CC BY
41
Методы моделирования и обработки сигналов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (2), с. 371-375
УДК 539.21
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ТВЕРДОГО РАСТВОРА SibxGex С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭМПИРИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
© 2010 г. А. С. Васин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского vasin@phys .unn.ru
Поступила в редакцию 27.05.2010
С использованием эмпирических потенциалов Терсоффа и Стиллинжера-Вебера рассчитаны зависимости длин Si-Si-, Si-Ge-, Ge-Ge-связей от состава. Рассматривались жесткие и периодические граничные условия для сферической и кубической расчетных ячеек. Обнаружена различная зависимость длин этих трех типов связей от состава. Она оказалась более слабой, чем это следует из закона Вегарда.
Ключевые слова: твердый раствор SiGe, длина связи, эмпирический потенциал.
Ввведение
В последние годы сплав Si1-xGex привлекает большое внимание исследователей, что связано как с практическим, так и с фундаментальным интересом к нему [1-7]. Широко исследуются и уже находят некоторое приборное применение монокристаллические объемные слои сплава, гетероструктуры Si-Ge, аморфный SiGe. Этот материал позволяет применить новые функциональные принципы в кремниевой электронике, основанные, например, на использовании квантовых точек SiGe и возможной реализации дискретного энергетического спектра. Последние позволяют осуществить в гетероструктурах ква-зипрямозонную люминесценцию для создания на базе кремниевой интегральной технологии излучателей и приемников в области длин волн 1.5 мкм, необходимых для оптоволоконных систем связи. В технологии создания структур с квантовыми точками обсуждается возможность использования твердого раствора Si1-xGex в качестве температурно-стабильного релаксиро-ванного буферного слоя для последующего роста самоформирующихся островков SiGe.
Фундаментальный интерес к этому раствору связан с изучением неупорядоченных систем, не обладающих в отличие от кристаллов свойствами симметрии решетки. Предполагается, что локальная структура сплава, как функция состава, формируется вкладом упругих напряжений, возникающих из-за различия в размерах составляющих сплав атомов, а также вкладом химической энергии, различной для тех или иных типов межатомных связей. В зависимости
от преобладания первого или второго фактора получается различная степень упорядоченности или случайности твердого раствора.
Как известно, кристаллический релаксиро-ванный 811-хОех-сплав при комнатной температуре является термодинамически стабильным случайным раствором [5]. Несмотря на кажущуюся простоту этого сплава, основным на протяжении последних 10-15 лет остается вопрос о зависимости длин связей Si-Si, Si-Ge и Ge-Ge от состава. Большинство работ посвящено теоретическому изучению этого свойства либо методами ab initio [3, 4], либо другими методами [1, 2, 5, 8, 9] (Монте-Карло или с применением эмпирических потенциалов межатомного взаимодействия). Экспериментальные работы [6, 7] не так многочисленны, т.к. определение длин связей между атомами в отличие от параметра решетки требует повышенной точности и не является тривиальным.
К настоящему времени установлено довольно точно, что в релаксированном сплаве зависимость параметра решетки a от состава х подчиняется линейному закону Вегарда
a = aSi • (1 - х) + aGe •х , (1)
где aSi , aGe - параметры решеток чистых Si и Ge, соответственно. При более точных исследованиях обнаружено небольшое отрицательное отклонение от прямой a(x) вблизи х=0.5. Вовсе не следует ожидать, что и длины связей между атомами изменяются с составом аналогично.
В теории сплавов обычно рассматривают два предельных случая.
Рис. 1. Зависимость оптимального параметра решетки от доли германия при жестких граничных условиях для потенциалов: а - Терсоффа, б - Стиллинжера-Вебера. Прямая линия соответствует закону Вегарда
1. Длина связи между атомами есть величина постоянная, равная сумме радиусов составных элементов, и не зависит от состава. Релаксация упругих напряжений, связанная с заменой части атомов атомами ве, происходит за счет незначительного искажения углов между связями, в результате чего кристаллическая решетка перестает быть идеально алмазной (предел Пау-линга).
2. Если энергетически более выгодно, длины связей изменяются с составом линейно, без искажения углов между связями, т.е. алмазная решетка трансформируется подобным образом, оставаясь почти идеальной с точностью до учета тепловых колебаний атомов (предел Вегарда).
Для определения вклада указанных механизмов снятия упругих напряжений, связанных с различием в размерах атомов, вводится топологический параметр жесткости [5]
= 1 --
А;,
D0 Г>0
RGe -
(2)
Si
где ^¿е, - длины связей между ближай-
шими атомами в чистом ве и Б1, соответственно, I, у принимают значения ве или Б1, Ду -наклон графика зависимости средней длины у**
связи от состава х. Параметр ау показывает
жесткость решетки в смысле способности искажаться при образовании сплава из атомов
**
разного размера. При ау = 1 решетка наиболее подвижна, т.е. искажается сильнее всего, что
**
соответствует пределу Паулинга; при ау = О решетка совершенно жесткая (предел Вегарда). Значения ау , найденные в нескольких модель-
ных теоретических и экспериментальных работах, лежат в диапазоне 0.6-0.9, причем оказываются различными для Si-Si-, Si-Ge- и Ge-Ge-связей. Это означает, что изменение длин связей с составом довольно слабое и соответствует более закону Паулинга, чем закону Вегарда. Однако количественного согласия между результатами этих работ нет, и вопрос остается открытым.
При моделировании локальных структурных свойств сплава следует ожидать зависимости
параметра а, и от граничных условий. Практически во всех указанных работах использовались периодические граничные условия, однако реальные нанокристаллы Si1-xGex помещены в жесткую среду и имеют различную геометрическую форму. В этом случае более подходят жесткие граничные условия.
Целью настоящей работы является уточнение локальных структурных свойств твердого раствора Si1.xGex на основе моделирования
взаимодействия атомов с помощью потенциалов Стиллинжера-Вебера [10, 11] и Терсоффа [12], модернизированных для SiGe твердого раствора, при различных формах кристаллита, жестких и периодических граничных условиях.
Детали моделирования
Рассматривался кристаллит, состоящий примерно из 1000 атомов. Кристаллит в форме куба строился из элементарных ячеек алмазной структуры. Другой кристаллит в форме, близкой к шару (назовем его эллипсоидом), строился путем последовательного наращивания слоев вокруг центрального атома так, что слои соответствовали 1-й, 2-й и т.д. координационным
а
G.24-3
'1244
і Ü.242
g
0?3&
Ü.235
0.2E4
a) т I \/ 0?4Й 6) І/.
IÍ Ï1 /1 0.244 ï ï
Iі / ï 0.242 ï * /і
Уі I • і ï : і iA і
,/t f - â 0.241: і */
т ■Я I /
t f S E
y\\ ï * * * До.гэа X T
X і ! Ü.2Ü6 I ï ï Í " -
K* í I Í
0.2ІЧ
0.2 04 0 S O.d
Дспсгдруаинн
Э2 04 GÇ Доля гпрмяііия
Рис. 2. Зависимости длин связей от состава: а - жесткие граничные условия, потенциал Стиллинжера-Вебера, б - периодические граничные условия, потенциал Терсоффа. Сплошные линии соответствуют закону Вегарда, треугольники - связи Ge-Ge, кружки - связи Si-Ge, квадраты - связи Si-Si
сферам. Для кристаллита в форме куба применялись периодические граничные условия, для эллипсоида - жесткие граничные условия.
Получение заданного состава х достигалось путем случайного расселения доли х атомов германия и доли 1 - х атомов кремния по узлам полученной геометрической структуры. Затем проводилась релаксация сплава к равновесному состоянию с минимумом потенциальной энергии. Новые координаты атомов рассчитывались методом молекулярной динамики по алгоритму Верле в скоростной форме с промежуточным итерированием на каждом временном шаге, величина которого не превышала 1О-15 с. При жестких граничных условиях атомы двух последних слоев считались неподвижными, но взаимодействующими с подвижными атомами внутренних слоев. При этом подвижные атомы имеют всех соседей из первой и второй координационных сфер для корректного применения потенциалов взаимодействия. Диссипация энергии в системе достигалась занулением скоростей атомов при достижении кинетической энергией максимальных значений. После релаксации рассчитывались средние значения длин трех различных типов связей, углов между связями, энергий связей. Ошибки в определении этих величин в основном связаны с различными случайными реализациями распределения атомов разного типа по кристаллиту и мало зависят от процесса релаксации.
Результаты расчетов и их обсуждение
Для проверки выполнения закона Вегарда
(1) проводилась релаксация сплава к равновесному состоянию при варьировании параметра
решетки идеального кристаллита от а8; до аСе . Параметр, соответствующий минимуму потенциальной энергии после релаксации, принимался за параметр решетки сплава заданного состава.
Зависимости оптимального параметра решетки от доли германия при жестких граничных условиях представлены на рис. 1. Аналогичные результаты получены и при периодических граничных условиях. Эти зависимости лежат на графике близко к прямой Вегарда. Результаты для потенциала Стиллинжера-Вебера ближе к ней, чем для потенциала Терсоффа, что вполне согласуется с [1, 2]. С другой стороны, исследования более поздних работ [4, 5] показывают, что изменения равновесного параметра решетки с ростом доли германия отклоняются от линейного закона Вегарда. При этом отмечается, что полученные отклонения сравнительно
невелики - порядка 10-4 нм. Наши результаты для потенциала Терсоффа тоже имеют некоторую тенденцию отрицательного отклонения от прямой (рис. 1 а), однако укладываются в ошибки моделирования. Поэтому далее будем считать зависимость параметра решетки от состава удовлетворяющей закону Вегарда.
Используя это предположение, т.е. задавая параметр решетки в соответствии с (1) и проводя релаксацию, мы исследовали распределение длин разных типов связей в зависимости от доли ве. Результаты для некоторых вариантов расчетов показаны на рис. 2. Кроме того, был
рассчитан параметр жесткости а* по формуле
(2) для всех трех типов связей. Полученные нами значения, а также значения из других работ приведены в таблице.
Таблица
**
Значения параметра ау , полученные в настоящей работе, в сравнении с данными из других работ
Связи ** a
Т, ЖГУ SW, ЖГУ Т, ПГУ SW, ПГУ [3] [4] [5] [7]
Si-Si 0.73 0.73 0.83 0.80 0.75 0.73 0.74 0.94
Si-Ge 0.64 0.63 0.74 0.71 0.75 0.69 0.73 0.84
Ge-Ge 0.50 0.62 0.55 0.75 0.78 0.65 0.71 0.70
Потенциалы: Т - Терсоффа, SW - Стиллинжера-Вебера. Граничные условия: ЖГУ - жесткие, ПГУ -периодические.
Видно, что при обоих типах граничных условий и обоих типах потенциалов зависимости длин связей от состава не соответствуют ни пределу Паулинга, ни пределу Вегарда. Причем эти зависимости все же ближе к первому случаю, т.е. длины связей слабо изменяются с составом и уменьшение упругих напряжений при образовании сплава происходит, в основном, за счет искажения углов между связями.
Анализируя графики и таблицу, можно отметить следующие моменты.
1. Наши расчеты подтверждают, что зависимости от состава трех различных длин связей разные. Сильнее всего изменяются длины ве-ве-связей, слабее всего - длины 31-31-связей, что согласуется с экспериментальными данными работы [7], считающимися наиболее надежными.
2. Для потенциала Терсоффа значения а несколько лучше согласуются с теорией и экспериментом, чем для потенциала Стиллинжера-Вебера, но различия несущественны.
3. Для жестких граничных условий получе-
ны более низкие значения а . Такие условия соответствуют, например, нанокристаллам
БЮе, встроенным в матрицу из Б1. Этот результат можно объяснить тем, что характер снятия упругих напряжений из-за различия размеров атомов в объемном материале и нанокристаллах различен. Причем влияние окружающей нанокристалл матрицы проявляется в несколько меньшем изменении углов между связями и большем изменении их длин. Проведенные параллельно расчеты средних углов и энергий связей подтверждают этот вывод.
Использование ЖГУ может быть полезным и для моделирования упруго-напряженных кластеров из атомов Б1, ве. Самоорганизующиеся квантовые точки 811-хОех, получаемые в упругонапряженном материале, могут быть объектом
дальнейшего исследования по рассмотренной здесь методике.
Заключение
Полученные результаты подтверждают зависимость длин связей от состава, отличную от предела Паулинга или предела Вегарда. Моделирование с потенциалом Терсоффа дает несколько лучшее согласие с результатами других работ, чем с потенциалом Стиллинжера-Вебера. Зависимость длин связей от состава в релаксирован-ных нанокристаллах Si-Ge может оказаться более сильной, чем в объемном материале.
Список литературы
11. Ito T., Khor K.E., Das Sarma S. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. № 14. P. 9715-9722.
2. Xu Z.Z. // J. Phys.: Condens. Matter. 1993. №. 5. P. 9077-9086.
3. Yu M., Jayanthi C.S., Drabold D.A., Wu S.Y. // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. 165205.
4. Venezuela P., Dalpian G.M., da Silva J.R. // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. 193202.
5. Tzoumanekas C., Kelires P.C. // Phys. Rev. B. 2002. V. 66. 195209.
6. lonenaga I., Sakurai M, Sluiter M.H.F., Kawazoe Y. // Appl. Surf. Sc. 2004. V. 224. P. 193.
7. Aubry J.C., Tiliszczak T., Hitchcock A.P., Baribeau J.-M., Jackman T.E. // Phys. Rev. B. 1999. V. 59. 12872.
8. Theodorou G., Kelires P.C., Tserbak C. // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. 18355.
9. Ishimaru M., Yamaguchi M., Hirotsu Y. // Phys. Rev. B. 2003. V. 68. 235207.
10. Stillinger F.H., Weber T.A. //Phys. Rev. B. 1985. V. 31. № 8. P. 5263-5271.
11. Ashu P., Matthai C.C. // J. Phys.: Condens. Matter. 1989. № 1. P. SB17-SB20.
12. Tersoff J. // Phys. Rev. B. 1988. V. 39. № 8. P. 5566-5568.
simulation of local structural properties of Sii.^Ge* alloy using empirical potentials
A.S. Vasin
The dependences of Si-Si, Si-Ge, Ge-Ge bond length on the composition have been calculated using the Tersoff and Stillinger-Weber empirical potentials. Hard and periodic boundary conditions for spherical and cubic computational cells have been considered. The dependences of these three bond types on the composition have been found to be different and weaker than it follows from the Vegard law.
Keywords: SiGe solid solution, bond length, empirical potential.
