ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МАГНИТНОЙ ЛЕВИТАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МАГНИТНОЙ ЛЕВИТАЦИИ

А.Г. Коробейников1'2 , д-р техн. наук, профессор

^анкт-Петербургский филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова Российской академии наук (СПбФ ИЗМИРАН) 2Университет ИТМО (Россия, г. Санкт-Петербург)

DOI:10.24412/2500-1000-2021-12-2-15-26

Работа выполнена в рамках проекта «Многоуровневое управление сложными техническими системами» НИР 12441 (госзадание 2019-0898)

Аннотация. В настоящее время эффект электродинамической магнитной левитации применяется достаточно широко в магнитных и электрических подвесах. Основная проблема, возникающая в этих случаях, является динамическая неустойчивость левитирующих тел, напрямую вытекающая из теоремы Ирншоу. Поэтому работы, связанные с разработкой и исследованием систем автоматического управления, позволяющие управлять положением левитирующих тел, являются актуальными. В данной работе рассмотрены вопросы проектирования математических моделей и их исследования для системы управления на базе ПИД-регулятора. Инструментарием, для анализа и расчета оптимальных коэффициентов регулирования, являются специализированные программные средства (Toolbox), входящие вMATLAB.

Ключевые слова: магнитная левитация, наблюдаемость, устойчивость, управляемость, ПИД-регулятор, математическое моделирование, теорема Ирншоу, MATLAB.

Известно, что на электрический заряд, перемещающийся с какой-либо скоростью в электромагнитном поле, воздействует магнитная сила (МС) [1]. Вблизи намагниченных тел (магнитов) или проводников с током МС в одних условиях является силой притяжения, а в других - силой отталкивания. Это свойство служит предпосылкой для создания систем, управляющих левитацией электропроводящих предметов.

В настоящее время эффект электродинамической магнитной левитации (ЭМЛ) используют в различных технических устройствах [2, 3]. Наибольший объем исследований в области ЭМЛ связан с перевозкой разнообразных товаров с целью создания высокоэффективного «парящего» транспорта [4].

Сам эффект ЭМЛ появляется, когда рядом с проводящим элементом (проводником) находится или постоянный магнит в состоянии вращения или поступательного перемещения; или катушка с током. В

данной ситуации начинает происходить процесс генерации переменного магнитного поля в области проводящего элемента, которое, в свою очередь, запускает процесс генерации (наводки) вихревых токов в самом проводнике, которые также генерируют магнитное поле, но в противоположном направлении. При этом возникает отталкивающая сила между проводником и источником магнитного поля. Данный процесс служит базовым принципом при взаимодействии любых левитирующих тел (ЛТ).

На эффекте ЭМЛ базируется функционирование магнитных и электрических подвесов. На сегодняшний день широко используются следующие основные типы: на постоянных магнитах, активные магнитные, LC - резонансные, диамагнитные, сверхпроводящие, магнитогидродинами-ческие, индукционные.

Основной проблемой ЭМЛ является динамическая устойчивость ЛТ. Объяснение этому дает теорема Ирншоу, утвер-

ждающая, что "Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов неустойчива, если на них кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания не действуют иные силы" [5]. Для магнитостатики в случае фиксированных токов данная теорема также справедлива. Другими словами, данная теорема утверждает, что нельзя получить устойчивую ЭМЛ, используя статические электромагнитные поля. Отсюда следует, что для получения эффекта ЭМЛ, необходимо при помощи переменного электромагнитного поля создать потенциальную яму в области, где происходит ЭМЛ. Этого можно достигнуть, например, за счет индукционной катушки, генерирующей переменное электромагнитное поле. Для того, чтобы ЛТ оставалось в заданной области, необходимо соответствующее управление этим полем.

Отсюда следует актуальность работ, связанных с необходимостью разработки таких систем автоматического управления (САУ), которые могут подавлять возникающее колебательное движение ЛТ. Большинство существующих САУ ЭМЛ вырабатывают управляющие воздействия, которые приводят к недостаточному подавлению колебаний ЛТ. Вследствие этого вибрации могут вывести ЛТ из требуемой области равновесия. Устранение перемещения ЛТ из зоны равновесия и/или возвращения в нее можно осуществлять разными методами, например, при помощи катушки с током (электромагнита).

Широко распространенные современные САУ в основном базируются на ПИД - регуляторах. Основные недостатки в таких САУ проявляются в канале производной сигнала ошибки, связанное с тем, что усиление канала влечет прямопропорцио-нальное возрастание частоты. А это в свою очередь:

- уменьшает отношение полезной составляющей управляющего сигнала к шу-

мовой, вызывая дестабилизацию объекта управления;

- во время сверхдинамичного процесса смены уровней ошибки, даже если первая производная сигнала от времени небольшая, САУ может подать импульс большой амплитуды на вход дифференциатора.

Кроме того, необходимо отметить, что интегральное насыщение служит причиной ухудшения качества переходного процесса. В этом случае его характеристики в значительной степени отличаются от расчётных характеристик по линейной модели регулятора.

Но тем не менее, несмотря на вышесказанное, в случаях, когда ПИД - регуляторы обеспечивают требуемое управление, их достаточно часто применяют. Это относится и к данной задаче.

В общей постановке описание поведения ЛТ в переменном электромагнитном поле происходит при помощи математического аппарата теории нелинейных и неустойчивых систем. А это в свою очередь делает задачи моделирование поведения и управления ЭМЛ достаточно сложными.

В работе рассмотрен относительно быстрый процесс с периодом порядка миллисекунд. Таким процессом достаточно трудно управлять.

Разработка математической модели динамики ЛТ

Движение проводящего ЛТ в магнитном поле опишем при помощи второго закона Ньютона. В этом случае считаем, что на ЛТ с массой т действуют три силы: вес

тела (сила тяжести) Р = , электромагнитное взаимодействие т с полем катушки, и демпфирующая сила Р, действующая в противоположном направлении с вертикальной скоростью ЛТ в любой момент времени. Схематически это представлено на Рис.1.

I ¡r 1 -

5

<* 5

5

я .

« _____Т

к и

Ы--цХ |

Рис. 1. Схематическая схема представления эффекта левитации в магнитном поле катушки

с током

Рис. 1 можно сопоставить следующему физическому процессу. До некоторого мо-

мента времени на катушку не подается (

электрическим ток i (t0 ) = 0

i (to)

) и ЛТ

tn

лежит на подложке. В момент времени 0 на катушку подается соответствующее напряжение, ЛТ отрывается от подложки, поднимается до заданной точки и начинает левитировать, то есть создается эффект «парения» ЛТ. Необходимо отметить, что

подъем и опускание ЛТ происходят с достаточно большой частотой в ограниченном диапазоне высот. Контроль высоты может происходить разными способами. Например, при помощи датчика Холла или, как показано на Рис. 1, инфракрасного датчика.

Уравнение движения, согласно второму закону Ньютона, можно записать следующим образом:

m

dv (t) dt

= - P + F - F

1 + 1 m 1 D

i t )=

dz (t)

(1)

где ^ - вертикальная скорость (изменение высоты) ЛТ;

^ (^) - вертикальное расстояние от центра ЛТ до подложки; Рв = V(*) .

- коэффициент демпфирования; т - масса ЛТ; I - время.

Сила т, из-за наличия железа в сердечнике катушке, фактическая является сложной нелинейной функцией, зависящей от многих параметров, например, от геометрии, индуктивности, количества желе-

за, присущему железу гистерезису и т.д. [6]. Но для решения поставленной задачи достаточно взять лишь линейную часть этой функции. Аппроксимация первого порядка дает следующее выражение:

F = k

m m

i (t) H - z (t)

где H - расстояние от катушки до подложки;

(2)

2

^т - постоянный коэффициент, зависящий от параметров катушки, определяемый экспериментально.

р

Таким образом сила т пропорциональна квадрату тока, протекающего в катушке, и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ЛТ и катушкой.

Исходя из Рис. 1, и согласно закону Кирхгофа для напряжения, можно записать уравнение для напряжения на катушке:

U (t ) = i (t) R + L

di (t) dt

R и L —

где л и £ - сопротивление и индуктивность катушки. Из этого уравнения следует:

—^ = — г (г )+—и (г) йг Ь v ' L v '

Отсюда, учитывая (1)-(3), получаем следующую систему:

(3)

di(t) R / \ 1 тт/ ч

—^ =--i (t ) + - U (t)

dt L L

dz (t) , .

= v (t)

dt

dv (t) k _\± = - g +

dt m

(

i (t)

- ^ (t) m

н-*(0,

В дальнейшем, для удобства расчетов перейдем к новой переменной:

^ (г ) = н - г (г)

(4)

Тогда:

dzx (t) dz (t) d2 z (t) d2 z (t) dv (t)

dt dt dt2 dt2 и (4) преобразуется к следующему виду:

dt

di (t) R , . J . .

—^ =--i (t) + - U (t)

dt L L

dz (t)

dt dv (t)

= V (t ) = -v (t)

dt

= g -

.1m. m

z (t)

-kDvl (t)

m

(5)

Таким образом, получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5), которая является нелинейной моделью динамики проводящего ЛТ в магнитном поле катушки. Заметим, что в рассматриваемой постановке, будет измеряться, при помощи ИК-приемника и ИК-

датчика, только положение ЛТ в текущий

Zj (t)

момент времени: 1 v '.

Решение первого уравнения в (5) при

U (t) = U = const постоянном 4 ' const имеет сле-

дующий вид:

2

2

j ( f\ _ Uconst

1 (t )= R

Cj

(6)

С

где 1 - константа.

Анализ уравнения (6) показывает, что со временем, при постоянном напряжении, ток достаточно быстро стремиться к уста-

К t )-

U„,

новившемуся значению R .

Подстановка этого значения в (5) приводит к ситуации отсутствия действительного решения (5). Это означает, что входное

и (г)

воздействие ным.

не может быть постоян-

Разработка математической модели САУ ЛТ

Как известно, ММ САУ можно представлять через: пространство состояний, передаточную функцию и задания нулей и полюсов [7]. В данной работе выбрано пространство состояний (State space - SS). Формально представление непрерывной модели управления в пространстве состояний выражается следующим образом [0]:

IX = AX + Bu + Dw Y = CX

(7)

R

где X - вектор в пространстве состояний размером n х 1;

А - квадратная матрица размером п х п; и - вектор управляющих воздействий размером в - матрица размером п х т ;

™ - вектор внешних возмущений размером В - матрица размером п х р; У - вектор измерений размером кх1; с - матрица размером к х п .

mxl •

pxl.

В нашем случае вектор х представляет из себя следующее выражение:

X = (х1,х2,х3) =(г (г), г; (г), V! (г))

Тогда

(<г \

х =

Vx3 J

di (t) dt dzl (7) dt dvx(t)

f

- (t)+1 u (t)

V (t)

m

V zi

(t).

- kDVj (t) m

R 1

--x +— u

L

L

f „ V

m

V x2

m 3

(8)

Здесь, для приведения (8) к общепринятому виду, введено обозначение и = и.

Необходимо отметить, что (8) лишь приближенно описывают динамику проводящего ЛТ в магнитном поле катушки. Это связано, как было сказано выше, со

сложностью описания электромагнитного поля и наличием дополнительных не учитываемых воздействий с его стороны. Причем основные проблемы встают при описании динамики ЛТ в близлежащей области поверхности катушки.

В общем случае, для успешного решения задачи управления ЛТ, необходимо исследование ММ САУ на наблюдаемость и управляемость. В нашем случае это необходимо сделать в окрестности задан-

г

ной точки равновесия

,0)

(Х10, X20 , X30 ) — (i

равН Zравн '

ЛТ: Обычно эту

точку называют рабочей или номинальной. В этой точке должно выполняться требование:

-р + р = 0

т

то есть условие равновесия. Отсюда следует:

f \

Xi

10

V X20 У

^ X10 =±.

mg

mg - k,

Из физических соображений нужно брать

"i

X-

20

X20 = — i

или

-X

mg

10

X10

mg k„ '

20

20

V

x

mg

10

(9)

В случаях задания уставки, исследования на наблюдаемость и управляемость ММ САУ обычно проводят на линеаризованной в окрестности рабочей точки ММ.

Для нахождения матрицы Якоби, с целью линеаризации (8), введем следующие обозначения:

/ (X, X, X,u) = - — (X ) + — u; fi^^v ^ 1 2' 3 ' LK ' L f2 X X2' X3'u)'

( Xj , , , U ) - ;

Тогда матрица Якоби имеет следующий вид:

./з (

^ (, , X, uu

г

Jacob(X) -

JL

Sx

ll

Sx

L,

cX,

f

JX2

f _

cX cX

J/1

cX

J/2

л

Sx,

JL

cX,

Г

R L 0

О km X1 m ( X2 )2

0 0

О km X1 m ( X2 )3

Vj ^2 ^л-з у

Следовательно, в рабочей точке матрица Якоби равна:

)-g - i

m

f„ V

1

kD

m

V X2 у

1 ff1

Ju

; B - L

Ju

L

у V Su у

m

Г1 1

L 0 0

V у

"X3-

Jacob ( Xравн )

—

L 0

k

-2 — • m

v10

V

( X20 )

0 0

k

2 — • m

10

( X20 )

1

k

"D

m

(10)

Если учесть (9), то матрица (10) примет следующий вид:

2

k

m

Jacob (Хравн ) =

R 0 0

L

0 0 1

g +2g kD

X10 X20 m

Отсюда следует, что линеаризованная (8) в окрестности рабочей точки имеет вид:

V _ R L 0 Л 0 ' X1^ i 1Л L

x = x2 = AX + Bu = 0 0 1 X2 + 0

Л J -2-i- l, X10 X20 _kn_ m у v x3 У 0 v У

и.

fx^

Y = CX = ( 0 1 0)

(11)

Анализ разработанной математической модели САУ ЛТ

Для анализа на устойчивость разработанной ММ найдем корни следующего характеристического уравнения [0]:

- R-л L 0 0

XA= det| A -ЯЕ\ = det 0 -Я 1

kD

x10 X20 m

, R з

= -mx201 — + Я

( к Я2 + kD Л-2

т x20 у

где Е - единичная матрица.

Корнями этого уравнения являются следующие числа:

(12)

R ~kDX20 + V8m2Х20g + кDX

Я =~ ;Я2,3 =±---

.L 2mX-,A

2 ..2

20

Все корни характеристического уравнения (12) вещественные, причем один положительный. Отсюда следует, что система (11) является неустойчивой. Поэтому для сохранения устойчивости процесса ле-

витации необходимо осуществлять соответствующее управление.

Для анализа на наблюдаемость (11), необходимо построить матрицу наблюдений и рассчитать ее ранг [0 ]:

( C л 0 1 0

Obs _ C = CA = 0 0 1

v CA2 У _ -ко.

V x10 X20 m

Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно (11) наблюдаема.

Для анализа на управляемость (11), необходимо построить матрицу управляемости и рассчитать ее ранг [0 ]:

Control _ B = (B AB A2 B ) =

1

L

0 -

R

0

2 g

xi0L

R_

L

2 g

xioL

2gR , 2kDg

x T

xioL

^mx^Q-L j

Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно (11) управляема.

Таким образом, системой (11) в окрестности рабочей точки в принципе можно успешно управлять. Для этого необходима лишь соответствующая система управления. В данной работе, была применена система с ПИД-регулятором. Требование к контроллеру состоит в том, чтобы он мог позиционировать ЛТ в любом произвольном месте магнитного поля под катушкой и перемещать ЛТ из этого положения в рабочую точку. Эти требования фиксируются путем установления границ переходной характеристики для измерения местоположения ЛТ.

Результаты моделирования Для моделирования динамических нелинейных систем в ходе данной работы был использован инструментарий, предоставляемый МАТЪАВ [9-12 ].

На Рис. 2 представлена Simulink-модель процесса магнитной левитации. В ней использованы стандартные блоки и реализована система (11).

При проектировании нестабильных систем коэффициент усиления должен быть достаточно большим, чтобы сместить нестабильный полюс в левую полуплоскость. Поэтому изначально были взяты следующие коэффициенты ПИД-регулятора:

Kp = 0.5; = 0.0. K = з -0;

График переходного процесса представлен на Рис. 3.

В дальнейшем был использован инструмент для оптимизации - Response Optimizer. Результаты его применения, для

расчета оптимальных коэффициентов

и 'представлены на Рис. 4. и Рис. 5. В данном случае было проведено 6 итераций.

Рис. 2. Simulink-модель процесса магнитной левитации

Рис. 3. Переходной процесса с начальными данными

Рис. 4. Работа инструмента Response Optimizer

■A Optimization Progress Report

□

X

Iteration F-count Модель процесса магнитной леви... Модель процесса магнитной леви...

{<- =03 (> = =0}

0 7 -0.0Z70 4)6501 л

1 14 -0.03S2 -0.6513

2 21 -0.0270 -0.24(16

3 2S -Q.0270 -0.0461

4 35 -0.027Ü -0.0075

5 42 -0.0270 -0.0020

6 49 -0.0270 3.1S46e-Q6

V

Рис. 5. Отчет о процессе расчета оптимальных коэффициентов International Journal of Humanities and Natural Sciences, vol. 12-2 (63), 2021

По окончании процесса расчета, были получены следующие значения: К = 0.6215; К„ = 0.098; К = 8.2791.

График переходного процесса с этими значениями представлен на Рис. 6.

Как видно из Рис. 6, переходной процесс очень быстро приходит в "устано-

вившийся" режим. Кавычки означают действие теоремы Ирншоу, которая "не дает" системе перейти в установившийся режим.

Рис. 6. Переходной процесса с рассчитанными значениями ПИД-регулятора.

Заключение

В рамках работы была разработана нелинейная ММ процесса магнитной левитации. Ее анализ показал, что данная ММ является неустойчивой. Этот факт полностью согласуется с теоремой Ирншоу. Поэтому для регулирования положения ЛТ необходима САУ, позволяющая решить задачу регулирования положения ЛТ в ра-

разработка ММ и исследование в рабочей точке для такой САУ. В качестве системы управления был выбран ПИД-регулятор. При помощи соответствующих инструментов, содержащихся в системе МАТЬАВ, были рассчитаны оптимальные коэффициенты для этого регулятора. Полученные результаты представлены в виде аналитических зависимостей и графиков.

бочей точке. Для этого была проведена

Библиографический список

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 5. Электричество и магнетизм. Пер. с англ. - М.: Изд-во "МИР", 1977. - 300 с.

2. Vo A.T., Truong T.N., Kang H.J. A Novel Fixed-Time Control Algorithm for Trajectory Tracking Control of Uncertain Magnetic Levitation Systems // IEEE Access, vol. 9, pp. 4769847712, 2021, doi: 10.1109/ACCESS.2021.3068140.

3. Katherine A. Mirica, Scott T. Phillips, Charles R. Mace and George M. Whitesides. Magnetic Levitation in the Analysis of Foods and Water // Department of Chemistry and Chemical

Biology, Harvard University, Cambridge, Massachusetts 02138. J. Agric. Food Chem., 2010, 58 (11), pp. 6565-6569, DOI: 10.1021/jf100377n.

4. Zakria Qadir, Arslan Munir, Tehreem Ashfaq, Hafiz Suliman Munawar, Muazzam A. Khan, Khoa Le. A prototype of an energy-efficient MAGLEV train: A step towards cleaner train transport // Cleaner Engineering and Technology. Volume 4, 2021, doi.org/10.1016/j.clet.2021.100217.

5. Abanov A., Hayford N., Khavinson D., Teodorescu R. Around a theorem of F. Dyson and A. Lenard: Energy equilibria for point charge distributions in classical electrostatics // EXPOSI-TIONES MATHEMATICAE, Jun 2021, Vol 39 (2), pp. 182-196. DOI 10.1016/j .exmath.2021.03.003

6. Усольцев А.А. Нелинейные электрические и магнитные цепи: [Учебное пособие] -Санкт-Петербург: Университет ИТМО, 2018. - 114 с.

7. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учебное пособие. -3-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2021. - 624 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

8. Федянин В.П., Монахов О.И., Антонов Д.А. Моделирование следящих систем с учётом нелинейностей: Учебно-методическое пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2019. - 46 с.

9. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Понижение размерности пространства при корреляции и свертке цифровых сигналов // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. - 2016. - Т. 59. №3. - С. 211-218.

10. Korobeynikov A.G., Fedosovsky M.E., Maltseva N.K., Baranova O.V., Zharinov I.O., Gurjanov A.V., Zharinov O.O. Use of information technologies in design and production activities of instrument-making plants // Indian Journal of Science and Technology. 2016. Т. 9. № 44. С.104708

11. Korobeynikov A.G., Grishentsev A.Y., Velichko E.N., Aleksanin S.A., Fedosovskii M.E., Bondarenko I.B., Korikov C.C. Calculation Of Regularization Parameter In The Problem Of Blur Removal In Digital Image // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics). 2016. Т. 25. № 3. С. 184-191.

12. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Средства интероперабельности в распределенных геоинформационных системах // Журнал Радиоэлектроники. - 2015. - №3.

DESIGNING A MATHEMATICAL MODEL OF A MAGNETIC LEVITATION AUTOMATIC CONTROL SYSTEM

A.G. Korobeynikov1'2, Doctor of Technical Sciences, Professor

1Saint Petersburg Branch of the Federal State Budgetary Institution of Science of the Institute of Terrestrial Magnetism, Ionosphere and Radio Wave Propagation named after 2N.V. Pushkov Russian Academy of Sciences ITMO University (Russia, St. Petersburg)

Abstract. Currently, the effect of electrodynamic magnetic levitation is widely used in magnetic and electrical suspensions. The main problem that arises in these cases is the dynamic instability of levitating bodies, which directly follows from Earnshaw's theorem. Therefore, works related to the development and research of automatic control systems that allow controlling the position of levitating bodies are relevant. This paper deals with the design of mathematical models and their research for a control system based on a PID controller. The toolbox for the analysis and calculation of the optimal control coefficients are specialized software tools (Toolbox) included in MATLAB.

Keywords: magnetic levitation, observability, stability, controllability, PID controller, math-ematicalmodeling, Earnshaw's theorem, MATLAB.