CC BY
60Моделирование левитации в электромагнитном поле
Попко С.С.
ЗАО «Струнные технологии», г. Минск, Беларусь
УДК 53.098
Проведён анализ методов математического моделирования электромагнитной левитации, которые могут быть использованы для прогнозирования движения транспортных средств на электромагнитной подвеске, а также для подвешивания и центрирования линейного ротора общепланетарного транспортного средства (ОТС). Основное преимущество рассматриваемого способа подъёма объектов - отсутствие трения и износа между неподвижной и подвижной поверхностями. Автором моделируется динамика электромагнитной левитации, сравниваются полученные результаты с натурным экспериментом, который осуществлён исследователями ранее.
Ключевые слова: конечно-элементное моделирование, магнитная левитация, метод граничных элементов (МГЭ), метод конечных элементов (МКЭ), /,5-/}КЛ/Л
Введение
Исследования в области магнитного взаимодействия открывают широкий спектр возможностей для успешного применения методов магнитной левитации в промышленности: при изготовлении высокоскоростных подшипников, предназначенных для снижения шума и устранения трения; при создании высокоскоростного наземного транспорта и др. Кроме того, электродинамическая магнитная левитация может быть задействована в космической транспортной системе, в частности в общепланетарном транспортном средстве (ОТС), где требуются подвешивание и стабилизация ротора в вакуумной трубе длиной около 40 ООО км для исключения какого-либо контакта с ней [1].
ОТС - разработанный инженером А.Э. Юницким геокосмический транспорт многоразового использования, позволяющий осваивать ближний космос без применения ракет. Он представляет собой стабилизированный летательный аппарат самонесущей конструкции, имеющий форму тора, вдоль которого распределена полезная нагрузка - пассажиры и грузы, помещённые в специальные модули. В основу функционирования ОТС заложены принципы, опирающиеся на законы физики: маховики внутри корпуса разгоняются до скорости выше первой космической над уровнем моря, и аппарат за счёт внутренней центробежной силы, увеличиваясь в диаметре (растягиваясь), взлетает вместе с грузом [2].
Таким образом, цель данного исследования - разработка методики моделирования левитации в электромагнитном поле.
Анализ условий электромагнитной левитации
В настоящее время находят применение следующие электромагнитные методы поддержки движущихся или вращающихся масс [3]:
• отталкивание между магнитами фиксированной силы и ферромагнитными материалами;
• левитация с использованием сил отталкивания и диа-ма гнети ков;
• левитация с применением сверхпроводящих магнитов;
• левитация за счёт сил отталкивания, образуемых вихревыми токами, которые индуцированы в проводящей поверхности;
• левитация с использованием силы, действующей на линейный проводник с током;
• подвешивание с применением настроенной цепи |}|_С и электростатической силы притяжения;
• подвешивание с использованием настроенной цепи |}|_С и магнитной силы притяжения;
• подвешивание посредством управляемых электромагнитов постоянного тока и силы притяжения магнитного
ПОЛЯ;
• смешанная система левитации.
Из вышеперечисленных методов одни используют силы отталкивания, другие - силы притяжения. Первые можно назвать левитацией, вторые - техникой подвешивания [3]. Современные способы моделирования взаимодействия тел в магнитном поле позволяют значительно сократить время на оценку таких процессов, что делает применение вычислительных машин актуальным в рассматриваемых условиях.
Явление электродинамической магнитной левитации возникает, когда вращающийся и/или движущийся постоянный магнит либо катушка с током создают переменное магнитное поле вблизи проводника. Согласно закону индукции Ампера, в движущейся металлической поверхности индуцируется электрическое поле, которое вызывает протекание вихревых токов по замкнутому контуру у поверхности проводника. Вихревые токи, в свою очередь, образуют собственное магнитное поле; его полярность в соответствии с законом Ленца противоположна полярности поля магнита. Следовательно, он отталкивается от движущейся поверхности металла, противодействуя силе тяжести. Если магнит подтолкнуть к движущейся металлической поверхности, наведённые токи и результирующая сила отталкивания увеличиваются, автоматически восстанавливая положение равновесия. И наоборот, если магнит перемещается вверх, левитирующая сила уменьшается. Значит, система внутренне устойчива.
Необходимо учитывать, что магнит должен удерживаться на месте, поскольку индуцированные вихревые токи также вызывают силу электромагнитного сопротивления, которая стремится тянуть магнит в продольном направлении вместе с движущимся металлическим листом. На практике стабильность подвешенного объекта усложняется тем, что любое отклонение от положения равновесия при воздействии силы отталкивания приводит к колебанию вокруг данного положения. Колебание может уменьшаться или увеличиваться со временем в зависимости от того, является чистая демпфирующая сила положительной или отрицательной соответственно. Для обеспечения чистого положительного демпфирования и стабильной подвески могут использоваться как активные, так и пассивные механизмы.
В случае силы притяжения упомянутая выше система обратной связи создаёт эффективную положительную демпфирующую силу, которая ослабляет гармонические колебания. В предпочтительной конфигурации для большинства систем электродинамической подвески магниты размещаются на борту, а электрические проводники - на направляющей (рисунок!) [4].
В соответствии с [3] для устойчивого равновесия необходимы такие условия, в которых все силы будут скомпенсированы. Однако согласно теоремам Ирншоу [5] и Лагранжа -Дерихле [6] достичь этого нереально. Для стабильного положения тела в магнитной системе нужно создать магнитную яму, где потенциальная энергия имеет локальный минимум.
Петли катушки
нулевого
потока
Аварийные салазки
Катушка статора линейного синхронного . двигателя
Боковина направляющей
Направляющая база
Изогнутый сверхпроводящий
Кузов
транспортного средства
Полукруглая
направляющая поверхность из сплошного листа для подъёма и направления
Статор линейного синхронного двигателя
Сверхпроводящие магниты
[.-образная направляющая из сплошного листа
Статор линейного синхронного двигателя
Рисунок 1 - Системы электродинамической подвески с использованием сверхпроводящих магнитов: а - с воздушным сердечником в 11-образной направляющей; б - с полукруглой направляющей из сплошного листа; в - с 1_-образной направляющей из сплошного листа
Требуемым условием для левитации в этом смысле становится наличие силы, компенсирующей силу тяжести, и возвращающей силы, обеспечивающей устойчивость объекта.
Согласно теореме Ирншоу, являющейся прямым следствием закона Гаусса, левитация статических объектов в статическом электромагнитном поле невозможна. Данная теорема применима не только к точечным зарядам, но и к протяжённым упругим телам, из чего следует, что их свободный подвес в электростатическом, магнитостатическом и гравитационном поле всегда будет неустойчив.
На практике обозначенная проблема решается путём стабилизации не только в вертикальной, но и в горизонтальной плоскостях, обычно посредством организации обратной связи в электромагнитной системе [3]. Пример схемы системы с обратной связью показан на рисунке 2.
Датчики отслеживают положение тела в пространстве, и при его отклонении от желаемой точки равновесия параметры электромагнитной составляющей системы автоматически изменяются, возвращая тело в заданную точку. Такой подход не противоречит теореме Ирншоу, поскольку в данном случае система не статическая.
Обзор моделирования электромагнитной левитации
Магнитная левитация - один из типов систем, характеризующихся разнообразной областью применения [7-10]. Её моделирование относится к сложным задачам, поскольку помимо нелинейностей приходится иметь дело
Блок стабилизации перемещения вдоль оси I
Блок стабилизации вращения вокруг оси I
Блок стабилизации перемещения вдоль оси К
Блок стабилизации перемещения вдоль оси X
Рисунок 2 - Схема электромагнитной системы с обратной связью
с разомкнутой неустойчивой системой с быстрой динамикой и очень малой степенью естественного демпфирования. Первостепенная цель управления - точное позиционирование левитирующего объекта, что требует достаточно точной модели.
В основе моделирования электромагнитного взаимодействия лежат уравнения Максвелла [11]. Они являются дифференциальными уравнениями в частных производных, поэтому их решение во многом определяется начальными и граничными условиями. Для гармонических во времени процессов единственность решения задачи без начальных условий обеспечивается сколь угодно малым поглощением энергии внутри объёма I/ или её утечкой через поверхность 5, что исключает собственные колебания на действительных резонансных частотах.
Использование численных методов расширяет возможности для решения уравнений Максвелла и в целом позволяет смоделировать поведение системы с электромагнитным взаимодействием. Главными методами выступают проекционные, в которых решение проецируется на какой-либо удобный функциональный базис, и дис-кретизационные, где область пространства разбивается на множество малых конечных областей.
В проекционном методе Бубнова - Галёркина [12] решение граничной задачи рассматривается в виде приближённого конечного разложения по базисным функциям. После подстановки разложения в исходные уравнения с учётом требования ортогональности невязки выбранным базисным функциям получается система линейных уравнений для коэффициентов разложения.
Метод конечных разностей во временной области для нахождения временных и спектральных зависимостей [13] разработан специально для решения уравнений Максвелла, в которых изменение электрического и магнитного поля во времени зависит от изменения соответственно магнитного и электрического поля в пространстве. В рамках этого метода область пространства и временной интервал подвергаются равномерной дискретизации с заданием начальных условий. Полученные из уравнений Максвелла конечно-разностные уравнения решаются в каждый последующий момент временной сетки, пока не будет найдено решение поставленной задачи на всём требуемом временном интервале.
Для компьютерных расчётов чаще применяются более универсальные дискретизационные методы. Один из них -метод конечных элементов (МКЭ), который используется для широкого класса задач, сводящихся к уравнениям
в частных производных. В теории электромагнетизма он чаще нужен для расчёта задач электростатики, магнитостатики, распространения волн и нестационарного моделирования [14,15]. В МКЭ область пространства, в которой ищется решение, разбивается на большое число простых дискретных элементов, обычно треугольной (в двумерном случае] или тетраэдральной формы (в трёхмерном случае]. Форма и плотность элементов адаптируются к требованиям задачи. Поведение отдельных элементов рассматривается как результат линейного взаимодействия соседних узлов решётки разбиения под действием внешних сил и описывается матричными уравнениями. Расчёт сводится, таким образом, к решению разрежённых систем большого числа линейных матричных уравнений. Метод реализован во многих коммерческих и свободных программных пакетах.
Кроме того, в ряде коммерческого программного обеспечения используется связка МКЭ и метода граничных элементов (МГЭ). В данном случае МГЭ практикуется для моделирования воздушного пространства между взаимодействующими телами. Сочетание двух методов позволяет не только рассчитать электромагнитное взаимодействие, но и учесть механическое перемещение тел, а также изменение температуры (рисунок 3].
Рисунок 3 - Схема моделирования связной задачи: взаимодействие электромагнитное -механическое - температурное
Математическая модель может быть получена из основных физических законов или с помощью методов идентификации, базирующихся на измерении входных и выходных данных для адекватно возбуждённой системы.
Часто эти подходы комбинируются, структура определяется в соответствии с теоретической моделью, а значения параметров оцениваются по измеренным показателям с использованием методов идентификации.
Описание расчётного модуля
Расчётная модель левитации представляет собой электродинамическое левитирующее устройство, которое состоит из двух возбуждающих катушек и проводящей пластины, расположенной над ними (рисунок 4).
Левитирующая круглая пластина
Направление тока
Внешняя катушка
Внутренняя катушка
Рисунок 4 - Расчётная модель электромагнитной левитации круглой пластины
Для математической оценки модели на рисунке 5 показана расчётная схема с заданными геометрическими параметрами тел левитации.
Моделирование проводилось в программе ЦВ-ОУМА с использованием электромагнитного модуля, позволяющего решать уравнения Максвелла в вихретоко-вом (индукционно-диффузионном) приближении, когда распространение электромагнитных волн в воздухе (или в вакууме) можно рассматривать в качестве мгновенного явления, как в случае электромагнитного поля. Электромагнитные поля в проводниках определяются МКЭ, а моделирование окружающего воздуха/изоляторов проводится МГЭ. Таким образом, нет необходимости в создании конечно-элементной сетки для моделирования воздуха и можно легко управлять движением проводников.
Рисунок 5 - Размеры устройства электромагнитной левитации круглой пластины, мм
Электромагнитный модуль позволяет ввести источник электрического тока в твёрдые проводники и вычислить связанные магнитное и электрическое поля, а также индуцированные токи. Данный модуль сочетается с механическим и тепловым решателями. Причём силы Лоренца добавляются в уравнения механики движения, а нагрев проводников - в тепловой решатель в виде дополнительного источника тепла.
Электромагнитный решатель может быть подключён к различным источникам тока или напряжения, и в частности к внешней цепи (|}|_С), где пользователь указывает сопротивление М, индуктивность (У и ёмкость (С) конденсаторной батареи. Электрические параметры (сопротивление, индуктивность, взаимная индуктивность) для катушки и заготовки рассчитываются одновременно при моделировании с учётом электрических свойств и геометрии катушки и деформируемой заготовки. Ввиду наличия в МГЭ полных систем электромагнитного решателя стоимость моделирования электромагнитного поля значительно выше по сравнению с обычным процессом в ЦВ-ОУМА, основанным только на МКЭ.
Конечно-элементное моделирование
Как упоминалось ранее, электромагнитный расчётный модуль требователен к вычислительным средствам, поэтому в целях оптимизации времени, необходимого для решения задачи, построена осесимметричная модель. Для того чтобы воспроизвести тестовый случай, описанный в [16,17],
на катушки подавался однородный ток (не рассчитывался вихревой ток и, следовательно, МГЭ-сетка). На рисунке 6 показана осесимметричная конечно-элементная модель. Синусоидальные токи /'(г) текут по катушкам в противоположных направлениях.
Рисунок 7 - Распределение силы Лоренца в модели электромагнитной левитации, Н
Рисунок 6 - Конечно-элементная модель электромагнитной левитации
Для выполнения расчётов использовали программную модель с параметрами, приведёнными в таблице.
Таблица - Параметры модели электромагнитной левитации
Показатель Значение
Наложенное значение амплитуды тока, А (катушка со,) 1,92 хЮ7
Наложенное значение амплитуды тока, А (катушка со,) 1,15 х Ю5
Частота колебаний, Гц (катушки ц, со,) 50
Электропроводность пластины, См/м 34
Плотность пластины, кг/м3 2,687 x 10-
На рисунке 8 показан график вертикальных колебаний пластины, демонстрирующий, что после стабилизации процесса левитации (время около 8 с) высота взаимодействия тел составляет 38 мм.
160 140 120 100 80 60 40 20 0
\ДЛА'
0 2 4 6 8
Время, с
Рисунок 8 - График вертикальных колебаний пластины в электромагнитном поле
10
Результаты расчёта
Результаты моделирования показывают концентрацию силы Лоренца в центре пластины (рисунок7). Динамические характеристики сопоставимы с полученными в [16,17] и хорошо согласуются с экспериментальными данными при частоте колебаний 3,27 Гц.
Выводы
и дальнейшие направления исследования
На основании предлагаемой модели взаимодействия магнитных тел разработана методика моделирования левитации круглой пластины в электромагнитном поле. Результаты теоретических расчётов показали, что главная
проблема рассматриваемого явления - поперечная устойчивость пластины. Выведение её из положения равновесия приводит к сбою в работе системы. В связи с этим предлагается систему электромагнитной левитации дополнить системой управления, оснащённой обратной связью. Данное решение потребует проведения дополнительных расчётов, которые станут целью дальнейших исследований.
Литература
1. Юницкий, A3. Струнные транспортные системы: на Земле и в Космосе: науч. издание/А.Э. Юницкий. - Силакрогс: ПНБ принт, 2019. - 576 е.: ил.
2. Общепланетарное транспортное средство и космическое ожерелье «Орбита» как альтернатива ракетному освоению околоземного пространства/ A3. Юницкий [и др.]// Вестник РУДН. Серия: Инженерные исследования. -2021 -Т. 22, №4. - С. 364-372.
3. Jayawant, В. V. Electromagnetic Suspension and Lévitation / B.V. Jayawant//Reports on Progress in Physics. - 1981. -Vol. 44, No. 4. - P 412-477.
4. Rote, D.M. Magnetic Lévitation/D.M. Rote//Encyclopedia of Energy. - Elsevier Science, 2004. - Vol. 3. - P. 691-703.
5. Earnshaw, S. On the Nature of the Molecular Forces Which Regulate the Constitution of the Luminiferous Ether/S. Earnshaw// Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1842. - Vol. 7.-P. 97-112.
6. Айзерман, MA Классическая механика /MA Айзерман. -M.: Наука, 1980. - 368 с.
I. Holmer, Р Faster Than a Speeding Bullet Train /P. Holmer// IEEE Spectrum. - 2003. - Vol. 40, iss. 8.-P. 30-34.
8. Feasibility of Magnetic Suspension for Second Generation Gravitational Wave Interferometers / M.E. Varvella [et ai]//Astroparticle Physics. - 2004. - Vol. 21, No. 3. -P. 325-335.
9. Berkelman, P.J. Lorentz Magnetic Lévitation for Haptic Interaction: Device Design, Performance, and Integration with Physical Simulations / P.J. Berkelman, R.L. Hollis// International Journal of Robotics Research. - 2000. -Vol. 19, No. 7.-P. 644-667.
10. Design and Control of a Microrobotic System Using Magnetic Lévitation /M.B. Khamesee [et al.]//EEE/ASME Transactions on Mechatronics. -2002. - Vol. 7, iss. I - P. 1-14.
II. Maxwell, J.C. A Treatise on Electricity and Magnetism / J. C. Maxwell. - London: Macmillan and Co., 1873. - 500 p.
12. Гзлёркин, Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок/ Б.Г. Галёркин//Вестник инженеров. - 1915. -Т.1,№ 19. -С. 897-908.
13. Уее, K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media / K.S. Yee//IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -1966. - Vol. 14, No. 3.-P. 302-307.
14. Hrennikoff, A. Solution of Problems of Elasticity by the Framework Method/A. Hrennikoff// Journal of Applied Mechanics. - Vol. 8, No. 4.-P. 169-175.
15. Courant, R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations / R. Courant //Bulletin of the American Mathematical Society. - 1943. - Vol. 49, No. 1. - P. 1-23.
16. Description of TEAM Workshop Problem 28: An Electro-dynamic Lévitation Device/H. Karl [et ai] // Proceedings of the TEAM Workshop. - Graz, 1997. - P 48-51.
17. Rapetti, F. An Overlapping Mortar Element Approach to Coupled Magneto-Mechanical Problems /F. Rapetti// Mathematics and Computers in Simulation. -2010. - Vol. 80, iss. 8.-P. 1647-1656.
