Моделирование начальной области образования эмульсии
М. Н. Романова, А. Е. Лебедев, Д. В. Лебедев Ярославский государственный технический университет, Ярославль
Аннотация: В статье рассматривается принцип образования эмульсии в механических абсорберах, где рабочий орган представлен в виде вращающегося цилиндра. Произведён анализ взаимодействия жидкостей в процессе образования эмульсии. Рассмотрено взаимное влияние слоёв жидкости. Получена оценка внутренних и внешних параметров, характеризующих процесс образования эмульсии. Исследование, приведённое в статье, поможет в составлении инженерных методик расчета режимных и конструктивных параметров устройств.
Ключевые слова: абсорбер, эмульсионный слой, вязкость, плотность, эмульсия, область поверхностного контакта, диссипация энергии, несмешивающиеся жидкости, вращающийся цилиндр, жидкость.
При работе с механическими адсорберами, принцип действия которых основан на образовании эмульсий за счёт рабочего органа, выполненного в виде частично погружённого в жидкость вращающегося цилиндра, важно понимать модель образования эмульсии. Опираясь на математическую модель данного процесса, впоследствии можно будет осуществлять подбор параметров промышленных аппаратов, их производительности и подбора режимов работы.
Рассматривая типовую схему образования эмульсионного слоя на вращающемся цилиндре [1], будем полагать, что образование эмульсионного слоя осуществляется в результате контакта спутных слоёв при взаимодействии двух различных жидкостей, который непосредственно приводит к образованию слоя смешения. Следует отметить, что первая из жидкостей, имеющая большую вязкость, будет примыкать к вращающемуся цилиндру, в то время как вторая, с меньшей вязкостью, в каждом из переходных состояний будет находиться в состоянии покоя. Отсюда можно получить соответствующую расчетную схему (рис. 1).
Уо [////////////////////!- 0 V» ^^е
Мр 0 Ьро Ьр_1_ Мр 7 7 циг Ьро
Ьэ
г г г
а) б)
Рис. 1 - Эпюры скоростей в эмульсионном слое: а) начальное состояние, б) развитый слой.
На рис. 1 а) показано начальное состояние системы. Твердая поверхность движется со скоростью захватывая жидкий слой с большей
вязкостью и начальной толщиной Ь^. На границе раздела жидкостей происходит увлечение захватываемой жидкости с меньшей вязкостью /1Ш.
При этом толщина слоя увлекаемой жидкости полагается конечной, однако неизвестной в исходной постановке задачи, таким образом являясь свободным параметром.
На рис. 1 б) показано распределение эпюр скоростей в жидких слоях. Предполагается, что на выходе из начальной области образования эмульсии слой более вязкой жидкости разрушается до толщины у твердой стенки.
Причем в переходной области между слоями образуется эмульсия с вязкостью Профиль эпюр скоростей, как указывается в [2, 3], должен
иметь точку перегиба в области их взаимодействия (смешения).
Будем полагать, что профили эпюр скоростей в слоях, принимая во внимание малые значения , а также условие перегиба профилей в области
их смешения, могут быть выбраны в следующем виде [3]:
, ,
где введены следующие обозначения:
= / «Л» = *г - г / - /Ьф,..
(1)
(2)
Кубические добавки в выражениях (1), (2) должны, как на это указывается в работе [3], учитывать эффект перегиба профиля. Однако в первом приближении их можно не учитывать. То есть, в дальнейшем, в качестве пробных функций профилей будут выбираться линейные функции: 0, что не противоречит методу конечных элементов [4].
Укажем систему граничных условий для линейных представлений (1),
(2):
при х = 0: й№= 1;
при х = хю: йр - а9х19 =
(3)
(4)
при X = В: ^ = Оили = ВгВ, (5)
где В = Гт/Ь.ур - относительная толщина эмульсионного слоя, увлекаемого вращающимся цилиндром.
В работе [3] приводится граничное условие для слоев смешения различных жидкостей, имеющих неодинаковые плотности и вязкости.
В указанном случае, как показал Лок [5], автомодельными независимыми переменными для каждого из слоев будут:
= л- ■ («! /
.
(6)
Из непрерывности касательного напряжения т = следует (при
^ 1*») разрывность производной на поверхности контакта. В
с5г
автомодельных переменных (6) условие для напряжений имеет вид:
,
(7)
которое в переменной «х» может быть записано следующим образом при х =
хю:
1 гл)? Л -лМ1
(8)
.
<£к"
Представление для - лгщ), учитывающее вязкость жидкости в
слое смешения, будет определяться в соответствии с эмпирическим представлением [6]:
(9)
Выражение (9) улучшено, по сравнению с эмпирическим [6] с точки зрения асимптотических значений вязкостей и более общей
иррациональной зависимости отношения толщин "чистой" жидкости - и эмульсионной составляющей {ЬГ9 — ¿гР1). Следует заметить, что показатель "с" может зависеть от то есть с =
Действительно, при = ь т.е. если более вязкая
жидкость не разрушается, то из (9) следует » ^. При й^ = 0 получаем , т.е. весь слой считается разрушенным. Перепишем (9) в более удобном виде:
. (10)
1 V'Ю
Для определения параметров д;^г&^В9гВ1гВгх1С} система граничных
условий (3-5), в выражении (8) является недостаточной.
Первое условие, замыкающее базовую модель образования эмульсии, может быть получено из "сшивки" динамического и статического решений задачи.
В соответствии с представлением касательного напряжения (7) будем понимать динамическую модель в силовом представлении:
(11)
где г = г, 0. = Причем представление параметра
"а" следует из выражения градиента капиллярного давления [1].
В соответствии с принятыми допущениями динамической модели запишем решение уравнения (8) в следующем виде:
(12)
Полагая, что при х = , получаем
? - (13)
Тогда первое замыкающее условие базовой модели образования эмульсии может быть записано следующим образом, при х = х10:
(14)
Найдем представления параметров Заметим, что = 1
следует из (3). Зависимость = В позволяет переписать выражение (4) в виде
1- л;. = (15)
Условие (8) связывает параметры аъ ^ соотношением:
^ л-, (16)
Условие (14) может быть представлено следующим образом:
(17)
Тогда выражение (15) можно записать в виде:
(18)
или, вводя обозначение у = Ё — дгцр представить в виде квадратного уравнения (19), решение которого имеет вид:
(19)
рр Рр ®
решение которого имеет вид:
а
1-4^-1;. (20)
Hv J
При найденном значении "у" параметр % определится выражением
(21)
fty
Последнее замыкающее базовую модель образования эмульсии условие может быть получено из вариационного принципа максимума диссипации энергии в слое смешения [2, 3, 7, 8].
Составим функцию диссипации для слоя смешения:
(22)
В составленном выражении перейдем к переменной х, полагая справедливым соотношение:
Тогда функцию диссипации (22) можно представить следующим образом:
(24)
или, учитывая выражение (16) и принимая во внимание оценку ¡¿р/^ » 1:
5 = (25)
Ранее указывалось, что показатель степени "с" в выражении (9) может зависеть от вязкостей В соответствии с формой граничного условия
(8) будем полагать справедливым следующее представление:
■- = ■-:' ; (26) тогда решение экстремальной задачи:
= (27)
с учетом представлений (25), (20), (21), (26) позволяет определить "внутренние" параметры базовой модели образования эмульсии: ■>
Укажем группу "внешних" параметров базовой модели образования эмульсии, которые, в частности, могут быть установлены опытным путем. К
ним относится состав эмульсии:
£
„ _ Ь^Ф-*)** (28)
,
который определяет объемное соотношение воды и масла (Qp) в
эмульсии.
Выражение (28) удобно представить в следующем виде: - = (29)
.
Второй "внешний" параметр определяет общий расход эмульсии,
который в безразмерной форме имеет вид:
о ^ , у^^Ц-Д^^^^ , 1 > (30)
У-,-;- - У-.-Л1 " --:-'ч1 " ~—.'. (30)
Гр г 'тер
Укажем зависимость, определяющую объемный расход эмульсии
(м3/с):
0- = I (31)
где I - ширина лотка съема эмульсии с поверхности цилиндра (ленты); комплекс т/к^' ^ ~ определяет долю увлекаемой вращающимся
цилиндром, прилегающей к его поверхности более вязкой жидкости; к - коэффициент расхода.
Массовый расход (кг/с) эмульсии определяется выражением
• ¿V: 1 ч^Т'^-. (32)
В выражениях (31), (32) В = уГя^™) - что следует из ранее
введённого обозначения у = Ё — зг10.
Таким образом была определена модель «внутренних» и «внешних» параметров образования эмульсии.
Литература
1. Романова М. Н. Моделирование процесса взаимодействия вращающегося цилиндра с несмешивающимися жидкостями / М. Н. Романова, А. Е. Лебедев, Д. В. Лебедев // Инженерный вестник Дона. - 2019. - № 1; URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5619
2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1969. - 742с.
3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973. - 758с.
4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. - 464с.
5. Look R. С. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951. V.4. - p.42.
6. Плановский A. H. Процессы и аппараты химической технологии / A. H. Плановский, В. М. Рамм, С.Э. Качан. - М.: Госхимиздат, 1962. - 847 с.
7. Лойцанский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973. - 847с.
8. Ландау Л. Д. Механика жидкости и газа / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1954. - 795с.
9. Лебедев А. Е. Математическое описание дисперсных потоков неоднородных жидкостей / А. Е. Лебедев, М. Н. Романова // Инженерный вестник Дона. - 2018. - № 3; URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2018/5160
10. Tharmalingam S., Wilkinson W.W. The coating of newtonion liquids onto a rotating voll // I.Chem. Eng. Sei. 1978. V.33. - pp.1481-1487.
References
1. Romanova M. N., Lebedev A. E., Lebedev D. V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2019. № 1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5619
2. SHlikhting G. Teoriya pogranichnogo sloya [The theory of the boundary layer]. Nauka. 1969. 742 p.
3. Betchelor Dzh. Vvedeniye v dinamiku zhidkosti [Introduction to fluid dynamics]. Mir. 1973. 758 p.
4. Oden Dzh. Konechnyye elementy v nelineynoy mekhanike sploshnykh sred [Finite elements in nonlinear continuum mechanics]. Mir. 1976. 464 p.
5. Look R. С. Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951. V.4. p.42.
6. Planovskiy A. H., Ramm V. M., Kachan S. E. Protsessy i apparaty khimicheskoy tekhnologii [Processes and devices of chemical technology]. Goskhimizdat. 1962. 847 p.
7. Loytsanskiy L. G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of fluid and gas]. Nauka. 1973. 847 p.
8. Landau L. D., Lifshits E.M. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of fluid and gas]. Nauka. 1954. 795 p.
9. Lebedev A. E., Romanova M. N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2018. № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2018/5160
10. Tharmalingam S., Wilkinson W.W. The coating of newtonion liquids onto a rotating voll. I.Chem. Eng. Sei. 1978. V.33. pp.1481-1487.