МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ИЗГИБЕ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ЭКСПЕРТ: ■ ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Научная статья

УДК 624.072 (075.8) + 624.94.014.2 : 624.044.3 ГРНТИ: 67. Строительство и архитектура ВАК: 2.1.9. Строительная механика doi:10.51608/26867818_2022_4_55

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ИЗГИБЕ

ПОТАПОВ Александр Николаевич

член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет) (Россия, Челябинск, e-mail: [email protected])

ШТУРМИН Сергей Валерьевич

инженер

Университет Тэгу

(Республика Корея, Кёнсан, e-mail: [email protected])

Аннотация. Представлено уравнение, описывающее характер изменения пластических деформаций вдоль балки с учетом упрочнения материала. Введены две упрощающие предпосылки, согласно которым область с текучестью волокон разбита на специальные зоны: упругопластическую и пластическую. При моделировании упругопластической зоны зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций подчиняется диаграмме Прандтля, при моделировании пластической зоны - линейному упрочнению материала. Введенные предпосылки создают возможность для выполнения расчетов однопролетных статически неопределимых балок с пластическими зонами на единичные воздействия, что позволяет их использовать в упругопластическом расчете рам методом перемещений.

Статья подготовлена по итогам 1-й Международной научной конференции «Соломинские чтения» проведенной в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск), посвященной крупному русскому ученому - академику РААСН В.И. Соломину.

Ключевые слова: упругопластические деформации, пластическая зона, предельное равновесие, предел текучести, напряжение, строительная механика

Для цитирования: Потапов А.Н., Штурмин С.В. Моделирование напряженно-деформированного состояния стержня при упругопластическом изгибе // Эксперт: теория и практика. 2022. № 4(19). С. 55-59. doi:10.51608/26867818_2022_4_55.

Original article

SIMULATION OF STRESS-DEFORMED STATES OF A ROD UNDER ELASTIC-PLASTIC BENDING

© The Author(s) 2022 POTAPOV Aleksandr Nikolaevich

Corresponding Member of the RAACS, doctor of technical Sciences, professor South Ural State University (National Research University) (Russia, Chelyabinsk, e-mail: [email protected])

SHTURMIN Sergey Valerievich

Engineer Daegu University

(Republic of Korea, Gyeongsang, e-mail: [email protected])

Annotation. The paper presents an equation that describes the nature of the variation in plastic deformations along the beam considering the hardening of the material. Two simplifying assumptions are introduced, according to them the region with the fluidity of fibers is divided into special zones: elastoplastic and plastic. When modeling an elastic-plastic zone, the dependence between the intensities of stresses and strains obeys the Prandtl diagram, and when modeling a plastic zone, it obeys the linear hardening of the material. The introduced prerequisites make it possible to perform calculations of single-span statically inde-

© Авторы 2022 SPIN: 5034-1480 AuthorID: 745600 ORCID: 0000-0002-9079-2667 ResearcherID: AAF-2331-2020 Scopus ID: 56825170800

SPIN: 7486-8316 AuthorID: 932757

Технические науки. Строительство и архитектура ■

terminate beams with plastic zones for single actions, which allows them to be used in the elastic-plastic calculation of frames by the displacement method.

The article was prepared following the results of the 1st International Scientific Conference "Solominskiye readings" held at the South Ural State University (Chelyabinsk), dedicated to a prominent Russian scientist - Academician of the RAACS V.I. Solomin.

Keywords: elastoplastic deformations, plastic zone, limit equilibrium, yield point, stress, construction mechanics

For citation: Potapov A.N., Shturmin S.V. SImulation of stress-deformed states of a rod under elastic-plastic bending // Expert: theory and practice. 2022. № 4 (19). Рр. 55-59. (InRuss.). doi:10.51608/26867818_2022_4_55.

Введение

При сейсмостойком строительстве широкую известность получило понятие «пластическая зона» (ПЗ) или «пластический шарнир длины lp» (plastic hinge length) - по терминологии зарубежных специалистов. Впервые это понятие ввел новозеландский ученый-сейсмолог Полай в 1979 г. в докладе [1], где сообщалось о том, что ПЗ должны специально проектироваться в наиболее нагруженных элементах (ригелях и колоннах) сейсмокаркаса с целью противодействия разрушению при сейсмическом воздействии.

Обоснованием этого утверждения является то, что возникновение пластических деформаций при землетрясении сопровождается поглощением энергии сейсмических воздействий. Образование ПЗ вследствие текучести волокон в конструктивных элементах приводит к повышенной деформативности конструкции при ударе и последующей трансформации сейсмической энергии в тепловую, то есть рассеянию в окружающую среду. Такая способность конструкции к поглощению и диссипации энергии позволяет отводить часть энергии от нагруженных элементов и в целом обеспечивает снижение сейсмического воздействия на каркас и повышение его надежной работы.

Разработки, связанные с использованием ПЗ, вызвали значительный интерес у специалистов. Подавляющее большинство работ относится к экспериментальным исследованиям. Внимание акцентировалось на вопросах, относящихся к параметрам ПЗ, таких как длина зоны, место ее расположения в конструкции, количество ПЗ и др. Большая часть этих исследований посвящена особенностями проектирования ПЗ в железобетонных [2-5] и металлических [6-9] конструкциях. Эти исследования получили закрепление в нормативных документах США и других стран [10-12].

Методы

Отсутствие теоретических исследований объясняется сложностью анализа систем с ПЗ, требующего рассмотрения ряда вопросов. Например, вопроса о характере распределения напряженно-деформированного состояния (НДС) при нелинейном деформировании стержня с учетом упрочнения материала, вопроса моделирования этого распределения с целью получения более простых зависимостей для последующего анализа.

Ниже изложен теоретический подход к проблеме упругопластического изгиба стержня с учетом

упрочнения материала [13-14]. Данный подход планируется применить для проведения упругопласти-ческих расчетов рамных систем на действие узловой нагрузки по методу перемещений. Применение метода требует выполнения анализа стандартных статически неопределимых балок на единичные воздействия, причем в концевых частях стандартных балок должны содержаться ПЗ. Это требует разработки аналитического решения и приводит к задаче изучения НДС отдельного стержня при упругопластиче-ском деформировании, сводящейся к определению закона распределения нормальных напряжений в пределах области текучести волокон. Изучение этого вопроса неразрывно связано с проблемой моделирования полученного распределения напряжений, так как применение данного закона напрямую в интеграле Мора чрезвычайно сложно из-за математических трудностей.

Поэтому следующим шагом является введение упрощающих предпосылок по преобразованию области нелинейных деформаций. В результате данная область разделяется на две самостоятельные зоны: упругопластическую (УПЗ) и пластическую (ПЗ) зоны. Каждая из этих зон наделяется свойствами физико-геометрических характеристик (зависимостью модуля упругости в УПЗ и момента инерции сечения в ПЗ), что позволяет перевести решение задачи в плоскость практического анализа.

Результаты, анализ

Рассмотрим стержень прямоугольного сечения под действием узловой нагрузки, приводящей (при линейном характере изгибающего момента) в некоторой области Ц к упругопластическим деформациям (Рис. 1).

В области нелинейных деформаций максимальные нормальные напряжения больше предела текучести стт (Рис. 1 а), поэтому эта область отделена от узла приузловым участком (зоной усиления) с повышенной жесткостью, обеспечивающей безопасную работу узла при ст < стт.

Для любого сечения на интервале Х1 е[0, Ц величина момента М(х) определяется уравнением:

М(х) = Mmax - МтаХ~ МеХ1, (1) Ьр1

где Ме - предельно-упругий момент.

В области нелинейных деформаций приняты следующие допущения:

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

• гипотеза плоских сечений (эпюра деформаций е на рис. 1 с)

• линейный закон упрочнения материала

• влияние тангенциальных напряжений пренебрежимо мало

М(х) = ^((ат - £о£т)(3 - а2)+2Яо£т) (2)

Приравнивая (1) и (2), получим при ah = 2|у| уравнение:

7 = ci+ ^ - 77 (7 (3)

Для построения закона распределения напряжений в пределах нелинейной зоны необходимо рассмотреть три стороны задачи: геометрическую, физическую и статическую. Из геометрической стороны задачи, согласно рис. 1 (b, c), следует соотношение е(х) =

Из рассмотрения физической стороны задачи вытекает уравнение

ст(х) — стт = [е(х) — ет]£0 = —(1 а) где Eo - модуль упрочнения.

_ с-1,5(1 - feo). , _ (1 - feo). „ _

где. ci = —————, c2 = ——— c3 =

feo

(c - 1)

2(c - 1)'

4(c - 1)

-; с = ■

k0 =

Б

-En

Уравнение (3) описывает изменение высоты упругого ядра сечения балки в области текучести волокон в рамках теории линейного упрочнения (Рис. 2). Из анализа кривой (3) следует, что для области значений — е [0, 1] ее область определения нахо-

2у

дится в интервале +— е [ерБ, 1]. При этом величина ерБ зависит от длины L и при неограниченном воз-

М

/ / ___А х U

От ах СТ > От <Ут

1 \ \ [ът СТт \

! / 2eps рС

/ L

/ и/ vl \

Рис. 2. Кривая распределения пластических напряжений в зоне упругопластических деформаций для материала с упрочнением

Статическая сторона задачи устанавливает связь между усилиями и напряжениями: М(х) = 2Ь/0'1/2(а.у)^у.

Записывая сумму моментов, вызванных результирующими силами нормальных напряжений и объединяя все три стороны задачи, приходим к следующему выражению изгибающего момента:

растании L ^ ж расстояние между кривыми монотонно стремится к нулю (ерБ ^ 0).

Анализ показывает [13], что при отсутствии упрочнения (^ = 0, Мтах = Mo, c = 1,5; C2 = 1, а = cз = 0) уравнение (3) становится квадратичной функцией, что согласуется с исследованиями Соколовского В.В. [15]:

м

M

e

Технические науки. Строительство и архитектура

{I

(4)

_ 4у2 Ь = к2 '

Хотя (3) принадлежит к классу элементарных функций, эту зависимость сложно использовать при вычислении перемещений на основе интеграла Мора. Моделирование НДС стержня на участке Ь позволяет получить более простые зависимости [14]. С этой целью вводятся две упрощающие предпосылки относительно характера деформирования. Участок Ь разбивается на две самостоятельные зоны длиной Ь и 1р (Рис.3).

Ix = I {-

1} (x е [(v-a)/, vi]),

(6)

(V- а)

обеспечивающая создание ПЗ равной несущей способности.

С помощью физико-геометрических параметров (5), (6) выполняются расчеты однопролетных статически неопределимых балок с закреплениями:«заделка» - «шарнир» и «заделка» - «заделка» на единичные воздействия по методу сил. На их основе формируются таблицы стандартных балок с расчетными усилиями, которые помимо известных коэффициентов содержат

В зоне длиной Ь, характеризуемой небольшим объемом пластических деформаций, принята работа материала стержня без упрочнения с кривой пластических нормальных напряжений в виде квадратной параболы (сплошная линия на рисунке). Данная зона называется упругопластической (УПЗ).

В зоне длиной 1р большая часть волокон материала испытывает напряжения ст > стт- Здесь принято линейное упрочнение материала при полном отсутствии упругих деформаций. Зона называется пластической (ПЗ).

Первая предпосылка: деформация волокон в УПЗ происходит в соответствии с теорией идеально-упругопластического тела с переменным модулем упругости Ех, подчиняющимся квадратичному закону (т.е. Ех пропорционален отношению высоты упругого ядра 2у к высоте сечения Л:

безразмерные поправочные функции, называемые балочными пластическими функциями (БПФ). Эти функции учитывают нелинейные деформации и другие особенности специальных зон (УПЗ, ПЗ, ЗУ).

Ф = 1

M

Ci

и + V = 1

EI

vi

M.

M —■—1—"

(M)

Ex = E

■ lû 4d

Рис. 4. Опорные реакции в балке с ПЗ при единичном повороте заделки

(xi = (v - a)/ - x е [0; d]),

^ (v— a) im

, (5)

где: а = 1р / I - относительная длина пластической зоны; т = 1 - Ме / Мо; Мо - предельный пластический момент; Мв - концевой момент знакопеременной эпюры (Рис.3). При шарнирном опирании стержня Ь = (V - а)1т.

Вторая предпосылка: деформация всех волокон в ПЗ происходит за пределом упругости с постоянным модулем упрочнения Ео. Величина момента инерции при Мв < Мо (Рис. 3) принята в виде:

Например, для балки с закреплениями «заделка» - «шарнир» (Рис. 4) расчетные усилия при единичном угле поворота заделки имеют вид [14]: Ма ■■

/1(a), Qb = Ол = ^ fi(a),

где: /i(a) = 1 / { + 3a (v - a)(v - a ) + (v - a)3 [1 + 4 K0 2

3m - m2 + - m3]} - БПФ; Ç > 1 - коэффициент ЗУ.

Всего получено 12 БПФ /(a) (1, 2 ..., 12) для различных расчетных схем балок, включая случаи расположения двух ПЗ в жестко защемленном стержне.

Q

в

№1 ЭКСПЕРТ: Щ' ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Табличные эпюры расчетных схем с ПЗ равной несущей способности используются при построении единичных эпюр в основной системе метода перемещений. Это позволяет реализовать схему упруго-пластического расчета рам в шаговом процессе метода последовательных нагружений [16].

Заключение

1. Получено уравнение (3), описывающее изменение высоты упругого ядра при упругопластиче-ском изгибе стержня прямоугольного сечения с учетом линейного упрочнения материала.

2. В результате моделирования НДС стержня анализ сложного уравнения (3) сведен к анализу более простых задач, вытекающих из введенных предпосылок. Согласно предпосылкам, область нелинейных деформаций разбита на две зоны - УПЗ и ПЗ.

3. При моделировании НДС в УПЗ зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций принята в соответствии с идеально-упругопластиче-ским поведением материала. Это позволило по длине УПЗ получить квадратичный закон изменения модуля упругости, выражающий пропорциональное отношение высоты упругого ядра к высоте сечения.

4. При моделировании НДС в ПЗ зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций принята в соответствии с теорией линейного упрочнения материала. Деформация всех волокон происходит за пределом упругости с постоянным модулем упрочнения Е0. Закон изменения момента инерции в ПЗ согласован с линейным характером изгибающего момента, что обеспечивает создание зоны равного сопротивления.

5. Введенные упрощающие предпосылки позволяют в аналитическом виде провести расчет стандартных статически неопределимых балок, расчетные усилия которых содержат безразмерные БПФ, учитывающие влияние специальных зон и дающие поправки к линейному расчету.

6. Предложенные методики и алгоритмы могут найти применение в проектных организациях при расчете и проектировании каркасных зданий для сейсмостойкого строительства.

Библиографический список

1. Paulay T., Bull I.N. Shear effect on plastic hinges of earthquake resisting reinforced concrete frames // Comite Euro-International du beton. Bulletin d' Information. Paris, 1979. № 132. Pp. 165-172.

2. Yuan F., Wu Y.-F., Li C.-Q. Modelling plastic hinge of FRP-confined RC columns // Journal of Engineering Structures. 2017. Vol. 131. Pp. 651-668. doi.org/10.1016/j.engstruct.2016.10.018

3. Megalooikonomou K.G., Tastani S.P., Pantazopoulou S.J. Effect of yield penetration on column plastic hinge length //

Journal of engineering structures. 2018. Vol. 156. Pp. 161-174. doi.org/10.1016 /j.engstruct.2017.11.003

4. Ahmadi S.A., Pashaei M.H., Jafari-Talookolaei R.A. Three-dimensional elastic-plastic pulse response and absorption of curved composite sandwich panel using DQ - Newmark method // Journal of engineering structures. 2019. Vol. 189. Pp. 111-128. doi.org/10.1016/j.engstruct.2019.03.041

5. Соснин, А. В. Методика двухстадийного расчёта армирования элементов железобетонных каркасных зданий и сооружений на действие сейсмических сил с применением концепции нелинейного статического анализа. Часть 1: постановка задачи, структура методики, информационная база исследования и стратегия определения параметров зон пластичности / А. В. Соснин // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2018. - Т. 18. - № 1. - С. 5-31. - DOI 10.14529/build180101. -EDN YPOREJ.

6. Heng P., Alhasawi A., Battini J.-M., Hjiaj M. Co-rotating rigid beam with generalized plastic hinges for the nonlinear dynamic analysis of planar framed structures subjected to impact loading // Finite elements in analysis and design. 2019. Vol. 157. Pp. 38-49. doi.org/10.1016/j.finel.2018.11.003

7. Tidemann L., Krenk S. A robust frame element with cyclic plasticity and local joint effects // Journal of engineering structures. 2018. Vol. 168. Pp. 191-204. doi.org/10.1016/j.eng-struct.2018.04.041

8. Deng K., Wang T., Kurata M., Zhao C., Wang K. Numerical study on a fully-prefabricated damage-tolerant beam to column connection for an earthquake-resilient frame // Journal of engineering structures. 2018. Vol. 159. Pp. 320331. doi.org/10.1016/j.engstruct.2018.01.011

9. Deng K., Zheng D., Yang C., Xu T. Experimental and analytical study of fully prefabricated damage-tolerant beam to column connection for earthquake-resilient frame // ASCE Journal of structural engineering. 2019. Vol. 145. № 3. 04018264(10). doi.org/10.1061 / (ASCE)ST. 1943-541X.0002270

10. ATC-40 Seismic Evaluation and retrofit of concrete buildings. California. USA, 1996. - 334 c.

11. NZS 3101. Part 2. 2. 2006. Code of design practice for the design of concrete structures. New Zealand Standards Association. Wellington, 17 c.

12. Eurocode 8 (EUR 25204 EN - 2012): Seismic design of buildings. Worked examples. - 522 с.

13. Shturmin, S.V. Distribution of Elasto-plastic Deformations in Rectangular Beam Subjected to the Bending / S.V. Shturmin, A.N. Potapov // Соломинские чтения: материалы первой Межд. науч. конф. (8-9 ноября 2022). - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2022.- С. 149-152.

14. Потапов, А.Н. Моделирование напряженно-деформированного состояния стержня с учетом упрочнения материала / А.Н. Потапов, С.В. Штурмин // Соломинские чтения: материалы первой Межд. науч. конф. (8-9 ноября 2022). - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2022.- С. 118-121.

15. Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.

16. Петров, В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика / В.В. Петров. - М.: Инфра-Инженерия, 2014. - 480 с.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Статья поступила в редакцию 01.11.2022; одобрена после рецензирования 25.11.2022; принята к публикации 25.11.2022.

The authors declare no conflicts of interests. The authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication. The article was submitted 01.11.2022; approved after reviewing 25.11.2022; accepted for publication 25.11.2022.