Моделирование нестационарных процессов в газопроводах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Инженерное оборудование зданий и сооружений

УДК 622.692.4

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗОПРОВОДАХ

В.И. Панферов, С.В. Панферов

Рассматривается проблема моделирования переходных процессов в газопроводах, вызванных, в частности, резким закрытием регулирующего клапана. Методом Фурье найдены решения ряда задач. Приводятся результаты вычислений для конкретных эксплуатационных ситуаций.

В системах газоснабжения возникают ситуации, когда по какой-либо причине тот или иной регулирующий орган достаточно быстро закрывается. Понятно, что это приводит к возникновению переходного процесса, в водяных тепловых сетях, например, это действие является совсем небезопасным и часто сопровождается таким явлением как гидравлический удар. Поэтому представляет интерес вопрос о том, что конкретно произойдет в этом случае в газопроводе, как, в частности, будет изменяться давление в различных точках по его длине. Кроме того, в аварийных ситуациях возможно появление импульса высокого давления из магистрального газопровода и ряд других событий. Во всех этих случаях в газопроводах возникают нестационарные процессы. В связи с этим в работе рассматривается несколько задач моделирования переходных процессов в системах газоснабжения.

Известно [1-5], что нестационарное течение газа в газопроводе удовлетворительно может быть описано следующей системой уравнений в частных производных:

дт 2 д(р-м>)

, 0 < х< Ь, г > 0;

2 (I

, 0 <х <Ь, т > 0,

(1)

дР__ дх

дР__

дт дх

где Р(х,т), р(х,т), w(x,т) - соответственно давление, плотность и скорость течения газа в точке х по длине газопровода в момент времени т ; Я -коэффициент гидравлического трения; а? - внутренний диаметр газопровода; с - скорость звука в газе; Ь- длина рассматриваемого участка газопровода.

Установлено [1 и др.], что для длинных газопроводов и в случае больших потерь на трение математическую модель (1) можно упростить, от-

брасывая член -------. Кроме того, модель мож-

дт

но дополнительно линеаризовать, полагая, что

Л—-к=сошг, тогда нестационарный процесс в 2(1

газопроводе будет описываться следующей системой уравнений: дР{х, г)

дх

-к-р{х,т)-^(х,т),0 <х<Ь, т >0;

дР(х, т) 2 д(р(х, т) ■ ч>(х, г))

(2)

- = с

,0 <х <Ь, т > 0.

дт дх

Нетрудно видеть, что переменные р(х,т) , VI>{х,т) могут быть исключены из рассмотрения и в этом случае давление Р(х,т) должно удовлетворять следующему уравнению: дР(х, т) _ с2 д2Р(х,т)

дт

дх*

поэтому в целом задача, когда считается, что в любом режиме давление начале участка поддерживается автоматическим регулятором на одном и том же уровне Р0, а в конце этого участка регулирующий клапан мгновенно закрывается, формально записывается так:

дР{х,т) с2 д2Р(х,т)

дт

дх1-

,0<х<Ь, т> 0 ;

P(x,0)=f(x),0<x<L■ Р(0, т) = Р0= сої^, т > 0; дР{Ь,т)

дх

-= 0, т> 0 .

(3)

(4)

(5)

(6)

Второе граничное условие - уравнение (6) означает, что на правом конце газопровода, т.е. при х = Ь из-за закрытия клапана скорость потока и его расход должны быть равны нулю.

Для приведения задачи к решаемому виду введем переменную 0(х,т)=Р(х,т)-Ро, тогда, как это нетрудно видеть, задача перепишется следующим образом:

дв(х,т) с д в(х, т)

дт к дх2

в(х,0) = /(х)-/>0, 0<x<L ; в(0,т)=0, т>0; дв(Ь,х)

,0<x<L, т>0;

дх

- 0, х > 0 .

(7)

(8) (9)

(10)

Решая задачу (7)—(10) методом разделения переменных, найдем, что

в(х,т) = ^А, ■ ехр(———““)■ sin(/^x), ІҐІ к

(И)

кривая 2 - для г = 1, кривая 3 - для для г = 2, кривая 4 - для г = 3 с, при этом Х = 1800м,

с/ = 0,325мм, Л = 0,013, с = 451м/с, А: = 0,176с-1, Р0 =6-105 Па, /} =5,7-105 Па . Значение коэффициента к вычислялось в соответствии с рекомендациями работы [1 и др.].

На рис. 2 приведены кривые изменения давления во времени в конце - кривая 1 и в середине газопровода - кривая 2.

Как видно из рис. 1 и 2, переходный процесс имеет апериодический характер, никаких «выбросов» давления в данном случае не наблюдается.

Теперь рассмотрим следующую задачу: будем полагать, что в момент времени т = 0 закрывается клапан в конце участка, а в его начале давление скачком поднимается до уровня в магистральном

где А, =-■ f[/(x)-/ysin(,u,;c)<fc; /*,=—■ (2/-1). газопроводе РМГ. В этом случае задачу следует

х J ОТ --- .

2 L

Известно [6], что в стационарном режиме давление по длине газопровода распределяется по параболе, однако, как это достаточно хорошо известно, это распределение на практике удовлетворительно может быть аппроксимировано прямой, поэтому при моделировании полагали, что

Р(х) = Р0

Po-Pi

■X,

(12)

где Рх давление в точке x = L в начале процесса. 2

В этом случае А,

jufL2

(Pj - Р0 ) sin(fjjL) . Под- Р(х, т)

перерешать при условии, что Р(0,т)= ^мг =const, г>0 , начальное распределение давления остается прежним и описывается уравнением (12). Формула для вычисления Д будет уже такой

4 =-|-2 № -/,o)sin(^I) + -i-(P0-Рыг), rfLr И, L

а в целом давление в любой точке газопровода в любой момент времени будет вычисляться по следующему соотношению:

=jPmt + Ё Ai -ехР(-^Т“)'sin(rt*) ■ (13)

/=1

черкнем, однако, что условия (5) и (12) означают, что рассматривается задача, когда переходный процесс обусловлен только закрытием клапана в конце газопровода, давление в его начале, каким оно было в стационарном режиме, таким оно остается и в последующие моменты времени.

На рис. 1 приведены кривые изменения давления по длине газопровода: кривая 1 - для т = 0,

На рис. 3 приведен график изменения давления во времени в конце указанного газопровода - кривая 1 и в его середине - кривая 2 при = 4 МПа .

Как видно из рис. 3, переходный процесс также имеет апериодический характер, давление во всех точках газопровода плавно поднимается до Уровня Рж.

Рис.1. Распределение давления по длине газопровода Рис.2. Кривые изменения давления во времени в конце в различные моменты времени и в середине газопровода

Инженерное оборудование зданий и сооружений

Рис. 3. Кривые изменения давления во времени в конце и в середине газопровода при Рмг=4 МПа

До сих пор мы полагали, что рассматриваемый газопровод можно отнести к категории длинных газопроводов или же потери на трение достаточно велики. Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда газопровод короткий или потери на трение достаточно малы. В этом случае в исходной системе уравнений (1) инерционный

член

д(р ■ м>)

следует оставить, а

і Р™

л-— можно

дт 2 а

отбросить [1 и др.], тогда нестационарный процесс в газопроводе будет описываться следующей системой уравнений:

дР{х,т) д(р(х,т)-м{х,т))

дх дт

дР(х, т) 2 д(р(х, г) ■ М.х, г))

0<х<1, г >0;

,0 <х<£, г >0.

(14)

дт дх

Нетрудно видеть, что переменные р{х, т), м>(х,т) также могут быть исключены из рассмотрения и в этом случае давление должно удовлетворять следующему уравнению:

д'Р{х,т) _ 2 дт2

д2Р(х,т)

дх2

поэтому в целом задача, когда считается, что в любом режиме давление начале участка поддерживается автоматическим регулятором на одном и том же уровне Р0, а в конце этого участка регулирующий клапан мгновенно закрывается, будет представляться следующей системой уравнений:

д Р(х,т) _ 2 д Р{х,т) дт2 дх2

Р(х, 0)=/(х),0<х<1;

дР(х,0)

,0<х<Ь, г>0;

дт

= 0, 0<х<Ь ;

Р(0,т) = Р0 =сош1, т> 0; дР(1,т)

дх

-= 0, т> 0 ;

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

Здесь процесс описывается уже волновым уравнением с соответствующими начальными и граничными условиями, причем условие (17) означает, что в начальный момент времени в любой точке по длине газопровода скорость изменения давления во времени равна нулю, что вполне соответствует действительности. Решая задачу (15)—(19) методом Фурье, нашли, что

х соб(с

тг • (2г -1) • г 2Ь

Ті (яІ2-(2і-1))

)-БІп(я-/2-(2г-1)-х/і). (20)

На рис. 4 приведены кривые изменения давления в конце - кривая 1 и в середине газопровода -

кривая 2 при />0=6 Ю5Па и Рх = 5,7 -105 Па для

модели (15)—(19).

Как видно из рис. 4, процесс, как и следовало ожидать, колебательный, причем наибольший «выброс» давления наблюдается в конце газопровода и он равен 6,3 ■ 105 Па .

На рис. 5 показано, как распределяется давление по длине газопровода в различные моменты времени при описании явления волновым уравнением: кривая 1 для г = 0с, кривая 2 для т=5с, кривая 3 для т =8 с .

ю

20

зо

ф с

Рис. 4. Волновой процесс изменения давления во времени в конце и в середине газопровода

Рис. 5. Изменения давления по длине газопровода в волновом процессе

Понятно, что реальный процесс занимает промежуточное положение между двумя рассмотренными предельными случаями. Поэтому, учитывая полученные результаты, достаточно обоснованно можно заключить, что реальный переходный процесс, обусловленный закрытием клапана в конце газопровода, очевидно, имеет вид затухающих колебаний, наибольшая амплитуда колебаний наблюдается непосредственно у самого клапана, однако увеличение давления не столь большое, как это имеет место при гидравлическом ударе в капельной жидкости.

Литература

1. Чарный, И.А. Основы газовой динамики / И.А. Чарный. - М.: Гостоптехиздат, 1961. -196 с.

2. Галиуллин, 3. Т. Интенсификация магист-

ралъного транспорта газа / З.Т. Галиуллин, Е.В. Леонтьев. -М.: Недра, 1991. - 272 с.

3. Баясанов, ДБ. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства / Д.Б. Баясанов. — М.. Стройиздат, 1974. - 312 с.

4. Юсубов, Ч.А. Численное определение нестационарных процессов в магистральных газопроводах / Ч.А. Юсубов // Проблемы энергетики. -2003.-№2. -С. 62-65.

5. Поляков, Г.Н. Моделирование и управление газотранспортными системами / Г.Н. Поляков, Е.И. Яковлев, А.С. Пиотровский. - СПб.: Недра, 1992.-256 с.

6. Бобровский, С.А. Гидравлический расчет распределительных трубопроводов / С.А. Бобровский. -М.: Стройиздат, 1968. - 159 с.