Моделирование многомерных статических объектов трубчатых структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Для приведенных непараметрических оценок плотности вероятности и кривой регрессии по наблюдениям имеют место теоремы сходимости [3]: Теорема 1. Пусть р(х) е L2 липшицируема с

константой а. Тогда

lim„M{||p(х) - ps(х)|| } = 0(*-1,(„с„),c„2).

Теорема 2. Пусть р(х) g L2 липшицируема с константой а. Тогда

lim „

,M{||p(х) - ps(х)|| } = 0(„"1,(„с„)-1,с„2).

Теорема 3. Пусть у(х) g L2 липшицируема и с вероятностью единица: р(х) р 0 "х g W(х). Тогда

lim

М{ у„ (х) - у(х)||l } = 0((„с„)-1, с„2, „-1).

Теорема 4. Пусть у(х) g L2 липшицируема и с вероятностью единица: р(х) р 0 "х g W(х). Тогда

lim„M{||у„ (х) - у(х)||^ } = 0((„с„)-1, с„2, „-1)

Для доказательства теорем сходимости непараметрической оценки плотности распределения используется методика, изложенная в работе [2], а при исследовании сходимости непараметрических оценок кривой регрессии (1) и (2) применены результаты [3; 4].

Библиографический список

1. Parzen, E. On estimation of a probability density / E. Parzen // Ann. Maht. Statistic. 1969. № 3. Р. 854-864.

2. Епанечников, В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности /

B. А. Епанечников // Теория вероятностей и ее применение. 1969. Т. 14, вып. 1. С. 156-162.

3. Медведев, А. В. Свойства непараметрических оценок плотности вероятности / А. В. Медведев // Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука, 1983.

4. Надарая, Э. А. Замечания о непараметрических оценках плотности вероятности и кривой регрессии / Э. А. Надарая // Теория вероятности и ее применение. Тбилиси, 1970. Т. 15, вып. 1.

C.139-142.

Ya. I. Demchenco, A. V. Medvedev Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT ONE CLASS OF NONPARAMETRIC ESTIMATION OF PROBABILITY DENSITY AND CURVE REGRESS

The article concerned with new nonparametric estimations of regression curve function under uncertainty. There are some enunciations of appropriate convergence theorems.

© Демченко Я. И., Медведев А. В., 2009

УДК 519.68

Н. А. Дунаева

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ТРУБЧАТЫХ СТРУКТУР

Рассматривается методика моделирования многомерных статических объектов трубчатых структур. Предложен метод определения структуры исследуемой области, основанный на методе Монте-Карло.

Одной из важнейших проблем, возникающих при исследовании различных объектов, процессов и систем, является построение моделей этих процессов и систем. Очевидно, что различных объектов, с которыми приходится сталкиваться - бесчисленное множество, и одного универсального

правила для построения моделей не существует. Существуют лишь некоторые обобщения и рекомендации по построению моделей, выделены различные способы построения моделей того или иного типа объектов. Один из способов построения моделей основан на применении непарамет-

Решетневские чтения

рических процедур для описания функционирования объекта, описания связи входных, выходных переменных объекта. Зачастую мы имеем не просто объект, а несколько объектов, объединенных в одну систему, и функционирующих как единое целое. При этом выход одного элемента системы может являться входом другого элемента системы, появляется множество промежуточных связей. Если некоторые соотношения, описывающие функционирование объекта известны точно (например, заданы известным уравнением), то применение лишь непараметрических процедур для описания объекта становится не совсем оправданным. Действительно, нерационально отбрасывать известные соотношения, зависимости, и строить непараметрические процедуры, сталкиваясь при этом с неизбежным появлением погрешности, вызванной именно применением непараметрических процедур. Очевидным становится выбор в пользу сочетания в одной модели известных заранее соотношений и соотношений восстановленных с помощью непараметрических процедур. Построенные таким образом модели называют комбинированными. Применение комбинированных моделей позволяет системному аналитику использовать более адекватные модели, учитывать известные соотношения (например, законы физики и др.), и в то же время, применяя непараметрические процедуры, осваивать синтез моделей, построение которых было невозможно в виду невозможности установления точной связи между, например, входами-выходами объекта.

При построении моделей зачастую сталкиваются с проблемой, известной как «проклятие размерности» - при увеличении размерности пространства переменных резко увеличивается объем выборки наблюдений, необходимый для построения адекватной модели. В реальных задачах объ-

ем выборки наблюдений зачастую ограничен невозможностью многократного проведения экспериментов, их высокой стоимостью и др. Однако предположение о трубчатой структуре области изменения параметров моделируемого процесса позволяет избежать резкого нарастания требуемого количества наблюдений для построения адекватной модели процесса. Предположение о трубчатой структуре области параметров процесса выдвигается на основе наблюдаемой взаимосвязи параметров процесса.

В работе рассмотрен метод исследования области распространения моделируемого процесса, основанный на применении метода Монте-Карло и индикаторной функции. Данный подход был реализован в программной системе и проведены численные исследования эффективности его применения для выделения области протекания процесса. Исследования были проведены при различном уровне помех. Проведен анализ результатов численных исследований и сделаны выводы об эффективности рассматриваемого подхода.

Изложен подход к построению комбинированных моделей многомерных статических объектов. Подход реализован в программной системе и проведены статистические исследования эффективности рассматриваемого подхода. Проведен сравнительный анализ построения комбинированных моделей в условия различного уровня помех и при различном объеме выборок наблюдений за процессом.

Проведенные исследования позволяют сделать вывод о более высокой эффективности построения моделей с помощью подхода, учитывающего информацию о трубчатой структуре процесса, и комбинирующего в себе методы параметрической и непараметрической идентификации.

N. A. Dunaeva

Siberian State Airspace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

MODELING OF MULTIDIMENSIONAL TUBE STRUCTURE OF STATIC OBJECTS

Methods for modeling of multidimensional tube structure of static objects are studied. Methods for research of a domain structure determination based on Monte-Carlo method are proposed.

© Дунаева Н. А., 2009