МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ ЗА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ В СМЕСИ УГЛЕКИСЛОГО ГАЗА И АРГОНА Текст научной статьи по специальности «Физика»

2023 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 10(68). Вып. 2

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

МЕХАНИКА

УДК 533.6.011 МБС 76Ь05

Моделирование неравновесных процессов за ударной волной в смеси углекислого газа и аргона*

С. А. Баталов, Е. В. Кустова

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Баталов С. А., Кустова Е. В. Моделирование неравновесных процессов за ударной волной в смеси углекислого газа и аргона // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 2. С. 277-288. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.209

В работе построена замкнутая самосогласованная модель неравновесного течения смеси углекислого газа и аргона за фронтом плоской ударной волны. Использован обобщенный метод Чепмена—Энскога в трехтемпературном приближении, учитывающем различные каналы колебательной релаксации в молекуле углекислого газа. Записана расширенная система уравнений Навье — Стокса — Фурье, состоящая из уравнений сохранения массы, импульса и энергии, дополненных уравнениями диффузии компонентов смеси и релаксационными уравнениями для колебательных мод молекулы С02. Получены замыкающие соотношения для тензора напряжений, скорости диффузии, теплового потока и потоков колебательной энергии. Разработан и реализован алгоритм расчета коэффициентов сдвиговой и объемной вязкости, теплопроводности различных степеней свободы, диффузии и термодиффузии. Проведена валидация модели путем сравнения с экспериментальными данными для вязкости и теплопроводности углекислого газа и аргона, а также для коэффициента бинарной диффузии. Получено хорошее согласие с экспериментом. Проведен анализ зависимости коэффициентов переноса от температуры газа, температур колебательных мод и состава смеси. Разработанная модель готова для использования в численном моделировании ударных волн в смеси С02-Аг.

Ключевые слова: коэффициенты переноса, трехтемпературная модель, ударная волна, углекислый газ, аргон.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (ГО проекта 93022273).

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

1. Введение. Численное моделирование сильнонеравновесных процессов в смесях реагирующих газов актуально для расчета входа спускаемых аппаратов в атмосферу планет, полетов на больших скоростях, решения задач экологии. В последние годы большое внимание уделяется исследованию неравновесных течений углекислого газа — основного компонента атмосферы Марса, а также нежелательного продукта техногенной деятельности человека [1].

В зависимости от степени отклонения от равновесия для описания течения могут применяться детальные поуровневые и сокращенные многотемпературные модели [2]. Наибольший практический интерес представляет многотемпературная модель неравновесных течений, так как она является более эффективной с вычислительной точки зрения. В недавних работах [3-5] представлены результаты и методы моделирования неравновесного течения однокомпонентного вязкого углекислого газа. Так, в исследовании [3] строится и реализуется многотемпературная модель процессов релаксации в СО2 за ударной волной в одномерной постановке с учетом сдвиговой и объемной вязкости, теплопроводности поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы, а также различных каналов релаксации колебательной энергии молекулы углекислого газа, включая внутримодовый и межмодовый обмены. Ограничением данной модели является то, что она построена для чистого газа и не описывает процессы диффузии.

Моделирование течений за ударными волнами — одна из эталонных задач, позволяющих тестировать и определять пределы применимости различных теоретических подходов: классических и расширенных уравнений Навье — Стокса — Фурье, моментных методов, прямого статистического моделирования [3, 6-9]. При этом для валидации моделей обычно используются экспериментальные данные. Для одноатомных газов и компонентов воздуха имеется достаточное число надежных экспериментальных результатов [10-12], однако для СО2 экспериментальные данные практически отсутствуют. Исключение составляет работа [13], в которой исследовано течение смеси СО2-АГ за ударной волной.

В настоящей работе мы обобщаем теоретическую модель, предложенную в [3], путем добавления еще одного компонента — аргона, с целью последующего сравнения с экспериментальными результатами [13] и валидации моделей кинетики и процессов переноса в углекислом газе. Для решения поставленной задачи использована многотемпературная модель для смеси газов с учетом внутренних колебательных степеней свободы молекулы СО2 и без учета электронного возбуждения. В модели уравнения сохранения массы, импульса и энергии дополняются уравнениями релаксации для колебательной энергии объединенной (симметричной-деформационной) и антисимметричной мод молекулы СО2 и уравнениями диффузии для компонентов смеси. Важную часть модели составляют алгоритмы вычисления коэффициентов переноса: вязкости, теплопроводности, диффузии, построенные строгими методами кинетической теории газов [2].

2. Трехтемпературная модель. Для описания процессов переноса и релаксации в неравновесных разреженных газах есть два принципиальных подхода: поуров-невый и многотемпературный [2]. Мы остановимся на рассмотрении второго, так как он является более простым с точки зрения реализации (в этом подходе неравновесная кинетика описывается с помощью меньшего числа уравнений) и, следовательно, представляет больший практический интерес. Необходимым этапом моделирования является построение замкнутой системы уравнений для макропараметров.

2.1. Уравнения для макропараметров. Запишем систему уравнений динамики многокомпонентной смеси в одномерной постановке (рассматриваем квазиодномерную задачу о распространении ударной волны) при отсутствии химических реакций. Она состоит из уравнения неразрывности, уравнений для концентраций химических компонентов, уравнений сохранения импульса и полной энергии и дополнительных релаксационных уравнений:

^¿<->=0, (1) ^+!(<>со>+м=о. (2>

/ ду ду \ дРхх . .

(дЕ дЕ \ да ^ ду

9Е12 дЕг2\ дЧ12 д

— + + ^ = 127кЦ(рсо* со*(5)

+ + £ = * + (0)

р СО, -5Г + V

Здесь рс, пс — массовая и числовая плотность частиц газа соответствующего химического сорта с; р — плотность смеси; V — скорость потока; р — давление газа; Е, Е12, Е3 — полная энергия и энергии колебательных мод в единице массы газа; Ус — компоненты скорости диффузии; Рхх — единственная компонента тензора напряжений, входящая в уравнения в одномерной постановке; а, Ц12, аз — компоненты векторов теплового потока и потоков колебательной энергии в различных модах; Д12 и Дз — скорости колебательной релаксации; к — постоянная Больцмана; Т — температура поступательного движения частиц. Плотности и концентрации связаны между собой следующими соотношениями:

Р = Рос, + РАг > п = ПОС2 + ПАг> Рс = тс Пс ■ (7)

Здесь тс — масса частицы химического сорта с. Описание энергий, потоковых и релаксационных членов приведено в следующих разделах.

Важно отметить, что при рассмотрении рассмотрении симметричной (1), деформационной (2) и антисимметричной (3) колебательных мод молекулы ОС2 мы вводим общую температуру Т12 и энергию Е12 для 1-й и 2-й мод вследствие того, что на практике происходит быстрое их уравновешивание. Антисимметричная мода описывается собственной температурой Т3 и колебательной энергией Ез. Переход к равновесию достигается за счет внутримодовых и межмодовых обменов колебательной энергией [5].

В отличие от работы [3], в данном исследовании учитываются диффузионные силы, поэтому в уравнениях для макропараметров фигурирует скорость диффузии Ус соответствующего сорта. Кроме того, удельные энергии и коэффициенты переноса зависят не только от Т, Т12, Т3, но также являются функциями молярных долей компонентов смеси.

2.2. Уравнения состояния. Для замыкания системы газодинамических уравнений необходимо записать термическое и калорическое уравнения состояния. Мы рассматриваем модель термически совершенного газа, р = пкТ, и калорически несовершенного газа. Выражения для удельной внутренней энергии получены на основании многотемпературного подхода кинетической теории:

3

рЕ = -£;Т(пС02 + пАг) + Рсо2 (Еы + Е12 + Ез), (8)

кТ

=-, (9)

#12 =-УЗ «¿1,¿2£¿1,42 ехР - -77^ Ь (Ю)

тсо2 ^12(Т12) £¡2 V кТ12 /

Ез =-1 № ч ехР ( - У (и)

тсо2 ^3(Т3) ^ V кТ3/

2 ¡3

Здесь Егс^ — удельная вращательная энергия; = «2 + 1; = 1 — статистические веса объединенной и антисимметричной мод; ^12(^2) и Zз(Tз) — соответствующие колебательные статистические суммы. Основываясь на результатах исследования [3], можем записать:

Я12 = £ ехр ( - 23 = $>3 ехр ( - Ц), (12)

¿1 ,¡2 ¡3

где колебательные энергии в объединенной и антисимметричной модах имеют вид

£¿1 ,¿2 = (2«1 + «2)^010, £¡3 = «з£001, (13)

«1, «2, «з — квантовые числа колебательных мод молекулы СО2; £010, £001 — колебательные энергии соответствующих состояний.

2.3. Потоковые и релаксационные члены. Для полного замыкания системы необходимо записать потоковые и релаксационный члены в уравнениях (1)—(6). В первом приближении обобщенного метода Чепмена — Энскога [2] поток тепла ц задается выражением

9 = + 912 + 9з + • (14)

Здесь потоки поступательно-вращательной энергии, энергии объединенной и антисимметричной колебательных мод, а также поток тепла вследствие диффузии получены в виде

, дТ

дТ

<712 = -А12(Т\2, Т)——, (16)

дх

дТ3

ф = -Аз(Тз,Т)-^, (17)

адщ = ^ {РсЬоУо - рВта4) , (18)

с

где А12, Аэ, Л' — коэффициенты теплопроводности (для колебательных и поступательно-вращательных мод); — коэффициенты термодиффузии для каждого химического сорта. Удельная энтальпия компонентов задается выражениями:

5 кТ 5 кТ

Ко2=т:-+ ЕггА + Е12 + Е3, НА1 = --. (19)

2 2 тС02 2 тАг

Выражения для скорости диффузии и диффузионной термодинамической силы:

д

= — (20) й

л = Аг^К/^-^А

Я V , + ( — - — )т-1пр, (21)

дх\п/ \ п р у дх

где Бсй — коэффициенты диффузии.

Единственную компоненту тензора напряжений [3] можно записать в виде

'4 _ Л ду

/4 \ ду

Р~ [^(Т, пс02, пАг) + С(Т, псс>2 ,пАг))^;- (22)

^ /V > С02 7 '"Ат ) 1 ^ V-1- 1 '"Ат/у дх

Здесь п и С — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости соответственно. Отметим, что введение объемной вязкости в уравнения Навье — Стокса — Фурье заметно влияет на профили макропараметров во фронте ударной волны [3, 6]; профили плотности для двухатомных газов оказываются заметно ближе к экспериментально измеренным. Также стоит отметить, что объемная вязкость ранее не учитывалась в уравнениях для течения смеси за фронтом ударной волны; в данном исследовании это делается впервые.

Релаксация в объединенной и антисимметричной модах [2] включает вклад внутримодового обмена поступательной и колебательной энергией УТ2, а также межмодовых обменов энергией УУ2-Э, УУ1-2-Э между антисимметричной и другими колебательными модами:

Е = Нут2 I Яуу2-3 + КУУг-2-з (23)

Л12 = В-12 + Л-12 + В12 , (23)

Еэ = Е^2-3 + Е^1-2-3 ■ (24)

Скорость колебательной релаксации в каждой моде Е12, Еэ можно вычислять с помощью модифицированного уравнения Ландау — Теллера или более современных многотемпературных моделей, предложенных в работе [14].

2-4- Коэффициенты переноса. Применение обобщенного метода Чепмена — Энскога позволяет выразить коэффициенты переноса через коэффициенты разложения функции распределения первого порядка в ряды по системам ортогональных полиномов Сонина и Вальдмана — Трубенбахера [2]. Для коэффициентов сдвиговой и объемной вязкости, многокомпонентной диффузии и термодиффузии имеем

кТ

'П= — 22хсЬс<0, (= ~кТ(хСО2/СО2Л0 +жАг/Аг1), (25)

с

^ - 2^°.°' ДТС02 - "^;аСО2,00, (26)

Здесь xc = пС/п; коэффициенты разложения Ьс,0, ¿^0, оС,гр, /С,гр определяются из решения соответствующих систем линейных уравнений [5]. Выпишем систему только для коэффициента сдвиговой вязкости п, она является наиболее простой:

/ ттС02-С02 гтС02-АГ\ /, \ / 2

100

X

H Ar-Ar

у 00

у ЬАг,0

кТхсо2 2 (27)

— т

у кТ Ar

Системы для оставшихся коэффициентов имеют схожий вид [5]. Теперь определим коэффициенты матрицы системы (интегральные скобки):

rrcd _ 16 a^d memd / 10 (1Д) (2,2) i ,, , .

^--J^Fimc + m^y-T^ä +Qcä Ь (28)

(29)

16 ^ хсхь_m>_f 10Q(M)m , Л 8 ^lQ(2,2)

~ 5 kT (mc + mby U cb mc + iZcb + '

Здесь и — стандартные П-интегралы [2]. Аналогичным образом опреде-

ляются интегральные скобки и для других систем.

Далее запишем выражения для коэффициентов теплопроводности:

/ 5 Шсо Псо ^гс^

А=А1;г + Аго1;, =-/г(жс02ас02_10 + жАгаАг1), АгсЛ = —Хс2 —, (30)

С -РС02с

М2

Л3 = жс°2 (31)

V^ хс i _

^ Vrn ^ Vrо

c CO2c c CO2c

Здесь crot = k/mCO2 — удельная теплоемкость вращательных степеней свободы, ci2 = 3E\2/dT\2, сз = дЕз/дТз — удельные теплоемкости колебательных степеней свободы. Выражение для коэффициента бинарной диффузии имеет вид

V - 3кТ 1 (32)

I6nmcd q(M) '

cd

где mcd = mcmd/(mc + md) — приведенная масса частиц сортов с и d.

Таким образом, на данном этапе построена замкнутая теоретическая многотемпературная модель, описывающая одномерное неравновесное течение смеси CÜ2-Ar. Модель впервые одновременно учитывает различные каналы колебательной релаксации, процессы диффузии и термодиффузии, объемную вязкость смеси. В дальнейших исследованиях предполагается численное решение уравнений (1)—(6).

3. Расчет коэффициентов переноса. В работе был реализован алгоритм расчета всех коэффициентов переноса смеси: сдвиговой и объемной вязкости, диффузии, термодиффузии, теплопроводности. При вычислении коэффициентов переноса для нахождения Q-интегралов использовался потенциал взаимодействия Лен-нарда — Джонса.

2

2

m

CO2 nco2 ci2

2

Таблица 1. Равновесные коэффициенты сдвиговой вязкости (П • 106 Па • с) и теплопроводности (Л • 103 Вт/(м • К)) для чистого СО2 и Аг

со2 Аг

Т, к V Л V Л

[15] [17] са1с. [15] са1с. [15] [17] са1с. [15] са1с.

300 15.3 15.0 15.2 16.6 18.2 22.7 22.7 22.4 17.7 17.5

400 19.8 19.5 19.7 24.3 26.1 28.9 28.5 28.3 22.2 22.1

500 23.7 23.6 23.8 32.5 33.8 34.2 33.6 33.5 26.6 26.1

600 27.3 33.9 27.7 40.7 41.5 38.9 38.3 38.3 30.7 29.9

700 30.7 - 31.2 48.1 48.9 43.3 - 42.8 34.1 33.4

800 33.8 39.5 34.6 55.4 56.1 47.4 46.4 47.1 37.4 36.7

900 36.8 - 37.8 62.0 63.0 51.4 - 51.1 40.6 39.9

1000 39.5 - 40.8 68.3 69.7 55.1 53.5 54.9 43.6 42.9

Для валидации модели был проведен расчет коэффициентов теплопроводности и сдвиговой вязкости отдельно для чистого углекислого газа и аргона, коэффициента бинарной диффузии для смеси. В табл. 1 коэффициенты теплопроводности и сдвиговой вязкости, измеренные экспериментально [15, 16] и полученные численно, представлены в случае равновесия (Т = Т12 = Т3) при давлении р = 1 бар = 105 Па. Также в этой таблице приведены данные для коэффициентов вязкости из справочника [17]. В данном случае полный коэффициент теплопроводности СО2 получается суммированием коэффициентов А(Т) = А'(Т) + А12 (Т) + А3(Т). Сравнение показывает, что для аргона отклонение коэффициента сдвиговой вязкости от экспериментальных данных составляет 1%, 2%, где первое значение — это среднее отклонение, а второе — максимальное. Для коэффициента теплопроводности среднее и максимальное отклонения составляют 2%, 3%. Таким образом, расчеты коэффициентов для аргона хорошо согласуются с экспериментом. Для углекислого газа в рассматриваемом диапазоне условий отклонения для коэффициента сдвиговой вязкости составляют 2%, 3%, а для коэффициента теплопроводности — 4%, 10%; с ростом температуры отклонение уменьшается.

Таблица 2. Коэффициент бинарной диффузии _Аг ,см2 /с)

для смеси СО2—АГ

Т, К 300 400 500 600 700 800 900 1000

са1с. [17], 3-10% 0.14 0.15 0.24 0.27 0.37 0.4 0.51 0.56 0.66 0.73 0.84 0.93 1.02 1.14 1.23 1.37

А, % 6.2 7.8 8.7 9.3 9.8 10.1 10.4 10.6

В табл. 2 приведены значения коэффициента бинарной диффузии для различных температур газа, полученные численно и на основании эмпирической формулы [17], давление смеси равно атмосферному р = 101300 Па. Стоит отметить, что с ростом температуры отклонение расчетного значения коэффициента бинарной диффузии от экспериментального несколько увеличивается и достигает « 10 % при Т = 1000К. В данной работе используется потенциал Леннарда — Джонса; для температуры выше 1000 К для повышения точности в дальнейшем планируется применить потенциал Борна — Майера. Тем не менее отличие от результатов [17] не пре-

Х10

га 2

С

£

б

§1 п а т

2000 4000 6000 8000 10000

Т, к

в

х10

к

2000

4000 6000

т, к

8000 10000

4000 6000

т, к

8000 10000

Х10

2000

4000 6000

т, к

8000 10000

Рис. 1. Коэффициенты переноса как функции температуры: а -Лrot (Т), Л12(Т), Лз(Т); в — ОсЛ(Т)-, г — (Т).

п(Т), С(Т); б — Л^(Т),

вышает ошибки аппроксимации, поэтому полученные результаты можно считать удовлетворительными и рекомендовать к использованию для дальнейших вычислений.

На рис. 1 и 2 приведены коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии

и термодиффузии при хС

0.5 ир = 101300 Па. Коэффициенты колебатель-

ной теплопроводности рассчитаны при Т12 = Тз = 1000 К.

Важно заметить, что коэффициент объемной вязкости £ во всем диапазоне температур не сильно отличается по величине от коэффициента сдвиговой вязкости п,

а б

юооо

5000

т, к

о о

Т12' К

0.03

о

10000

5000

т, к

о о

10000

Т3, к

Рис. 2. Коэффициенты теплопроводности: а — Л12Т Т12); б — Лз(Т, Тз).

а

0

0

0

2000

г

0

0

х

Аг

2

т. е. его вклад является существенным. Коэффициент вращательной теплопроводности Агс^ вносит малый вклад в перенос энергии, в отличие от коэффициента поступательной теплопроводности А^, и по характеру изменения и величине близок к коэффициенту теплопроводности антисимметричной моды А3. Стоит отметить, что существенный вклад в теплопроводность вносит коэффициент А12, и он ведет себя немонотонно с ростом колебательной температуры Т12, в отличие от коэффициента Аз. Данная немонотонность вызвана характером поведения колебательной теплоемкости сТ12 при больших температурах, что подтверждается рис. 3, где изображена зависимость колебательных теплоемкостей от соответствующих колебательных температур.

0.2 0.4 0.6 0.8 X,

Рис.4■ Зависимость коэффициентов переноса от молярной доли аргона: а — ч(жАг), С(хАг); б — л^(хаг )> ЛгсЦхАГ);в — Оо^Хаг );г — (хАг )-

0

1

0

0.8

1

ХАГ

На рис. 4 приведены коэффициенты переноса при разном содержании аргона в смеси при T = T12 = T3 = 5000 K и p = 101300 Па. Заметим, что при увеличении молярной доли аргона уменьшается коэффициент объемной вязкости Z, это закономерно, так как уменьшается запас энергии во внутренних степенях свободы; увеличивается вклад поступательной теплопроводности и уменьшается вклад остальных. Коэффициенты самодиффузии существенно зависят от концентраций компонентов, уменьшаясь с ростом молярной доли соответствующего компонента. Коэффициенты термодиффузии возрастают с увеличением молярной доли аргона.

4. Заключение. В данной работе мы построили теоретическую трехтемпера-турную модель неравновесного течения смеси CO2-Ar, реализовали алгоритм расчета коэффициентов переноса, а именно: коэффициентов теплопроводности, сдвиговой и объемной вязкости, диффузии и термодиффузии. Была проведена вали-дация модели на примере коэффициентов сдвиговой вязкости и теплопроводности отдельно для чистого аргона и углекислого газа, а также коэффициента бинарной диффузии. Для аргона погрешность составила в среднем 2 % для обоих коэффициентов, для углекислого газа модель дает хорошее согласование для коэффициента сдвиговой вязкости (в среднем отклонение порядка 3%), однако для коэффициента теплопроводности в среднем наблюдается несколько более сильное расхождение, порядка 4-5%. В целом согласие с экспериментом удовлетворительное, модель может быть рекомендована для использования. Разработанный алгоритм будет применен в дальнейших исследованиях для численного моделирования течения смеси CO2-Ar в ударной волне и сравнения результатов с экспериментом.

Литература

1. Pietanza L. D., Guaitella O., Aquilanti V., Armenise I. et al. Advances in non-equilibrium CO2 plasma kinetics: a theoretical and experimental review. The European Physical Journal D 75 (9) 237 (2021). https://doi.org/10.1140/epjd/s10053-021-00226-0

2. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (2003).

3. Alekseev I., Kustova Е. Extended continuum models for shock waves in CO2. Physics of Fluids 33, 096101 (2021).

4. Алексеев И. В., Кустова Е. В. Численное моделирование ударной волны в вязком углекислом газе методом конечных объемов. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 7 (65), вып. 3, 500-510 (2020). https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.312

5. Kustova E. V., Nagnibeda E. A. On a correct description of a multi-temperature dissociating CO2 flow. Chem. Phys. 321, 293-310 (2006).

6. Elizarova T., Khokhlov A., Montero S. Numerical simulation of shock wave structure in nitrogen. Physics of Fluids 19, 068102 (2007).

7. Timokhin M. Y., Struchtrup H., Kokhanchik A. A., Bondar Y.A. Different variants of R13 moment equations applied to the shock-wave structure. Physics of Fluids 29 (3), 037105 (2017).

8. Shoev G. V., Timokhin M. Y., Bondar Y.A. On the total enthalpy behavior inside a shock wave. Physics of Fluids 32 (4), 041703 (2020).

9. Wysong I., Gimelshein S., Bondar Y., Ivanov M. Comparison of direct simulation Monte-Carlo chemistry and vibrational models applied to oxygen shock measurements. Physics of Fluids 26 (4), 043101 (2014).

10. Alsmeyer H. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam. J. Fluid. Mech. 74, 497-513 (1976).

11. Ibraguimova L. B., Sergievskaya A.L., Levashov V. Yu., Shatalov O.P., Tunik Yu. V., Zabelin-skii I. E. Investigation of oxygen dissociation and vibrational relaxation at temperatures 4000-10800 K. J. Chem. Phys. 139, 034317 (2013). https://doi.org/10.1063/L4813070

12. Streicher J.W., Krish A., Hanson R. K. Coupled vibration-dissociation time-histories and rate measurements in shock-heated, nondilute O2 and O2—Ar mixtures from 6000 to 14 000 K. Physics of Fluids 33, 056107 (2021). https://doi.org/10.1063/5.0048059

13. Farooq A., Jeffries J. B., Hanson R. K. Sensitive detection of temperature behind reflected shock waves using wavelength modulation spectroscopy of CO2 near 2.7 ¡m. Appl. Phys. B 96, 161—173 (2009).

14. Kustova E., Mekhonoshina M. Multi-temperature vibrational energy relaxation rates in CO2. Physics of Fluids 32, 096101 (2020). https://doi.org/10.1063/5.0021654

15. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. Москва, Наука (1972).

16. Trengove R. D., Wakeham W. A. The Viscosity of Carbon Dioxide, Methane, and Sulfur Hexafluoride in the Limit of Zero Density. J. Phys. Chem. Ref. Data 16, 175 (1987). https://doi.org/10.1063/1.555777.

17. Григорьев И. С., Мейлихов Е. З. (ред.) Физические величины.. ^равочник. Москва, Энер-гоатомиздат (1991).

Статья поступила в редакцию 15 октября 2022 г.;

доработана 16 ноября 2022 г.; рекомендована к печати 17 ноября 2022 г.

Контактная информация:

Баталов Семен Алексеевич — студент; st076569@student.spbu.ru

Кустова Елена Владимировна — д-р физ.-мат. наук, проф.; e.kustova@spbu.ru

Modeling of nonequilibrium processes behind a shock wave in a mixture of carbon dioxide and argon*

S. A. Batalov, E. V. Kustova

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Batalov S. A., KustovaE. V. Modeling of nonequilibrium processes behind a shock wave in a mixture of carbon dioxide and argon. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 2, pp. 277-288. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.209 (In Russian)

A closed self-consistent model of a nonequilibrium flow of a mixture of carbon dioxide and argon behind the front of a plane shock wave is developed. The generalized Chapman— Enskog method is used in the three-temperature approach, taking into account various channels of vibrational relaxation in carbon dioxide. An extended system of Navier — Stokes — Fourier equations is written, consisting of the equations of conservation of mass, momentum and energy, supplemented by the diffusion equations of the mixture components and relaxation equations for the vibrational modes of the CO2 molecule. The constitutive relations for the stress tensor, diffusion velocity, heat flux and vibrational energy fluxes are obtained. An algorithm for calculating the coefficients of shear and bulk viscosity, thermal conductivity of various degrees of freedom, diffusion and thermal diffusion has been developed and implemented. The model was validated by comparison with experimental data for the viscosity and thermal conductivity of carbon dioxide and argon, as well as for the binary diffusion coefficient. Satisfactory agreement with the experiment was obtained. The dependence of the transport coefficients on the gas temperature, temperatures of vibra-tional modes and mixture composition is analyzed. The developed model is ready for use in numerical simulation of shock waves in a mixture of CO2-Ar.

Keywords: transport coefficients, three-temperature model, shock wave, carbon dioxide, argon.

*The work is supported by Saint Petersburg State University (project ID 93022273).

References

1. Pietanza L. D., Guaitella O., Aquilanti V. Aquilanti V. et al. Advances in non-equilibrium CO2 plasma kinetics: a theoretical and experimental review. The European Physical Journal D 75 (9) 237 (2021). https://doi.org/10.1140/epjd/s10053-021-00226-0

2. Nagnibeda E. A., Kustova E.V. Kineticheskaia teoriia protsessov perenosa i relaksatsii v po-tokakh neravnovesnykh reagiruiushchikh gazov. St Petersburg, St Petersburg University Press (2003). (In Russian) [Eng. transl.: Nagnibeda E., Kustova E. Nonequilibrium Reacting Gas Flows: Kinetic Theory of Transport and Relaxation Processes. Berlin; Heidelberg, Springer Verlag (2009)].

3. Alekseev I., Kustova E. Extended continuum models for shock waves in CO2. Physics of Fluids 33, 096101 (2021).

4. Alekseev I., Kustova E. Numerical simulations of shock waves in viscous carbon dioxide flows using finite volume method. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy (In Russian) 7 (65), iss. 3, 500-510 (2020). https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.312 (In Russian) [Eng. transl.: Vestnik St Petersburg University. Mathematics 53 (3), 344-350 (2020). https://doi.org/10.1134/S1063454120030024].

5. Kustova E. V., Nagnibeda E. A. On a correct description of a multi-temperature dissociating CO2 flow. Chem. Phys. 321, 293-310 (2006).

6. Elizarova T., Khokhlov A., Montero S. Numerical simulation of shock wave structure in nitrogen. Physics of Fluids 19, 068102 (2007).

7. Timokhin M. Y., Struchtrup H., Kokhanchik A.A., Bondar Y.A. Different variants of R13 moment equations applied to the shock-wave structure. Physics of Fluids 29 (3), 037105 (2017).

8. Shoev G. V., Timokhin M. Y., Bondar Y.A. On the total enthalpy behavior inside a shock wave. Physics of Fluids 32 (4), 041703 (2020).

9. Wysong I., Gimelshein S., Bondar Y., Ivanov M. Comparison of direct simulation Monte-Carlo chemistry and vibrational models applied to oxygen shock measurements. Physics of Fluids 26 (4), 043101 (2014).

10. Alsmeyer H.. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam. J. Fluid. Mech. 74, 497-513 (1976).

11. Ibraguimova L. B., Sergievskaya A. L., Levashov V.Yu., Shatalov O.P., Tunik Yu.V., Zabelin-skii I. E. Investigation of oxygen dissociation and vibrational relaxation at temperatures 4000-10800 K. J. Chem. Phys. 139, 034317 (2013). https://doi.org/10.1063/L4813070

12. Streicher J.W., Krish A., Hanson R. K. Coupled vibration-dissociation time-histories and rate measurements in shock-heated, nondilute O2 and O2-Ar mixtures from 6000 to 14 000 K. Physics of Fluids 33, 056107 (2021). https://doi.org/10.1063/5.0048059

13. Farooq A., Jeffries J. B., Hanson R. K. Sensitive detection of temperature behind reflected shock waves using wavelength modulation spectroscopy of CO2 near 2.7 ßm. Appl. Phys. B 96, 161-173 (2009).

14. Kustova E., Mekhonoshina M. Multi-temperature vibrational energy relaxation rates in CO2. Physics of Fluids 32, 096101 (2020). https://doi.org/10.1063/5.0021654

15. Vargaftik N. B. Tables on the thermophysical properties of gases and liquids. Moscow, Nauka Publ. (1972). (In Russian)

16. Trengove R. D., Wakeham W. A. The Viscosity of Carbon Dioxide, Methane, and Sulfur Hexafluoride in the Limit of Zero Density. J. Phys. Chem. Ref. Data 16, 175 (1987). https://doi.org/10.1063/1.555777

17. Grigoriev I. S., Meilikhov E. Z. (eds). Physical quantities. Handbook. Moscow, Energoatomizdat Publ. (1991). (In Russian)

Received: October 15, 2022 Revised: November 16, 2022 Accepted: November 17, 2022

Authors' information:

Semyon A. Batalov — st076569@student.spbu.ru

Elena V. Kustova — e.kustova@spbu.ru