Моделирование напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в условиях ползучести материала Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.7.015.4

Моделирование напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в условиях ползучести материала

© Т.А. Бутина, В.М. Дубровин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Одним из основных свойств конструкционных материалов является ползучесть. Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния осесимметрично нагруженных оболочек вращения при ползучести.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, осесимметричное нагружение, ползучесть оболочки вращения, усталость материала, деформации. напряжения

Введение. Ползучесть, наряду с упругостью и пластичностью, является одним из основных свойств конструкционных материалов и заключается в увеличении деформации в процессе эксплуатации конструкции под действием даже постоянных нагрузок [1, 2]. Ползучесть проявляется и при небольших уровнях напряжений и нормальных температурах, но она, как правило, мала в течении всего времени эксплуатации конструкций и отбрасывается при расчетах. При повышении температуры и уровня напряжений в конструкциях ползучесть становится заметной, а иногда и решающей характеристикой в расчетах [4, 3]. В работе рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния осесимметрично нагруженных оболочек вращения при ползучести. Система разрешающих уравнений представлена в виде, удобном для решения методом конечных разностей.

Методика расчета. Рассматривается изотропная однослойная оболочка, образованная вращением некоторой кривой вокруг оси х (рис.1). Положение точки на поверхности оболочки определяется ортогональными криволинейными координатами а и 5, отсчитываемыми соответственно в меридиональном и окружном направлениях. Координатные линии а и 5 являются линиями главных кривизн Ка и К недеформированной поверхности. Геометрия оболочки задается

коэффициентами Ляме А и В, радиусами кривизны Яа и

Ка

Яр = —, толщиной И (а), начальным а0 и конечным ак значениями К 5

координаты а .

Оболочка может быть нагрета осесимметрично (неравномерно по толщине и образующей) и нагружена осесимметричными усилиями. Кроме того, температурное поле и внешние нагрузки могут меняться со временем. Если температурный нагрев и уровень напряженного состояния значительны, то в оболочке наряду с упругопластическими деформациями со временем возникают деформации ползучести.

Свойства материала характеризуются, например, набором

N = К *М диаграмм , Туу ¿) (/ = 1,2...К, у = \,2..Ы) зависи-

мости полной деформации е от времени ^ при постоянных значениях напряжения а и температуры Т . При этом напряжение и температура должны меняться с достаточно малыми шагами Аа = = аг+1 — а , ЛТ = Т+1 — Т и в широких пределах из-за сильной нелинейности зависимости е (а, Т, /). При выборе конкретного метода решения и «теории ползучести» указанные диаграммы перестраиваются в изохронные кривые, кривые «мгновенного» деформирования, диаграммы для скоростей ползучести и др.

Следует также задавать коэффициент температурного расширения ат и коэффициент Пуассона у .

При определении напряженно-деформированного состояния оболочки вращения в условиях ползучести использовались два различных подхода на основе деформационной теории ползучести.

В первом подходе полная деформация представляется в виде суммы упругопластической деформации, температурного расширения и деформации ползучести. Упруго-пластические деформации и соответствующие им напряжения определялись по кривым мгновенного деформирования методом переменных параметров упругости. По найденному напряженно-деформированному состоянию отдельно определялись деформации ползучести, использовались соотношения различных теорий ползучести. Деформации ползучести считались «пассивными» в том смысле, что собственно их изменение не влияет непосредственно на напряженное состояние оболочки, но приводит к изменению формы оболочки, из-за чего даже при постоянных внешних воздействиях может происходить перераспределение напряжений и упругопластических деформаций.

При втором подходе общие кривые ползучести перестраиваются в изохронные кривые и по ним методом переменных параметров сразу определяется сумма упругопластических деформаций и деформаций ползучести в искомый момент времени.

Ниже приводится вывод разрешающих уравнений для первого подхода, поясняется отличие в постановке и применении второго метода.

Рассмотрим связь усилий с деформациями с учетом разгрузки. По гипотезе Кирхгофа-Лява о неизменяемости нормали к срединной поверхности, деформации в слое, расположенном на расстоянии z от срединой поверхности, представляется в виде:

= еа- , еар= °

(1)

Здесь еа, е, ха, хр — полные деформации и измерения кривизн в

срединной поверхности оболочки, которые для осесимметричного случая нагружения согласно Х.М. Муштари [12] записываются следующим образом:

> и 1 2 п

е = и---ь — о , ея=3и-

К 2 Р

Ха=00 =

,= 1 В

к ' А йа В

и

К

(2)

где и, и — перемещения точек срединной поверхности, положительные направления которых указаны на рис.1, В — функция времени

Рис. 1. Схема перемещения точек срединной поверхности для оболочки вращения

Полные деформации в любом слое оболочки можно представить в виде:

е = еер + ес + еТ (а ^

а а а а V

Р),

(3)

е

а

ер

где еа

— упруго-пластическая часть полной деформации; еса — де

формация ползучести; еа — деформация нагрева.

Согласно деформационной теории термопластичности соотношение (3) можно представить в виде:

е„ = ■

(< -Г°р) + ааАа + еа (а о р)

(4)

Здесь Ес0 = < / ех — секущий модуль при одноосном растяжении;

гО

1

г = 2

1 + ( р-1) Ет

— коэффициент поперечного сжатия матери-

ала; Е — модуль Юнга.

При определении напряженно-деформированного состояния секущий модуль Е{0 находится из диаграммы мгновенного деформирования. Учет разгрузки осуществляется следующим образом. Пусть в некоторый момент времени t в некоторой точке разбиения оболочки по толщине и по длине температура была а, а мгновенный предел текучести определялся точкой А (см. рис. 2).

Рис. 2. Диаграмма мгновенного деформирования

В момент времени t + & при нахождении равновесного напряженно-деформированного состояния в той же точке оболочки будет рассматриваться уже не кривая ОАС, а ломаная ВАС. Если + Дt)<аА^), то точка (<-е^) будет на прямой разгрузки, если

+ Дt) > <гА ^) — то на кривой АС . При изменении температуры в

этой точке оболочки за время At от Т к Т' (см. ломанную В'Л'С') (см. рис. 3).

Рис. 3. Диаграммы мгновенного деформирования при изменении Температуры за время At от Т к Т'

Таким образом, при деформировании оболочки со временем активное напряженно-деформированное состояние определяется с учетом истории нагружения в смысле учета накопленной деформации ползучести и накопленной пластической деформации, но не зависит от пути нагружения. При одноосном напряженно-деформированном состоянии имеют место соотношения

еи = 2(! + /)ех, ,

а при двухосном

еи =

[(ев"е:)2 + (е,-е,)2

-(1 -4у + у2)(ев-ееа)(е, -е,) + + (1+ ГУ (аАТ -(еа - е°а ) - (ер - е*а )):АТ,

(5)

'а 1 ^, ^а^ , ^а

Разрешая уравнения относительно напряжений, можно получить связь напряжений и деформаций в оболочке в некоторый момент времени:

и

Е0

7—^к -< + у(е;-е0)-(1 + у)аТАТ](а ^ 0) (6)

I1 -у )

Е

а о \ а а

1л -у "

Систему напряжений, распределенных по грани некоторого элемента оболочки, заменим равнодействующими усилиями Та, Тр и моментами Ма, Мр, приложенными к срединной поверхности. Используя соотношения (1), (6), получим

Та = А8а + А280 - А3Ха - А4Х0- В1 - C1 - C2 ,

Т; = А18; Аз Х; А4 Ха В1 Cз С4,

Ма = Аз8а + А480 - А5Ха - А6Х0 - В2 - С5 - С6, М; = Аз8; + А48а - А5Х0 - А6Х; - В2 - C7 - С8,

(7)

где коэффициенты имеют вид:

А = I Есё2, А =\уЕс&, А = I А4 = \уЕс2й2, А5 = I 2А6 = I уЕс22 В =1Е (1 + у) аАТсЬ, В2 = IЕс (1 + у)аАТгёг,

С1 =|Есесаёг, С2 =1уЕсес;ёг, С3 =|Есес;ёг, (8)

С4 = ^У^а^ С5 = 1 ЕсеСагаг^ С6 = 1УЕсеC;zdz,

Е0

С7 = 1 С8 = 1 У-ЕЛ2^ Ес = Г^Г •

0 1 -У

Все интегралы берутся от - И/2 до + И/2, где И — толщина оболочки.

Ниже приводится разрешающая система уравнений, приведение ее к каноническому виду. Разрешающая система уравнений имеет вид:

, в

а ;/

, в „ Т„ Т

К+в + + q = 0, (9)

а А а Rа R; q ' ()

в

М:+^(Ма-М;) + Тау-Ыа= 0, Ыа= Qa +Та?,

где q — поперечная осесимметричная нагрузка; Та — растягивающая сила; Qа — перерезывающая сила.

Для того, чтобы определить напряженно-деформированное состояние оболочки, к (9) необходимо присоединить уравнения (1) и (2) для

получения замкнутой системы шести уравнений с шестью неизвестными и, V, р, Та, Ыа, . Из (1), (2), (7) путем несложных преобразований получим:

ёи ёа

(

= а, ви + Л

1 а

Л

V + а2вр + Л (а0Та + аъЫа ) + А

а4 - — + С1

V 2 )

ёа

= лр,

ёр ёа

= а,

ви+л— v+а вр- л (а та + аъыа)+а (а + с2*),

к

ёТа ёа

= в

О-ви-V + а^р + в(а10 -1)Та + а^а + «13 + с

к

кр л

+ в(а10 - 1) Та + «12м: + «13 + С3 ] ,

N.

ёа

а9 в

К

и + ■

Ла9

К

Ла,,

■V --

ав

К,

р-Л

1

а

л

+

V Ка Кр )

т -вы -

К

■М - Л

о I о

q + 13 3

р

V

К

р

ёа

= в

( Й Л

а14 а14 . а16в , т

14 и —14 V +—р+а 5 та

V

К

р

+ АКа+в( «18 + С4)

)

(10)

где

А = Л2 - ЛЛ, а = - 5

_ _ Л2Л5 Л3Л4 _ Л3Л6 Л4Л7

А ,а А , а А

А

Л3 В2 - Л5 в _ Лк А , а = А.

Л3 Л2 Л1Л4

А

а =

Л1Л6 Л3 Л4

а = ■

Л1В2- Л3 Ви

а9 = Л1 + Л2а1 Л4аб ,

а^ — а^, а^ ^ — Л, Л^, — а^,

а13 = Л2а4 - Л4а8 - В1, а14 = Л3 + Л4а1 - Л6аб , а15 = а2 ,

а16 = Л4а2 - Л6а7 - Л5, а17 = - а7 , а18 = Л4а4 - Л6а8 - В2 , С1* = а3 (С5 + С6 ) + а0 (С1 + С2 ) , С2 = а5 (С5 + С6 ) - а3 (С1 - С2 ) ,

С* = Л С * - Л С * - С - С С * = Л С* - Л С * - С - С

3 2 1 2 3 ^45 4 4 1 6 2 7 8'

(11)

Если ввести обозначения

3

а=

а4 =

а6 =

У1 = и У 2= Уз =Р, У4 = Та> У 5 = На, Уб = Ма, (12)

то система уравнений (10) для осесимметрично нагруженной оболочки вращения можно будет записать в общем виде:

^ = Л1]у] + В1, I,у = 1,2,...6. (13)

аа 1 '

Здесь Л — матрица коэффициентов однородной части; В — столбец неоднородных составляющих и нелинейных членов.

Значения Л и В легко определяются из (10). Для того, чтобы

система (13) стала замкнутой, к ней необходимо присоединить шесть граничных условий: по три на каждом торце оболочки

(У, - У* К, + (У,+3 - У^з )(1 - Л+з, ) = 0 (14)

у = 1,2; I = 1,2,3 ; причем у = 0 на левом краю у = 1 на правом.

Если нужно задать на краю оболочки кинематические граничные условия, то следует положить у = 1, если статистические, то у = 0 .

Направление внешних усилий Т*, Q* и внешнего момента М* совпадают с направлениями внутренних силовых факторов, указанных на рис. 4.

Рис. 4. Направление внутренних силовых факторов

После того, как искомые неизвестные и, w, р, Та, N, Ма будут найдены из решения краевой задачи (13), (14), через них можно определить деформации ер , т р по формулам (2) а также

8 а = а8р + а2ТР + а0Та + азМа + «4 + С

Та = авТр+ + «Тр - азТа + а5Ма + + С

* (15)

ТР = а8р + аиТр+ а10Та + «12м а + «13 +

Мр = а1,8 р + а16Тр + а15Та+ апМа+ «18 +

Примеры расчета. Численное решение задачи [13] позволило реализовать данный метод и получить кривые изменения деформаций в условиях ползучести [14]. Рассматривалась цилиндрическая оболочка радиуса 100 см, выполненная из сплава Д16АТ, осесимметричная нагрузка составила 72 т. Плотность материала 2,35 г/см3, модуль Юнга 7,2 кг/см2, коэффициент Пуассона 0,3, предел прочности 420 кг/см2 . Решение задачи иллюстрирует рис. 5. Полная деформация постоянна и равна 0,34 -102, на рис. 5 она изображена кривой 1. Распределение упруго-пластической деформации, полученной из точного решения, представлено кривой 2, а деформация ползучести кривой 3. Деформации аер (t) и ес (t), полученные простым шаговым методом Эйлера, представляют кривые 2', 3' соответственно. Решение, полученное с использованием модифицированного метода Эйлера-Коши с итерациями, отличаются от точного в четвертом знаке. Шаг выбирается автоматически из условия: относительное изменение решения на шаге не превышает 8, в приведенных задачах а равнялось 5 процентам.

Рис. 5. Кривые изменения деформаций в условиях ползучести:

1 — полная деформация; 2 — упруго-пластическая деформация, точное решение; 2' — упруго-пластическая деформация, простой шаговый метод Эйлера; 3 — деформация ползучести, точное решение; 3' — деформация ползучести, простой шаговый метод Эйлера

На рис. 6 кривой 1 изображена релаксация напряжений со временем, полученная при помощи точного решения и модифицированного шагового метода, а кривой 1' — с использованием простого шагового метода, кривая 2 иллюстрирует релаксацию напряжений, полученную методом изохронных кривых.

Рис. 6. Кривые релаксации напряжений со временем:

1 — точное решение; 1' — простой шаговый метод Эйлера;

2 — метод изохронных кривых

Выводы. Данный метод позволяет с достаточной степенью точности проводить расчет напряженно-деформированного состояния конструкций в условиях ползучести, это видно сравнения кривых, полученных точным и численным методом. Метод дает возможность определить нарастание деформаций с течением времени. Расчеты показывают, что ошибка определения напряжения и деформации составляет 2-3 процента, а ошибка нахождения времени около 10-20 процентов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Качалов Л.М. Теория ползучести. Москва, Физматлит, 1960, 455 с.

[2] Димитриенко Ю.И. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды. Т. 2. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 559 с.

[3] Григодюк Э.Н., Липовцев Ю.В. Устойчивость оболочек в условиях ползучести. Прикладная механика и техническая физика, 1965, № 4, с. 111-116.

[4] Дубровин В.М., Бутина Т.А. Моделирование процесса ползучести конструкционных материалов. Инженерный журнал: наука и инновации, вып. 9 (21), 2013, с. 131-139.

[5] Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2008, 432 с.

[6] Пачурин Г.В., Шевченко С.М., Дубинский В.Н., Власов О.В. Микромеханизмы высокотемпературной усталости и ползучести металлов и сплавов. Н. Новгород, НГТУ, 2006, 131 с.

[7] Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. Москва, Наука, 1967, 984 с.

[8] Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Разработка системы автоматизированного вычисления эффективных упругих характеристик композитов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2008, № 2, с. 57-67.

[9] Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. Москва, Физма-тлит, 2009, 624 с.

[10] Харлаб В.Д. Принципиальные вопросы линейной теории ползучести. Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2014, 207 с.

[11] Москвичев В.В. Лекции по механике разрушения. Новосибирск, Сибирский Федеральный Университет, 2007, 90 с.

[12] Жилин П.А. Актуальные проблемы механики. Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН, 2006, 306 с.

[13] Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 1957, 431 с.

[14] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва, Бином, 2001, 636 с.

[15] Фролов К.В. Избранные труды. В 2 т. Т. 2: Машиноведение и машиностроение. Москва, Наука, 2007, 523 с.

Статья поступила в редакцию 25.09.2019

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Бутина Т.А., Дубровин В.М. Моделирование напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в условиях ползучести материала. Математическое моделирование и численные методы, 2019, № 2, с. 3-14.

Бутина Татьяна Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специалист в областипрочности и устойчивости деформируемых систем. email: butina_ta@mail.ru

Дубровин Виктор Митрофанович — канд. техн. наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специалист в области прочности и устойчивости деформируемых систем. e-mail: dubrovinvm1934@yandex.ru

Modeling of stressed-deformed state of rotation shells under conditions of material creep

© T.A. Butina, V.M. Dubrovin Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

One of the main properties of structural materials is creep. The prob-lem of determining the stress-strain state of axisymmetrically loaded shells of rotation at creep is considered

Keywords: stress-strain state, axisymmetric loading, creep shell rotation, material fatigue, deformation, voltages

ТА. Bymma, B.M. fly6poem

REFERENCES

[1] Kachanov L.M. Teoriya polzuchesti [Creep theory]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1960, 455 p.

[2] Dimitrienko Yu.I. Universalnye zakony mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoy sredy [Universal laws of mechanics and electrodynamics of continuum]. Vol. 2. Moscow, BMSTU Publ., 2011, 559 p.

[3] Grigolyuk E.I., Lipovtsev Yu.V. Stability of shells in creep. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1965, vol. 6, iss. 4, pp. 71-74.

[4] Dubrovin V.M., Butina T.A. Inzhenerny zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, no. 9 (21), 2013, pp. 131-139.

[5] Golushko S.K., Nemirovskiy Yu.V. Pryamye i obratnye zadachi mekhaniki upru-gikh kompozitnykh plastin i obolochek vrashcheniya [Direct and inverse problems of mechanics of elastic composite plates and rotary shells]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2008, 432 p.

[6] Pachurin G.V., Shevchenko S.M., Dubinskiy V.N., Vlasov O.V. Mikromekha-nizmy vysokotemperaturnoy ustalosti i polzuchesti metallov i splavov [Micro-mechanisms of metals and alloys high-temperature fatigue and creep]. Nizhny Novgorod, NNSTU Publ., 2006, 131 p.

[7] Volmir A.S. Ustoichivost deformiruemykh system [Stability of deformable systems]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 984 p.

[8] Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Estestvennye nauki — Herald of Bauman Moscow State Technical University, Natural Science Series, 2008, no. 2, pp. 57-67.

[9] Dimitrienko Yu.I. Nelineynaya mekhanika sploshnoy sredy [Nonlinear continuum mechanics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009, 624 p.

[10] Harlab V.D. Printsipialnye voprosy lineynoy teorii polzuchesti [The fundamental problems of the linear creep theory]. St. Petersburg, SPbGASU Publ., 2014, 207 p.

[11] Moskvichev V.V. Lektsii po mekhanike razrusheniya [Lectures on fracture mechanics]. Novosibirsk, SibFU Publ., 2007, 90 p.

[12] Zhilin P.A. Aktualnye problemy mekhaniki [Current problems of mechanics]. St. Petersburg, IPME RAS Publ., 2006, 306 p.

[13] Mushtari H.M., Galimov K.Z. Nelinejnaya teoriya uprugih obolochek [Nonlinear theory of elastic shells]. Kazan, Tatknigoizdat Publ., 1957, 431 p.

[14] Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Chislennye metody [Numerical Methods]. Moscow, Binom Publ., 2001, 636 p.

[15] Frolov K.V. Izbrannye trudy. V 2 tomakh. Tom 2. Mashinovedenie i mashi-nostroenie [Selected Works. In 2 vols. Vol. 2. Theoretical and mechanical engineering]. Moscow, Nauka Publ., 2007, 523 p.

Butina T.A. Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Bauman Moscow State Technical University. Specialises in strength and stability of deformable systems. e-mail: butina_ta@mail.ru

Dubrovin V.M., Cand. Sc. (Eng.), Assoc. Professor, Bauman Moscow State Technical University; a specialist in the field of of strength and stability of deformable systems. e-mail: dubrovinvm1934@yandex.ru