Моделирование квантовых вычислений на основе QuIDD-графов

Евсеев Олег Константинович; Гушанский Сергей Михайлович; Гузик Вячеслав Филиппович

Раздел VII. Высокопроизводительные вычислительные

алгоритмы

УДК 681.3.06:530.145.001.57

O.K. Евсеев, С.М. Гушанский, В.Ф. Гузик

МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАНТОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ

QUIDD-ГРАФОВ

Создание алгоритмов квантовых вычислений требует возможности проверить результаты их работы. Математические модели доступны любому разработчику, но их эффективность не позволяет реализовать вычисления с объёмом регистра более 12 бит.

2- ,

обладающей повышенной эффективностью. Предложены усовершенствованные алгоритмы перестановки q-бит и синтеза QuIDD-графа путём исключения бит-индекса элементов . QuIDD.

Квантовые вычисления; моделирование; q-бит; QuIDD-граф; матрицы; вектор состояния; тензорное произведение; оператор; эффективность.

O.K. Evseev, S.M. Gushansky, V.F. Guzik QUIDD-BASED QUANTUM COMPUTER MODELING

Creating algorithms for quantum computing requires the ability to verify their results through the use of physical or mathematical models of quantum computer. Mathematical models are available to any developer, but their efficiency is too low to simulate the register with volume more than 12 bits. This article describes the structure and algorithms of developed 2-level model of increased efficiency. The enhanced algorithms for permutation of q-bits and QuIDD-graph synthesis by removing the bits of index of original matrix elements are proposed. The direction for further optimization for QuIDD techniques are defined.

Quantum computation; simulation; q-bit; QuIDD graph; matrix; state vector; tensor product; operator; efficiency.

B настоящее время универсальные квантовые вычислители существуют лишь в теории, однако их физические прототипы, не обладающие достаточной мощно, . устройства являются моделями с объёмом регистра не более 10-20 [1,2] квантовых бит (q-бит) и ограниченной функциональностью. Такая разрядность означает их фактическую пригодность для задач, оперирующих числами, не превышающими 1048576. , , -

лить себе лишь некоторые научно-исследовательские институты, занимающиеся

[1].

Параллельно с созданием квантовой вычислительной аппаратуры ведётся анализ и разработка вычислительных алгоритмов, позволяющих эффективно ре,

техники. Для этих целей служат программные математические модели, которые значительно доступнее аппаратных.

Процесс моделирования строится на основании уравнении Шредингера для нерелятивистского случая эволюции квантовых систем:

эт

й-----= ИТ, (1)

Эt

где т - волновая функция состояния системы, И - некоторый эрмитов оператор, однозначно определяющий изменение состояния квантовой системы. Волновая функция для ансамбля из П д-битов в общем виде записывается с помощью фор:

2” -1 2” -1

Т = £А|к); ЦА|2 = 1. (2)

к=0 к=0

Здесь к - номер возможного состояния системы, а Лк - амплитуда, задающая вероятность такого состояния. Полная вероятность всех состояний системы .

Моделирование квантовых вычислений заключается в задании начальных состояний системы и формировании последовательности управляющих операторов И , реализующих квантовый вычислительный алгоритм. Технически процесс моделирования заключается в получении необходимых операторов и умножении их на волновую функцию квантовой системы. Фактически, волновая функция Т

2 ” . , -

ление или шаг вычисления, в этом случае будет выражаться матрицей размерности

2” X 2”. Очевидно, что наблюдаемый экспоненциальный рост сложности представления системы сильно ограничивает возможности модели: к примеру, одна матрица комплексных чисел двойной точности для размерности 12 д-бит будет занимать около 1 ГБ и обрабатываться несколько десятков секунд.

Кроме того, добавление одного д-бита к системе ведёт к четырёхкратному увеличению потребления памяти. Этот факт значительно затрудняет моделирование систем большей размерности.

, -

,

4 ГБ и производительностью порядка 160 млрд. операций в секунду (2 х 2200 МГц), , -ности не более 12 д-бит.

В ходе научно-исследовательской работы над оценкой эффективности и реализуемости квантовых алгоритмов [3] было принято решение о построении математической модели квантового вычислителя, способной работать более чем с 12 д-битами, и превосходящей по эффективности матричные модели [4].

Для повышения эффективности модели может быть использована архитектура, содержащая 2 уровня, которые основываются на 2 разных реализациях матричного математического аппарата. Первый уровень оперирует массивами комплексных чисел и формирует входные данные для работы второго, графового уровня. Графовый уровень использует риГОБ-структуры [5], требующие значительно меньших объёмов памяти. На этом уровне протекает весь процесс моделирования .

в исходное представление, что позволяет экономить вычислительные ресурсы и иметь входные и выходные данные в удобном для анализа представлении.

Матричный математический аппарат первого уровня модели был дополнен безоператорным алгоритмом, позволяющим эффективно решить проблему перестановки д-бит квантового регистра (рис. 1).

а б

Рис. 1. Перестановка q-бит: а - использование SWAP для перестановки 3 q-бит в схеме с CCN; б - разработанный безоператорный алгоритм обмена состояний

q-

Представленный оператор воздействует на 0-ый q-бит под управлением 1-го и 5-го. В матричном представлении получить такой оператор удастся только с помощью каскада операторов SWAP до CCN (рис. 1) и такого же каскада после него. Естественно, каждый оператор SWAP должен быть соразмерен квантовому регистру, а общее количество операторов соответствует удвоенной разнице между ин-q- . , -

траты, не относящиеся непосредственно к алгоритму квантового вычисления порядка

tswap =о(22N -Д1), (3)

где N - количество q-битов в регистре, Д1 - разность индексов q-бит, чьи состояния должны быть подвергнуты обмену.

Разработанный для решения данной проблемы алгоритм основывается на следующем утверждении:

Теорема: перестановка j-ro и k-ro q-битов квантового регистра приведёт к такой перестановке компонентов вектора состояния этого регистра, что состояния

вида |... Xj... xk .. , у которых значения j-ro и k-ro битов отличаются, будут заменены на компоненты с вида|... xk ... xj.. . При этом количество необходимых

ON/2

перестановок компонентов вектора состояния составит 2 .

|---xj---xk---) 1Фк >|--.xk---xj---). (4)

Например, для регистра из 4-х q-бит, состояния которого задаются в виде |x3x2x1x^, потребуется 4 перестановки. Для перестановки 3-го и 0-го q-бит должны быть заменены следующие состояния:

|0001)-

|0011)-

|0101)-

I01!1)-

3 — 0, х0 —1

Хз — 0, Х0 —1

Хз — 0, Хл —1

з — 0, Х0 —1

*|1000)

->|1010)

->|1100

->|1110)

(5)

Доказательство:

а) количество амплитуд не изменяется при перестановке;

) .

Модель квантового регистра строится посредством суперпозиции моделей квантовых бит через тензорное произведение. Так, модель регистра из 3 д-бит представляет собой вектор-столбец:

(( Г \\\ 'а,

т—

V Ь2 У

10 0 Г а II °>

11 Vbl УI1)

а

V Ь0 У

ь

V V ь0 У У

а

\\

0

V Ь0 У Ь ( а0 Л А ь ,,

V V ь0 У У

а2а1а0 а2а1ь0 а2ь1а0 а2ь1ь0 ь2а1а0 Ь2а1Ь0 ь2ь1а0 V Ь2Ь1Ь0 У

|^2^1^о)

|000)

І001)

І010)

І011)

І100)

І101)

|110)

|111>

(6)

произведении вида

При суперпозиции будет получено 2 {а2, Ь2}- {{ ^}- {а0, Ь0}, в которые амплитуды каждого д-бита входят только 1 раз.

Последовательность вхождения д-битов в регистр не изменит ни количество амплитуд регистра, ни сами амплитуды (следует из определения тензорного произведения), так как произведения формируются из одних и тех же сомножителей. Следовательно, для перестановки д-битов достаточно произвести перестановку компонентов вектора .

в) порядок перестановки |...х^ ...хк ————,хк

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Порядок вхождения векторов состояния д-битов в тензорное произведение определяет последовательность расположения д-битов в регистре. При порядке

вхождения д-битов |...хк..^ вместо ...хк амплитуды регистра

будут формироваться из тех же сомножителей, и, вследствие коммутативности умножения, амплитуды, чьи индексы после перестановки д-бит не изменятся, будут занимать те же места, что и до перестановки. Амплитуды регистра, чьи индексы после перестановки изменятся (т.к., а ■ • Ьк Ф ак • Ь■), будут взаимно переставлены:

Х

а

2

0

2

Ь

2

|000)

|001

I010)

011)

и>.

I101)

110)

111)

(7)

,Ь2Ь1Ь0 ) |

ч ^/2

г) количество перестановок составит 2 .

Количество элементов вектора состояний составляет 2N . В этом случае ров, лN/2 х ^

но половина (2 ) индексов элементов содержит конкретный разряд равным 0 и

половина - 1. Количество индексов с разными значениями разрядов \ и к, очевид-

^/2

но, также составляет 2 .

Исходя из приведённых выше рассуждений, производится анализ индексов элементов вектора состояния квантового регистра на предмет изменения значений при перестановке в нём битов ] и к. Если значение индекса после перестановки изменится, в векторе состояния производится перестановка элементов, соответствующих значению индекса до и после перестановки его битов ] и к.

Такой алгоритм не использует матричные операторы и требует вычислительных затрат порядка

t = 0(2/2); tswAP = 0(2^ -А1). (6)

„ oN+N/2

Сложность операции перестановки снижается в 2 раз.

В основу графового уровня модели положено представление квантового вычисления с помощью диаграмм ри1ББ [5,6]. Здесь матрицы преобразуются в графы определённой структуры, а вычислительные операции над ними заменяются операцией порождения графов Apply{гpaф I, граф 2, операция) [5,6].

Главное преимущество ри1ББ-графов перед матрицами состоит в том, что все одинаковые элементы матриц в графе представляются с помощью единствен. , -ний существенным образом сокращается, и становится возможной значительная экономия вычислительных ресурсов.

Граф ри1ББ имеет древовидную структуру. Терминальные вершины имеют только входящие дуги и (рис. 2,а)) представляют уникальные числовые значения, содержащиеся в матрице исходного оператора. Промежуточные вершины имеют 1 2 ( . 2, ), )) -ния (местоположений) уникальных числовых значений в матрице исходного опе-.

Каждый путь от корня до терминала однозначно определяют местоположение (местоположения) числового значения из терминальной вершины, которой , .

, , -

ный ри1ББ-граф.

Полный ри1ББ-граф (рис. 3) содержит вдвое больше вершин, чем элементов в исходной матрице, но для типичной матрицы квантового оператора, содержащей порядка 2-4 уникальных элементов, граф сокращается.

б

Рис. 2. Типы вершин ЦыЮВ-графа: а - терминальная вершина графа ЦыЮБ, содержащая ]-й элемент набора уникальных элементов исходной матрицы; б - промежуточная вершина, задающая г разряд индекса строки .матрицы; в - промежуточная вершина, задающая г разряд индекса столбца матрицы

1

оКо1

С0і Со Со ''/'Со Со Со С^

і/° Ч ^ Ч ^ Ч ^ Ч V0 Ч і/0 Ч і/0 Ч і/0 Ч

Тоо,оо Тоо,оі Тої оо То^оїТооіо "Тоо,и Тоі,ю Тоі,и Тю.оо Тю.оі Тц,оо ТцдцТю.ю Тю,ц Тц,ю Тц ц

Рис. 3. Общий вид матрицы и графа оператора на 2 д-бита

Путь от корня к любому из терминалов соответствует побитовой «сборке» индексов строки и столбца, задающих местоположение в исходной матрице числа, содержащегося в терминале, находящемся в конце пути. Так для элемента с координатами (строка 10, столбец 00), по графу матрицы нужно пройти путь: (1?, ??)-^ (?, 0?)^ (10,0?)^ (10,00).е., ^ С10 ^ Я00 ^ С00 ^Т1000. Здесь «?»

- двоичный разряд индекса, чьё значение ещё не определено, - вершина, соответствующая 1-му разряду индекса строки, ^ - дуга вершины , задающая, что

соответствующий вершине двоичный разряд равен единице.

Малое количество уникальных числовых значений в матрицах квантовых операторов, а также наличие правил редукции ри1ББ-графов (рис. 4) позволяют существенно сократить количество элементов графа. Например, для ри1ББ-представления оператора тождественного преобразования 12 д-битов (единичная матрица 4096 х 4096) граф будет иметь 38 вершин.

а

в

Для редукции ри1ББ-графов [5] применяются приведенные ниже правила.

1. Если обе дуги вершины А входят в общую вершину В, то вершина А должна быть заменена на вершину В. Вершина А исключается.

2. .

То¥-"'^ Л"і

а б в

Рис. 4. Редукция QuIDD-гpaфa оператора Уолша-Адамара: а - матрица оператора; б - редукция по правилу 2; в - редукция по правилу 1

Сравнение загрузки памяти для матриц и редуцированных ри1ББ-графов (рис. 5) показывает экспоненциальное преимущество ри1ББ-графов.

Кол-во д-бит Кол-во q-бIiт

Рис. 5. Потребление памяти уровнями модели

В ходе разработки алгоритма синтеза ри1ББ-графов была обнаружена повторяемость структуры графов, начиная с верхнего уровня, заканчивая уровнем . -го построения графа посредством поразрядного исключения битов индекса, начиная со старших разрядов.

В соответствии с разработанным методом, на 1-м этапе вся матрица разбивается на 4 подматрицы равного размена. Эти подматрицы условно принимаются за элементы исходной матрицы. Так исходная матрица условно принимает размерность 2 X 2, точнее размерность 2 X 2 матрицы размерностью И/ 2.

Индексы элементов полученных подматриц будут короче на старший (№1)-ый двоичный разряд. Здесь N - количество разрядов индекса элемента исходной (большой) матрицы, оно же и количество д-бит в квантовом регистре, к которому может быть применён оператор, представленный этой матрицей.

Далее строится риГОБ-фаф полученной матрицы 2 X 2, количество промежу-

2.

нуля (_К0 и С0), как было бы в случае с реальной матрицей 2 X 2, а с номера старшего разряда индекса элементов исходной матрицы, т.е., с N -1: _1 и СИ_1.

В терминальные вершины конструируемого графа включаются только уникальные значения элементов исходной матрицы, что позволяет разом отбросить

повторяющиеся подматрицы размерностью 2И4 X 2И4, т.е. в четверть исходной.

Далее к построенному графу применяются правила редукции, что позволяет его ещё более упростить.

Переход к следующему шагу рекурсии производится, если условно расположенные в терминальных вершинах графа подматрицы не являются одноэлементными.

На следующем шаге на месте каждой терминальной вершины аналогичным образом строится риГОБ-граф, содержащий вершины -2 и СИ-2.

Итерации будут продолжаться, пока от матрицы, находящейся в каждой тер, , -рующим терминалом графа. В результате, на 1-м шаге строится редуцированный <^рус» графа, соответствующий индексам N -1, на 2-м - N - 2, на последнем - 0. Соответственно, на 1-м шаге возможно исключение дублирующихся блоков раз, 2- -

часть исходной матрицы и т.д.

Для эффективного моделирования квантовых вычислений мало иметь способ сжатого представления матриц, кроме него требуется эффективный способ их перемножения с двумя частными случаями: умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на вектор состояния. В теории ри1ББ-графов эта операция реализуется с помощью процедуры Арр1у(, Б,операция) [5].

В качестве аргументов она принимает пару графов и матричную операцию над ними. Процедура порождает ри1ББ-граф С = А операция Б, представляющий результат данной операции.

Синтез результирующего графа производится рекурсивно, начиная с корневых вершин графов А и В. На каждом шаге производится сравнение текущей вершины а графа А и Ь графа В, согласно выражению (4):

Пока обе сравниваемые вершины не являются терминальными, в результирующий граф С добавляется вершина а, дуги которой формируются согласно правилам [6], представленным на рис. 6. Когда обе сравниваемые вершины являются терминальными, в граф С добавляется вершина С = а операция Ь . К результирующему графу С добавляется вершина а .

Rg < CG < r; < c; <... << T.

(7)

a<b

a>b

Apply(ao, bo, op)Apply(ai, bi, op)

Рис. б. Правила порождения графа через Apply

22б

Если проанализировать общий случай получающихся таким образом графов, то по их матричным эквивалентам видно, что операция применяется к матрицам поэлементно, что показывает формула 8.

Apply

(b0 0 b0ll „ „1 fa0 0 ' b0 0 a01 ' b01

*0 0 “01

VV«10 ai1 J

v*10 bu/ )

\ a10 ' b1 0 a11 ' b11 J

(8)

Для реализации перемножения матриц потребуются серии последовательных вызовов Арр/у(А, Б, "•") и перестановок терминальных вершин графа, результаты которых должны быть просуммированы посредством вызовов Арр1у{А, Б,"+"). Здесь «•» и «+» соответственно означают перемножение и . , -дительности по сравнению с матричным аппаратом может оказаться не столь существенным, как выигрыш в экономии памяти, что признаётся в работе [7].

Рассмотренные выше методы работы с ри1ББ-графами можно сформулировать в виде псевдокода алгоритмов.

Ниже представлен алгоритм синтеза ри1ББ-графа для вектора состояния квантового регистра из N д-бит (входные данные: вектор комплексных чисел из

2И элементов).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Последовательный перебор элементов вектора с номерами I = 0...2И -1.

1.1. Проверить, находится ли 1-е числовое значение из вектора состояния среди терминальных вершин графа. Да - запомнить эту терминальную

, - .

1.2. Преобразовать 1 в двоичный код.

1.3. Пройти по графу в соответствии с двоичным кодом, добавляя недостающие вершины (Например, для I = 12 = (1100)2:

Я ^ Я ^ ^ я00 ^ т).

1.4. Добавить дугу из последней вершины добавленного пути к терминальной вершине из шага 1.1.

2. ,

же вершине следующего уровня (правило 2).

3. Исключить гомоморфные подграфы (правило 1).

Ниже представлен алгоритм синтеза ри1ББ-графа для матрицы оператора, действующего на регистр из N д-бит (входные данные: условно-терминальная

вершина с матрицей комплексных чисел 2 X 2 и дуга, входящая в условно).

1. Если размерность матрицы 1x1 - конец рекурсии; иначе - пункт 2.

2. , . Разбить матрицу на 4 подматрицы, в соответствии с его значениями:

♦ включить в 0 подматрицу элементы с М00 0 00 0 по М01 1 01 1;

♦ включить в 1 подматрицу элементы с М00 0 10 0 по М01 111 1;

♦ включить во 2 подматрицу элементы с М10 0 00 0 по М11 1 01 1;

♦ включить в 3 подматрицу элементы с М10 0 10 0 по М11 111 1.

3. Сформировать полный граф для матрицы 2X 2 (рис. 8,6)), чьи терминальные вершины - не повторяющиеся подматрицы 2.1 - 2.4).

4. Редукция графа по правилам 1 и 2.

5. Соединить корень полученного графа с дугой из набора входных данных. Удалить исходную матрицу.

6. Для всех терминальных вершин полученного графа - рекурсивный вызов

.

Алгоритм получения QuIDD-графа, равного тензорному произведению операторов, представленных QuIDD-графами (входные данные: 2 QuIDD-графа), необходим для работы модели в режиме, когда матрицы требуются только для построения графов базовых операторов размерностью в несколько q-битов; графы , , . Такой подход приводит к значительной экономии памяти. Сам алгоритм, воспроизводящий тензорное произведение графов [5], представлен далее.

1. -деке корневой вершины графа множителя, увеличенный на 1.

2. :

2.1. Вершина содержит значение «0» - вершина остаётся без изменений.

2.2. - ;

вершинах графа множителя умножить на число из замещённой вершины .

Следующий рекурсивный алгоритм поэлементного применения бинарной операции к матрицам, представленным QuIDD-графами (входные данные: опера, 2 QuIDD- ,

), -риц и векторов, если добавить к нему переупорядочение элементов операндов.

1. - -ции над их числовыми значениями. Текущая ветвь графа построена - ко.

2. 7.

3. . 6, .

4. 2- -

го графа - по тому же правилу.

5. -щей дуги вершины, добавленной в пункте 3.

Недостатком базовой реализации QuIDD Apply является возможность применения операции умножения только совместно с переупорядочением вершин графа. , ,

той же матрицы с разным порядком следования терминальных вершин, а также

,

элементов результирующей матрицы. Данный факт существенно повышает затраты времени оперативной памяти на работу модели.

Последующая научная работа в этой области будет направлена на разработку алгоритмов специализированного перемножения матриц, не использующего Apply, , , -

максимальный объём моделируемого квантового регистра. Кроме того, возможна

QuIDD- .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Netanel H.L, Terry R. A photonic cluster state machine gun // Cornell University Library URL: http://arxiv.org/abs/0810.2587 (дата обращения 28.03.2011).

2. D-Wave // The quantum computer company URL: http://www.dwavesys.com/ (дата обращения 28.03.2011).

3. Гузик В.Ф., Гушанский CM., Евсеев O.K. Использование параллелизма квантовых вычислений // Материалы Международной научно-технической конференции «Суперкомпью-терные технологии: разработка, программирование, применение». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - Т. 1. - С. 209-212.

4. . ., . ., . .

// - . 4-7 2009 . - : -

во ДонНТУ, 2009. - Т. 1. - С. 224-234.

5. Viamontes G.F., Markov I.L., Hayes J.P. Graph-based simulation of quantum computationin the density matrix representation // Quantum Information Processing, Springer Netherlands ISSN 1570-0755. - 2003.

6. Viamontes G.F. Efficient Quantum Circuit Simulation // A dissertation submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy - Computer Science and Engineering - 230 p. URL: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.126.3074 &rep=rep1&type=pdf (дата обращения 17.03.2011).

7. Bahar R.I., Frohm E.A., Gaona C.M. Algebraic decision diagrams and their applications // ICCAD '93, Santa Clara, CA, USA - November 07-11, 1993 IEEE Computer Society Press. - Los Alamitos, CA, USA, 1993. - P. 188-191.

. . ., . . .

Гузик Вячеслав Филиппович

Технологический институт федерального государственного автономного

образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный

федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347900, . . , 49 . 40.

.: 88634371656.

; . . .; .

Гушанский Сергей Михайлович

E-mail: [email protected].

347900, г. Таганрог ул. Морозова, 11, кв. 27.