CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 2.
УДК 539.3, 539.8 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-296-317
Моделирование механодиффузионных процессов в полом цилиндре, находящемся под действием нестационарных
объемных возмущений1
Н. А. Зверев, А. В. Земсков, В. М. Яганов
Зверев Николай Андреевич — кандидат физико-математических наук, Московский авиа-ционнв1й институт (Национальный исследователвский институт) (г. Москва). e-mail: nik.zvereffZOl0@yandex. ru
Земсков Андрей Владимирович — доктор физико-математических наук, Московский авиационный институт (Националвнвш исследователвский институт); Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: azemskovl975@mail.ru
Яганов Владимир Михайлович — кандидат физико-математических наук, Московский авиационнвш институт (Националвнвш исследователвский институт) (г. Москва). e-mail: avtofur@yandex.ru
Аннотация
Рассматривается одномерная начально-краевая задача для полого ортотропного многокомпонентного цилиндра, находящегося под действием объемных механодиффузионных возмущений. Математическая модель включает в себя систему уравнений упругой диффузии в цилиндрической системе координат, в которой учтены релаксационные диффузионные эффекты, подразумевающие конечные скорости распространения диффузионных потоков.
Поставленная задача решается методом эквивалентных граничных условий, согласно которому рассматривается некоторая вспомогательная задача, решение которой может быть получено с помощью разложения в ряды по собственным функциям упругодиффузионного оператора. Далее строятся соотношения, связывающие правые части граничных условий обеих задач и представляющие собой систему интегральных уравнений Вольтерры 1-го рода. Рассмотрен расчетный пример для трехкомпонентного полого цилиндра.
Ключевые слова: механодиффузия, нестационарные задачи, преобразование Лапласа, функции Грина, метод эквивалентных граничных условий, полый цилиндр.
Библиография: 36 названий.
Для цитирования:
Н. А. Зверев, А. В. Земсков, В. М. Яганов. Моделирование механодиффузионных процессов в полом цилиндре, находящемся под действием нестационарных объемных возмущений // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 2, с. 296-317.
1Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант № 23-21-00189, https://rscf.ru/project/23-21-00189/).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.
UDC 539.3, 539.8 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-296-317
Modeling of elastic diffusion processes in a hollow cylinder under the action of unsteady volume perturbations
N. A. Zverev, A. V. Zemskov, V. M. Yaganov
Zverev Nikolay Andreevich — candidate of physical and mathematical sciences, Moscow Aviation Institute (National Research Institute) (Moscow). e-mail: nik.zvereffZOl0@yandex. ru
Zemskov Andrey Vladimirovich — doctor of physical and mathematical sciences, Moscow Aviation Institute (National Research Institute); Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: azemskovl975@mail.ru
Yaganov Vladimir Mikhailovich — candidate of physical and mathematical sciences, Moscow Aviation Institute (National Research Institute) (Moscow). e-mail: avtofur@yandex.ru
Abstract
A one-dimensional initial-boundary value problem for a hollow orthotropic multicomponent cylinder under the action of volumetric elastic diffusion perturbations is considered. The mathematical model includes a system of equations of elastic diffusion in a cylindrical coordinate system, which takes into account relaxation diffusion effects, implying finite propagation velocities of diffusion flows.
The problem is solved by the method of equivalent boundary conditions. To do this, we consider some auxiliary problem, the solution of which can be obtained by expanding into series in terms of eigenfunctions of the elastic diffusion operator. Next, we construct relations that connect the right-hand sides of the boundary conditions of both problems, which are a system of Volterra integral equations of the first kind. A calculation example for a three-component hollow cylinder is considered.
Keywords: elastic diffusion, unsteady problems, Laplace transform, Green’s functions, method of equivalent boundary conditions, hollow cylinder.
Bibliography: 36 titles.
For citation:
N. A. Zverev, A. V. Zemskov, V. M. Yaganov, 2024. “Modeling of elastic diffusion processes in a hollow cylinder under the action of unsteady volume perturbations” , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 296-317.
1. Введение
При проектировании конструкций важнейшей проблемой, связанной с прочноствю материалов, является учет влияния диффузионного движения частиц в твердом теле на процесс деформирования. В частности, в работе рассматриваются вопросы, касающиеся моделирования связанных механодиффузионных процессов в телах цилиндрической формы. Данные тела являются основой различных трубопроводов (нефте- и газопроводы, системы отопления), исполвзуются в качестве валов и втулок в конструкциях, имеющих оченв широкий спектр применения в технике и эксплуатирующихся в условиях взаимодействия с агрессивными средами.
Таким образом, учет взаимодействия полей оченв важен при проектировании конструкций и их отделвнвгх элементов, работающих в условиях многофакторных внешних воздействий.
Вопрос о взаимодействии механического и диффузионного полей имеет уже почти столетнюю историю, но и в настоящее время остается актуальным, так как круг исследуемых вопросов в этой области постоянно расширяется за счет того, что в современных моделях учитываются взаимосвязь все большего и большего количества полей различной физической природы. Например, к механическому и диффузионному полям могут быть добавлены, температурные, электромагнитные и химические поля.
В настоящее время практически все модели тепломассопереноса учитывают конечную скорость распространения тепловых и диффузионных возмущений, что обусловлено релаксацией диффузионных потоков [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. Это особенно важно при описании высокочастотных и импульсных процессов. В представленных выше работах используются модели: Каттанео, Лорда-Шульмана, Грина-Линсди, Грина-Нагди и т. д. Отдельно можно выделить статьи [1, 10, 17, 19], где для описания релаксационных эффектов используется аппарат дробного дифференцирования.
Несмотря на большое разнообразие имеющихся в настоящее время моделей механодиффузии и термомеханодиффузии, по-прежнему очень сложно обстоит вопрос, связанный с непосредственным решением соответствующих начально-краевых задач. Анализ публикаций показывает, что здесь наиболее полно изучены модели в прямоугольной декартовой системе координат.
Следует отметить работы [1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28], в которых рассматриваются методы решения указанных задач в криволинейных (в основном в цилиндрической или сферической) системах координат. При их аналитическом решении основной проблемой является нахождение системы собственных функций, являющихся решением соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Этот вопрос достаточно основательно рассмотрен в работе [29], посвященной моделям теплопереноса в сплошных средах, в том числе в телах, имеющих цилиндрическую и сферическую формы. Применительно к связанным задачам механодиффузии и термомеханодифузии данный вопрос на сегодняшний день в известных научных работах не обсуждался.
При решении нестационарных задач для сплошных сред используются, как правило, интегральные преобразования Лапласа по времени, Фурье и Ганкеля по координате и т.д., что продемонстрировано в работах [1, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 20]. При этом обращение интегрального преобразования Лапласа осуществляется численно с помощью метода Дурбина (и его модификаций) [4, 5, 11, 12, 14, 15, 17, 18], алгоритма Gaver-Stehfast [20], а также с помощью квадратурных формул, основанных на использовании сумм Римана и т.д. [1, 7, 10].
Не вдаваясь в обсуждение достоинств и недостатков данных подходов, отметим только, что такие алгоритмы подходят лишь для определенного класса функций. При этом изображения Лапласа, получающиеся при решении конкретных задач, являются настолько громоздкими, что практически проверить возможность применения того или иного метода, для нахождения их оригиналов, далеко не всегда представляется возможным.
Альтернативные подходы, основанные на использовании методов конечных элементов [6, 21] и конечных разностей [22], тоже не решают проблему, потому что, например, при использовании конечно-разностных схем существенным вопросом является анализ этих схем на устойчивость, что, в свою очередь, влияет на сходимость решения, полученного с помощью таких схем, к решению исходной задачи. Это достаточно сложная математическая проблема, связанная с установлением непрерывной зависимости конечно-разностных схем от входных данных, к которым относятся коэффициенты дифференциальных операторов, а также параметры начальных и граничных условий. Такие же проблемы могут возникнуть и при использовании метода конечных элементов. Таким образом, вопросы, связанные с разработкой аналитических методов решения нестационарных задач, и, в частности, задач механодиффу-
зии, также являются актуальными.
В работе рассмотрена модель, описывающая одномерные нестационарные механодиффузионные процессы в полом цилиндре, и предложен алгоритм решения, основанный на использовании преобразования Лапласа по времени, разложении в ряды по собственным функциям упругодиффузионного оператора и методе эквивалентных граничных условий. Данный подход позволяет выразить решение поставленной задачи через известное решение некоторой вспомогательной задачи данного класса, что существенно упрощает проблему обращения преобразования Лапласа, сведя ее к обращению рациональных функций с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления.
2. Постановка задачи
Рассматривается полярно-симметричная задача механодиффузии для многокомпонентного ортотропного полого цилиндра, находящегося под действием нестационарных объемных возмущений. Под действием приложенных нагрузок в деформируемом теле возникает восходящий диффузионный поток (эффект Горского), который в свою очередь, вследствие вызываемых им объемных изменений, также влияет на напряженно-деформированное состояние среды.
Математическая постановка задачи, описывающая вышеуказанные физические процессы, включает в себя: линеаризованное уравнение движения полого цилиндра, закон сохранения массы в локальной форме, а также N линеаризованных уравнений массопереноса с учетом релаксации диффузионных потоков (30, 31, 32, 33]. Замыкают математическую постановку задачи граничные условия. Начальные условия принимаются нулевыми, поскольку изначально цилиндрическое тело находилось в состоянии покоя.
и = и + - - -2 -2^ otj ^ + F\, т+1 = -^ щ,
N
N
3=1
д=1
. ( ,,, 2и" и' U \ ^ / ,, rfg\ ^
Щ + ДГ]д = -Ад [и + — - ^2 + ^3 J + Dq [rig + —J + Fq+1;
N
u' + C12“ -
= 0,
= 0, К + ci2 - -^]ад
r=Ri \ 2=1 / r=i
Vg\r=Rl = Vg |r=1 = °.
Безразмерные величины в (1) и (2) связаны с размерными следующим образом:
(1)
(2)
Uf
,
Г2
R1
Г1
г 2
Ct
,
Г 2
^2 ,
(Xq
C2 =
C1111
a(q)
а11
С11
Dn
Р
тд =
D(q)
^11
C Г2
Ct (g) Г2
Лл
с 12
C1122 C1111 ’
g)a11)^1'1) n09)
pC V2RTq
Здесь t время; ur радиальная компонента вектора механических перемещений; г*
радиальная координата; р - плотность сплошной среды; То - температура сплошной среды; ^11 - коэффициент диффузии; m1q) молярная масса q-ro вещества в составе многокомпонентной сплошной среды; Cijki — компоненты тензора упругих постоянных; rjq = n1q) -
— приращение концентрации q-ro вещества в составе многокомпонентной сплошной среды; а; 11 - коэффициент, характеризующий деформации, возникающие вследствие диффузии; т(<?)
- время релаксации диффузионных процессов; R - универсальная газовая постоянная; F1
уделвная плотность объёмных сил, Fq+\ - объемная плотность источников массопереноса; Г\ и Г2 - внутренний и внешний радиусы полого цилиндра.
3. Алгоритм решения задачи
Функции Грина. Задача (1), (2) решается методом эквивалентных граничный условий [30, 31, 32, 34], согласно которому вначале рассматривается вспомогательная задача, состоящая из исходной системы дифференциальных уравнений и новых граничных условий вида
N
и' + 7 - Е а> ъ
3=1
N
/и (т), \и' + ^ - ^аз Пз
3 = 1
r=R1
= f 12 (т),
Г=1
(3)
% \г=1 = %\r=R1 = 0,
где функции /*• (т), стоящие в правых частях граничных условий (3), подлежат определению. Решение задачи (1), (3) ищется в виде
N+1
1 Т
к=1
и (г,т) = J2 / / °1к (r, (,т - t) Fk (£, t) d£dt+
Ri 0
I
+J [G111 (r, T - t) /1*1 (t) + Gm (r, T - t) /1*2 (t)] dt,
(4)
N+1
1 т
k= 1
Щ (r,T )=^ / Gg+1,k (r, £,T - t) Fk (£, t) d£dt+
Ri 0
I
+ J [Gq+1,11 (Г, T - t) /*1 (t) + Gg+1,12 (Г, T - t) f*2 W] dt.
0
Здесь Gkmi (г,т) - поверхностные, a Gkm (г,£,т) - объемные функции Грина задачи (1), (3). Поверхностные функции Грина удовлетворяют следующим начально-краевым задачам:
(I G1ml G1ml ^ „, п! _
I G 1ml + r f2 I 2-^ Gj+1™] = Gl
V / 7=1
~Лд ^Glm,l +
O/O/Z /О/ /О
2G1ml G1ml 1 G1ml
rp p2 + p3
0+^
+ Gq+1,ml +
G'
q+1,ml
Г
— G q+1,ml + Rq Gq+1,mh
(5)
N
G1ml + G1ml aj Gj+1,ml
3 = 1
N
— фтфф (T), Gq+1,ml\r=1 — fiq+1,m$1l$ (R),
Glml + ~G1ml - ^ &jG
*j Gj+1,ml
3=1
r=1
r=Ri
= ^1m^2l^ (T), Gq+1,ml\r=Ri = ^q+1,m^2l^ (T).
Объемные функции Грина являются решениями следующих задач:
/ С \ JV
\Glm + - £ а3 G'J+l,m + 51т5 (г - £) 5 (г) = б1т,
3 = 1
Л (| ^lm , G\m \ . n / Wl , ^g+l,rn \ .
ЛИ birn + r - r2 + r3 J + ^g+1,m + f J +
+^g+1,m^ (У C) ^ (Y) = Gg+1,m + TgGg+1,m5
(7)
+ 1 G
r
lm
N
G?' Gj+1,m
3 = 1
r=1
+ 1 G
r
lm
N
G?' Gj+1,m
3 = 1
r=R1
0,
0,
Gg+l,mJ
m|r=i
0,
Gg+l,mJ
r=R1
0.
(8)
Началвнвге условия в обеих задачах полагаются нулевыми.
Решение задачи (5), (6) найдено в работе [30]. Ввфажения для поверхностнвгх функций Грина приведенв1 в Приложении 1. Изложим здесв алгоритм решения задачи (7), (8). Вначале применяем к уравнениям (7) и граничнвш условиям (8) интегралвное преобразование Лапласа по времени. Получаем (индекс L обозначает трансформанту Лапласа, G^m = G^m (г, £,s), s -параметр преобразования Лапласа)
/ р/ L f^L \ N
( G'lm + ~-------) - ^ (XjG'j+l,m + 5lm5 (Г - £) =
V / j=l
Л ((~<WL | 2^lm G'lm | ^ . p p/lL . .
-Aq ^lm + - ^ ^ l G«+l-m + r j +
+5q+l,m5 (Г - 0 = (s + TqS2) Gg+l,m;
G'lm + ~G 1m - aiGj+l,m
3 = l N
Г
= 0, G
L
, ^Q+1 ,m\r= l
r= l
G'lm + ~G\m - ^2 ai
3 = l
L
= 0 Gq+ l ,m\r=Rl = 0
r=Ri
Решение задачи (9), (10) ищется в виде рядов
( GLlm (r,£,s) 1 = ~ Г GLlmn (i,s) Фl(\nr) [Gg+1,m (r,C, S^j 2=1 lGg+l,mn (C, s') ф0 (Xnr)
f G\mn ({, s') ) = 1 j^ f
[Gg+l,mn (C,S^ Ф(хпи \G^+ l,m (г,^,в)ф0 (xnr)
Ri
Glm (^ФФФ1 (Xnr) r < } dr,
| dr,
(9)
(10)
(11)
0
Ф1 (Xnr) = Yo (Xn) Ji (Xnr) - Jo (Xn) Yi (Xnr),
Ф0 (Xnt) = Yo (Xn) Jo (XnT) Jo (Xn) Yo (Xnr),
1 ^2
ФОМ = 2[Ф1 (Xn)]2 - -±[Ф1 (XnRi)]2,
где Xn - чшжа, удовлетворяющие уравнению Ф0 (XnRi) = 0 Jv (Xnr) - функция Бесселя I рода порядка v, Yv (Xnr) - функция Бесселя II рода порядка v.
Для нахождения коэффициентов рядов (11) первое уравнение в (9) домножаем на Ф1 (\пг), а второе - на Фо (Хпг) и интегрируем в промежутке [Ri, 1]. При этом для преобразования дифференциалвнв1х операторов исполвзуем формулвц полученнвге в работе (30]:
Ri
G'-L (r, ф s) +
Gim fa & s)
Фо (Xnr) dr = Хпф (Хп) Gfan (ф s),
j rG'qL+i,m (г,£,,в)фi (Xnr) dr = гфi (Xnr) Gq+i,m fa, ф s) | ^ - Агаф (Xn) Gfaimn fa s)
Ri
i
Г
r
i
Ri
G'im (rfa,s) +
Gfm fa Ф S) G\m fa ф s)
Фl (*пг) rdr = -Х1Ф (Xn) Gfan (fa s) +
+ r
G'un (r, Ф s) +
Gim fa ф s')
Ф! (Xnr)
Ri
i г
Ri L
G'fai™ fa,fas) + 9+hH
G'oL+i,m fa Ф S)
ф0 (Xnr) rdr = -Xlф (Xn) Gfahmn (ф s') +
Ri
+ Xn^i (Xnr) G%+hm (r,fa s)U,
fa,"L (r f A I 2G”™ (r,^,S) G'i™ (r,^,s) I Glm (rfa,s)
Gim {rfa, 0 +----------------------------o-------1-------o------
ф0 (Xnr) rdr =
= Xn r
G'lm (rfa,S) +
G\m fa Ф S)
Фl (Xnr)
- Х1ф(Хп) Gfan (fas).
Ri
В резулвтате указанных преобразований краевая задача (9), (10) сводится к системе ли-нейнвк алгебраических уравнений относителвно G^m (Хп, fa s), которая имеет следующий вид:
N
kin (s) Gimn (ф s) Хп > ( (XjGj+i,mn (ф s) Fin (0,
j=i
ЛдXnGimn (fas) + kq+i,n (S) Gg+i,mn (fas) Fq+i,n (£),
Fm (о = фщ&i (ко, Fq+i,n (o = ф+Qeфо (ко,
kin (S) = fa + S2, kg+i,n (S) = Dq fa + TqS2 + S.
Решая эту систему, получаем
rL (jz ч = Сф1 (XnQ Piin (S) rL ( . = Сф0 (Xnfa) Pi,q+i,n
Giin (^,S) ф(Хп) Pn (s) , Gi,q+i,n (^,S) ф(К) Pn (s)
ф (К) Pn (s)
miL (t „) = Сф1 fanfa Pq+i,in (s)
Fq+^n (t,S)= ф(Хп) (s) ,
CL (q s) = &° (K0
^Jq+i,p+i,n \S,,b) ф(\ )
qp
+
P<
q+i,p+i,n
(s)
ф (Xn) _kq+i,n (S) Qqn (S)
i
2
r
r
i
r
i
i
r
Здесв
N
Рп (s) = kin (s) Пп (s) - ajЛjUjn (s), Qqn (s) = Pn (s) kq+1,n (s),
3=1
N
Pl,q+1,n (S) = ХпУ ' O-jПjn (S), Pg+1,kn (S) = ЛдXnP\kn (S), (13)
3 = 1
N N
Pun (s) = nn (s), Ujn (s) = кк+1,п (s), nn (s) = kj+i,n (s).
k=1,k=j j=1
Так как функции Pn (s), Pikn (s), кы (s) и Qqn (s) являются многочленами от s, то решения (12) - рационалвнвге функции. Поэтому переход в пространство оригиналов осуществляется по следующим формулам:
£ т ( Л A) 2N+2
Gun (фт) = * " ^ A[kil (Skn)exp(SknT),
( п) к=1
А т ( \ a) 2N+2
Gl,q+1,n (С, Т) = ° " ^ A1k)q+1,n (Skn)exP(SкпТ),
( п) к=1 а т ( \ a) 2N+4
Gg+1,1n Д, Т)= ф1(ЛТ) ^ A-i+pin (Skn)exp(SкпТ),
(14)
к=1
Gq+1,p+1,n (С,Т) =
СT0 (х„р T(An)
2 г ( \ 2N+4
Е I (?"т) + Е ДТ+L. (^exp^r)
l=1 ^q+1,n (Хд1п) к=1
Здесв Skn """"" нули полинома Рп (s), а Xqin ~ дополнительные нули полинома kq+1,n (s), определяемые по формулам
, = 1 л/1 4тЯ. Dq Хп _
Xq1n — ~ , Xq2n
2Тд
-1 + л/1 - 4Тд Рд А%
2Тд
Таким образом, в соответствии с (11), объемные функции Грина имеют вид
(15)
G1m (r,i,T)
Gg+1,m (Г, £, T)
!=s!
G\mn (ф т) Ф1 (Anr) Gq+1 ,mn (£, T) To (Xnr)
)
где коэффициентв1 этих рядов находятся по формулам (14), с учетом равенств (13) и (15).
Метод эквивалентных граничных условий. Для нахождения функций f * (т) подставляем решение (4) задачи (1), (3) в граничные условия (2). Получаем уравнения относителвно искомых функций f *к (т):
N
G'1U (1 ,т - t) + C12G111 (1 ,т - t) - ^ aj Gj+1,11 (1 ,т - t)
3=1
/1*1 (t) dt+
+
N
Gl112 (1,t - t) + C12G112 (1, T - t) -^2 ajGj+1,12 (1, T - t)
3=1
/12 (t) dt = <p1 (r),
G'm (R1,T - t) + ^ G111 (R1,T - t) -У2 aiG 3+1,11 (R1,T - t)
K1 ^
N
3=1
(16)
/*1 (t) dt+
+
N
G'112 (R1,T - t) + G112 (R1 ,T - t) - V' a3G 3+1+2 (R1,T - t)
Л1 ;
3=1
/12 (t) dt = (fi2 (t);
N+1
1 T
V1 (T) = -
<P1k (1,£,t - t) Fk (i,t) didt,
k=1
N +1
Ri 0 1 т
(17)
V2 (T) = -
F2k (R1,i,r -1) Fk a, t) didt,
k= 1
Ri 0
N
<P1k (1, i,r - t)= G[k (1, i, т - t)+ C12G11, (1, i, т - t) -^2 азG3+1,k (1, £, T - t)
3 = 1
F2k (R1,i,T - t) = G'1k (R1,i,T - t) + ^ G1k (R1,i,T - t) -^2 a3 Gj+1,k (R1,i,r - t)
N
R
3 = 1
Соотношения (16), (17) представляют собой систему интегральных уравнений Волвтерры 1-го рода. С учетом граничных условий (6)
+
G'm (1, т - t) + G111 (1,т - t) -^2 азG3+1,11 (1,т - t)
3=1
N
G'112 (1,т - t) + G112 (1,т - t) - ^ aj Gj+1,12 (1,т - t)
3=1
Т
= J 5 (т - t) f*1(t) dt = f*1 (t),
/*1 (t) dt+
f*2 (t) dt =
N
G'm (R1, т - t) + — G111 (R1,t - t) -S2 азG3+1,11 (R1,t - t)
it1 L'
+
-1) - 2_^ (+ 3=1
N
G'112 (R1,+ - t) + G112 (R1,T - t) -^2 a3Gj+1,12 (R1,T - t)
3=1
/11 (t) dt+
f*2 (t) dt =
T
= J 5 (t - t) /12 (t) dt = f *2 (+),
T
T
T
T
T
а с учетом (8)
N+1
1 Т
к=1
V1 (г) = (1 - С12)^ Gik (1, с, Т - t) Fk (£, t) d£dt,
F2 (т) = 1 ffC12 I I G 1fc (R1,Z,T - t) Fk (€,t) d^dt-
N +1
R-l 0 1 т
(18)
R1
k= 1
Rl 0
Поэтому система (16) запишется так:
Т Т
/и (т ) + (С12 - 1) У ^111 (1,Т - t) f* 1 (t) dt + (с 12 - 1) J G112 (1 ,T - t) /1*2 (t) dt = tf1 (t ),
0 0 T T
C12 1 У G111 (R^t - t) f*1 (t) dt + f*2 (t) + C12R- 1 J G112 (R1,T - t) /*2 (t) dt = ip2 (t).
R1
В полученнв1х равенствах, в слагаемых, содержащих интегралы, выполним интегрирование по частям. Учитвгоая тот факт, что любую дифференцируемую функцию f (т) можно представитв в виде (точка обозначает производную по времени)
Т
f (т) - f (0) = У f (t) dt,
0
получаем
г т 2
У ап (т - t) f*1 (t) dt + j a12 (t - t) /*2 (t) dt = щ (t) - ^ ац (т) f* (0),
0 0 t=1
г т 2
У Й21 (T - t) f*1 (t) dt + У a22 (T - t) f*2 (t) dt = P2 (t) - ^ a2j (T) f* (0).
(19)
3=1
Здесв
«11 (т - t) = (C12 - 1) <5111 (1,T - t) + 1, 0,12 (t - t) = (C12 - 1) <5112 (1,т - t),
C12 — 1 ~ C12 — 1
«21 (t - t) = -------G111 (R1,T - t), 022 (t - t) = --------G112 (R1, T - t) + 1,
R1
R1
(20)
Gui (г,т) = Gui (r,t) dt.
Решение системы (19) будет зависетв от f*i (0). Эти функции в нуле, вообще говоря, не определены и могут приниматв любые значения. Поэтому доопределим их, исходя из условия сопряжения началвнв1х и граничных условий в угловых точках рассматриваемой области. С учетом нулеввгх начальных условий будем полагать:
fii (0) = 0.
Система интегральных уравнений (19) решается численно. Для аппроксимации интегралов используется формула средних прямоугольников (30, 34]
У Oij (tm - t) /* (t) dt = hAiij//)yijm~l//) + hS-1/2),
где
tm = mh, tm-1/2 = (m - 0 h,
rn— 1
A?-1/2) = E 4"-‘+1/2)й(‘-1/2) (vm = о;ж),
fc=i
M
(M
9/* (tm) (rn-1/2) (Д ^1/2)
=
9r
9r
Л(т) = ^ (/ ) Am-fc+1/2) = n (, , \
Aij = atj (bm), -n-ij = Uij [im bk-1/2).
Таким образом, система интегралвных уравнений (19) сводится к рекуррентной последо-вателвности систем линейных алгебраических уравнений
АУт-1/2 = bm-1/2, A
b
т-1/2
|Ч1/2) 4П У = б,Г1/2))
К/2) дД • У”-1/2 = U"-1/2)J'
(Д1/2)) . *!m-1/2) = h Ф (*-») - hSin-1/2) - hs(S-1/2))
решения которых находим по формулам Крамера:
(т-1/2 )
у1 1 )
!>1А2‘2/2) - М1Г
_________122 ^2^12___________ ,,(™-1/2)
Л (1/2 ) л (1/2 ) л(1/2 ) Л (1/2 ) , У2
./±11 /±оо /±1 О /±'
62а11/2) - м21/2
4(1/2 ) л(1/2 ) 4(1/2) 4(1/2)'
Л11 л22 л12 Л21
41 22 12 21
В резулвтате, решение исходной задачи (1), (2) в точках т = U запишется так:
N+1 1 ^
и (г, и) = ^ / G1k (а С, и - t) Fk (Ф t) d£dt+
к=1
Rx 0
2 i
+h ЕЕ (5 hi (а Ф-т+1/2 ) уг
(m-1/2 )
1=1 m=1
W+1 1 tl
k=1
Щ (r, ti)=^ / Gg+1,k (r, £, ti - t) Fk (£, t) d£dt+
Ri 0
2 i
+h EE G q+1,1l (АФ-т+1/2 ) У1
(m-1/2 )
1=1 m=1
(21)
)
4. Предельные переходы к несвязанным и статическим задачам
Полагая тд = 0, получаем классическую модели механодиффузии с бесконечной скороствю распространения диффузионных потоков. При этом степени полинома Р (Хп, s) изменяется с 2N + 2 до N + 2, а для дополнителвных нулей имеют место следующие пределвные переходы:
Xq1n ^ DqХп, Xq2n ^ ^ {jq ^ 0).
Тогда:
exp {XqinT) ^ exp (-Д ,\2пт), exp (хЯ2гаТ) ^ 0 (тд ^ 0).
Полагая далее ар = 0, переходим к классическим моделям упругости и массопереноса для полого цилиндра в задаче (1), (2). Ввгаисляя соответствующие пределв1 в (13) и (14) при aq ^ 0, получаем (учитвгоая, что Лд ^ 0 при ад ^ 0) следующие ввщажения для функций Грина в несвязаннв1х задачах упругости и диффузии (множители Q[n приведенв1 в Приложении):
s~iu ( \ ^In sin Агат
и1п {Т) =
g га (е,т ) =
Ф (Ап) Ага
С Ф1 (AraQ Sin АгаТ АгаФ (Ага)
°Цп (Т)
АгаDg 0,ira
Ф (Ага) 4=!
3=1
exP (ХздгаТ)
к1д+1,га ^jq-n)
G 1га (£,Т)
£Фф(АгаФ) exP (ХздгаТ)
Ф (Ага) .= 1 к1д+1,га (Ага, Xjq)
Для перехода к статическим механодиффузионным режимам, полагаем в уравнениях (1) и граничнв1х условиях (3)
Л* (г) = ГН (т), fu (т) = fuн (г), Д+м (т) = fg+4H (г),
Fk (фт) = Рк (£) Н (г).
Здесв Н (т) - функция Хевисайда, /*г, fmi - статические нагрузки.
Обозначим функции Грина статической задачи через G^k. Тогда, исполвзуя предельный переход (символ «*» обозначает свертку по времени)
Gmk (О = lim [Gmk (г, т) * Н (т)] = lim
s—0
sGmk (r, s) -
=lim Gtxk (r,S),
s——0
связывающий функции Грина статической и динамической задач (34, 35], из формул (12) и (13) получаем статические функции Грина для полого цилиндра в виде
ей й.«) = «Ф X PBt*1 ^
га=1 7 га
С1,,+1 (П () = (а,Ф, £ ф! <Агаг)'
га=1 \ п/ га
GSq+1,1 (Г,0= (ЛдФд £ |^га|)Ф0 (АгаГ),
G*+w (г,0 =
"1 Ф (Ага) Ага
£ (V + ЛарФр) ^ Фо (КО Dn
X
1 Ф(А„.) А;-
Фо ( АгаХ),
где величины Фд и Ф определяются по формулам
Ф
N
П Dj
3 = 1
N
N
Фп
N
П Dk
к=1,к=д
N ’ q N
N
N
п Dj -е ч л, п Dk
3=1 3=1 k=1,k=j
П Dj -Y Ч Л, П Dk
3=1 3 = 1 k=1,k=j
Статический аналог уравнений (19) и формул (18), (20) в этом случае записвгоается следующим образом:
«11/1*1 + «12/1*2 = Фъ «21 /1*1 + 022/1*2 = <Р2,
(22)
где
«11 = 1 + («12 — 1) <^111 (l), «12 = («12 — 1) ^112 (1) «21 = — G111 (R1), Й22 = 1 +—^— G112 (R1),
R1
R1
N+1 1
Л = (1 - «12) Е / G?k (1,0 Fk (О dC k=1Ri
^2
1 — «12 ^1
N+1 1
Е / №,о Fk (о ^е.
k=1ii
Решение (22) находим по формулам Крамера
j* = «22^1 — «12^2 j* = «11^2 — «21^1
11 «11«22 — «12«21 ' 12 «11«22 — «12«21
Таким образом, статический аналог формул (21) запишется так:
1
2 i
u(r) = Е /^1 k(г>£)^k(с)d£ + ЕЕ(г)яь
k=1R 1=1 m=1
N+1 1 2 г
щ(r) = Е J ^9+1-k(со^kшd/ + ЕЕG«+1,1i(r)/*.
Rl
1=1 m=1
(23)
5. Пример
В качестве примера рассматриваем трехкомпонентный сплав (N = 2, независимые компоненты: цинк 1,0% и медв 4,5%, диффундирующие в дюралюминии), физические характеристики которого следующие (36]:
Н
Н
м
м
С12 = 6.93 ■ 101ОД, Сбв = 2.56 ■ 101ОД, То = 700К, р = 2700^|, Д2) = 0.045
,(2)
м
кг
L = 0.5 ■ 10-2м, а(11) = 6.55 ■ 107—, а12) = 6.14 ■ 107—, т(2) = 0.064КГ кг моль
2 2
= 2.62 ■ 10-12 —, Д2) = 2.89 ■ 10-15 —, п01) = 0.01, т(1) = 0.065^^-. 1 с 1 с 0 моль
Положим для расчета
%1 (г,т) = Ф01 (Л1Г) Н (т), %2 (г,т) = Н (т).
Результаты вычислений представлены на рисунках 1-9.
Рис. 1: Перемещения и (г,т), соответствующие решению упругодиффузионной задачи.
Рис. 2: Перемещения и (г,т), соответствующие решению упругой задачи.
Рис. 3: Сравнение перемещений упругой и упругодиффузионной задач и (г, т).
Рис. 4: Сравнение перемещений упругой и упругодиффузионной задач и (г,т).
На рисунках 3 и 4 сравниваются поля механических перемещений для упругой задачи (пунктирная линия) и упругодиффузионной задачи. Видно, что диффузионные процессв1 при заданнвгх нагрузках (24) с течением времени начинают влиятв на механическое поле. Однако, как отмечалосв ранее [34], это отличие проявляется преимущественно в виде сдвига упругих и упругодиффузионных нестационарнв1х колебаний друг относителвно друга. Амплитудв1 этих колебаний примерно одинаковы, что видно на рисунках 1 и 2. При этом релаксационные диф-фузионнвю эффектв1 не влияют на поле механических перемещений. И в том, и в другом случае, решение имеет вид, представленный на рисунках 3 и 4.
Рис. 5: Приращение концентрации цинка Ц1 (г, т) с учетом релаксации (началвнвю моментв! времени)
Рис. 6: Приращение концентрации цинка щ (г, т) без учета релаксации (началвнвю моментв! времени).
Рис. 7: Приращение концентрации цинка ц1 (г, т) с учетом релаксации (развитие процесса)
Рис. 8: Приращение концентрации цинка ц1 (г, т) без учета релаксации (развитие процесса).
На рисунках 5-9, на примере первой компонентв1 вещества (цинк), показанв1 различнвю стадии развития процесса диффузии с учетом релаксации и без учета релаксации диффузи-OHHBIX потоков. Видно, сколв существенно влияет релаксация на кинетику массопереноса в началвнвю моментв1 времени (рисунки 5, 6), ее постепенное уменвшение с течением времени (рисунки 7, 8) и полное затухание (рисунок 9). Для второй компонентв1 вещества (медв) имеют место аналогичнвю резулвтатвт Таким образом, релаксационнвю эффектв1 влияют на кинетику массопереноса толвко в началвнвю моментв1 времени, соизмеримвю с временами релаксации компонент в составе сплошной средвт
Рис. 9: Приращение концентрации цинка щ (г,т) (предельное развитие процесса).
6. Заключение
Предложена модель и разработан алгоритм решения нестационарной задачи для ортотропного полого многокомпонентного цилиндра, находящегося под действием объемных механодиффузионных возмущений. На примере полого цилиндра, выполненного из трехкомпонентного материала и находящегося в поле действия массовых сил, смоделировано взаимодействие механического и диффузионных полей, а также исследовано влияние релаксационных процессов на кинетику массопереноса.
Приложение
Поверхностные функции Грина Gkmi (г, т), найденные в работе [30], имеют следующий вид:
Ж Ж
Gq+1,ml (т) = ^ ^ Gq+1 ,mln (т) Ф0 (^п^), @1ml (т) = ^ ^ ^1 min (т) Ф1 (^п^),
п=1 2 N+2
п= 1
@1kln (т)
(т) Р1kln (smn) (т) _ Pq+1,kln (smn)
Ф
____ Л(т) exp(a г) Л(т) = Д(',п) ' Ч+1,ы>,
(\ ) ^1 kin exp(b^^Т), ^1kln = р/ (G ) , ^q+1,kln = П/ (0 )
(лп) т—1 г п (ьтп) V п (ьшп)
Gq+1,1ln (т)
Ф(АП)
2N+4
т—1
exP (XjqnГ)
q+1,1ln exp(^mn ' ) + sm^q^ln ^ у ( )
■—1 ъ q+1,n (Xjqn)
Y1 А9+1 Мп eXP (s™Т) + А«Л<2
Gq+1,p+1,ln (т) =
1
Ф(АП)
2N+4
Aq+1,p+1,in exp (smnт) + Ап (Лдар Dq5pq)
т—1
exP (XjqnГ) —1 Рq+1,п (Xjqn)
1
Рц1п (®) — ^
In
N
Пп (S) - XlY^ аз Аз П3п (S)
3=1
Pl,q+1,ln (Xn,s) — \nClq
N
Dqnqn (S) а3Л3Пзп (s)
3 = 1
Pq+1,kln (s) — Aq\nPlkln (a) ,
$hn — Ф01 (Ara) $11 — Д1Ф01 (XnRl) 5%.
Здесв Skn """"" нули полинома Pn (s), a Xqin ~ дополнительные нули полинома kq+i,n (s), кото-pnie находятся по формулам (15).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abbas АЛ. Eigenvalue approach on fractional order theory of thermoelastic diffusion problem for an infinite elastic medium with a spherical cavity // Applied Mathematical Modelling. 2015. Vol. 39, No. 20. P. 6196-6206.
2. Abbas A. Ibrahim, Elmaboud Y. Abd. Analytical solutions of thermoelastic interactions in a hollow cylinder with one relaxation time // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. Vol. 22, No 2. P. 210-223.
3. Abo-Dahab S.M. Generalized Thermoelasticity with Diffusion and Voids under Rotation, Gravity and Electromagnetic Field in the Context of Four Theories // Appl. Math. Inf. Sci. 2019. Vol. 13, No 2. P. 317-337.
4. Aouadi M. A generalized thermoelastic diffusion problem for an infinitely long solid cylinder // Intern. J. Mathem. and Mathem. Sci. 2006. Vol. 2006. P. 1-15.
5. Aouadi M. A problem for an infinite elastic body with a spherical cavity in the theory of generalized thermoelastic diffusion // International Journal of Solids and Structures. 2007. Vol. 44. P. 5711-5722.
6. Bhattacharva D., Pal P., Kanoria M. Finite Element Method to Study Elasto-Thermodiffusive Response inside a Hollow Cylinder with Three-Phase-Lag Effect // International Journal of Computer Sciences and Engineering. 2019. Vol.7, Is. 1. P. 148-156.
7. Choudharv S., Deswal S. Mechanical loads on a generalized thermoelastic medium with diffusion // Meccanica. 2010. Vol. 45. P. 401-413.
8. Davydov S.A., Zemskov A.V. Thermoelastic Diffusion Phase-Lag Model for a Layer with Internal Heat and Mass Sources // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2022. Vol. 183, Part C. 122213.
9. Deswal S., Kalkal K. A two-dimensional generalized electro-magneto-thermoviscoelastic problem for a half-space with diffusion // International Journal of Thermal Sciences. 2011. Vol. 50, No 5. P. 749-759.
10. Deswal S., Kalkal K.K., Sheoran S.S. Axi-svmmetric generalized thermoelastic diffusion problem with two-temperature and initial stress under fractional order heat conduction // Phvsica B: Condensed Matter. 2016. Vol. 496. P. 57-68.
11. Elhagarv М.А. Generalized thermoelastic diffusion problem for an infinitely long hollow cylinder for short times // Acta Mech. 2011. Vol. 218. P. 205-215.
12. Elhagarv M.A. Generalized thermoelastic diffusion problem for an infinite Medium with a Spherical Cavity // Int. J. Thermophvs. 2012. Vol. 33. P. 172-183.
13. Kaur I., Lata P. Rayleigh wave propagation in transversely isotropic magneto-thermoelastic medium with three-phase-lag heat transfer and diffusion // International Journal of Mechanical and Materials Engineering. 2019. Vol. 14, No 12. https://doi.org/10.1186/s40712-019-0108-3
14. Kumar R., Devi S. Deformation of modified couple stress thermoelastic diffusion in a thick circular plate due to heat sources // CMST. 2019. Vol. 25, No 4. P. 167-176.
15. Kumar R., Devi S. Effects of Viscosity on a Thick Circular Plate in Thermoelastic Diffusion Medium // Journal of Solid Mechanics. 2019. Vol. 11, No 3. P. 581-592.
16. Lata P. Time harmonic interactions in fractional thermoelastic diffusive thick circular plate // Coupled Systems Mechanics. 2019. Vol. 8, No 1. P. 39-53.
17. Salama M.M., Kozae A.M., Elsaftv M.A., Abelaziz S.S. A half-space problem in the theory of fractional order thermoelasticity with diffusion // International Journal of Scientific and Engineering Research. 2015. Vol. 6, Is. 1. P. 358-371
18. Sharma N., Kumar R., Ram P. Plane strain deformation in generalized thermoelastic diffusion // Int. J. Thermophvs. 2008. Vol. 29. P. 1503-1522.
19. Sharma J. N., Thakur N., Singh S. Propagation characteristics of elasto-thermodiffusive surface waves in semiconductor material half-space // Therm Stresses. 2007. Vol. 30. P. 357-380.
20. Tripathi J.J., Kedar G.D., Deshmukh K.C. Two-dimensional generalized thermoelastic diffusion in a half-space under axisvmmetric distributions // Acta Mech. 2015. Vol. 226. P. 3263-3274.
21. Xia R. H., Tian X. G., Shen Y. P. The influence of diffusion on generalized thermoelastic problems of infinite body with a cylindrical cavity // International Journal of Engineering Science. 2009. Vol. 47. P. 669-679.
22. Минов А. В. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилиндра, подверженного термодиффузионному воздействию углерода в осесимметричном тепловом поле, переменном по длине // Известия вузов. Машиностроение. 2008. Vs 10. С. 21-26.
23. Павлина В. С. О влиянии диффузии на температурные напряжения в окрестности цилиндрической полости // Физико-химическая механика материалов. 1965. №4. С. 390-394.
24. Hwang С. С., Huang I. В. Diffusion-induced stresses in hollow cylinders for transient state // IOSR Journal of Engineering (IOSRJEN). 2012. Vol. 2, Is. 8. P. "166-182.
25. Lee S., Wang W. L., Chen J. R. Diffusion-induced stresses in a hollow cylinder: Constant surface stresses // Materials Chemistry and Physics. 2000. Vol.64, No 2. P. 123-130.
26. Soares J. S. Diffusion of a fluid through a spherical elastic solid undergoing large deformations // International Journal of Engineering Science. 2009. V. 47. P. 50-63.
27. Tartibi M., Guccione J.M., Steigmann D. J. Diffusion and swelling in a bio-elastic cylinder // Mechanics Research Communications. 2019. Vol. 97. P. 123-128.
28. Yang F. Effect of diffusion-induced bending on diffusion-induced stress near the end faces of an elastic hollow cylinder // Mechanics Research Communications. 2013. V. 51. P. 72-77.
29. Карташов Э. M., Кудинов В. А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложений. Изд. 4, перераб. и сущ. доп. М.: URSS. 2018. 1080 с.
30. Зверев Н.А., Земсков А. В. Моделирование нестационарных механодиффузионных процессов в полом цилиндре с учетом релаксации диффузионных потоков // Математическое моделирование. 2022. Т. 35, № 1. С. 25-37.
31. Зверев Н. А., Земсков А. В., Тарлаковский Д. В. Нестационарная механодиффузия сплошного ортотропного цилиндра, находящегося под действием равномерного давления, с учетом релаксации диффузионных потоков // Механика композиционных материалов и конструкций. 2021. Т. 27, № 4. С. 570-586.
32. Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Method of the equivalent boundary conditions in the unsteady problem for elastic diffusion layer // Materials Physics and Mechanics. 2015. No
1, Vol 23. P. 36-41.
33. Зверев H.A., Земсков А. В., Тарлаковский Д. В. Моделирование одномерных механодиффузионных процессов в ортотропном сплошном цилиндре, находящемся под действием нестационарных объемных возмущений, Вестник Самарского Государственного технического университета. Серия: Физико-математические Науки. 2022. Т.26, №1. с. 62-78.
34. Земсков А. В., Тарлаковский Д. В. Моделирование механодиффузионных процессов в многокомпонентных телах с плоскими границами. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2021. 288 с.
35. Диткин В. А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа. 1965. 568 с.
36. Бабичев А.П., Бабушкина Н.А., Братковский А.М., и др.; под общей редакцией Григо-рвева И. С., Мейлихова И. 3. // Физические величины: Справочник. М.: Энергоатомиздат. 1991. 1232 с.
REFERENCES
1. Abbas, АЛ. 2015. “Eigenvalue approach on fractional order theory of thermoelastic diffusion problem for an infinite elastic medium with a spherical cavity”, Applied Mathematical Modelling., Vol. 39, No. 20, pp. 6196-6206.
2. Abbas, A. Ibrahim k. Elmaboud, Y. Abd. 2017. “Analytical solutions of thermoelastic interactions in a hollow cylinder with one relaxation time”, Mathematics and Mechanics of Solids., Vol.
2, No. 2, pp. 210-223.
3. Abo-Dahab, S.M. 2019. “Generalized Thermoelasticity with Diffusion and Voids under Rotation, Gravity and Electromagnetic Field in the Context of Four Theories”, Appl. Math. Inf. Sci, Vol. 13,'No. 2, pp. 317-337.
4. Aouadi, M. 2006. “A generalized thermoelastic diffusion problem for an infinitely long solid cylinder”, Intern. J. Mathem. and Mathem. Sci., Vol. 2006, pp. 1-15.
5. Aouadi, M. 2007. “A problem for an infinite elastic body with a spherical cavity in the theory of generalized thermoelastic diffusion”, International Journal of Solids and Structures., Vol. 44, pp. 5711-5722.
6. Bhattacharva, D. к Pal, Р. к Kanoria, М. 2019. “Finite Element Method to Study Elasto-Thermodiffusive Response inside a Hollow Cylinder with Three-Phase-Lag Effect”, International Journal of Computer Sciences and Engineering., Vol. 7, Is. 1, pp. 148-156.
7. Choudharv, S. 2010. “Mechanical loads on a generalized thermoelastic medium with diffusion”, Meccanica., Vol. 45, pp. 401-413.
8. Davydov, S. A. к Zemskov, A. V. 2022. “Thermoelastic Diffusion Phase-Lag Model for a Layer with Internal Heat and Mass Sources”, International Journal of Heat and Mass Transfer., Vol. 183, part. C, 122213
9. Deswal, S. к Kalkal, K. 2011. “A two-dimensional generalized electro-magneto-thermoviscoelastic problem for a half-space with diffusion”, International Journal of Thermal Sciences., Vol. 50, No. 5, pp. 749-759.
10. Deswal, S. к Kalkal, K.K. к Sheoran, S.S. 2016. “Axi-svmmetric generalized thermoelastic diffusion problem with two-temperature and initial stress under fractional order heat conduction”, Physica B: Condensed Matter., Vol. 496, pp. 57-68.
11. Elhagarv, M. A. 2011. “Generalized thermoelastic diffusion problem for an infinitely long hollow cylinder for short times”, Acta Mech., Vol. 218, pp. 205-215.
12. Elhagarv, M. A. 2012. “Generalized thermoelastic diffusion problem for an infinite Medium with a Spherical Cavity”, Int. J. Thermophys., Vol. 33, pp. 172-183.
13. Kaur, I. к Lata, P. 2019. “Rayleigh wave propagation in transversely isotropic magnetothermoelastic medium with three-phase-lag heat transfer and diffusion”, International Journal of Mechanical and Materials Engineering., Vol. 14, No. 12. https://doi.org/10.1186/s40712-019-0108-3
14. Kumar, R. к Devi, S. 2019. “Deformation of modified couple stress thermoelastic diffusion in a thick circular plate due to heat sources”, CMST., Vol. 25, No. 4, pp. 167-176.
15. Kumar, R. к Devi, S. 2019. “Effects of Viscosity on a Thick Circular Plate in Thermoelastic Diffusion Medium”, Journal of Solid Mechanics., Vol. 11, No. 3, pp. 581-592.
16. Lata, P. 2019. “Time harmonic interactions in fractional thermoelastic diffusive thick circular plate”, Coupled Systems Mechanics., Vol. 8, No. 1, pp. 39-53.
17. Salama, M. M. к Kozae, A. M. к Elsaftv, M. A. к Abelaziz, S. S. 2015. “A half-space problem in the theory of fractional order thermoelasticity with diffusion”, International Journal of Scientific and Engineering Research., Vol. 6, Is. 1, pp. 358-371.
18. Sharma, N. к Kumar, R. к Ram, P. 2008. “Plane strain deformation in generalized thermoelastic diffusion”, Int. J. Thermophys., Vol. 29, pp. 1503-1522.
19. Sharma, J.N. к Thakur, N. к Singh, S. 2007. “Propagation characteristics of elasto-thermodiffusive surface waves in semiconductor material half-space”, Therm. Stresses., Vol. 30, pp. 357-380.
20. Tripathi, J.J. к Kedar, G.D. к Deshmukh, K.C. 2015. “wo-dimensional generalized thermoelastic diffusion in a half-space under axisymmetric distributions”, Acta Mech., Vol. 226, pp. 3263-3274.
21. Xia, R. Н. к Tian, X. G. к Shen, Y. Р. 2009. “The influence of diffusion on generalized thermoelastic problems of infinite body with a cylindrical cavity”, International Journal of Engineering Science., Vol. 47, pp. 669-679.
22. Minov, A. V. 2008. “Issledovanie napryazhenno-deformirovannogo sostovaniva pologo tsilindra, podverzhennogo termodiffuzionnomu vozdejstvivu ugleroda v osesimmetrichnom teplovom pole, peremennom po dline [Investigation of the stress-strain state of a hollow cylinder subject to thermal diffusion action of carbon in an axisvmmetric thermal field, variable along its length].”, Izvestiya vuzov. Mashinostroenie [BMSTU Journal of mechanical engineering]., No. 10, pp. 21-26. [In Russian]
23. Pavlina, V. S. 1965. “O vlivanii diffuzii na temperaturnve napryazheniva v okrestnosti cilind-richeskoj polosti [On the effect of diffusion on thermal stresses in the vicinity of a cylindrical cavity]”, Fiziko-himicheskaya mekhanika materialov., No. 4, pp. 390-394. [In Russian]
24. Hwang, C.C. к Huang, I. B. 2012. “Diffusion-induced stresses in hollow cylinders for transient state”, IOSR Journal of Engineering (IOSRJEN)., Vol. 2, Is. 8, pp. 166-182.
25. Lee, S. к Wang, W.L. к Chen, J.R. 2000. “Diffusion-induced stresses in a hollow cylinder: Constant surface stresses”, Materials Chemistry and Physics., Vol. 64, No. 2, pp. 123-130.
26. Soares, J.S. 2009. “Diffusion of a fluid through a spherical elastic solid undergoing large deformations”, International Journal of Engineering Science., Vol. 47, pp. 50-63.
27. Tartibi, M. к Guccione, J.M. к Steigmann, D. J. 2019. “Diffusion and swelling in a bio-elastic cylinder”, Mechanics Research Communications., Vol. 97, pp. 123-128.
28. Yang, F. 2013. “ Effect of diffusion-induced bending on diffusion-induced stress near the end faces of an elastic hollow cylinder”, Mechanics Research Communications., Vol. 51, pp. 72-77.
29. Kartashov, E.M. к Kudinov, V. A. 2018. “Analiticheskie metodv teorii teploprovodnosti i ее prilozhenij [Analytical methods of the theory of heat conduction and its applications].”, Moscow, URSS., 1080 p. [In Russian]
30. Zverev, N.A. к Zemskov, A.V. 2022. “Modeling Unsteady Elastic Diffusion Processes in a Hollow Cylinder Taking into Account the Relaxation of Diffusion Fluxes”, Mathematical Modeling., Vol. 35, No. 1, pp. 25-37.
31. Zverev, N.A. к Zemskov, A.V. к Tarlakovskv, D. V. 2021. “Nestacionarnava mekhanodiffuziva sploshnogo ortotropnogo cilindra, nahodvashchegosya pod dejstviem ravnomernogo davleniva, s uchetom relaksacii diffuzionnvh potokov [Unsteady elastic diffusion of an orthotropic cylinder under uniform pressure considering relaxation of diffusion fluxes]”, Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii., Vol. 27, No. 4, pp. 570-586. [In Russian]
32. Zemskov, A.V. к Tarlakovskii, D.V. 2015. “Method of the equivalent boundary conditions in the unsteady problem for elastic diffusion layer”, Materials Physics and Mechanics., Vol. 23, No. 1, pp. 36-41.
33. Zverev, N. A. к Zemskov, A. V. к Tarlakovskv, D. V. 2022. “Modelling of one-dimensional elastic diffusion processes in an orthotropic solid cylinder under unsteady volumetric perturbations”, Bulletin of the Samara State Technical University. Series: Physical and Mathematical Sciences., Vol. 26, No. 1, pp. 62-78.
34. Zemskov, A.V. к Tarlakovskii, D.V. 2021. “Modelirovanie mekhanodiffuzionnvh processov v mnogokomponentnvh telah s ploskimi granicami [Modeling of mechanodiffusion processes in multicomponent bodies with flat boundaries]”, FIZMATLIT., 288 p. [In Russian]
35. Ditkin, V. A. к Prudnikov, A. P. 1961. “Spravochnik po operatsionnomu ischislenivu [Handbook on Operational Calculus]”, Moscow, Vysshaya shkola., 524 p. [In Russian]
36. Babichev, A. P., Babushkina, N. A., Bratkovskv, A. M. and others; under the general editorship of Grigoriev, I. S., Meilikhov, I. Z. 1991. “Fizicheskie velichinv: Spravochnik [Physical quantities: Handbook].”, Moscow, Energoatomizdat., 1232 p. [In Russian]
Получено: 31.08.2023 Принято в печати: 28.06.2024
