Моделирование начальной области образования эмульсии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Моделирование начальной области образования эмульсии

М. Н. Романова, А. Е. Лебедев, Д. В. Лебедев Ярославский государственный технический университет, Ярославль

Аннотация: В статье рассматривается принцип образования эмульсии в механических абсорберах, где рабочий орган представлен в виде вращающегося цилиндра. Произведён анализ взаимодействия жидкостей в процессе образования эмульсии. Рассмотрено взаимное влияние слоёв жидкости. Получена оценка внутренних и внешних параметров, характеризующих процесс образования эмульсии. Исследование, приведённое в статье, поможет в составлении инженерных методик расчета режимных и конструктивных параметров устройств.

Ключевые слова: абсорбер, эмульсионный слой, вязкость, плотность, эмульсия, область поверхностного контакта, диссипация энергии, несмешивающиеся жидкости, вращающийся цилиндр, жидкость.

При работе с механическими адсорберами, принцип действия которых основан на образовании эмульсий за счёт рабочего органа, выполненного в виде частично погружённого в жидкость вращающегося цилиндра, важно понимать модель образования эмульсии. Опираясь на математическую модель данного процесса, впоследствии можно будет осуществлять подбор параметров промышленных аппаратов, их производительности и подбора режимов работы.

Рассматривая типовую схему образования эмульсионного слоя на вращающемся цилиндре [1], будем полагать, что образование эмульсионного слоя осуществляется в результате контакта спутных слоёв при взаимодействии двух различных жидкостей, который непосредственно приводит к образованию слоя смешения. Следует отметить, что первая из жидкостей, имеющая большую вязкость, будет примыкать к вращающемуся цилиндру, в то время как вторая, с меньшей вязкостью, в каждом из переходных состояний будет находиться в состоянии покоя. Отсюда можно получить соответствующую расчетную схему (рис. 1).

Уо [////////////////////!- 0 V» ^^е

Мр 0 Ьро Ьр_1_ Мр 7 7 циг Ьро

Ьэ

г г г

а) б)

Рис. 1 - Эпюры скоростей в эмульсионном слое: а) начальное состояние, б) развитый слой.

На рис. 1 а) показано начальное состояние системы. Твердая поверхность движется со скоростью захватывая жидкий слой с большей

вязкостью и начальной толщиной Ь^. На границе раздела жидкостей происходит увлечение захватываемой жидкости с меньшей вязкостью /1Ш.

При этом толщина слоя увлекаемой жидкости полагается конечной, однако неизвестной в исходной постановке задачи, таким образом являясь свободным параметром.

На рис. 1 б) показано распределение эпюр скоростей в жидких слоях. Предполагается, что на выходе из начальной области образования эмульсии слой более вязкой жидкости разрушается до толщины у твердой стенки.

Причем в переходной области между слоями образуется эмульсия с вязкостью Профиль эпюр скоростей, как указывается в [2, 3], должен

иметь точку перегиба в области их взаимодействия (смешения).

Будем полагать, что профили эпюр скоростей в слоях, принимая во внимание малые значения , а также условие перегиба профилей в области

их смешения, могут быть выбраны в следующем виде [3]:

, ,

где введены следующие обозначения:

= / «Л» = *г - г / - /Ьф,..

(1)

(2)

Кубические добавки в выражениях (1), (2) должны, как на это указывается в работе [3], учитывать эффект перегиба профиля. Однако в первом приближении их можно не учитывать. То есть, в дальнейшем, в качестве пробных функций профилей будут выбираться линейные функции: 0, что не противоречит методу конечных элементов [4].

Укажем систему граничных условий для линейных представлений (1),

(2):

при х = 0: й№= 1;

при х = хю: йр - а9х19 =

(3)

(4)

при X = В: ^ = Оили = ВгВ, (5)

где В = Гт/Ь.ур - относительная толщина эмульсионного слоя, увлекаемого вращающимся цилиндром.

В работе [3] приводится граничное условие для слоев смешения различных жидкостей, имеющих неодинаковые плотности и вязкости.

В указанном случае, как показал Лок [5], автомодельными независимыми переменными для каждого из слоев будут:

= л- ■ («! /

.

(6)

Из непрерывности касательного напряжения т = следует (при

^ 1*») разрывность производной на поверхности контакта. В

с5г

автомодельных переменных (6) условие для напряжений имеет вид:

,

(7)

которое в переменной «х» может быть записано следующим образом при х =

хю:

1 гл)? Л -лМ1

(8)

.

<£к"

Представление для - лгщ), учитывающее вязкость жидкости в

слое смешения, будет определяться в соответствии с эмпирическим представлением [6]:

(9)

Выражение (9) улучшено, по сравнению с эмпирическим [6] с точки зрения асимптотических значений вязкостей и более общей

иррациональной зависимости отношения толщин "чистой" жидкости - и эмульсионной составляющей {ЬГ9 — ¿гР1). Следует заметить, что показатель "с" может зависеть от то есть с =

Действительно, при = ь т.е. если более вязкая

жидкость не разрушается, то из (9) следует » ^. При й^ = 0 получаем , т.е. весь слой считается разрушенным. Перепишем (9) в более удобном виде:

. (10)

1 V'Ю

Для определения параметров д;^г&^В9гВ1гВгх1С} система граничных

условий (3-5), в выражении (8) является недостаточной.

Первое условие, замыкающее базовую модель образования эмульсии, может быть получено из "сшивки" динамического и статического решений задачи.

В соответствии с представлением касательного напряжения (7) будем понимать динамическую модель в силовом представлении:

(11)

где г = г, 0. = Причем представление параметра

"а" следует из выражения градиента капиллярного давления [1].

В соответствии с принятыми допущениями динамической модели запишем решение уравнения (8) в следующем виде:

(12)

Полагая, что при х = , получаем

? - (13)

Тогда первое замыкающее условие базовой модели образования эмульсии может быть записано следующим образом, при х = х10:

(14)

Найдем представления параметров Заметим, что = 1

следует из (3). Зависимость = В позволяет переписать выражение (4) в виде

1- л;. = (15)

Условие (8) связывает параметры аъ ^ соотношением:

^ л-, (16)

Условие (14) может быть представлено следующим образом:

(17)

Тогда выражение (15) можно записать в виде:

(18)

или, вводя обозначение у = Ё — дгцр представить в виде квадратного уравнения (19), решение которого имеет вид:

(19)

рр Рр ®

решение которого имеет вид:

а

1-4^-1;. (20)

Hv J

При найденном значении "у" параметр % определится выражением

(21)

fty

Последнее замыкающее базовую модель образования эмульсии условие может быть получено из вариационного принципа максимума диссипации энергии в слое смешения [2, 3, 7, 8].

Составим функцию диссипации для слоя смешения:

(22)

В составленном выражении перейдем к переменной х, полагая справедливым соотношение:

Тогда функцию диссипации (22) можно представить следующим образом:

(24)

или, учитывая выражение (16) и принимая во внимание оценку ¡¿р/^ » 1:

5 = (25)

Ранее указывалось, что показатель степени "с" в выражении (9) может зависеть от вязкостей В соответствии с формой граничного условия

(8) будем полагать справедливым следующее представление:

■- = ■-:' ; (26) тогда решение экстремальной задачи:

= (27)

с учетом представлений (25), (20), (21), (26) позволяет определить "внутренние" параметры базовой модели образования эмульсии: ■>

Укажем группу "внешних" параметров базовой модели образования эмульсии, которые, в частности, могут быть установлены опытным путем. К

ним относится состав эмульсии:

£

„ _ Ь^Ф-*)** (28)

,

который определяет объемное соотношение воды и масла (Qp) в

эмульсии.

Выражение (28) удобно представить в следующем виде: - = (29)

.

Второй "внешний" параметр определяет общий расход эмульсии,

который в безразмерной форме имеет вид:

о ^ , у^^Ц-Д^^^^ , 1 > (30)

У-,-;- - У-.-Л1 " --:-'ч1 " ~—.'. (30)

Гр г 'тер

Укажем зависимость, определяющую объемный расход эмульсии

(м3/с):

0- = I (31)

где I - ширина лотка съема эмульсии с поверхности цилиндра (ленты); комплекс т/к^' ^ ~ определяет долю увлекаемой вращающимся

цилиндром, прилегающей к его поверхности более вязкой жидкости; к - коэффициент расхода.

Массовый расход (кг/с) эмульсии определяется выражением

• ¿V: 1 ч^Т'^-. (32)

В выражениях (31), (32) В = уГя^™) - что следует из ранее

введённого обозначения у = Ё — зг10.

Таким образом была определена модель «внутренних» и «внешних» параметров образования эмульсии.

Литература

1. Романова М. Н. Моделирование процесса взаимодействия вращающегося цилиндра с несмешивающимися жидкостями / М. Н. Романова, А. Е. Лебедев, Д. В. Лебедев // Инженерный вестник Дона. - 2019. - № 1; URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5619

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1969. - 742с.

3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973. - 758с.

4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. - 464с.

5. Look R. С. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951. V.4. - p.42.

6. Плановский A. H. Процессы и аппараты химической технологии / A. H. Плановский, В. М. Рамм, С.Э. Качан. - М.: Госхимиздат, 1962. - 847 с.

7. Лойцанский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973. - 847с.

8. Ландау Л. Д. Механика жидкости и газа / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1954. - 795с.

9. Лебедев А. Е. Математическое описание дисперсных потоков неоднородных жидкостей / А. Е. Лебедев, М. Н. Романова // Инженерный вестник Дона. - 2018. - № 3; URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2018/5160

10. Tharmalingam S., Wilkinson W.W. The coating of newtonion liquids onto a rotating voll // I.Chem. Eng. Sei. 1978. V.33. - pp.1481-1487.

References

1. Romanova M. N., Lebedev A. E., Lebedev D. V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2019. № 1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5619

2. SHlikhting G. Teoriya pogranichnogo sloya [The theory of the boundary layer]. Nauka. 1969. 742 p.

3. Betchelor Dzh. Vvedeniye v dinamiku zhidkosti [Introduction to fluid dynamics]. Mir. 1973. 758 p.

4. Oden Dzh. Konechnyye elementy v nelineynoy mekhanike sploshnykh sred [Finite elements in nonlinear continuum mechanics]. Mir. 1976. 464 p.

5. Look R. С. Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951. V.4. p.42.

6. Planovskiy A. H., Ramm V. M., Kachan S. E. Protsessy i apparaty khimicheskoy tekhnologii [Processes and devices of chemical technology]. Goskhimizdat. 1962. 847 p.

7. Loytsanskiy L. G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of fluid and gas]. Nauka. 1973. 847 p.

8. Landau L. D., Lifshits E.M. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of fluid and gas]. Nauka. 1954. 795 p.

9. Lebedev A. E., Romanova M. N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2018. № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2018/5160

10. Tharmalingam S., Wilkinson W.W. The coating of newtonion liquids onto a rotating voll. I.Chem. Eng. Sei. 1978. V.33. pp.1481-1487.