CC BY
80
УДК 621.8.034.3
А.Л. Григорьев, асп., (4872) 33-24-38, preys@klax.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
Ю.Л. Маткин, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-24-38 (Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ ПНЕВМАТИЧЕСКОГО ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯ
Рассмотрена зависимость частоты собственных колебаний упругой пластины пневматического вибровозбудителя от массы закрепленного на ней груза, с учетом материала пластины и ее геометрических параметров.
Ключевые слова: вибровозбудитель, упругая пластина, колебания.
Актуальность моделирования колебаний упругих пластин обоснована необходимостью создания на этой основе новых пневматических вибровозбудителей (вибраторов), которые позволяют работать в условиях взрывоопасных производств и отличаются простотой изготовления и эксплуатации, надежностью, низкой себестоимостью, малой материалоемкостью и энергопотреблением. Подобные вибровозбудители предназначены для работы в системах вибрационных приводов транспортных и технологических машин с массами до 25 грамм. Примерами предметов обработки могут служить пищевые добавки, специи, мелкоштучные полуфабрикаты.
Однако применение вибровозбудителей такого типа сдерживается из-за отсутствия теории и методик их проектирования. Поэтому исследования в этой области представляются весьма актуальными.
В промышленности широко применяют прямые плоские пружины различных геометрических форм [3]. При изготовлении плоской пружины почти всегда можно придать форму, удобную для ее размещения в корпусе прибора. При этом она занимает мало места и может перемещаться только в одном направлении. Такие пружины более удобны, чем винтовые, однако, как правило, максимально допустимые перемещения плоской пружины значительно меньше, чем винтовой. Плоские пружины могут быть очень жесткими или очень податливыми в зависимости от формы, размеров и материала. Особенностью ленточной плоской пружины является то, что она податлива на изгиб только в одном направлении - в плоскости минимальной жесткости - и имеет большую жесткость на растяжение и на изгиб в другом направлении. Плоскую пружину можно изготовить практически из любого пружинного материала. Выбор материала определяется только назначением и условиями работы пружины. Простота, надёжность, компактность и невысокая стоимость являются существенными достоинствами прямых плоских пружин.
Если в автоколебательной системе потери энергии на трение малы по сравнению с общей энергией колебаний, то и энергия, необходимая для
компенсации потерь, также мала [2]. Поступающая в систему малыми порциями энергия компенсирует потери энергии, происходящие при колебаниях, но при этом очень мало изменяет ход всего процесса. Колебания происходят почти так, как если бы отсутствовали и потери энергии в системе, и поступление энергии в систему. В этом случае автоколебания по форме близки к гармоническим. Вместе с тем и период автоколебаний близок к периоду тех собственных колебаний, которые совершала бы система, если бы потери энергии не компенсировались. Если же потери на трение велики, а значит, велика и энергия, поступающая от источника, то автоколебания могут по форме заметно отличаться от гармонических, и их период может заметно отличаться от периода собственных колебаний.
Рассмотрим поведение плоской пружины в потоке сжатого воздуха, используемой в устройстве, представленном на рис. 1. Плоская пружина в виде прямоугольной пластины, один конец которой жестко закреплен заклепкой к корпусу, установлена перед отверстием в корпусе. Размеры отверстия и пластины соответствуют друг другу. Пружина свободно входит в отверстие корпуса с зазором по периметру в пределах 0,05...0,1 мм. Для возбуждения колебаний пружина должна располагаться под углом к плоскости отверстия (рис. 1, а), образуя стартовый зазор между концом пружины и рамкой, примерно равный толщине пружины.
Хп
X
..
р
.АЛЛ/ *
а
б
в
Рис. 1. Схема пневматического вибровозбудителя: а - начальное положение; б - момент динамического удара;
в - конечное положение
Рассмотрим условия возникновения колебаний пружины. Физические процессы, происходящие при этом, в литературе не приводятся, имеются лишь отдельные ссылки на работы, которые показывают вибрационные возможности этого устройства.
Для возбуждения вибраций пластины в полости А создаётся давление воздуха Р, полость В выполняют свободно сообщающейся с атмо-
сферой. Через щель, образованную между пружиной и плоскостью отверстия за счёт начального стартового зазора, происходит истечение воздуха в атмосферу (полость В). Под действием усилия от давления воздуха пружина перемещается в направлении отверстия в корпусе. Щель между пружиной и плоскостью отверстия начинает уменьшаться, скорость воздушного потока возрастает. В момент входа пружины в отверстие корпуса (рис. 1, б) воздушный поток перекрывается, скорость потока воздуха перед этим моментом максимальная и пружина получает динамическое воздействие (толчок). Давление воздуха перед пружиной увеличивается, за пружиной уменьшается за счёт разрежения. Пружина перемещается в отверстии корпуса, между краем пружины и отверстием снова образуется щель (рис. 1, в). Давление на пружину падает, и под действием упругих сил она возвращается назад, щель снова перекрывается, получает вновь динамическое воздействие, и процесс повторяется. Особенностью конструкции является то, что пружина может совершать колебания лишь в том случае, если давление воздуха действует на неё со стороны полости А. При действии давления с другой стороны (полость В) она не возбуждается, т.к. отверстие не перекрывается и динамическое воздействие на пружину не возникает.
Пластина колеблется согласно схеме, представленной на рис. 2.
Для нахождения частот колебаний рассмотрим собственные колебания упругой пластины. Они описываются следующим дифференциальным уравнением [1]:
у(х,1)
О
У
Рис. 2. Схема колебаний пластины с грузом
(1)
Здесь с2 = EJ; Е - модуль упругости; J - момент инерции поперечного
сечения стержня; ^ - погонная масса.
Частное решение для главного колебания ищем в виде
у (х, ?) = ф( х)Бт( + а).
Дифференцируем дважды по времени
д 2
—у = - р 2ф( х) б1и( р1 + а), (2)
дг2
и четыре раза по координате
д4у д4ф . / Л
—г = -^4 Рг + а). (3)
дх дх
После подстановки выражений (2) и (3) в формулу (1) получим
д4ф(х) - к4ф(х) = 0. (4)
дх 4
Здесь k4 - ^p
EJ
Уравнение (4) имеет четыре независимых частных решения: ф1 - cos kx, ф2 - sin kx, фз - chkx, Ф4 - shkx.
В силу линейности уравнения (4) его общее решение есть линейная комбинация частных решений
ф(x) - Di cos kx + D2 sin kx + D3 chkx + D4shkx. (5)
ekx + e-kx ekx - e-kx
Здесь chkx ------2-----; shkx -------2-------гиперболические функции.
Произвольные постоянные находятся из граничных условий. Граничные условия на границе х = 0: ф(0) - 0; дф(0) - 0. Далее запишем два
dx
граничных условия на границе x - I. Первое условие соответствует равенству нулю изгибающего момента на свободном конце д ф(^) - 0. Второе
dx 2
условие является дифференциальным уравнением движения сосредото-
„гд3ф(Л 2 //а
ченной массы на конце стержня EJ--------^ - -mp ф(^).
дx 3
Задача такого типа называется краевой задачей с неголономными (неинтегрируемыми) граничными условиями. Для определения констант необходимо соотношение (5) продифференцировать три раза: ф'(x) - k(-Di sin kx + D2 cos kx + D3 snkx + D4chkx).
2
ф"^) - k (-Di cos kx - D2 sin kx + D3chkx + D4snkx).
3
ф",(x) - k (Di sin kx - D2 cos kx + D3snkx + D4chkx).
Из первого граничного условия на границе x - 0
89
D + D3 = 0. (6)
Из второго граничного условия на границе x = 0
D2 + D4 = 0. (7)
Из первого граничного условия на границе x = £
- Di cosk£ - D2 sin k£ + D3chk£ + D4snk£ = 0. (8)
Из второго граничного условия на границе x = ^
EJk3 (Di sin Н - D2 cos k¿ + D3snk£ + D4chk£) -
- -mp2 (Dj cosk^ + D2 sin k^ + D3chk£ + D4shk^). (9)
Из (6) и (7) получаем соотношения Dj --D3; D2 --D4, которые подставляем в (8) и (9). В результате получаем систему уравнений D3 (cos k£ + chk£) + D4 (sin k£ + shk¿) - 0,
k^m
D3 [(- sin k£ + shk£) +--(- cos k£ + chk£)] +
M
km
+ D4 [(cos k£ + chk£) +--(- sin k£ + shk£)] - 0.
M
Введем обозначения
m
k£ -X; — -p. (i0)
pi
С учетом этих соотношений получаем систему уравнений D3 (cos X + chX) + D4 (sin X + shX) - 0;
D3 [(- sin X + shX) + PX (- cos X + chX)] + + D4[(cos X + chX) + PX(- sin X + shX)] - 0.
Получена однородная система уравнений относительно X. Для существования ненулевого решения необходимо равенство нулю определителя этой системы. В результате получаем уравнение
(cos X + ch X) (sin X + sh X)
[(- sin X + sh X)+PX(- cos X + ch X)] [(cos X + ch X)+ PX(- sin X + sh X)
0.
Это уравнение называется уравнением частот. Представим его в виде (cos X + ch X)[(cos X + ch X) + PX(- sin X + sh X)] -
- (sin X + sh X)[(- sin X + sh X)+ PX(- cos X + ch X)] = 0.
После преобразований получим
1 + chX cos X + pX (shX cos X-chX sin X) = 0. (11)
Расчеты частот собственных колебаний пластины проведем для следующих параметров пластины: длина £ = 60 мм; ширина b = 6 мм; толщина s = 0,6 мм; масса M = 1,7 г; модуль упругости E = 2,1 • 1011 Па.
Задавая отношение массы груза к массе пластины (10), получаем Pi = 0; /1 = 1 + chX cos X. Решаем уравнение частот (11), используя вычислительную программу Maple 13. Ищем корни в интервале Х=1...4,8 (рис. 3).
Рис. 3. График поиска корней при в = 0
Построенный график (см. рис. 3) необходим для грубой оценки значений корней уравнения частот. На графике видно, что = 0 при
X = 0...2. Задавая эти условия в алгоритм вычисления, находим, что X = 1,8751. Если Xі - один из корней уравнения частот (11), то соответствующая частота собственных колебаний определяется по формулам
Л' [Гц],
Pi =
£ 2V
EJ
рад
или V i =
2п
(12)
где J
bs 3 12
(J
12 4 M КГ
0,108-10-12 м4); ц = — (ц = 0,02833 —).
£
Подставляя числовые значения в рад
м
формулы
(12), получим
Р1 = 873,8 -— и V1 = 139,1 Гц.
Аналогичным образом для каждого значения параметра в определяем два корня уравнения частот и две главные частоты колебаний пластины р\ и Р2 (Р2 характеризует частоту колебаний второй гармоники, амплитуды колебаний которой незначительны). Результаты вычислений представим в таблице.
с
с
Результаты вычислений корней уравнения частот и двух главных частот колебаний пластины
e ^1 ^ 2 p1 p2
рад с Гц рад с Гц
0 1,8751 4,6941 873,8 139,1 5476,1 872,0
0,5 1,4150 4,1111 501,1 79,8 4200,4 668,9
2 1,0762 3,9825 287,8 45,8 3941,8 627,7
3 0,9812 3,9648 239,3 38,1 3906,8 622,1
5 0,8700 3,9499 188,1 29,9 3877,6 617,4
На рис. 4 представлен график зависимости частоты р\ колебаний пластины от отношения массы груза к массе пластины.
Рис. 4. График зависимости частоты колебаний пластины от отношения массы груза к массе пластины
Таким образом, построенная математическая модель позволяет выявить зависимость частоты собственных колебаний упругой пластины пневматического вибровозбудителя от массы груза, закрепленного на ней, с учетом материала пластины и ее геометрических параметров.
Список литературы
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 591 с.
2. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
3. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М.: Наука, 1971.
751 с.
A. Grigoriev, Uj. Matkin
Modelling of fluctuations of the elastic plate of the pneumatic vibrator
Dependence of frequency of own fluctuations of an elastic plate pneumatic vibrator from weight of the cargo fixed on it, taking into account a material of a plate and its geometricalparametres is considered.
Keywords: vibrator, an elastic plate, fluctuations.
Получено 06.05.10
