Моделирование исполнительной системыробота puma-560 в среде Matlab Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.5

Электромеханические системы

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РОБОТА PUMA-560

В СРЕДЕ MATLAB

В.А. Медведев, В.Р. Петренко, А.В. Кузовкин

В статье рассматривается задача моделирования динамики робота PUMA-560. Разработана расчетная схема манипулятора. Определено математическое описание манипулятора и исполнительных приводов. Разработан алгоритм моделирования исполнительной системы робота PUMA-560 в среде MATLAB Ключевые слова: робот, манипулятор, исполнительный привод

Моделирование исполнительной системы робота РиМА-560 основывается на полной динамической модели манипулятора с учетом сил инерции, взаимовлияния звеньев, а также действия сил тяжести. При этом определяется вектор обобщенных сил в сочленениях манипулятора, который необходим для отработки системой управления векторов заданных перемещений обобщенных координат, их первых и вторых производных.

Манипулятор содержит шесть звеньев, связанных вращательными сочленениями. Звенья манипулятора представим твердыми телами, описываемыми множествами кинематических параметров К/ и динамических параметров Di. Индекс / - порядковый номер звена в цепи, считая от опоры к схвату.

Множества К/ и Di определим в соответствии с методом Ньютона-Эйлера как

К1 = (~-, ~+ р ~, ~,мХ Di = (т/, ~X (!) где ~ - единичный вектор оси /-го сочленения;

~ +1 - единичный вектор оси i +1 -го сочленения;

~ - вектор, проведенный от центра i-го сочленения к центру масс /'-го звена;

~ /+1 - вектор, проведенный от центра /+1-го сочленения к центру масс /-го звена;

т / - масса /-го звена;

• = (•¡1, -и, -Лз) - диагональная матрица размера 3x3, содержащая главные моменты инерции /-го звена.

Векторы определяются по отношению к локальной системе координат. Это декартова система координат, связанная с центром масс звена и имеющая оси, ориентированные вдоль его главных осей инерции. Единичные векторы этих осей будем обозначать как х/, у/,

Будем учитывать динамику первых трех степеней подвижности, имеющих наибольшие габариты и вес. Расчетная схема манипулятора с кинематическими параметрами и ортами локальных систем координат приведена на рисунке.

Медведев Владимир Алексеевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 278-43-05

Петренко Владимир Романович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 278-38-91

Кузовкин Алексей Викторович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 254-57-84

Расчетная схема манипулятора PUMA-560

Относительное положение звеньев определяется обобщенными координатами д1,...,д„ манипулятора.

Динамическая модель манипулятора по методу Ньютона-Эйлера представляется в виде

Р = А (4, й) 4 + 4тВ (4, й) 4 + С (4, й), (2)

где Р - вектор-столбец размера п обобщенных сил;

А (4, й) - матрица размера пхп инерции системы;

4 = [^1, ... , дп]т - вектор-столбец размера п обобщенных координат;

й - вектор, содержащий геометрические и динамические параметры механизма (длины звеньев, массы, моменты инерции и т. д.);

4 = [¿&1, ... , дп]т - вектор-столбец размера п ускорений обобщенных координат;

4т = [/& 1, ... , ^п] - вектор-строка размера п скоростей обобщенных координат;

В ( 4, й) - матрица размера пхпхп, учитывающая взаимовлияние звеньев;

4 = [д1, ... , дп]т - вектор-столбец размера п скоростей обобщенных координат;

С (4, й)- вектор-столбец сил тяжести.

При формировании матриц динамической модели необходимо определить кинематические параметры звеньев манипулятора в абсолютной системе

координат Охуг. Эта кинематическая задача решается с использованием формулы конечных поворотов векторов. После поворота на угол я, единичные векторы системы координат, связанной с і-м звеном, определяются из выражений

я(1 = е, х (я'ц х е,) , $} = е, х я

я(ц = (еі • я'и) • еі’ і =1,2,3

(3)

где Яу - единичный вектор ]-й оси системы координат і-го звена перед поворотом на угол я.

Для поступательного ,-го сочленения = я і.

Матрица = [яі 1,яі2, я13] размера 3x3, составленная из единичных векторов осей я у, определяет преобразование локальной системы координат ,-го звена в абсолютную систему координат Охуг. Если +1, г,,, ,+1 - векторы в локальной системе

координат ,-го звена, то в абсолютной системе они будут иметь вид

е, +1 = & • ~ 1 ги = & • Гі,і+1 = Qi • ~,,+і. (4)

Элемент (і, к) матрицы А (я, й) инерции рассчитывается по формулам [1]:

А,к = Ё [тАе,г), • (е, г)к+еі ил

і=тах (і, к)

Ч, =(е,х+ е£^

£ = 1 - 4 (5)

{е г)кк = (ек хГкл)£к + ек£к = 1 - £к, где тл - масса і-го звена;

е,, ек — единичные векторы осей і-го и к-го сочленений в абсолютной системе координат;

Оі - матрица инерции і-го звена в системе координат Охух;

[О, если і - е сочленение вращательное;

[1, если і - е сочленение поступательное.

[О, если к - е сочленение вращательное;

[1, если к - е сочленение поступательное.

Элементы (к, I) матриц Ві (я, й), определяются из уравнений [1]:

п

вм = Ё [тАе,г), • (ех (е, г)к)] при к >1 , _

і =тах (і, к) (6)

В,к = В‘и при к = 1... п-1; I = к +1... п.

Элемент с номером і вектора С(я, й) сил тя-

и. + Я1 + к Я = П.,

/ / / / е/ 1 д/ /’

К,1, - М н/ - к с/Яд/ = •/Ядр

где Ь/, Я/ - индуктивность и активное сопротивление цепи якоря двигателя /-й координаты;

1/, I/ - ток якоря двигателя /-й координаты и скорость его изменения;

ке1, кт/ - коэффициенты пропорциональности в уравнениях для противоЭДС и момента двигателя /й координаты;

Яд/, &д/ - угловые скорость и ускорение двигателя /-й координаты;

П/ - напряжение на якоре /-го двигателя;

Мн / - момент внешней нагрузки, приведенный к валу двигателя /-й координаты;

кс / - коэффициент вязкого трения;

•/ - момент инерции якоря двигателя /-й координаты;

Уравнения (8) приведем к векторной форме. Введем вектор состояния /-го привода у/ = (я д /, Яд/ ,

1/)т. Выразим из первого уравнения системы (6) производную от тока якоря 1/, из второго уравнения -угловое ускорение вала двигателя Яд/ . Получим

систему уравнений

Я д = - кс Я д/1 + к т,1,1 • -Мн/1,

& =-к. Я д / / Ь, - Я,1, /1 + П/ / Ье

Поскольку в вектор состояния у / входят три элемента, дополним систему (7) из двух уравнений тождеством Яд/ = Яд/ и полученную систему уравнений представим в векторной форме

(9)

яді "о 1 О " "яді"

яді = О - ксі / Оі к ті / Оі • яді +

і і _ 0 - к, / ц - я,. / ь, _ І, _

" 0 " " 0 '

+ 0 • и + -1/Оі

1/ь,_ 0

(1О)

Введем следующие обозначения: О 1 О А (0,) = О - к ,/ Оі к ті, / О і О - к, / ь, - я, / ь,

жести задается выражением [1] " 0 " " 0 '

С я d) = -Ё [ті(e, г), • Я , і=і (7) Ьі (0) = 0 1/ц _ , Уі (0)= -1/ 0

где g - вектор гравитационного ускорения.

Рассмотрим также динамическую модель привода постоянного тока для перемещения звеньев манипулятора РИМА-560.

Двигателями постоянного тока управляют изменением подводимого к якорю напряжения при постоянном магнитном потоке машины. Дифференциальные уравнения, описывающие такую систему, имеют следующий вид:

(11)

Вектор 0/ включает в себя параметры /-го двигателя кс/, • /, кт/, ке/, Ь/, ^/'

С учетом (11) векторное уравнение (10) приобретает следующий вид:

у1 = D¡ (0/) у + Ь (0/ )П + /, (0/) Мш., (12)

где У/ , У/ - вектор состояния /-го привода и его первая производная по времени;

Di (0/) - матрица подсистемы;

Ь/ (0 /) - вектор преобразования управляющего сигнала;

П / - управляющий сигнал на привод /-й координаты;

// (0/) - вектор преобразования нагрузки;

М н/ - нагрузка на валу /-го двигателя.

Совокупность уравнений динамики механической части робота и динамических моделей исполнительных приводов представляет собой полную динамическую модель манипулятора как объекта управления.

Вектор обобщенных сил Рзад определялся из соотношения [1]

Рзад = А(4 й+ К1(4 - 4зад ) + (13)

+ ВД-4зад)} + В(4, 4,й) + С(4,й), ( )

где Кь К2 - диагональные матрицы размером пхп коэффициентов обратной связи по положению и скорости.

Моделирование динамики робота РИМА-560 проводилось в среде МАТЬАБ с помощью программного средства [2]. Заданные векторы 4зад обобщенных координат, их первые 4зад и вторые

4зад производные формировались в результате интерполяция траектории с помощью кубических сплайнов [3].

Моделирование осуществлялось в соответствии со следующим алгоритмом.

1. Вводились кинематические и динамические параметры манипулятора: количество степеней подвижности п, типы сочленений ^ , орты локальных систем координат х/, у/, 2, единичные векторы ~ осей сочленений, радиус-векторы ~//., г/ /+1, массы т/ и диагональные матрицы •/ инерции звеньев.

2. Вводились параметры исполнительных приводов: коэффициенты кс. вязкого трения, моменты инерции якорей двигателей, коэффициенты пропорциональности по моменту кт/ и противо-ЭДС ке/, индуктивности Ь. и активные сопротивления Я. якорных цепей.

3. Вводились параметры требуемой траектории: количество степеней подвижности п, число опорных точек т , значения обобщенных координат Язад / в опорных точках, максимально-допустимые

скорости координат ятахі , начальные значения обобщенных координат и их скоростей я,(0),

я (0).

4. Формировались векторы заданных значений перемещений язад,, скоростей язаді и ускорений

язаді обобщенных координат.

5. Рассчитывались параметры матриц уравнения динамики (2) исходя из векторов текущих значений обобщенных координат ц и скоростей ц . При этом учитывались взаимовлияние звеньев [матрица В(ц,й)], гравитационные силы [матрица С(ц,й)], изменение моментов инерции при движении манипулятора [в матрице А(ц, й )].

6. Определялись вектор Рзад требуемых значений обобщенных сил в сочленениях манипулятора, а также векторы управляющих токов I и напряжений и.

7. Определялся вектор ускорений я координат на текущем дискретном интервале. Рассчитывались конечные значения перемещений и скоростей звеньев манипулятора, являющиеся их начальными значениями на следующем дискретном интервале.

Использование метода Ньютона-Эйлера обеспечивало высокую вычислительную эффективность уравнений, связывающих моменты в сочленениях с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев. Элементы матриц динамической модели зависят только от параметров манипулятора и перемещений обобщенных координат, и не зависят от их скоростей и ускорений, что позволяет сократить затраты времени на вычисление. Это важное свойство для получения эффективного алгоритма формирования динамической модели робота в реальном времени.

Литература

1. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1985. 384 с.

2. Медведев В.А. Свидетельство о регистрации программного средства “Моделирование динамики манипулятора с произвольной системой координат” в Государственном фонде алгоритмов и программ, ВНТИЦ, инвентарный номер 50200200107 от 11.03.02.

3. Медведев В.А., Шиянов А.И. Управление роботами и РТС: учеб. пособие. Воронеж: ВГТУ, 2010. 228 с.

Воронежский государственный технический университет

MODELLING OF EXECUTIVE SYSTEM OF ROBOT PUMA-560 IN MATLAB ENVIRONMENT

V.A. Medvedev, V.R. Petrenko, A.V. Kuzovkin

In article the problem of modelling of dynamics of robot PUMA-560 is considered. The settlement circuit of the manipulator is developed. The mathematical description of the manipulator and executive drives is determined. The algorithm of modelling of executive system of robot PUMA-560 in MATLAB environment is developed

Key words: robot, manipulator, executive drive