Моделирование многоканальных систем массового обслуживания как компонентов социотехнических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.24143/2072-9502-2018-3-109-116 УДК 681.513.8

Г. А. Попов

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ КАК КОМПОНЕНТОВ СОЦИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для многоканальной системы массового обслуживания, в которой все вызовы имеют индивидуальные характеристики поступления и обслуживания в соответствии с их особенностями в искомой социотехнической системе, а переключения с обслуживания одного вызова на другой осуществляются в соответствии с заданной функцией переключения, определяемой принятой в социотехнической системе политикой разрешения конфликтных ситуаций, получены рекуррентные соотношения для длин очередей, перечня свободных приборов, перечня номеров вызовов, ожидающих обслуживания, и ряда других характеристик в последовательные моменты окончаний обслуживания вызовов. Описана процедура последовательного вычисления всех указанных характеристик системы с учетом их внутренней взаимосвязи. В соответствии с указанной процедурой в строго определенной последовательности на основе рекуррентных соотношений вычисляются одиннадцать характеристик системы. Для повышения эффективности процесса практической реализации процедуры моделирования предлагается заменить исходные функции распределения случайных величин их приближенными значениями, являющимися смесями гамма-распределений, значения которых могут быть вычислены намного быстрее по сравнению со значениями исходных распределений. Формализована задача нахождения для заданной моделируемой функции распределения набора показательных распределений, смесь которых с заданной точностью аппроксимирует рассматриваемую функцию распределения.

Ключевые слова: социотехническая система, моделирование, многоканальные системы массового обслуживания, длина очереди, рекуррентные соотношения, аппроксимация распределений.

Введение

Метод моделирования различных сложных систем, прежде всего с использованием средств вычислительной техники, занимает важное место при анализе различных реальных объектов [1, 2]. Применительно к социотехническим системам, основное содержание которых определяется процессом взаимодействия человека и технических систем, этот метод приобретает особую актуальность, поскольку поведение одного из ключевых компонентов социотехнических систем - человека - обычно не поддается точному описанию, для описания его поведения используются различные стохастические, неопределенные категории и понятия [3, 4]. Аналитическое описание подобных элементов эффективно при использовании их стохастического описания, т. е. на основе аппарата теории вероятностей.

Часто одним из основных направлений взаимодействия является попытка различных субъектов воспользоваться одним и тем же ограниченным ресурсом. Возникает конкуренция за право воспользоваться ресурсом. Для разрешения возникшего противоречия используются различные аналитические и эвристические методы, в частности системы массового обслуживания. Точный анализ подобных систем зачастую практически невозможен, поэтому для их изучения используются методы моделирования. Многие из подобных систем массового обслуживания могут быть эффективно описаны на основе более узкого их класса - многоканальных систем массового обслуживания. Таким образом, одним из важных элементов моделей социотехнических систем являются многоканальные системы массового обслуживания, поэтому эффективность процедуры моделирования искомых систем существенно зависит от эффективности моделирования требуемых многоканальных систем массового обслуживания, а также от точности воспроизведения ими реальных объектов. Основная их особенность - индивидуальный, не совпадающий с другими схожими субъектами, характер всех характеристик каждого участвующего в работе социотехнической системы субъекта, что вызвано разнородностью их места и роли в составе системы. При этом весь поток заявок порождается конечным числом источников, и каждая порождаемая заявка имеет свои индивидуальные характеристики. Существующие процедуры моделирования многоканальных систем массового обслуживания [5] не в полной мере позволяют учесть индивидуаль-

ные особенности реальных социотехнических систем. Также эти процедуры недостаточно приемлемы с точки зрения скорости работы программ, реализующих их.

В работе приводится процедура моделирования многоканальных систем, которая позволяет в определенной мере устранить указанные недостатки. Для повышения быстродействия предлагается заменять исходные функции распределения их приближениями, которые могут быть достаточно быстро реализованы. Среди близких работ укажем на работу [6].

Таким образом, одной из основных особенностей предлагаемой ниже процедуры моделирования многоканальной системы массового обслуживания является индивидуализированность процесса моделирования до уровня отдельного вызова и отдельного обсуживающего прибора. То есть все поступающие вызовы и каждый обслуживающий прибор могут иметь свои индивидуальные характеристики (например, функции распределения длительностей обслуживания, интервалов поступлений и т. п.), и предлагаемая процедура позволяет учесть эти особенности. Заметим, что подавляющее большинство существующих систем моделирования обычно объединяют вызовы и приборы в классы однотипных, и в процессе моделирования выбор любого из них не приводит к отличиям в процессе вычислений.

Рекуррентные соотношения

Пусть имеется система массового обслуживания (СМО), состоящая из некоторого количества k обслуживающих приборов. Ограничений на длину очереди нет.

Предположим, что одновременное окончание обслуживания на нескольких приборах невозможно, т. е. имеет вероятность нуль. Данное условие, в частности, выполняется в случае, когда функции распределения длительностей обслуживания непрерывны.

Введем обозначения:

— 9n - промежуток времени между поступлениями в систему (n -1)-го и n-го вызовов;

— Пп - длительность обслуживания n-го по порядку поступления вызова;

— tn - момент n-го освобождения одного из обсуживающих приборов;

— pn - длина очереди в момент tn;

— Q(n) = {Vk (n), k = 1; pn} - номера вызовов в порядке поступления их в систему (т. е. V(n) <Vj(n) при i < j), которые в момент tn находятся в очереди при условии, что

pn > 0; приpn = 0 множество Q(n) не определено;

— jn - номер обслуживающего прибора, который освобождается в момент tn (1 < jn < r);

— ^(n) (i = 1; r) - время дообслуживания вызова на приборе с номером i в момент времени tn + 0, т. е. с учетом того, что при наличии очереди на jn-й прибор поступит из очереди вызов в соответствии с некоторой политикой выбора вызовов из очереди;

— p(n) и I(n) = {а;-(n), i = 1;p(n)} (а;-(n) <аj(n) при i < j) - число и номера свободных

приборов в момент времени tn; если все приборы заняты, то p(n) = 0 и I(n) = 0.

Тогда

p(n) = Xx(^n) = 0).

i=1

Необходимо также описать процедуры выбора вызовов из очереди и выбора прибора для обслуживания из числа свободных приборов в ситуациях, когда свободны более одного прибора.

Первая из этих процедур задается с помощью специальной функции. Именно, задана функция переключения s(Qn), определяющая номер вызова из находящихся в очереди, который выбирается для обслуживания в момент времени tn. Отметим, что для классических дисциплин выбора FIFO (выбор в порядке поступления), LIFO (выбор последнего из пришедших из числа находящихся в очереди) и RS (случайный выбор из очереди) функция переключения s(Qn) соответственно равна s(Qn) = v(n), s(Qn) = vp (n) и s(Qn) = Rand(Q(n)), где Rand(N) - это функция

случайного выбора числа из набора {1, 2, N}. Отметим, что в этом случае в момент tn науп-й

прибор поступает вызов с номером s(Qn), и £,(и) = ns(Q ). Далее, справедливо соотношение

Jn \Qn'

Qn+1 = (Qn \ s(Qn)} ^ 0'. Y(n) <i < S(n)} (1)

где y(n) = n + pn — (r — p(n)) +1 - номер первого после момента tn поступающего в систему вызова, поскольку в момент tn СМО уже покинуло n вызовов, в очереди находится pn вызовов, и на обслуживании находятся r - p(n) вызовов; 5(n) - номер последнего до момента tn+1 поступившего в систему вызова. При этом необходимо заново перенумеровать все вызовы в Qn+1:

vk(n +1)

v k (n) для k = 1; s(n);________

vk—1(n) для k = s(n) +1; p„ -1; pn + k —1 для k = 1;8(n) — y(n) +1.

(2)

Отметим, что последний случай может отсутствовать, если pn > pn+1; при этом справедливо равенство

Pn+1 = Pn — 1 + 5(n)-

Нетрудно убедиться в справедливости равенства

5(n) = max{k | I ®i < tn+1}.

i=у(n)

(3)

Для выбора обсуживающего прибора в момент tn в случае, если имеется несколько свободных приборов, задана функция выбора прибора п(1 (n)) . В простейшем случае можно взять

п(1 (n)) = ax(n) (т. е. выбрать первый свободный) либо п(1 (n)) = aRand(p(n))(n) (т. е. обслуживающий прибор выбирается случайным образом из числа свободных).

Тогда можно записать соотношение

1 (n +1)

1 (n) \ Jn }^ п(1 (n)), если p(n) > 0; 1 (n)\ Jn }, если p(n) = 0.

При этом, как и выше было выполнено для Qn+1, необходимо перенумеровать номера приборов в 1(n +1). Процедура формирования 1(n+ 1) описана в следующем разделе.

Составим рекуррентные соотношения для вычисления всех введенных величин. Справедливы равенства

tn+1 = tn + 1 min $п))ГО^

1 < i < r

(n)

i=1

> 0) +

f

+min

V

min(^(

Ш (n)

(n)), ПШ1 ClPn+k +Пп

1 < / < p(«) k=j

\

J

X( min (^и)) = 0);

1 < i < r

)

Jn = argmin(^(” 1}).

Ш (n)

(4)

Здесь мы воспользовались тем, что если min (^(n ^) = 0, т. е. нет очереди, то все посту-

1 < i < r

пившие до момента tn вызовы обслужены; но т. к. число освобождений обслуживаний в момент tn равно n, то, следовательно, следующим по номеру поступающим вызовом, который и займет свободный прибор, является (n + 1)-й вызов. При этом в момент tn+i либо освобождается один из уже занятых в момент tn приборов (в этом случае в системе освободится вызов через время min (^(n))), либо один из поступающих вызовов занимает свободный прибор и освобож-

Ш (n)

дается раньше остальных — для i-го поступающего вызова: их номера изменяются от (n + 1) до (n + p(n)) эта величина равна (9n+i + пп-н ).

Процедура вычислений

Полученные выше рекуррентные соотношения для всех основных характеристик СМО в моменты окончаний обслуживаний достаточно сложно взаимосвязаны между собой. В частности, в вычислении почти всех характеристик в момент tn необходимо знание величины tn+\, в свою очередь, величина tn+1 находится на основе значений многих характеристик в момент tn. Поэтому необходимо описать последовательность вычисления всех характеристик на основе полученных рекуррентных соотношений, которая бы позволила обойти указанный круг взаимных зависимостей.

Как показано ниже, полученные ранее в работе соотношения позволяют решить эту задачу. То есть они позволяют реализовать следующую рекуррентную процедуру вычисления всех текущих характеристик системы, перечисленных выше, в момент tn+1, при известных значениях тех же характеристик в момент tn и значениях входных величин { 9n, nn; n > 1}. Именно, пусть для

некоторого n известны значения величинp(n), Qn, I(n), ^(n-1) (i = 1;r). Тогда последовательно вычисляются следующие величины, с опорой на значения известных или уже вычисленных величин.

1. Находим jn: если в момент tn система пуста, то полагаем jn = 0, в противном случае полагаем jn = argmm(^(n-1)) (см. (4)).

Ш(n)

2. Если pn > 0 (т. е. в момент tn в очереди есть вызовы и, следовательно, I(n+1)=0), то, очевидно, jn > 0, и полагаем = ns(Q ), Tn = min (^(n)) - промежуток времени, через который

произойдет следующее завершение обслуживания в системе, tn+1 = tn +Tn. Затем вычисляем

к ________

y(n) = n + Pn —(r — p(n)) +1, 5(n) = max{k| £ 9; <tn+J (см. (3)) и Qn+l =(Qn \s(Qn)}u{i = y(n);5(n)}

i=y(n)

(см. (1)). В множестве I(n+ 1) производится перенумерация вызовов на основе соотношения (2). Также полагаем ^(n+X) = ^(n) — тп , i = 1; r . Процедура завершается.

3. Если pn = 0 (т. е. в момент tn в очереди нет вызовов и, следовательно, возможно I(n+1) = 0), то для вычисления I(n+1), ^(n+X) (i = 1; r ) выполняется следующая циклическая процедура.

Полагаем к = 1, I0(n+1) = I(n)\jn, S0 = 0, qi (0) = £(n) (i = 1; r ) и переходим к шагу 4. Перенумеруем элементы множества I0(n + 1) следующим образом: пусть X(n) = {i | at (n) = jn}

def

и I0(n + 1) = { ai0,1 < i <p(n) — 1 = d(0)}. Тогда

ai,0 =

a;- (n) для i = 1; X(n) — 1;

ai+1(n +1) для i = X(n); p(n) — 1.

4. Для данного значения к полагаем Sk = Sk-1 + 9у(n)+k—1. Пусть к < d(0), т. е. еще имеются свободные приборы. Полагаем (к) = qt(к — 1) — 9у(n)+k—1 (i е Ik—1(n +1)), для i = n(Ik—1(n = 1))

полагаем (к) = py(n}+к—1, h(n + 1) = h—1(n +1)\ п(1к—1(n +1)) и а(к) = (к)| i e к(n + 1)).

При к > d(0) (свободных приборов нет) имеем 1к(н+ 1) = 0, и аналогично случаю pn > 0 имеем

^ =^(n) — Tn (i = ).

В случае 1ы(п+1) Ф 0 перенумеруем элементы множества I^(n+1) следующим образом: пусть !ы(п+1) = { аг к—1,1 < i < d(к — 1) }, причем аг к-1 < а,>к-1 при i < j. Тогда

d(k) = d^-1) - 1 и aik =

aa—1

ai—1,к—1

для к = 1; п(1к—1 (n +1));_________

для к = п( 1к—j (n +1)); d (к — 1) — 1.

5. Если к < d(0), то проверяется выполнение условий: Sк-1 < о(к), Sк > о(к). Если данные условия выполнены, то в этом случае процесс нахождения момента tn+1 закончен: полагаем

tn+1 = tn + о(к-1), ^n+1} =д;(к — 1) (i = 1;r ),5(n) = к-1; к(n +1) = h—1(n +1)^{n(k—1(n +1))} (по-

ступивший после момента tn k-й по порядку вызов занял прибор с номером n(Ik-1(n + 1))). Далее, Qn+1 =(Qn \ s(Qn){ = y(n);S(n)} (см. (1)). На этом процедура вычисления характеристик системы в момент tn+1 завершается.

Если условия не выполнены, т. е. Sk < o(k), то увеличиваем k на единицу (т. е. k: = k+1) и переходим к шагу 2.

Процедура вычисления характеристик СМО в момент tn+1 закончена. Как следует из содержания приведенной процедуры, на каждом шаге используются либо заданные (исходные) данные, либо уже вычисленные до данного текущего момента вычислений.

Аппроксимация исходных данных

Полученные выше выражения и приведенная рекуррентная процедура позволяют сделать ряд важных выводов. Прежде всего, они позволяют находить последовательность основных характеристик СМО в произвольный момент времени, причем исходные случайные характеристики могут иметь любые распределения и даже быть зависимыми.

Далее, описанная в работе СМО непрерывна в схеме серий с точки зрения сходимости по вероятности [4, 5]. То есть если исходные характеристики системы { 9n; nn; n > 1} сходятся по вероятности к некоторому предельному набору { 9^; ; n > 1}, то все текущие характеристи-

ки системы, включая длины очередей {pn; n > 1}, также сходятся к соответствующим значениям [8-10]. Это следует из того, что в описанной выше процедуре использованы функции min(), х(), argmin() на конечном множестве значений, условные операторы типа «если ..., то ...», которые сводятся к индикаторной функции х() (см., например, (2)), и непрерывны по отношению сходимости по вероятности [5-7].

Отсюда вытекает возможность использования различных аппроксимаций исходных данных с целью упрощения процесса вычислений, в частности при имитационном моделировании рассмотренных в работе моделей. Рассмотрим данный вопрос более подробно.

Наибольший практический интерес представляет случай, когда все случайные величины {9n; Пп ; n > 1} независимы. Более того, с точки зрения практических применений можно исходные распределения указанных случайных величин заменить на их приближенные выражения, характеристики которых можно было бы достаточно быстро вычислять. Примерами подобных приближений являются, например, ступенчатые функции распределения, соответствующие приближениям исходных распределений с помощью дискретных распределений. Особо важное их достоинство - это возможность использования эмпирических функций распределения, построенных на основе статистических данных, - эти функции как раз и имеют ступенчатый вид. Отметим, что любую функцию распределения можно приблизить ступенчатыми функциями с любой заданной степенью точности и заданной сеткой дискретных значений функции.

Еще одним классом функций, представляющим интерес с рассматриваемой точки зрения, являются смеси показательных распределений, поскольку показательные распределения обладают рядом важных достоинств: показательное распределение обладает свойством отсутствия памяти, когда будущее поведение случайной величины не зависит от ее прошлого, что часто упрощает анализ систем; характеристики показательного распределения вычисляются на основе достаточно простых выражений. Однако класс показательных распределений не замкнут, поскольку смеси показательных распределений представляют собой гамма-распределения. Поэтому целесообразно рассмотреть более широкий класс распределений - класс гамма-распределений, который замкнут, т. е. сумма и предел любой последовательности гамма-распределений, если он существует и не вырожден, также является гамма-распределением. Возникает вопрос о полноте класса гамма-распределений и смесей показательных распределений, т. е. о возможности приближения любого распределения с помощью распределений из указанных классов с любой заданной точностью, и о процедуре получения непосредственно требуемых приближенных выражений для заданных функций распределения. Также необходимо описать процедуру нахождения искомого приближения для заданной функции распределения или заданного набора статистических данных.

Приведем формализованную постановку задачи. Дана произвольная функция распределения G(x) неотрицательной случайной величины, т. е. G(x) = 0 при x < 0, и заданная малая величина е требуемой точности приближения. Необходимо:

1) показать, что существует набор показательных функций распределения

____ ___ N

{Fn (x) = 1 - e~a"x, an > 0; n = 1; N} и вероятностей {pn > 0; n = 1;N}, X pn = 1 - таких, что для

П=1

любого x > 0 выполнено

N

G (x)-X PnFn (x)

n=1

<s;

(5)

2) найти параметры an и pn, n = 1; N - такие, при которых выполнено (5).

Решение указанной задачи рассмотрено автором в работе [11], где приведен один из вариантов требуемого алгоритма.

Пусть s > 0 - требуемая точность приближения.

1. Разобьем интервал [0; 1] возможных значений функции G(x) на промежутки длиной

меньше е/2. Для этого достаточно выбрать N

2

s

+1 и разбить [0; 1] на промежутки

k -1 k N ’ N

для 1 < k < N -1,

N -1 N

;1

. Находим числа ck = max{x| G (x)

<

—} , k < N. Отметим, N

что если G(x)

непрерывная функция, то ck = G 1

k

N

В результате ось аргументов Ox разобь-

ется на промежутки [0; c0 ), [ck-1; ck )(k = 1; N -1), [cN; да).

2. Для каждого фиксированного k, 0 < k < N -1 находим минимальное значение M = M(k) -такое, что

г (xM (k), ckM (k),1)-к (x / ck )< -22s-,

где Г (x, m, a)

1 x

—Hrma \ta~1e~mtdt

Г (a) I

функция гамма-распределения с параметрами (m, a),

<0, если x < ck;

Г(а) - гамма-функция Эйлера, K (x / ck ) = > 0,5, если x = ck;

=1, если x > ck.

Из следствия 4 [11] вытекает, что последнее неравенство при достаточно больших M выполняется. Искомое значение M может быть найдено методами прямого перебора, деления отрезка пополам, другими методами направленного перебора. Вариант процедуры нахождения M(k) приведен в разделе 3 работы [11].

3. В качестве результата берется выражение

N-1 1

Gs( x )=X - Г ( xM ( k ), ckM ( k ) ,1).

k=0 1

Нетрудно показать, что G (x) - Gs (x) < s для всех x.

Использование при моделировании распределений Ge(x) вместо функций распределений G(x) позволит значимо повысить скорость формирования искомых случайных величин, поскольку имеются достаточно эффективные алгоритмы моделирования гамма-распределений.

Заключение

В работе для многоканальной системы массового обслуживания, в которой все вызовы имеют индивидуальные характеристики поступления и обслуживания в соответствии с их осо-

бенностями в искомой социотехнической системе и переключения с обслуживания одного вызова на другой осуществляются в соответствии с заданной функцией переключения, определяемой принятой в социотехнической системе политикой разрешения конфликтных ситуаций, получены рекуррентные соотношения для длин очередей, перечня свободных приборов, перечня номеров вызовов, ожидающих обслуживания и ряда других характеристик в последовательные моменты окончаний обслуживаний вызовов. Описана процедура последовательного вычисления всех указанных характеристик системы с учетом их достаточно сложной взаимосвязи. Для повышения эффективности процесса практической реализации процедуры моделирования в работе приведена процедура приближения исходных распределений с помощью смесей гамма-распределений.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. М.: Высш. шк., 2001. 343 с.

2. Муравьева-Витковская Л. А. Основы распределенного моделирования. СПб.: Изд-во СПбНИУ ИТМО, 2013. 149 с.

3. Рябушкина В. С. Социотехнические системы: вопросы теории и практики, зарубежный опыт. URL: https://uchebnik.online/truda-ekonomika/sotsiotehnicheskie-sistemyi.html (дата обращения: 21.01.18).

4. Дудатьев А. В., Лужецкий В. А., Коротаев Д. А. Метод оценки информационной устойчивости социотехнических систем в условиях информационной войны // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2016. № 2/2 (80). С. 4-11.

5. Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. СПб.: Корона Принт; М.: Альтекс-А, 2004. 384 с.

6. Прохоров С. А. Математическое описание и моделирование случайных процессов: моногр. Самара: Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2001. 209 с.

7. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 353 с.

8. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 569 с.

9. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980. 381 с.

10. Шашкин А. П. Слабая сходимость вероятностных мер. М.: Изд-во МГУ, 2013. 40 с.

11. Попов Г. А. Оценка скорости сходимости в законе больших чисел для гамма-распределенных последовательностей // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2018. № 1. С. 28-54.

Статья поступила в редакцию 23.03.2018

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Попов Георгий Александрович — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой информационной безопасности; popov@astu.org.

G. A. Popov

MODELING OF MULTICHANNEL QUEUING SYSTEMS AS COMPONENTS OF SOCIOTECHNICAL SYSTEMS

Abstract. For a multichannel queuing system, in which all calls have individual characteristics of arrival and maintenance in accordance with their characteristics in the required socio-technical system and switching from one call to another are performed in accordance with a specified switching function determined by the resolution policy adopted in the socio-technical system of conflict situations, recurrence relations have been obtained for the queue lengths, for the list of free instrument changes, for the list of call numbers waiting for service, and for a number of other characteristics at successive call termination services. The procedure of sequential calculation of all specified character-

istics of the system is described taking into account their internal interrelation. In accordance with this procedure, in a strictly defined sequence, eleven characteristics of the system are calculated on the basis of recurrence relations. To increase the efficiency of the process of practical implementation of the modeling procedure, it is proposed to replace the initial distribution functions of random variables by their approximate values, which are mixtures of gamma distributions whose values can be calculated significantly faster than the values of the initial distributions. The problem of finding a set of exponential distributions for a given simulated distribution function is formalized, the mixture of which approximates the distribution function with a given accuracy.

Key words: socio-technical system, modeling, multi-channel queuing systems, queue length, recurrence relations, approximation of distributions.

REFERENCES

1. Sovetov B. Ia., Iakovlev S. A. Modelirovanie sistem [System modelling]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 2001. 343 p.

2. Murav'eva-Vitkovskaia L. A. Osnovy raspredelennogo modelirovaniia [Principles of distributed modelling]. Saint-Petersburg, Izd-vo SPbNIU ITMO, 2013. 149 p.

3. Riabushkina V. S. Sotsiotekhnicheskie sistemy: voprosy teorii i praktiki, zarubezhnyi opyt [Sociotechnical systems: theoretical and practical aspects, foreign experience]. Available at: https://uchebnik.online/truda-ekonomika/sotsiotehnicheskie-sistemyi.html (accessed: 21.01.2018).

4. Dudat'ev A. V., Luzhetskii V. A., Korotaev D. A. Metod otsenki informatsionnoi ustoichivosti sotsiotekhnicheskikh sistem v usloviiakh informatsionnoi voiny [Assessment method of information stability of sociotechnical systems in terms of information warfare]. Vostochno-Evropeiskii zhurnal peredovykh tekhnologii, 2016, no. 2/2 (80), pp. 4-11.

5. Ryzhikov Iu. I. Imitatsionnoe modelirovanie. Teoriia i tekhnologii [Simulation modelling. Theory and technologies]. Saint-Petersburg, Korona Print Publ.; Moscow, Al'teks-A Publ., 2004. 384 p.

6. Prokhorov S. A. Matematicheskoe opisanie i modelirovanie sluchainykh protsessov [Mathematical description and modelling of random processes]. Samara, Samarskii gosudarstvennyi aerokosmicheskii universitet, 2001. 209 p.

7. Billingsli P. Skhodimost' veroiatnostnykh mer [Convergence of probabilistic measures]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 353 p.

8. Gikhman I. I., Skorokhod A. V. Vvedenie v teoriiu sluchainykh protsessov [Introduction into theory of random processes]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 569 p.

9. Borovkov A. A. Asimptoticheskie metody v teorii massovogo obsluzhivaniia [Asymptotic methods in queueing theory]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 381 p.

10. Shashkin A. P. Slabaia skhodimost’ veroiatnostnykh mer [Weak convergence of probabilistic measures]. Moscow, Izd-vo MGU, 2013. 40 p.

11. Popov G. A. Otsenka skorosti skhodimosti v zakone bol'shikh chisel dlia gamma-raspredelennykh posledovatel'nostei [Assessment of convergence rate in the law of large numbers for gamma-distributed sequences]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2018, no. 1, pp. 28-54.

The article submitted to the editors 23.03.2018

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Popov Georgiy Aleksandrovich — Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department of Information Security; popov@astu.org.