх С0 и С^, то есть = а^тк (р-у) — ат (ра). Аналогично определим функции выигрыша остальных игроков. Тогда доход системы от перехода Я18о81 (и^) из начальной вершины Б0 в вершину за один шаг вычислим как сумму функций выигрыша всех игроков:
\Ы1\ \Lt\
и) = £ Н°тк + £ Я° = V (Б^ру) — V (Б0,ру)
к=1 4=1
где V (Б^Ру) , V (Б°,Рс) — доходы от назначений в играх С^ и С0. Множество дохо дов от перехода системы из вершины Б0 за один шаг обозначим Я^оз1 (и1).
2 этап. Задание одношаговой игры Г| в промежуточной вершине дерева Б| и множества доходов от перехода Д^т (и*+1) за один шаг. Рассмотрим моменты времени Ь = 1,2, ...,Т — 1 и определим игру в нормальной форме
Г| = (^1 *,Б *+1, {нтк , {ЩЛ в каждой промежуточной вершине дерева
Б! Е Б*. Опишем стратегии игроков тк и ¡¿, множество ситуаций Б*+1 и функции выигрыша игроков Нтк и . Стратегии игроков тк и ¡4 могут быть такими же, как в начальный момент времени, то есть игроки могут управлять одним из параметров атк,а"тк,...,атк и Ъ1 , Ъ2 ,...,Ъ\ векторов состояний атк и Ъ\ соответственно,
двумя параметрами, ..., всеми ^ параметрами вектора состояния а^ и V параметрами вектора состояния 6* . Например, если игрок т^ в момент времени £ управляет только первым параметром а^ вектора а^, то его стратегия будет иметь вид:
uat+i = , , •", , где , •••, _ управления игрока на предыдущем
V mk mk mk / mk mk
шаге. Если игрок mk управляет двумя параметра а^, amfc, то его стратегия будет следующей и m = (uai ,..., uai ,..., ,...,йам ). В общем случае игрок mfc
amk V mk mk "mk mk /
управляет всеми параметрами вектора а^, поэтому его стратегия будет иметь вид и t+1 = ( u„i , и„2 ,..., ). Заметим, что игрок в момент времени t может не
amk V mk mk mk /
управлять ни одним из параметров вектора состояния а^, тогда его стратегия будет иметь вид и t+1 = (Uai , иа2 ,..., ). Такая стратегия может быть вполне
amk V mk mk mk /
обоснована, поэтому не будем ее исключать из множества стратегий игрока в момент времени t. Стратегии игрока в момент времени t определяются аналогично.
Число стратегий игрока m^ равно числу подмножеств ^-элементного множества \ , ,..., \, то есть I um11 = 2м. Число стратегий игрока равно числу
I mk mk k I ^ ^
подмножеств v-элементного множества ^u^i , и^ , ...,Ubf |, то есть Щ++1| = 2V. Игра Г| происходит следующим образом. Игроки mk и (k = 1, 2,..., |M4| , / = 1, 2,..., |L4|) выбирают свои векторы стратегии G U^1 и и^ G Ц+1 и определяют общий
вектор управления G Ui+1, ситуацию в игре и функции выигрыша. Ситуаци-
ей в игре Г| будет вершина дерева S+1 G Si+1 на следующем шаге t +1, Si+1 — множество ситуаций в игре Г|. Общий вектор управления описывает переход из вершины S| в Функции выигрыша игроков зададим на множестве ситуаций Si+1 помощью матриц полезности A4, Ai+1, Б* и Bi+1. Например, если игрок mk в вершине S| находился в состоянии i и имел выигрыш = aimi (pç) в статической игре
G|, а после перехода в вершину S+1 он находится в состоянии j и имеет выигрыш K+l1 = ajmi (px ) в статической игре G^+1, то его функцию выигрыша в игре Г| зададим как разность выигрышей в играх G| и G^+1 , то есть = ajmk (px ) — aimk (px). Аналогично определим функции выигрыша остальных игроков.
Тогда доход системы от перехода R??0si (U\+1) из вершины S| в вершину S+1 за один шаг вычислим как сумму функций выигрыша всех игроков:
|mé| |lé|
RStst+i (ul+1) = £ < + £Hd = v (S+\pA) — v (s|,p|), fc=1 d=1
где V (S*" ,px), V (S|,px) — доходы системы от назначений в играх G|.
Заметим, что если |М= |М*+1|, |Lt| = |Ь*+1|, то доход системы от перехода Я\;1111+1 (и?1) может быть вычислен как сумма разностей функций выигрыши игроков в вершинах Б| и Бд+1:
К+1) = еН (кт+к1 (Рт) — Чк (Ру)) + еЫ (к,;1 (Рл) — ч1л (Ру)) ЕЙ кт+к1 (Рл) + ЕЙ К+1 (РлП — ( еИ ктк (Рл) + ЕЙ К (Рл)
= V (Бд+1,Рл) — V (б| ,Рл) .
Множество доходов системы от перехода из вершины Бу в вершину Б^+1 за один шаг обозначим Я13131+1 (и,;1).
Построим компромиссный общий вектор управления за один шаг. Рассмотрим игру Г| в вершине Бу дерева многошаговой игры С. На основе принципа оптимальности компромиссного множества определим компромиссную ситуацию БЛ+1 Е Б,;1 в игре Г| и общий вектор управления иЛ;1, который переводит систему из состояния в состояние Б^+1.
Составим матрицу выигрышей игроков Ш (Г|). Элементами этой матрицы являются функции выигрыша игроков в каждой ситуации. По матрице Ш (Г|) найдем компромиссную ситуацию БЛ+1 Е Б,;1 в игре Г|, а затем по дереву многошаговой игры С определим соответствующий общий вектор управления иЛ;1 Е икоторый назовем компромиссным общим вектором управления за один шаг, или просто компромиссным вектором управления за один шаг. Тогда соответствующий вектору иЛ;1 доход системы от перехода Я^131+1 (Ц^1) будет являться компромиссным доходом за один шаг.
После того, как указан способ построения компромиссного вектора управления за один шаг, найдем компромиссный путь ил = (иЛ,Щ, ...,иТ^ на дереве игры С и соответствующий ему компромиссный доход СТ за Т шагов. Для этого применим рекуррентные соотношения динамического программирования. Введем функцию дохода системы от перехода за Т шагов, когда реализовалась последовательность игр Г0 г1 Г,-1 Г, ГТ-1:
ят (Г0, Г^, ..., Г, 1, Г,,..., ГТ ^ = я1 о 11 (и,.1) +... + я1д1-131 (и,) +... + Я18т~13т (и^),
где Г,-1 — одношаговая игра в вершине Б,-1 в момент времени Ь — 1 , и, — общий вектор управления, и, Е и*, Я^-^ (и,) — доход системы от перехода из вершины Б,-1 за один шаг. Обозначим через С, компромиссный доход за Ь шагов, Ь = 1, 2, ...,Т. Найдем компромиссный доход !Т (Г0, Г,..., Г,,..., ГТ -1) за Т шагов в игре С и ту
последовательность управлений {Uf}^1, которая его реализует. Введем оператор comp, который задан на множестве доходов системы от перехода Rigt~ist (Ut) за один шаг и возвращает компромиссный из этих доходов.
Выпишем функцию Беллмана
CT (Г0, Г1,..., Г,,..., rT-1) = comp RT (Г0, Г^,..., Г,..., Г^1) ,
Ut,t=1...,T
и воспользуемся для ее вычисления рекуррентными соотношениями динамического программирования Ct (Г0, Г,..., Г"1) = comp (R]St-iSt (U) + Ct"1 (Г0, Г^,..., Г"2)),
t = T,T — 1,..., 2,1; C1 (Г0) = compRlSoS1 (Ц1). Применяя последовательно эти соот-
U11, r
ношения, вычислим компромиссные доходы системы за 1 шаг, 2 шага, ..., T шагов C1 (Г0), C2 (Г0, Г,1), ..., CT (Г0, Г^,..., ^_1) и сможем указать компромиссный путь Uf = (Uf,Uf,...,UT) на дереве игры G, который соответствует последовательности компромиссных управлений {Uf}^1.
3. Численный пример применения теоретико-игровой модели оптимального распределения трудовых ресурсов
Положим т = п = 3, 5 = {з1,з2,з3}, Н = {Н1,Н2,Н3}. I = {1, 2, 3,4, 5, 6} — множество игроков, причем игроки с номерами 1, 2, 3 соответствуют игрокам 51, в2, 53 из множества Б, а игроки 4, 5, 6 соответствуют игрокам Н1,Н2,Н33 из множества Н. Матрицы полезности А и В игроков из множеств Б и Н соответственно:
A
( 76 22 94 \ 33 41 86 45 13 54
B
94 71 17 30 32 18 59 85 38
Множество ситуаций в игре P
p4
pa
1
ha
1
ha 2 h2
2 h1 3 h1
3 h2
pe =
p2 =
1 h2
1 h2
1 2 3
p1 = V h1 h2 ha
( 1 2 3
p5 = h1 ha h2
2
ha
3 h1
{p1,...,pe}: p1
23 h1 ha
. Функции выигрыша игроков от под-
становки p1: H1(p1) = a1hl Я4Ы = ßhi1 = 94, H5(p1) =
76, H2 (p1) = a2h2 = 41, Ha(p1) = aah
ßh
22
54,
32, He(p1) = ßh3a = 38. Функции выигрыша
игроков от подстановок p2,p3,p4,p5 и p6 зададим аналогично. Тогда матрица выиг-
рышей W будет следующей: W
Решением задачи будет: ch
( 76 41 54 94 32 38
22 33 54 30 71 38
94 41 45 59 32 17
94 33 13 94 71 18
76 86 13 94 85 18
22 86 45 30 85 17
{Р5} , Р5 = ( 1 hi 2 h3 з ) h2 Г
Нз (Р5) = 13.
Заключение
В работе получены следующие результаты: представлено решение статической и динамической задач оптимального распределения трудовых ресурсов на основе принципа оптимальности компромиссного множества.
В первой части работы рассмотрена теоретико-игровая модель задачи оптимального назначения. Описана игра в нормальной форме, в которой найдена компромиссная ситуация, реализующая одно из возможных назначений, и компромиссный доход. Приведен алгоритм построения компромиссного множества и определен его класс сложности. Получена временная оценка работы алгоритма T < 9 ■ n !(m + m +1) и определен его класс сложности O(n!(m + n + 1)).
Во второй части работы рассмотрена теоретико-игровая модель динамической задачи оптимального назначения. Построена детерминированная модель функционирования рынка труда в течение T периодов времени. В каждый момент времени t = 0,1, 2,..,T в каждом состоянии рынка труда S| Е S1 указано оптимальное назначение работников на предприятия pg Е C^1, соответствующая политика биржи труда Е Q и доход рынка труда V (S| . В те периоды времени (t,t + 1), когда осуществляется переход рынка труда из одного состояния в другое, указан оптимальный общий вектор управления U|+1 и соответствующий ему доход рынка от перехода í^í+i (Ul+1). Найден оптимальный доход от функционирования рынка труда в течение T периодов времени CТ (Г0, Г1,..., Г^Т-1) и последовательность соответствующих векторов управления {U^}^1, по которым определяются оптимальные стратегии игроков uat и Ubí в каждый момент времени. Таким образом, можно указать оптимальное поведение всех участников рынка труда в каждый момент времени.
Описок литературы
1. Петросян, Л. А. Теория игр / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. А. Семина. — М.: Высш. шк., 1998. — 304 с.
Petrosyan, L. (1998) game Theory. L. A. Petrosyan, N. A. Zenkevich, E. A. Semina. M.: Higher. SHK.
2. Воробьев, Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков / Н. Н. Воробьев. — М.: Наука, 1985. — 272 с.
Vorobyov, N. N. (1985) Game Theory for cybernetic economists. N. N. Vorobyov. M.: Science.
3. Конвей, Р. В. Теория расписаний / Р. В. Конвей, В. Л. Максвелл, Л. В. Миллер. — М.: Наука, 1975. — 360 с.
Conway, R. W. (1975) Theory of scheduling. R. W. Conway, W. L. Maxwell, L. W. Miller. M.: Science.
4. Малафеев, О. А. Математические модели конфликтных ситуаций и их разрешение. Том 1. Общая теория и вспомогательные сведения / О. А. Малафеев, А. И. Муравьев. — Изд-во СПбГУЭФ, 2000. — 283 c.
Malafeyev, O. A. (2000) Mathematical models of conflict situations and their resolution. Volume 1. General theory and auxiliary information. O. A. Malafeyev,
A. I. Muravyev. SPb.: Spbguef publishing house.
5. Зайцева, И. В. Математическая модель оптимального распределения трудового потенциала региона по отраслям экономики / И. В. Зайцева, Е. А. Семенчин,
B. А. Гимбицкий // Фундаментальные исследования. — 2013. — № 8-2. —
C. 413-416.
Zaitseva, I (2013) Mathematical model of optimal distribution of labor potential of the region by branches of economy. Fundamental researches. № 8-2. p. 413-416.
6. Зайцева, И. В. Математическая модель оптимального управления трудовым потенциалом региона / И. В. Зайцева, Е. А. Семенчин // Научно-методический электронный журнал Концепт. — 2014. — № T20. — C. 1306-1310.
Zaitseva, I. (2014) Mathematical model of optimal management of labor potential of the region. Scientific-methodical electronic journal Concept. № T20. p. 1306-1310.
7. Зайцева, И. В. Экономико-математическое моделирование оптимального управления трудовыми ресурсами с учетом изменяющихся условий / И. В. Зайцева,
М. Г. Казначеева, Л. И. Тимошенко, И. А. Колезнев // Экономика и управление: проблемы, решения. - 2018. - Т.4. № 10. - C. 61-67.
Zaitseva, I. (2018) Economic-mathematical modeling of optimal management of human resources with a changing environment. Economy and management: problems, solutions. Т.4. № 10. p. 61-67.
8. Зайцева, И. В. Постановка задачи оптимального распределения трудовых ресурсов по предприятиям с учетом изменяющихся условий / И. В. Зайцева, М. В. Попова, О. А. Малафеев // Труды международной научно-практической конференции «Инновационная экономика и промышленная политика региона» (ЭК0ПР0М-2016). - 2016. - C. 439-443.
Zaitseva, I. (2016) Formulation of the problem of optimal distribution of labor resources by enterprises taking into account changing conditions. Proceedings of the international scientific and practical conference "Innovative economy and industrial policy of the region" (ECOPROM-2016). p. 439-443.
9. Зайцева, И. В. Экономико-математическое моделирование рынка труда: монография / И. В. Зайцева. — НОУ ВПО "Северо-Кавказский социальный ин-т", 2009. — 116 c.
Zaitseva, I. (2009) Economic and mathematical modeling of the labor market: monograph. NOU VPO "North-Caucasian Social Institute".
10. Малафеев, О. А. Устойчивость решений задач многокритериальной оптимизации и конфликтно-управляемые динамические процессы / О. А. Малафеев // Ленинградский университет. — 1990. — C. 113.
Malafeyev, O. (1990) Stability of solutions to multi-criteria optimization problems and conflict-controlled dynamic processes. Leningrad University. p. 113.
11. Roth, Alvin, E. (The Evolution of the Labor Market for Medical Interns and Residents: A Case Study in Game Theory) E. Alvin Roth. Journal of Political Economy. 1994 (vol. Y2. no 6). p. 991-1016.
