CC BY
31
ии ~ Ун Л \"/а }Р)~ 1
и
_ К{и,«УМ+1 ))-п(и,аУ,Р) К
Гыу =
К
здесь Илит.
п т
количество точек разбиения на карте по направлениям изменения параметра и и у соответственно.
4. Вычисляем значения коэффициентов квадратичных форм в точке {иил,У]Р) по известным формулам
[1], используя найденные выше значения векторов первых и вторых производных в этой точке.
Итак, ранее нами была разработана теория, позволяющая создать систему автоматизированного проектирования, отличительной особенностью которой является возможность моделирования трехмерных допусков деталей и сборок [3, 6, 7]. Все поверхности в такой системе задаются через квадратичные формы, Однако до сих пор было непонятно, как же задавать произвольные поверхности. Настоящая работа является решением этой проблемы. И теперь мы имеем закончен-
ную теорию, на основе которой создается САПР нового поколения, позволяющая моделировать пространственные допустимые отклонения деталей и сборок.
Библиографический список
1. Александров А.Д., Нецветаее Н.Ю. Геометрия: Учеб, пособие. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 672 с.
2. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 320 с.
3. Гаер М.А. Разработка и исследование геометрических моделей пространственных допусков сборок с использованием кватернионов: Дисс. ... канд техн. наук. - Иркутск, 2005.
4. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию): Учеб. пос. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1997.
5. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию): Учеб. пос. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.
6. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Геометрическое моделирование деталей и сборок с пространственными допусками в САПР нового поколения // Вестник ИрГТУ. - 2006. - № 4. - С. 17-23,
7. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. -2005. - № 1. - С. 116-125.
8. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков // Вестник ИрП"У. - 2002. - № 12. - С. 82-92.
С.И.Ключников, Е.А.Барахтенко
Моделирование напряженного состояния детали после механической обработки
Увеличение надежности изделий приводит к необходимости определения расчетных параметров обработки при исследовании их напряженно-деформированного состояния методами математического моделирования. Наиболее эффективным инструментом, позволяющим проводить такого рода анализ, являются математические модели, построенные на основе дискретных методов.
При создании дискретной математической модели как заготовка, так и инструмент разбиваются на конечные области, а процесс механообработки рассматривается как совокупность процессов, протекающих на отдельных элементах. Рассмотрим последовательно основные условия формирования конечно-элементной сетки детали и математическую аппроксимацию формирования полей напряжений в процессе механической обработки.
Дискретный подход позволяет определять значения искомых параметров в узлах сетки конечных элементов, построенной на основе геометрии произвольной формы. Таким образом можно узнать значения параметров в любой интересующей области модели, что является преимуществом по сравнению с аналитическими методами решения.
При создании конечно-элементной модели для получения более точных результатов необходимо построить в зоне контакта инструмента и заготовки сетки из элементов с размерами гораздо более меньшими, чем элементы, распределенные по их объему вне зоны контакта.
Рассмотрим процесс построения конечно-элементной сетки. Уточнение сетки с целью получения более точных результатов может привести к широкому диапазону распределения размеров элементов. Разницу в размерах наимень-
шего из элементов и средним размером других элементов обозначим как критический временный шаг [1]. При вычислении критический временный шаг А(с определяется в соответствии с размером наименьшего из элементов, что может привести к значительно более мелким шагам, чем это требуется для интегрирования грубых сегментов сетки [1]. В этих условиях алгоритм Белытчко [2] может обеспечить значительное увеличение скорости расчета посредством разрешения на обновление элемента в соответствии с его собственным критическим временным шагом. В реализации данного алгоритма для моделирования механообработки элементу е в сетке назначается временной шаг АХе, определяемый как
Мв - тМ„,
е ее'
где те - такое наибольшее целое число, при котором Л1е не превышает предел устойчивости элемента. Затем каждому узлу а назначается временной шаг, равный Агп , А(е - наибольший шаг среди всех элементов, контактирующих
с рассматриваемым. При обновлении элемента перемещения в узлах на соседних, более медленных, элементах переносятся с помощью линейной интерполяции по времени. Данный алгоритм приведен ниже [1]:
1) установка счетчиков в начальное положение: пг = те, па - 0;
2) цикл по узлам: ск) а = 1, питпр
if «в. = 1 then
"а =
Па = та
else
Па = «,-1
end if
<*а.*+1 = da.n + Ua !™a
end do; 3) цикл по элементам: do e = 1, numel
if W = 1 then
обновить элемент в соответствии с At - А/
вычислить внутренние силы Rn+l
e.itit
пг = те
eise
= о
п - п„ - 1
е е
end if end do.
При этом с помощью конечноэлементной аппроксимации рассматриваемые уравнения преобразуются в систему уравнений первого порядка.
Опишем математическую модель для определения напряженного состояния детали после механообработки. При математическом представлении физические явления в зоне резания и формирование напряженных полей после перераспределения термических напряжений в результате снятия припуска сводим к решению краевых задач для уравнений в частных производных. При изготовлении деталей из плит фрезерованием удаляются значительные объемы металла, в результате нарушается равновесие исходных термических напряжений. Кроме того, при обработке резанием создаются также дополнительные остаточные напряжения в поверхностном слое детали. В связи с этим уравнение равновесия в перемещениях и граничные условия при постановке задачи о короблении единичного элемента с учетом [3] представим следующим образом:
СХ1 OXi
а,= 0.
Математическое представление закономерностей формирования полей напряжений в заготовке после механообработки требует учета значительного количества факторов. К основным из них можно отнести: свойства обрабатываемого материала, параметры режимов резания, последовательность обработки участков детали, геометрия инструмента, износ инструмента и др. Физику резания рассматриваем на отдельно взятом элементе, для ее описания выделяем следующие основные явления: контактное взаимодействие режущего инструмента и заготовки, температурные явления в зоне резания, а также процесс отделения стружки от заготовки как процесс, подчиняемый теории разрушения. Рассмотрим каждое из данных явлений более подробно.
При решении задачи определения полей напряжений отдельного участка в общем случае можно воспользоваться уравнениями в частных производных, т.е. уравнениями математической физики. В частном случае напряженное состояние элемента можно свести к краевой задаче для дифференциального уравнения вида
r%+A(x)T+B{x)Y = F{x\ хе [aMJ{a) = Ya\Y(b)=Yb9
где А(х), В(х), F(x) - известные непрерывные функции на отрезке [а, />].
Для решения данной задачи потребуется определение и введение большого числа ограничений и исходных данных. С учетом этого можно использовать прямые методы в энергетической постановке как альтернативные численные методы определения полей напряжений.
Уравнения механики при этом позволяют определить напряжения, деформации и инерционные параметры при внедрении режущего инструмента в заготовку. Баланс линейных моментов показывает силы инерции; внешние силы из-за текущего напряженного состояния появляются в балансе с приложением граничных нагрузок [1]:
ai,j+Pbj=PUi-
После преобразований в матричном виде можно записать
Ma + Rini - Rext
М,ь = \paN„NbS'0,
ВО
BO dBOr
С = \^Na,jdV0,
в о
где Мф - матрица масс, Н^ - внешние силы, Я™ - массив внутренних сил.
Формирование полей напряжений в процессе механической обработки невозможно рассматривать без влияния температурного фактора.
Принимаем, что объем изделия в процессе обработки подчиняется закону Фурье о теплопроводности. Теплопроводность рассматривается как свойство кристаллической решетки, которое не изменяется из-за пластических деформаций [1]. Тензор объемной теплопроводности представляется как
/) = 1<е1)ГеТ, (1)
где О - тензор постоянной теплопроводности; а закон Фурье может быть записан 8 пространственной форме
Допустим, что рассматриваемый материал является изотропным, то I) = к! , а уравнение (1) записывается в виде
Э = кВе.
Допуская, что тепловыделение и теплопередача при обработке изделия резанием подчиняется основным законам термодинамики, первый закон можно представить как [1]:
ст+кт=д,
В1
= М>Л,,л, ,/г.
во
(2а = \*Иа4У+ \hNJS,
Вг Вщ
где Т - массив узловых температур, СаЬ - матрица теплоемкости, КоЬ - матрица удельной проводимости, Оа -матрица источника тепла.
Уравнения, описывающие механику и тепловые процессы, рассчитываются по отдельности, то есть пошагово [1]. Во время вычисления механического шага температура принимается постоянной. На термическом же шаге остается неизменным тепловыделение. Механический шаг использует текущее распределение температур, при этом выделенное тепло определяется на основе пластической работы и теплоты трения. Рассчитанное тепло переносится на сетку для термического анализа, и температуры пересчитываются. Затем полученные температуры переносятся на сетку для расчета механических процессов. На рис. 1 приведен общий алгоритм процедуры для совместного вычисления уравнений механики и тепловых процессов.
Другой способ проведения термомеханического анализа использовали Ширакаши, Маекава и Юсуи [3], где напряжение течения металла представлено в виде
С л. >,0.0195
аг = А0(тМ—\ б02\ (2)
1 \l000j
где А0(Т,е) = 1394<Г000ШГ + 339е-0-0000184[г-(м3+23.51п(?/1000))]»
Выражение (2) справедливо в следующих диапазонах значений параметров: Т - 293-970°К, ё — 0,05-2, ё = 10'5-10"4 с1.
Рис. 1. Алгоритм совместного вычисления уравнений механики и тепловых процессов
При рассмотрении процесса отделения стружки от заготовки важным является определение критерия разрушения. Он может быть представлен как достижение критической величины epf фактической пластической деформации на расстоянии I непосредственно от зоны отделения стружки [1]. Этот критерий выражается в форме
max£^(/,0) = epf,
при этом отделение стружки от заготовки в процессе механообработки происходит при угле, равном О, для которого критерий удовлетворяется.
Согласно решению Райса и Трейси [4] критическая фактическая пластическая деформация может быть определена как [5]:
epf *2ASe~L5p/*,
(где р — акк / 3 - гидростатическое давление (р > 0 - гидростатическое растяжение).
Представив таким образом базовые функциональные зависимости, характеризующие основные явления в зоне резания после механической обработки, возможно прогнозирование остаточных полей напряжений после фрезерования изделия с последующей оптимизацией по критерию минимизации поводок детали. Основным недостатком приведенного аналитического подхода является необходимость большого количества исходных данных для выполнения расчета, что вызывает трудности при их определении.
Другим способом изучения искажения формы детали после механической обработки является экспериментальный подход. Исходными данными при этом [6] являются допустимые смещения точек на поверхности детали в направлении, перпендикулярном к этой поверхности. В качестве определяемых параметров рассматриваем режимы механообработки.
В основу метода [6] положен принцип создания двух систем семерок чисел, которые после аппроксимации, позволяют получить два функционала:
Ф(вэ] = Ф(Л°, еГ, hf ,3 , S, Z), / = 1,2, (3)
где зе - независимый параметр; А, - суммарная сила, действующая на упрочненный слой, отнесенная к единице длины в направлении оси ОХ, (j 7, / Ф 3); - удельная деформация; h^ - глубина эффективного приложения
силы Л1.; 9 - скорость обработки; S - подача; Z - припуск.
Алгоритм решения задачи моделирования напряженного состояния детали после механообработки для данного метода следующий:
1. Решается упругая задача (по МКЭ) по определению asi, ae? в узлах сетки по заданным параметрам Х5 в этих узлах.
2. Определяются режимы обработки по se¡, эе2 из формулы (3).
3. На основе полученных результатов решается задача по определению деформаций детали после обработки на указанных режимах резания.
Каждый из рассмотренных выше методов моделирования механообработки (теоретический и экспериментальный) имеют свои преимущества и недостатки. Для теоретического метода характерен уход от проведения большого числа натурных экспериментов, но в то же время приходится принимать множество допущений при проведении расчета, связанного с более упрощенным рассмотрением процесса обработки. В свою очередь, экспериментальный подход является более точным по сравнению с теоретическим методом, но предполагает проведение достаточно большого количества экспериментов для учета всех факторов, оказывающих влияние на формирование поверхностного слоя обработанной детали.
Библиографический список
1. Metal cutting and high speed machining / edited by D. Dudzinski, Molinari, and H.Schulz. 2001, Metz, France.
2. Belytschko, Т., "On Computational Methods for Crashworthines," Comp. Struct. 42(2) (1992), pp. 271-279.
3. T.Shirakashi et al., "Flow stress of low carbon steel at high temperature and strain rate", Bullettin of JSPE, Vol.17, pp.167-172, 1983.
4. Rice, J.R. and Tracey, D.M., "On the Ductile Enlargement of Voids in Triaxial Stress Fields," J. Mech. Phys, Solids, 17 (1969), pp. 201-217.
5. Ritchie, R.O. and Thompson, A.W., "On Macroscopic and Microscopic Analyses for Crack Initiation and Crack Growth Toughness in Ductile Alloys," Metall. Trans., 16A (1985), pp.233-247".
6. Журавлев Д.А, Принцип суперпозиции для учета остаточных напряжений при механообработке // Исследования по механике деформируемых сред: сб. науч. тр. - Иркутск: ИПИ , 1991. - 157 с.
