CC BY
24
УДК 625.7
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕНОГО СОСТОЯНИЯ АРМИРОВАННЫХ ЛЕДОВЫХ ОБРАЗЦОВ-БАЛОК
О.В. Якименко, С.А. Матвеев
Аннотация. Разработана математическая модель напряженного состояния ледовых образцов, армированных геосинтетическими материалами, позволяющая оценить напряженное состояние на разных стадиях разрушения.
Ключевые слова: ледовые образцы-балки, армирование, геосинтетические материалы, разрушение, плоское напряженное состояние, функция напряжений, напряженно-деформированное состояние
Введение
В течение ряда лет в СибАДИ ведутся исследования по широкому кругу вопросов использования различных геосинтетических материалов в дорожных конструкциях [1-3]. При этом некоторые конструктивно-
технологические решения показали перспективные результаты, например - армирование геосетками (георешетками) ледовых переправ.
Основная часть
Для оценки эффективности применения геосинтетических материалов в качестве арматуры для льда был выполнен расчет на прочность ледовых образцов балок. На рисунках 1 и 2 представлены схема действия нагрузок на образец-балку и поперечное сечение балки - соответственно.
Площадь поперечного сечения образца (А) м2 определяется по формуле
А = bh, (1)
где Ь - ширина поперечного сечения образца, м; h - высота поперечного сечения образца, м.
Площадь основного поперечного сечения образца без учета арматуры (A1):
А = А - А2, (2)
где A2 - площадь поперечного сечения арматуры, м2, определяемая по формуле
А2 = 252 Ь2, (3)
Здесь Ь2 - ширина поперечного сечения арматуры, м; 52 - высота поперечного сечения арматуры, м;
На рисунке 2 У, 7 - главные центральные оси площади А; 71 - главная центральная ось площади А1; С - центр тяжести площади А1; Е1 - модуль упругости льда; Е2 - модуль упругости арматуры.
При действии нагрузки балка испытывает две стадии напряженно-деформированного состояния.
Р1 р/21
I
Рис. 1. Расчетная схема действия нагрузок: F - сила, приложенная к образцу;
I - расстояние между опорами.
Ь
Рис. 2. Поперечное сечение образца
Первая стадия развивается от момента нагружения до момента образования первой трещины, нормальной к его продольной оси. Первая трещина образуется в опасном сечении под нагрузкой при достижении растягивающими напряжениями значений, равных расчетному сопротивлению льда на растяжение (о2 = Кизг). Рассмотрим данную стадию более подробно.
Определим положение нейтральной оси 70 поперечного сечения армированного образца.
Статический момент сечения льда (5?) и арматуры (52) относительно нейтральной оси равны соответственно
' = Ду, (4)
где уі - расстояние от нейтральной оси 70 до оси 7?, м.
'2 = А2У2 , (5)
где у2 - расстояние от нейтральной оси 70 до центра тяжести поперечного сечения арматуры, м:
h
У2 = - - а - у + Уо
(6)
здесь а - расстояние от центра тяжести поперечного сечения арматуры до нижней грани поперечного сечения образца, м;
Уо =
А2 і h
---а
2 ,
(7)
Если учесть, что
21 а dA = а dA + 2 1 а dA = 0 >
А А
Асж Араст
тогда статический момент армированного сечения относительно нейтральной оси должен быть равен нулю:
Момент инерции J2 сечения арматуры относительно нейтральной оси Z0:
(11)
Момент инерции J1 площади А1 относительно нейтральной оси Z0:
Jі = ^ + АУ4 )- J2 ,
(12)
Модуль упругости и момент инерции приведенного сечения:
Еі
(13)
(14)
Напряжения в основной части поперечного сечения, состоящей из льда (- Ь < у < к1):
Е1 М
Е Т
Еприв
■у,
(15)
Здесь М - изгибающий момент в опасном сечении:
(16)
I 'Ч =0 •
(8)
Отметим, что в данном случае армирование делает рассматриваемое сечение неоднородным. Для решения задачи приведем его к однородному виду, и тогда нулю должен быть равен приведенный статический момент
^прив):
'прив = А1 Уі - А2 У 2 С учетом (7) и (8) получаем:
Уі =
(
1+-
"і
А, + А2 —
2 Е
(9)
Момент инерции J основной части сечения без учета арматуры относительно оси Z:
bh3
J =
і2
(10)
где F - сила, действующая на образец, кН; I - расстояние между опорами, м. Напряжения в арматуре:
Е2 М
Ст2 = ЕГ—?У2 ^
Еприв Т
(17)
Определим равнодействующие внутренних сил (рисунок 3), возникающих в растянутой и сжатой зонах поперечного сечения (Я2 и Я?):
Rl = 2 стД • Ь, (18)
R2 = 2 а2 к2 • Ь .
(19)
2
IX = N о - Я + Я2 = 0;
(20)
Рис. 3. Расчетная схема для определения Н1, Н2 и N0 в первой стадии.
Растягивающее усилие в арматуре определяем из следующего уравнения:
Исследования армированных и неармиро-ванных образцов льда показали различия в характере их разрушения. При достижении предела прочности (о2 = Яизг) в балке появляется поперечная трещина. При этом неарми-рованный образец разрушается, образуя две призматические части (рисунок 4а). Если же образец армирован, то после появления первой трещины он не разрушается, а переходит во вторую стадию. При этом происходит скачкообразное падение нагрузки, а затем плавный ее рост (рисунок 5), чередующийся с последующими скачками падения, являющиеся результатом трещинообразования (рисунок 4б).
Рис. 4. Разрушенные неармированный образец (а) и армированный (б)
¥ 3
о.
I 2
1
0
1 і стадия II . стадия /у /М,
/|< 2////' //М/. У//
^////^■'/
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6
Прогиб, мм
Рис. 5. Диаграмма, иллюстрирующая характер разрушения армированных и неармирован-ных балок изо льда: 1 - неармированный образец; 2 - армированный образец
Во второй стадии, в работу вступает армирующий материал. Длительность работы образца во второй стадии (до момента полного разрушения) зависит от прочности и де-формативности армирующего материала и от силы сцепления между армирующим и армируемым материалами
Вторая стадия характеризуется дальнейшим развитием трещинообразования (как по величине раскрытия трещин, так и по их количеству). При этом образование новых трещин в балке происходит при более высоких напряжениях в арматуре. С ростом деформаций в растянутой зоне и в арматуре происходит увеличение напряжений как в ледовом массиве, так и в армирующем геосинтетиче-ском материале. При этом растягивающие
напряжения во льду достигают своих предельных значения раньше, чем в армирующем материале. Это приводит к развитию трещинообразования во льду.
В конце второй стадии ширина раскрытия трещин и прогиб балки становятся настолько большими, что конструкция не способна воспринимать дополнительную нагрузку.
Конец второй стадии характеризуется нарушением сплошности льда. Лед начинает работать как дискретный материал, что приводит к разрушению образца без разрушения арматуры.
После образования трещины (рисунок 6а) расчетная схема действия сил на фрагмент балки представлена на рисунок 6б:
Рис. 6. Начальный этап второй стадии разрушения образца: расчетная схема (а); схема
действия сил на фрагмент балки (б)
Растягивающее усилие в арматуре (N0) находим из условия равновесия фрагмента балки (2 Мк = 0) и получаем:
Fl
N0 = , ч, 0 4(Иі + Иъ)
°х =
д у дУ2;
д 2у СТу = дх2 :
Тху =-
д2 у дхдУ
- Ху - Ух.
(22)
Решение плоской задачи заключается в определении функции напряжений ф (х, у) из бигармонического уравнения
(21)
напряженно-
д 4у д >
- + 2
(23)
Для оценки
деформированного состояния образца во второй стадии используем модель плоского напряженного состояния. Напряжения определяем при помощи функции напряжений Эри Ф (х, У) [4].
где X, Y - постоянные объемные силы.
дх4 дх2 ду2 ду4
Используя метод конечных разностей [4], разбиваем исследуемую плоскость на сетку с квадратными ячейками: Ах=Ау. Бигармониче-ское уравнение в конечных разностях, записанное для произвольной точки, связывает между собой значения функции Ф в тринадцати соседних точках разностной сетки и представляет собой алгебраическое уравнение с 13-ю неизвестными. В результате решение плоской задачи сводится к определению функции ф (х, у) во всех узлах сетки. Для этого необходимо решить систему алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с числом узловых точек разностной сетки.
При шаге сетки Ах=А=1см для исследуемого фрагмента балки было получено 154 узла.
В результате расчетов вычислены нормальные стх, сту, касательные тху и главные сттах и сттіп напряжения. Последние определялись по формуле:
ст
ст. + ст..
2
ст - ст
X У
2
+ тіу (25)
По результатам расчета построены эпюры напряжений (рисунки 7, 8).
Рис. 7. Эпюра главных напряжений стт
2
Угол наклона нормали главной площадки определен из выражения:
2т
tg2ао =------------------------^ , (26)
стх -сту
Положительное значение угла - против часовой стрелки.
По результатам вычислений были построены изолинии углов наклона нормалей главных площадок (рисунок 9).
Рис. 9. Изолинии углов наклона нормалей главных площадок
Заключение
Сравнивая полученную картину изолиний (рисунок 9) с сеткой трещин, образующихся в образцах при проведении лабораторных испытаний (рисунок 4б), можем сделать заключение, что наклон и зона локализации трещин достаточно хорошо совпадают с аналогичными характеристиками изолиний. Это подтверждает адекватность предложенной модели разрушения армированного образца.
STRESS STATE MODELING OF REINFORCED ICE MODEL BEAMS
O.V. Yakimenko, S.A. Matveev
The stress state mathematical model of ice model beams, reinforced with a geo-synthetic materials, permissive to give an appraisal of stress state at any period, are worked out.
Библиографический список
1. Якименко О.В. Лабораторные испытания ледяных балок, армированных геосинтетическими материалами / О.В. Якименко, В.В. Сиротюк // Вестник СибАДИ / СибАДИ. - 2008. Выпуск 3(9). -С. 45-48.
2. Сиротюк В.В. Строительство и испытание опытного участка ледовой переправы, армированной геосинтетическими материалами / В.В. Сиротюк, О.В. Якименко, Е.Ю. Крашенинин, А.Н. Щербо // Вестник ТГАСУ. - 2008. Выпуск 4. - С. 157-165.
3. Матвеев С.А. Использование геосинтетиче-ских материалов для армирования дорожных конструкций / С.А. Матвеев, В.В, Сиротюк. Ханты-Мансийск, 2010. - 473 с.
4. Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В.Д. Потапов. -М.: Высшая школа, 1990 . - 400 с.: ил.
Якименко Ольга Владимировна - старший преподаватель кафедры «Проектирование дорог» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии (СибАДИ). Основные направления научных исследований - применение гео-синтетических материалов для армирования ледовых переправ. Общее количество опубликованных работ: 23.
E-mail: olgayakimenko@yandex. ru
Матвеев Сергей Александрович - доктор технических наук, профессор кафедры «Строительная механика». Основные направления научных исследований - математическое моделирование и расчет слоистых дорожных конструкций; геосинтетические материалы в строительстве. Общее количество опубликованных работ: 115. Е-mail: matveev_sa@sibadi. org
