Моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при воздействии ударной сосредоточенной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при воздействии ударной сосредоточенной нагрузки

© В.М. Дубровин, Т. А. Бутина МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

На основании общей теории пологих оболочек решена задача оценки напряжений и деформаций цилиндрической ортотропной оболочки при действии ударной сосредоточенной нагрузки, направленной по нормали к поверхности оболочки. Первоначально задача решается путем выделения в зоне контакта элементарной площадки на срединной поверхности оболочки. Найдена главная часть решения и определены асимптотические формулы для перемещений и внутренних силовых факторов при условии, что зона контакта стремится к нулю.

Ключевые слова: контактная сила удара, зона контакта, цилиндрическая оболочка, дифференциальный оператор, асимптотическое приближение.

Рассматривается задача по определению напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при воздействии ударной сосредоточенной силы, например при соударении оболочки с твердым телом небольших размеров. При этом предполагается, что: вся энергия удара идет на получение деформаций; изменение количества движения оболочки вследствие соударения мало;

при соударении вектор относительной скорости удара направлен по внешней нормали к поверхности оболочки;

твердое тело, участвующее в соударении, - шар радиуса г (г << Я, Я - радиус оболочки).

При указанных предположениях контактная сила удара может быть определена из условия равенства кинетической энергии соударяющихся тел и работы контактной силы удара на упругих и упруго-пластических деформациях оболочки. Тогда справедливо соотношение [1-3]

т2 =

т1т2

где т =—- масса тел, участвующих в ударе; т1, т2 - масса т1 + т2

оболочки и шара соответственно; Уа - проекция скорости соударе-

2

ния тел на направление внешней нормали к поверхности оболочки; Р - контактная сила; ж - упругая или упругопластическая деформация оболочки под действием контактной силы.

Поскольку т1 >> т2, то т = т2

и

Р = т2Уа

(1)

Формула (1) позволяет определить контактную силу удара. При этом следует исходить из того, что в общем случае механические характеристики материала оболочки при ударном нагружении зависят от скорости соударения. Согласно [4-6], предел текучести металлов увеличивается с возрастанием скорости нагружения, приближаясь к пределу прочности, и зависит от статического предела текучести. В то же время предел прочности мало изменяется в зависимости от нагружения. Упругие характеристики не зависят от скорости нагру-жения.

При расчете величины контактной силы удара можно предположить, что кинетическая сила соударения в результате удара не испытывает физических изменений, а тепловые явления во время удара не учитываются. Поскольку рассматривается замкнутая система и кинетическая энергия, сообщенная оболочке, незначительна, очевидно, что вся первоначальная кинетическая энергия шара должна перейти в тепловую энергию деформации оболочки. Поскольку передача количества движения происходит быстрее, чем теплоотдача, можно допустить, что деформация оболочки закончится к тому времени, когда в полной мере начнут проявляться тепловые эффекты воздействия [7].

Зная величину контактной силы удара, можно определить напряжения в оболочке, вызванные этой нагрузкой. Поскольку рассматривается местная прочность оболочки при действии нормальной к образующей оболочки нагрузки, задача сводится к так называемому третьему напряженному состоянию.

Рассматривая цилиндрическую оболочку в соответствии с принятыми в теории оболочек положениями [8-9], внутренние силовые факторы можно представить в виде

#1 =

£15

(1 Я

ды

— + И

да

{ ду л - ж

др

Л

#2 =

¿25

(1 Я

ду ды --ж + —

др да

<51 = 52 = 1 2 Я

05 ( ду ды Л

+

ч да др у 2 +

М1 =

Е1Ъ2

М2 =

12(1 Я

Е252

д^ да

2

д ' ду +

да2 др

у

12(1 Я

д ' ду

д 2 '

др2 + др+^2'да2

М12 = М21 = 12 21 6Я2

2

д ' ду + -

дадр да

(2)

Здесь Е1, Е2 - модули упругости и коэффициенты Пуассона в осевом и кольцевом направлениях; 0 - модуль сдвига; Я, 5 - радиус и

толщина оболочек; а = Я - расстояние по образующей, выраженное

в долях радиуса Я; р - центральный угол; ы, V, ' - деформации оболочки по осям х, у, г; N1, N2, 5 - усилие в сечении оболочки; М1, М2 , М12 - изгибающие в сечении оболочки.

Используя соотношение (2), из уравнений равновесия получим

а^ы + аУ2У + аУз' = Рх (V = 1, 2, 3),

(3)

где аV - некоторые дифференциальные операторы.

Обозначим через Б детерминант системы (3), а через Б^, j - минор детерминанта Б, соответствующий элементу aV^. Тогда частное решение системы (3) можно представить в виде

= К-1Г+1 Dvф

V =1 3

'=К-1Г2 А2Ф

V=1

3

' = £ИГ3 БуЪФу,

V=1

где ФV - какое-нибудь решение уравнения

(4)

БФУ= Pv (v = 1, 2, 3).

(5)

Выделим на срединной поверхности оболочки элемент со сторонами а = 2 Яа 0, Ь = 2 Яр0. Нагрузку считаем элементарной, т. е. распределенной по элементу с постоянными составляющими . По-

аЬ

этому для компонентов нагрузки

4v (а р) =

Q— = const, если |а|<а0, |р|<р0,

4 ^2аоР,

0, если |а|>а0 или |2л:-р0| >|р|>р0. Если величины Ру представить в виде

(6)

Pv (а, Р) = Z Pvn (а)c0snp,

п=0

то, согласно (6),

Pv0 =

про

2sinnP0

-P =

CQ v 4nR 2а0

если а < а

0

если \а\ > а

0

(7)

(8)

с =(1 -V1V2) r2 =(1 -V1V2) r2 с =(1 -V1V2) r2

1 E15 ' 2 E25 ' 3 G8 Если представить Фv в виде

да

Фv (а, р) = Z fvп (а) cos р,

п=0

(9)

то, развертывая детерминант Б и используя формулы (5), (7), (9), получим

fv

(8) —

E2 4G / , G + ~х (1 )

п2 f(6} +

" ./v п ^

^ (1 — ^1^2 ) + 2^1

E

+ 2-2

E

п4 + 4^4 f-fv^ — (10)

E,

E2 4G / , "G2+e (1—^1^2)

6 r(21 E2 8 r

п fv п п fv п = 1v п

E1

(v = 1,2,3...; п = 0,1,2...),

где

qv п = ■

12Я2E22

V , ,1/

(1 -^1^2 )52Е0

Pvп, ^ = (3^-С—М1М2)) (|) (11)

Используя метод интеграла Фурье, можно записать частное решение уравнения (10) в виде

л п = ± Г а ЛГ .

А п 2л V '•> Ап (л)

Здесь

А п (Л) = Л8 —

Е2 40

(12)

—Г —Г

^ + (1 — М1М2)

О Е1

п2л6 +

О 2М'

40

— (1 — М1М 2) + 2М1

Е

Е2 + 2^ Е,

п4 + 4^4 л4 +

Е

Е.

Е2 40 , .

Т2 + —(1 — М1М 2)

О Е1

п6л2 + п8. Е12

Для выделения главной части решения и получения асимптотических формул можно представить формулу (12), применяя (8) и (11), в виде

fv п ^ п ^

бш а0л соб ал ЛАп (л)

а л,

(13)

где т1 ^ о =

п

2бш пр(

п =

3Су(^у Е2

л2 (1 М1М2)52Е10аоро '

р

Обозначив корни уравнения А п (л) = 0 через

лп1 = п (( + шт), —лпь лп1, — лп1; лп2 = п ((2 + Шп2 ) — лп2 , лп2 , — лп2

и предполагая, что —лп1, лп1, — лп2, лп2 расположены в верхней полуплоскости (Вп1, Вп2 > 0), получим, что величины

а п1 = Ап1 + ^Вп1 , —ап1 , а п1 , —ап1; ап2 = Аг2 + *Вп2 , —ап2 , ап2 , —ап2

будут корнями уравнения

52 о ) = а2 +

Е2 40 л .

7Т + (1 2) О Е1

+1(0 -

40 п х „ — (1 -1^2) + 2^1

Е

а0 +

+ 2 Е «"4|а4 +

Е

Е

Е2 40 п . О Е1

а2 + Е2.

Е12

Вычислив интеграл (13) с помощью теории вычетов при любом а, получим

Л п (а) = ■

лХу

1

■+ I

Л>-1

res-

п (0) 0<а^ л<л

ЛА п (Л)

у

у=а+ао у=а-ао

(14)

Отсюда можно установить следующее равенство:

/уп (а) =

= 3Су£>у Е1 Ро

2л (1 )п 5 Оа0пР,

{1 + (СП1 вт пАп1 у - Сп сое пАп1У)е

~пВп\\у|

- [Сп2 вт пАп2 |у| - (1 - Сп ) СМ п Ап2у ] е пп2у } у

у=а+а0 у=а-а0'

Здесь Сп1, Сп, Сп2 зависят только от 4*1 , Вп1 , Ап2 , Вп2 .

Таким образом, определяется Фу и, тем самым, частное решение и, у, системы уравнений (3) при элементарной нагрузке.

Под решением задачи определения напряжений и деформаций 5 у

понимается предел решения, соответствующего элементарной нагрузке, когда каждая из величин а0 и Р0 стремится к нулю, а величины Qv остаются постоянными. Для упрощения выделения главной части решения, содержащей особенности, принимается

УЕ1Е2

О =

2(1 -|^2)'

/у п (а) = /у п1(а ) + /у п 2 (а),

( = Xп этпР^ эта0©л соэпа©л(-4^4л4)

/уп1(а) = 11^4 ^ I ^ 2 ч

п1104пр0 0 па 0 л( Л2 +1)4 5п (©л)

^ Л, (15)

_ sin nß0 l sin na0©л cos na©nd

Jvn2(a) _ 8 „8 „ I z 2 7Z4 dn,

n8ao©8 nßoO Л(Л2 +1)4

6CvQv©4 E2 Л2(1 2)§2G

^ n _

n 2

©4 _ ^

Ei

Если обозначить

Fvni(a) _ lim fvni(a),

ao ^0 ßo ^0

Fvn2(a) _ lim fvn2(a)

a0 ^0 ß0 ^0

Fvn (a) _ lim fvn (a)

a0 ^0 ß0 ^0

то можно записать

F i(a) fjViOinO©^ ,

Fv"i(a)_ n11©3 J 5n(©л)(л2 + i)4 '

Fv„2(a) ^/i^dn, (16)

n'©7 0 (л2 +1)4

Fv n (a ) _ Fv n1(a ) + Fv n2(a ) •

Вычислив второй интеграл в формуле (16), с помощью вычетов получим

гс^у (nз©Зu|3 ^6n2©2a2 ^ 15n©|au 15)e-n©lc 96n7©'

Fvn2 _ J 7v 7 (n3©3|a|3 + 6n2©2a2 + 15n©|a| + 15)e-n©a . (17)

Отсюда

dkFvn2(a) (1 , , )k

-k-_ (1 - sgn |a| - sgn a) x

da (18)

^vnk-7©k-7 ^„®|a| (n3©3 I I3 + A n2©2a2

x

96

e" "©|a| (n3©3 |a|3 + Akn 2©2a2 + Bkn©\a\ + Ck ),

где Ak _ 3(2 - k) Bk _ 3[5(1 - k) + k2] Ck _ (k -1)[(8 - k)k -15].

Таким образом, для любой компоненты (с индексом v=1, 2, 3)

(v) (v) (v)

сосредоточенной нагрузки перемещения u , v , w внутренние силовые факторы (как следует из формул (2) и (4)) можно получить воздействием известных операторов (-1)v+jDvj на ряд

Fv0 + Fv1 cosр + Fv2 cos2p + ...

По отношению к искомым величинам, которые определяются с помощью операторов Dvj ниже шестого порядка, указанное правило

справедливо при любых а и Р, а по отношению к оставленным искомым величинам при всех Р и а ^ 0. В случае, когда перемещения и внутренние силовые факторы определяются с помощью линейного дифференциального оператора не ниже шестого порядка, искомую величину можно представить в виде суммы не имеющего особенностей функционального ряда и функции, выраженной в замкнутой форме. Действительно, используя (16-18), можно записать

Z

а6

Го dak dpm

Fv к (a)cos np] = ^

а6

n=2

da к dp*

"Fvn1c0s np + Skm(a, p). (19)

Здесь

= а6

Skm(a'p)=dakdp

F (a) + F (a) cos p] + (- sgn a)k ^©k* 0 1 J 96

-(03 |a|3 + Ak 02a2 + Bk 0 |a| + Ck )e-0a| + cos(p + 2 mu) +

(20)

+(-1)

m

m+— 2

-a

d3y

+ Aka'

оу da

2 + Bk Ia|

dy

a

Y

+ Ck У

d| a|3 " da2 "1 'd|c y(|a|,P) = y1(|a|,P) = --2ln+ e-20'a'- 2e0a'cospj при m = 2v;

y(|a|, p) = y2(|a|, P) = arctg 0^P-при m = 2v + 1.

e 1 1 - cosp

Первая функция в правой части равенства и ограниченные члены, входящие в состав второй функции, могут быть отображены, если искомая величина неограниченно растет по мере приближения к точке приложения сосредоточенной нагрузки.

Пусть m = 2j, а k = 6 - m - четное число, тогда на основании изложенного выше в (19) можно целиком отбросить стоящий в правой части ряд, а в выражении для Sk m отбросить все члены, кроме

(—1) 1—^0к—1Ск у (| а|, р).

Используя полученный результат и формулу (18), можно получить следующее асимптотическое равенство:

ъ

д6

п=0 да* др™ л

(а)соБ пр

—(—1)196 ^—\к — 1) [к (8 — к) — 15]1п р,

(21)

2 2 2 2

где р = 0 а +р , справедливое в окрестности а = 0 и р = 0. При к + т = 1,8 получим асимптотическое равенство

г дк+т

ъ

п. 0 дакврт

л

(а )соб пр

—(—1) ■>— ^0 96 V

\к—1

д

к+т—6

дакдрт

а04 |а|4 (02а2 — 3р2)

Р

+ 3(2 — к '' )02а 2( 02а2 — р2) + 3 [5(1 — к '') + к

2

02а 2

(22)

— (к '' — 1)

М8—к '')

—15

1п р},

к + т = к' + т' + 6 = 1,8; к', т', к" + к — к', 21 + т — т' > 0.

С помощью формул (21) и (22) можно получить асимптотическое равенство для всех перемещений и внутренних силовых факторов, не ограниченных в окрестности точки а = 0 и р = 0. Так, для перемещений и внутренних силовых факторов справедливы асимптотические формулы

« 02—1У(2)б2 « —

(1 + М1М2(3 ^М1М2) )

8л5 4 Е2 Е3

1п р,

М<3> = —

бэ(1 ^М1М2)

4л

Ч Л^

Vм У

1п р,

(23)

м23)=—

бэ(1 +УМ|МГ) (М1 Л"4

4л

V М2 у

1п р,

1

1

= -

01

4лЯ

у

2(1+7Н1НТ)Р2р-2 - (з+ТННТ)

ар

-2

#12) = -

02

Г

4лЯ

чН 2

1

1 4

2(1 + )©2а2р-2 - (3 + )] Рр-2.

Как уже отмечалось, в работе рассматривается прочность оболочки при действии контактной ударной нагрузки, направленной по нормали к поверхности оболочки. В этом случае напряженное состояние оболочки определяется в основном изгибающими моментами М1 и М2, для которых в соответствии с формулами (23) справедливы асимптотические формулы

М1 = -

Д1f ^2141п Я

4л

Н1

1

г

М2 =-

р(1 (141п я

4л

у

Тогда напряжения в зоне контакта

6М,

01 =•

°2 =■

6М 2

г

2

2

5

5

Полученные соотношения показывают, что в зоне упругих и упругопластических деформаций напряжения при ударе линейно зависят от величины контактной силы и позволяют оценить напряженно-деформированное состояние оболочки при рассмотренном воздействии.

Из всего сказанного выше можно сделать следующие выводы: в работе получены расчетные формулы, описывающие напряженно-деформи-рованные состояния цилиндрической оболочки при действии ударной сосредоточенной нагрузки;

в зоне упругих и упругопластических деформаций напряжения при рассмотренном воздействии линейно зависят от контактной силы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Вольмир А.С. Устойчивость деформированных систем. Москва, Наука, 984 с.

[2] Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. Киев, Наукова думка,1990, 497 с.

[3] Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 1. Москва, Машиностроение, 1968, 832 с.

[4] Окопный Ю.А., Радин В.П., Чирков И.П. Механика материалов и конструкций. Москва, Машиностроение, 2001, 407 с.

[5] Справочник металлурга по цветным металлам. Москва, Металлургия, 1971, 107 с.

[6] Жилин П.А. Актуальные проблемы механики. Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН, 2006, 306 с.

[7] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды, т. 2. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 560 с.

[8] Власов В.З. Избранные труды. т. 1: Общая теория оболочек. Москва, Изд-во АН СССР, 1962, 528 с.

[9] Работнов Ю.Н. Проблемы механики деформируемого твердого тела. Избранные труды. Москва, Наука, 1991, 194 с.

[10] Сиратори М. Вычислительная механика разрушения. Москва, Мир, 1986, 334 с.

Статья поступила в редакцию 27.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Дубровин В.М., Бутина Т.А. Моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при воздействии ударной сосредоточенной нагрузки. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 9. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/957.html

Дубровин Виктор Митрофанович родился в 1935 г., окончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета в 1958 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика». Специалист в области прочности, устойчивости деформируемых систем. Автор более 120 печатных работ. е-mail: vmdubrovin@mail.ru

Бутина Татьяна Александровна родилась в 1950 г., окончила Московский физико-технический институт в 1974 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика». Специалист в области прочности и устойчивости деформируемых систем. е-mail: butina_ta@mail.ru