Моделирование колебаний элементов адаптивного ударного устройства Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК / UDC 534-16.001.57:[621.974.32+621.919.17

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ АДАПТИВНОГО УДАРНОГО УСТРОЙСТВА

SIMULATION OF OSCILLATIONS IN ELEMENTS OF ADAPTIVE IMPACT DEVICE

Слиденко A.M.*, кандидат физико-математических наук, доцент Slidenko A.M., Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor ФГБОУ ВО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I», Воронеж, Россия Federal State Budgetary Educational Establishment of Higher Education "Voronezh State Agricultural University named after Emperor Peter I", Voronezh, Russia Слиденко B.M., кандидат технических наук, доцент Slidenko V.M., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского» National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute", Kyiv, Ukraine *E-mail: alexandr.slidenko@yandex.ru

Целью исследования, представленного в статье, является создание алгоритма, предназначенного для изучения волновых процессов в ударном устройстве с инструментом переменного поперечного сечения. Основными составляющими модели ударного устройства являются стержень переменного поперечного сечения и приведенная дискретная масса, соединенные упругими и диссипативными элементами. На торец стержня действует реакция отдачи от рабочего массива, которая задана величиной импульса (100-1000 кг м/с). В такой постановке задачи волновой процесс описывается системой двух дифференциальных уравнений (в частных производных и обыкновенного). Физические условия моделируются начальными и краевыми условиями для искомых функций. Ударная нагрузка моделируется количеством движения малого элемента стержня в начальный момент времени. Поиск приближенного решения сформулированной начально-краевой задачи осуществляется разностными методами. Для обеспечения необходимой устойчивости и экономичности разностных методов применяются тестовые задачи, решения которых находится методом Фурье, и являются близкими к предельным решениям основной задачи. Наилучшие результаты получены для разностной схемы с весовыми коэффициентами. Влияние переменной площади поперечного сечения на устойчивость разностной схемы проверяется с помощью специально подобранного волнообразного профиля стержня. Показана возможность вариации площади поперечного сечения стержня в широких пределах. Выбор «грубой» и «мелкой» сетки по времени позволил регистрировать низкочастотные (5-10 Гц) и высокочастотные (100-2000 Гц) колебания сечений стержня. Для примера рассмотрен инструмент в форме усеченного конуса. Для высокочастотных колебаний определены волны перемещений сечений стержня и установлена их связь с геометрическими параметрами сечения.

Ключевые слова: ударное устройство, разностные методы, уравнения колебаний, ударные нагрузки, ряды Фурье.

The aim of the research presented in the article was creation of an algorithm for study of wave propagation in a shock device with variable cross-section tool. The main components of the model of the shock device were the core of variable cross-section and the reduced discrete mass joined by elastic and dissipative elements. The recoil reaction from the working array that acts at the end of the rod was set by the pulse value (100-1000 kg-m/c). In this formulation the problem of wave process was described with a system of two partial and ordinary differential equations. Physical conditions were modeled by initial and boundary conditions for the desired functions.

The shock was simulated by the amount of movement of the small rod member in the initial time. The search of approximate solution for the formulated initial boundary value problem was solved by difference methods. Test problems were used for ensure the necessary stability and economy of the difference methods. The solution of the test problems by Fourier method was close to the limit solving of the basic problem. The best results were obtained for the difference scheme with weights. The impact of the variable cross-sectional area on the stability of the difference scheme was checked using specially selected wave-like profile of the rod. The possibility of variation of the cross sectional area of the rod was shown in a wide range. The selection of the "coarse" and "fine" grid time allowed to record low-frequency (5-10 Hz) and high-frequency (100-2000 Hz) oscillations of the sections of the rod. For example, we considered a tool in the form of a truncated cone. For high-frequency oscillations the waves of displacements of the rod were determined and their connection with geometric section parameters was set. Key words: impact device, difference methods, the equations of vibrations, stresses, shock loads, Fourier series.

Введение. Применение метода приведенных масс для математического моделирования процесса колебаний технических устройств ударного типа и управления такими процессами предполагает подробное изучение моделей элементов таких устройств [1-7]. Моделирование процесса колебаний ударного устройства - гидромолота приведено в [2].

Рассмотрим расчетную схему навески гидромолота (рис. 1). Гидромолот (1) для разрушения горной породы инструментом (2) установлен на манипуляторе (3) горной машины. Изучается модель устройства комбинированного типа, которая содержит стержень переменного сечения (инструмент гидромолота, нагруженный реакцией отдачи P) и сосредоточенную (приведенную в динамическом отношении к корпусу гидромолота) массу т. Перечисленные объекты соединены упругими и диссипативными элементами.

2- инструмент, 3- манипулятор подачи гидромолота

Главным отличием от исследования, представленного в [8], является наличие в модели стержня переменного поперечного сечения. Ударная нагрузка отдачи моделируется с помощью определения начальной скорости для элемента стержня длины е.

Введем обозначения: ы({,х) - отклонение сечения стержня с координатой х от нейтрального положения, ? - время; у() - отклонение центра

дискретного элемента массы т от положения равновесия; а = \Е/ - скорость

звука в стержне (Е - модуль упругости, р - плотность материала стержня); с1, с2 - приведенные жесткости упругих элементов, соответственно

манипулятора и ударного устройства; Ь1,Ь2 - коэффициенты диссипации; - -

длина стержня; Б=8(х) - площадь поперечного сечения стержня; Р - ударный импульс. При проектировании ударного устройства решается задача о выборе характеристик упругих и диссипативных элементов, то есть параметров с1, с2, Ь1, Ь2, которые определяют частоту и амплитуду колебаний. Важно

оценить значения частот и амплитуд на правом торце стержня, которые характеризуют динамичность процесса влияния инструмента на горный массив. Представляет также интерес влияние вида зависимости площади поперечного сечения 8=8(х) на характеристики колебательного процесса. Уравнения колебаний рассматриваются в виде:

д 2и(г, х)

= а

1

дБ(х) ди(г, х) + д2и(г, х)

Б(х) дх дх

дх2

0 < г < т, о < х < ь,

т

дг2

а2 у _

- с2(и(г,ь) - у\1 )) + Ь2 ~(и(г,ь) - )) - с1 У()-Ь1 '

аг V аг у аг

(1)

а

- с2(и(г,Ь) - у(г))+Ь2 — (и(г,Ь) - у(г)) - с1 у(г)-Ь1 —у, 0 < г < Т. (2)

Краевые условия для стержня:

Б (ь)Е ди (г, ь) - с2 (у (г) - и(г, ь))+Ь2 Г —у - ди(— дх

аг

дг

ди

дх

(г ,0)- 0.

Начальные условия для стержня:

ди

и(0, х) - 0, — (0, х) - Р (х), дг

где

Р (х) -\

Р

Б (х—.

если 0 < х < £,

х

(3)

(4)

(5)

(6)

0, если £ < х < Ь. Начальные условия для дискретного элемента:

у(0) - 0,

ау аг

(0)-0.

(7)

Целью исследования является создание и реализация алгоритма, предназначенного для численного моделирования волновых процессов в ударном устройстве при наличии инструмента с переменным поперечным сечением.

Условия, материалы и методы. Для аппроксимации уравнения (1) используется двухслойная разностная схема с весами, которая обладает хорошими свойствами экономичности и устойчивости [9, 10]:

ип+1 - 2ип + и"-1 2 —-т-г— -аа

1 дБ (х).

Б (х) дх '

и,"++11 - иГ\ + <1 - 2иГ + и-1

к

к

2

+

+

(1 -а)а:

п п

дБ , \ и+ - и:

Б (х,) дх

^ х)

к

■ +

пп

и+1 - 2и1

к2

, г-1,2,..., N-1, п -1,2,..., М-1,

где г - п -т, т- Т, х. -г- к, к - — - параметры дискретной области.

п М 1 N

Аппроксимация краевых условий с первым порядком по к и т имеет вид:

0

т

п

1

г-1

п+1 п+1 / ч

^ (ь)е^ — им—1 = с2 • (уп+1 — и^1)+ Ь2

к

п+1 п ип+1 ип у — у ЫN — ЫN

Т

т

п+1 п+1 Ы1 — Ыо

к

- 0.

(10)

Уравнение колебаний дискретного элемента аппроксимируется уравнением

^- 2 у;+уп-1 - с (ыг - уп+-)+ь

í..п+1

и- — ип уп+ — упЛ

уп+1 уп — С1 уп+1 — Ь . (11)

т

Начальные условия для стержня и дискретного элемента:

1 — и о

ы0 - о, и-- ^(%1), х1 -гк, г -1,2,..., N.

т

у0 -0, ¿т!-0.

т

(12)

(13)

Следует отметить, что разностная схема представлена для случая, когда

функция 8=8(х) дифференцируема на промежутке 0 < х < Ь. Если функция не

является дифференцируемой, то используется аппроксимация производной

дБ 5,.+, — 5,. , — разностным отношением: —+--1.

дх 2к

Коротко опишем алгоритм решения дискретной задачи (8)-(13). Система уравнений (8)-(11) на каждом временном слое 1п - пт решается методом прогонки. Уравнения (8) приводятся к стандартному виду

— Ьы + - — £. (14)

Выполняя преобразования уравнений (8), находим формулы для коэффициентов аг, Ь, сг и £, г -1,2,..., N — 1:

а, -

£ -

2 2 а ат

к

2

к дБ

Б (х1) дх

(х,)+1

\Л

, Ь -

—1 —

2 2 ( а т а

к

2

к дБ

Б (х) дх

(х1 )+2

С - —

2 2 а ат

у;

к2

— 2ы,п + ыГ1 — (1 — а)

а V С

к2

к дБ

{ \1 П « | , п Г\ п . п

(х,. Ди,.+1 — и ) + ы,+1— 2щ + и—1

Л

, I -1,2,..., N—1.

у Б (х1) дх

Приведем коротко алгоритм метода прогонки.

1) Из краевого условия (10) и формулы метода прогонки ы{ -аы+1 + Д при г - 0 вычисляем а0 -1 и Д0 - 0.

2) Вычисляем коэффициенты а1 и Д :

а.

а -

., Д- {г + сД—1 ; г -1,2,..., N — 1.

Ь—са—1' '' Ь — са—1

Вывод этих формул приводится в [9,10] - это стандартные формулы метода прогонки.

3) Используя краевое условие (9), найдем связь между ы^1 и уп+1 с

помощью уравнения ы^ -аN_lыnt+1 + Д1^—1. Выражая через остальные

величины, получаем

Д—+у"*0— бЬЕгМ — <)

ып+1 -UN -

1 + ^0 а N—1

где 4 -

спИ

2» + . Ъ2^

Б(ь)- Е Б(ь)- Ет

В результате приходим к системе уравнений относительно и у

п+1

Рм- + ул+1^0 -

Ъ2И

. п+1

иА, =-

Б (Ь)-Ет

п \

У - им)

т

1 + И 0 -1

уп+1 - 2 уп + уп-1

^ I. п+1 П+1 \ . 7,

= С2 (им - у )+ Ъ

(ип+1 1,п л;П+1 „п^

им - им у - у

- с уп+1 - Ъ

уп+1 - уп

Из второго уравнения системы (16) выражаем уп+1 через остальные

переменные, включая иП1, и вводим обозначения:

т2 (С1 + С2 ) + т(Ъ: + Ъ2 )

Получаем формулу

уп+1 =

(

т

'(ТС2 + Ъ2 )

у

2 + т(Ъ2 + Ъ1)уп-1 + ип+1

т

т с2 +тЪ2

т

т

тЪ2 п

-иЫ

т

(1+¿1 )-1.

(17)

Подставив значение уП+1 в первое уравнение системы (16), приходим к

п+1

уравнению относительно им , из которого находим это значение

рм+1 +

П+1 _

им -

V

2 + т(Ъ2 + Ъ1) т

у

п—1 тЪ2 П | П—1 тЪ2 П

— им I - у--им

т 1 т

И

_ Ъ2к(уП - иП )

1 + ¿1 Б (ь)Ет (18)

Получив значение

1 + и - И2Ио

1 -I- и о "м-1 л ,

1 + и1

иП1, ПО формулам иги+1 = аим + Р, (I = N -1, N - 2,...,2,1) и (17) находим остальные значения сеточных функций.

Для тестирования представленного алгоритма используется аналитическое решение модельной задачи, полученное методом Фурье при Ъ = 0 [11-14].

Модельная задача имеет вид

д2и(г, х) = 2 д2и(г, х)

0 < г < т, о < х < Ь

дг2 дх2

Б(Ь)ЕдХ{,,Ь)==-сЩ„Ь)-ЪдЩЬЬ1, дХ« .0) = 0:

ди дг

Р

(0, х) = Р (х), Р (х) =^рБ (Ь)а

■, если 0 < х < а,

(19)

(20)

(21)

и (0, х) = 0,

дг

0, если а < х < Ь. Решение Фурье задачи (19)-(21) сравнивается с решением исследуемой задачи при следующих предельных условиях: Ъ1 = 0, с1 = 0, Ъ2 = 0 , т^да,

с2 ф 0, Б = Б (Ь).

Рассмотрим назначение основных программных блоков, разработанных в МаШсаС.

В блоке «Исходные данные» определяются функции Р(х, Б), /(х) и Б(х) (начальные скорость и перемещения сечений стержня, площадь поперечного

2

т

т

т

т

П

у

сечения стержня). В функциональном блоке «<1гСад(а,Ь,с,^М,и0,и1,и2,у0,у1,Б)» реализуется метод прогонки для системы линейных уравнений. Функциональный блок «ОЫ(Ы,Т,М,Г,ЪБ)» служит для поиска решений системы уравнений на каждом временном слое. Решением уравнения Я х - &д(х) = 0 с помощью встроенной функции системы МаШсаС го&(Ф,Х1,Х2, х) находятся собственные числа модельной краевой задачи [15].

Отрезок ряда Фурье длины I- решение модельной задачи, имеет вид [11, 12]

и к х )= х

где Лк =

4Мк

к=0 Ь

Лк 00Э

аМк Ь

+ Вк эт

V

аМк Ь

ооэ

Ек_ Ь

\\

х

))

Фмк + 81п(2^к ))

/ Г (х)

х ооэ

Ик

х

йх,

Вк =

4Р

о

БР(2Мк + 81П(2^к ))

а,

(стержня процесс

V Ь ,

При исследовании процесса колебаний инструмента переменного поперечного сечения) представляет интерес распространения волн перемещений сечений вдоль оси стержня. Стержень связан упругими и диссипативными связями с дискретным элементом большой массы. Эти связи приводят к сложному колебательному движению поперечных сечений стержня. Следует выделить низкочастотные и высокочастотные колебания. Для регистрации процесса распространения волн вдоль оси стержня необходимо задавать достаточно малый шаг по времени, а для низкочастотных колебаний этот шаг может быть существенно больше. Следовательно, применение метода конечных разностей требует особого подхода при выборе параметров Л и т.

Для регистрации высокочастотных колебаний сечений стержня применяется «мелкая» сетка. Это достигается за счет уменьшения временного отрезка (Т«0,002с), что экономит память компьютера. При длительном временном интервале (Т«1 с) регистрируются только низкочастотные колебания. Здесь важную роль играет тестовая задача, позволяющая сравнивать аналитическое и приближенное решения при различных параметрах разностной схемы. Для численной оценки влияния переменного сечения стержня на область устойчивости разностного метода была подобрана зависимость сечения стержня по гармоническому закону, который обеспечивает большие частоты изменения знака производной функции Б(х). При этом

сохранялся объем стержня % с радиусом основания Я0. Форма зависимости Б(х) определялась выбором параметров Я1, % и т. Для обеспечения гармонической зависимости Б(х) изменение эквивалентного радиуса сечения

стержня принималось по закону ^х) = 1 —

% тях 3

4

■ооэ

Ь

+ 4)

, тогда площадь сечения

равна Б(х) = жЯ(х)2. Равенство объемов приводит к формуле

К1 = Ко

% ооэ^ + 4 ) йх

Результаты и обсуждение. Расчет проводился в диапазоне параметров, близких к параметрам динамической системы экскаватора ЭО-4321А с гидромолотом ГПМ-300: диаметр инструмента 0,09-0,1 м; длина волновой части инструмента Ь = 0,5 -1,2 м; масса импульсной системы, приведенная к

корпусу гидромолота, 500-2250 кг; приведенные жесткости с1 = 3,1 -105 ,

г

г

с2 - 5,6 • 105 Н/м ; коэффициенты диссипации Ь1 - 1,2 • 104 Нс/м, Ь2 - 2,2 • 104 Нс/м; ударный импульс отдачи Р -100 -1000 кг • ; модуль упругости Е - 2,1 • 1011 Н/ 2 ; плотность материала стержня-волновод а р- 7,8 • 103

кг/

.3

м / м'

Колебания низкой частоты по времени представлены на рис. 2.

О.ОТп и> У> м-

% /

-<-)--V; "

Рисунок 2 - Колебания по времени свободного торца стержня при наличии дискретного элемента: (1) - стержень постоянного сечения; (2) - стержень волнообразного сечения; (3) - дискретный элемент при постоянном сечении; (4) - дискретный элемент при переменном сечении стержня

При «волнообразной» форме стержня амплитуда колебаний существенно выросла. Следует отметить, решения получены на «грубой» временной сетке, которая улавливает только колебания низкой частоты.

Для примера более подробно рассмотрим колебания при конусной форме

стержня. Объем усеченного конуса равен % - (а2 + а +1), где а- Я-, Я1, Я2- радиусы оснований, 1-- высота конуса. Приравнивая объемы конуса и

3 • W0

(а2 + а + L

Получаем

цилиндра %, приходим к равенству Я2 -

зависимость Б - Б(х) (площади поперечного сечения от координаты х): (х)- Я - х-

R(x) = R _, s(х) = ^(R(x))2

L

Графики зависимостей Б (х) представлены на рис. 3.

2 S, м2

ч ¿3

\ f ъ /

к \ . % /

1 \ * /

X, л*

0.03 0.024 0.018 0.012 0.006

1.2

0.96

0.72

0.48

0.24

О

Рисунок 3 - Изменение площади поперечного сечения: (1) -цилиндр; (2) -конус;

(3) - волнообразный профиль

Распространение волны перемещений сечений вдоль оси стержня фиксировалось двумя способами: 1) совмещались графики колебаний по времени левого и правого торцов стержня; 2) строилось распределение перемещений сечений стержня в различные моменты времени.

Изменение величины а позволяет менять конусность инструмента при постоянном объеме конуса. Значения а > 1 соответствуют большему значению радиуса основания со стороны действия импульса Р, значения 0 < а <1 -меньшему значению.

Отметим, при а = 0,5 колебания поперечных сечений конуса мало отличаются от колебаний сечений цилиндра (рис. 4).

0.005 0.004 0.00?

0.002

0.001

1 0

-0.001

Рисунок 4 - Прямая (1, 2, 3) и отраженная (1', 2', 3') волны перемещений сечений в моменты времени ^ = 8,93-10~5с и т2 = 3,57• 10~4с : (1, 1') - цилиндр; (2, 2') - конус (а = 0,5); (3, 3') - метод Фурье (тестовая задача)

На рис. 5 показаны те же параметры при большой конусности (а = 0,1). Можно отметить увеличение амплитуды волны перемещений со стороны правого (нагруженного импульсом отдачи торца конуса).

0.006 0.005" 0.004 0.003

0.002

0.001

0

Рисунок 5 - Прямая и отраженная волны перемещений сечений при большой конусности: (1) - цилиндр; (2) - конус (а = 0,1)

Существенное отличие параметров колебаний при конусной форме стержня регистрируется только при «мелкой» сетке по времени. Передача ударного импульса тонкой части конуса приводит к большой начальной скорости этой части, следовательно, к росту амплитуды колебаний (рис. 5, 6). Отметим, амплитуда колебаний быстро уменьшается. Обратная волна (рис. 5) имеет значительно меньшую амплитуду.

0.006&

0.0024

0,002

Рисунок 6 - Правый и левый торцы при большой конусности (а = 0,1):

(1,2) - конус; (3,4) - цилиндр

Выводы. 1. Представленный алгоритм поиска приближенного решения смешанной задачи позволяет осуществлять в широких пределах вариацию площади поперечного сечения стержня при обеспечении необходимой устойчивости и экономичности численного метода.

2. Двухслойная разностная схема для уравнения колебаний стержня переменного поперечного сечения позволяет получить приближенное решение задачи в широком диапазоне параметров. Для регистрации высоких частот эффективно применение «мелкой» сетки по времени.

3. Достоверность полученных результатов подтверждается приближением решений исходной задачи и тестовых задач.

4. Показано влияние формы стержня на амплитуду и частоту колебаний. На примере конусной формы показана возможность увеличения или уменьшения амплитуды высоких частот.

5. Для методики исследования смешанных задач подобного типа можно рекомендовать следующие этапы:

а) составляется модельная задача, аналитическое решение которой можно найти, например, методом Фурье;

б) варьируя формой сечения стержня при постоянном объеме, подбираются параметры разностной схемы, обеспечивающие необходимую устойчивость и экономичность;

в) определяется в табличном или аналитическом виде зависимость площади поперечного сечения стержня от координаты х и проводятся вычисления.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М: Международная программа образования, 1997. 336 с.

2. Слщенко В.М., Шевчук С.П. Стабтгёацт функцюнування прничоТ машини з ¡мпульсним виконавчим органом: монографт. К.:НТУУ«КП1», 2010. 192 с.

3. Пановко Г.Я. Динамика вибрационных технологических процессов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. 176 с.

4. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. М.: Наука, 1985. 358 с.

5. Манжосов В.К., Слепухин В.В. Моделирование продольного удара в стержневых системах неоднородной структуры. Ульяновск: Ул. ГТУ, 2011. 208 с.

6. Кубышкин В.А. Управление колебаниями с использованием подвижного воздействия в распределенных системах // Труды IX Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 12. М: 2012. С. 936-948.

7. Кубышкин В.А., Финягина В.И. Подвижное управление в системах с распределенными параметрами. М.: СИНТЕГ, 2005. 240 с.

8. Слиденко A.M., Слиденко В.М. Исследование дискретно-непрерывной модели адаптивного ударного устройства // Математическое моделирование. 2015. Т. 27. № 1. С. 54-64.

9. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

10. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

11. Араманович И.Г, Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с.

12. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

13. Василенко М.В., Алексейчук О.М. Теорт коливань i ctmkoctI руху: Пщручник. К: Вища шк. 2004. 525 с.

14. Слиденко A.M., Слиденко В.М. Продольные колебания стержня с имитацией сопротивления при ударных нагрузках // Вестник ВГАУ. Теоретический и научно-практический журнал. 2013. № 2 (37). С. 247-254.

15. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad: Учебное пособие. 2-е изд., исп. и доп. Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2008. 352 с.