Моделирование инвестирования в новые технологии в условиях неопределенности и конкуренции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Моделирование инвестирования в новые технологии в условиях неопределенности и конкуренции Дата: 30/06/2010 Номер: (22) УЭкС, 2/2010

Аннотация: Построена непрерывная по времени модель инвестирования, в которой фирма принимает решение о замене существующих производственных мощностей новыми, более эффективными и экономичными. Определены оптимальные стратегии фирм в замену существующих производственных мощностей новыми, вычислены ожидаемые моменты инвестирования и вероятности осуществления оптимального инвестирования в пределах заданных временных интервалов.

Abstract: A continuous-time model in which a firm makes a decision to replace existing production facilities with new, cost-efficient ones. The optimal replacement strategies are determined, the expected replacement timing and the probabilities of making optimal replacement within given time interval are calculated.

Ключевые слова: моделирование, инвестиции, производственные мощности,

оптимизация

Keywords: modeling, investments, production facilities, optimization

Матвеев Роман Иванович, кандидат экономических наук, доцент Кисловодский институт экономики и права

[email protected]

Выходные данные статьи: Матвеев Р.И. Моделирование инвестирования в новые технологии в условиях неопределенности и конкуренции // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2010. - № 2 (22). - № гос. рег. статьи 0421000034/. - Режим доступа к журн.: http://uecs.mcnip.ru.

Введение

Необходимым условием использования достижений науки и техники в реальном секторе экономики является инновационная деятельность хозяйствующих субъектов. Решение важнейших социально-экономических задач невозможно без формирования отношений по поводу эффективного создания и использования продукта инновационной деятельности. Превращение инноваций в первостепенный способ повышения эффективности производства и конкурентоспособности продукции предполагает решение проблем реализации отношений интеллектуальной собственности в инновационной сфере, совершенствования государственного регулирования инновационных процессов и формирования рациональных механизмов стимулирования инновационной деятельности [1,2].

В работе построена непрерывная по времени модель инвестирования, в которой

фирма принимает решение о замене существующих производственных мощностей новыми, более эффективными и экономичными. Предполагается, что на товарном рынке имеются две конкурирующие идентичные фирмы, функционирующие в условиях неопределенности спроса и несовершенной конкуренции. Определены оптимальные стратегии фирм в замену существующих производственных мощностей новыми, вычислены ожидаемые моменты инвестирования и вероятности осуществления оптимального инвестирования в пределах заданных временных интервалов.

В условиях совершенной конкуренции или монополистической рыночной структуры современная теория инвестирования в условиях неопределенности предсказывает, что интервал времени до момента осуществления инвестирования увеличивается с ростом неопределенности. Это объясняется тем, что инвестирование необратимо, и фирма имеет возможность (опцион) откладывания момента инвестирования до появления новой информации. Однако, если (/) один и тот же инвестиционный проект могут осуществить две фирмы (несколько фирм) и (//) инвестиционные решения фирмы непосредственно влияют на прибыли конкурентов, могут возникнуть ситуации, когда увеличение неопределенности влияет на момент инвестирования противоположным образом.

Экономико-математическая модель

Для того, чтобы исследовать влияние стратегических взаимодействий между фирмами, функционирующими в условиях несовершенной конкуренции и неопределенности, предложена модель товарного рынка как дуополии Курно со стохастическим параметром спроса. Обратная линейная функция спроса имеет вид [3]

р{{)-А{];} б(0 где

А<?)

есть мера объема спроса, а ^ - полное количество

„ ^ е [о, оо]

товара, поставляемого на рынок. Для каждого момента времени 1 л ^ \ / представляет собой цену товара (услуги), предлагаемого фирмой, и может интерпретироваться как мгновенный денежный поток в расчете на единицу проданного товара. Прибыли фирм описываются геометрическим броуновским движением [4]

<ЗА{{) - аА{^й + ^

а - мгновенная тенденция (тренд стохастического винеровского процесса (1)), ^

где

- мгновенное среднее квадратическое отклонение (волатильность), приращение винеровского процесса.

Первоначальные постоянные предельные издержки производства единицы товара составляют К , а внедрение новой технологии снижает эти издержки до ^ . Для того, чтобы начать использовать новые производственные мощности, фирма ~ должна

понести

/

невозвратные затраты 1 . Мгновенные прибыли фирмы *, Я (соперничающая фирма обозначается ^ 1) определяются следующим образом

Верхний индекс

1(0)

в выражениях для Я' обозначает фирму, которая произвела замену (не произвела замену) существующих производственных мощностей (индекс ;Т

обозначает рассматриваемую фирму, а ^ - конкурирующую фирму). Из соотношений (2) нетрудно установить, что выполняется цепочка неравенств

.10

я ^я ^ я ^ я . Прибыль единственной фирмы, осуществившей замену производственных мощностей более эффективными, выше, чем прибыль фирм в ситуации, когда обе конкурирующие фирмы осуществили такую замену. В свою

л-11

.01

очередь прибыль Н превосходит прибыль идентичных фирм, осуществляющих свою

_оо

деятельность при прежней технологии, а прибыль л выше прибыли фирмы, не осуществившей замену производственных активов, в то время как вторая фирма провела такую замену.

Существуют три возможности осуществления фирмой ■> инвестирования

относительно решения конкурента (фирмы -■ ). Во-первых, фирма может инвестировать раньше фирмы и, тем самым, стать лидером. Напротив, фирма -1

может инвестировать раньше фирмы ! , и фирма ! становится последователем. Наконец, обе фирмы могут инвестировать одновременно. Доказано, что оптимальные инвестиционные пороги фирмы-последователя и одновременного инвестирования возрастают с ростом неопределенности.

Стандартным подходом, используемым для решения динамических игр, является метод обратной индукции по времени. Поэтому начнем с определения оптимальной стратегии фирмы-последователя. Далее будет проанализировано оптимальное инвестиционное решение фирмы-лидера. Затем будет обсужден случай, когда инвестирование осуществляется одновременно. Рассмотрим фирму, которая осуществляет замену существующих производственных мощностей второй (фирму-последователя). Поскольку другая фирма (фирма-лцдер) уже осуществила замену производственных мощностей, решение последователя о замене не испытывает воздействий стратегических взаимодействий (последователь выбирает свой оптимальный порог в условиях, когда роли фирм предопределены). Из (2) получаем, что после замены производственных активов лидером стоимость фирмы-последователя в момент ^ осуществления инвестирования фирмой-лидером равна

(3)

7J

где “ - оператор математического ожидания, 1 - случайное время остановки,

связанное с заменой производственных мощностей последователем. Первое слагаемое в выражении (3) представляет собой ожидаемый дисконтированный денежный поток,

получаемый до замены производственных мощностей, В момент 1 последователь осуществляет замену и с этого момента производит при более низких предельных

издержках к. Ожидаемый дисконтированный денежный поток после замены производственных мощностей описывается вторым слагаемым и в (3).

Рассмотрим оптимальную стратегию замены производственных мощностей фирмой-последователем. В задачах инвестирования рассматриваемого типа существует

пороговое значение стоимости опциона инвестирования -4, при котором фирма безразлична между инвестированием и отказом от инвестирования. Следовательно, стоимость фирмы максимизируется, когда замена производственных мощностей имеет

место, как только превосходит это пороговое значение. Записывая уравнение

Беллмана, соответствующее максимизации (3), решая полученное дифференциальное уравнение и применяя условия непрерывности и гладкого склеивания к решению, получаем оптимальное пороговое значение стоимости опциона инвестирования, соответствующее замене производственных мощностей

(4)

По аналогии с (4) для задачи последователя можно выразить стоимость фирмы-лидера в момент ее инвестирования следующим образом

(5)

Первая строка в выражениях (5) соответствует чистой приведенной стоимости прибылей лидера при условии, что последователь никогда не инвестирует в замену производственных мощностей. Вторая строка описывает текущее значение будущих прибылей, потерянных благодаря инвестированию фирмой-последователем. Это потеря связана с тем, что после того, как последователь осуществит инвестирование, он сможет производить дешевле, что делает его более сильным конкурентом для лидера. Последняя строка представляет собой чистую приведенную величину прибылей фирмы-лидера в ситуации, когда для фирмы-последователя оптимально инвестировать немедленно. Аналогично вычисляется оптимальное пороговое значение стоимости опциона инвестирования в ситуации, когда фирмы принимают решение об инвестировании в замену производственных мощностей одновременно. Свойства оптимальных инвестиционных стратегий

Согласно классической теории реальных опционов, по мере роста неопределенности спроса для фирмы оптимально отложить инвестирование до повышения уровня спроса. Однако в стратегической постановке фирма должна принимать во внимание также взаимодействия на товарном рынке, которые могут существенно снизить гибкость решения в выборе момента инвестирования. Исследовано влияние волатильности спроса на оптимальный порог инвестирования фирмой-последователем в замену производственных активов и оптимальный порог при одновременном инвестировании обеих фирм. В этих случаях оптимальное пороговое значение,

соответствующее инвестированию А , может быть выражено следующим образом

Анализ показывает, что в рассматриваемом случае инвестиционный порог возрастает с ростом неопределенности. Оптимальное пороговое значение, соответствующее

инвестированию ^ ^ , может быть выражено следующим образом

положительный корень уравнения

. Проверка показывает, что

так что оптимальные инвестиционные пороги фирмы-последователя и одновременного инвестирования возрастают с ростом неопределенности. В случае решений фирмы-последователя его конкурент уже произвел замену производственных мощностей. Поэтому последователю остается только выбирать оптимальный момент инвестирования. Поскольку фирма-лидер уже приняла решение, стратегические решения в этой ситуации роли не играют.

21 (у)

Выяснено влияние волатильности на оптимальный инвестиционный порог ' ' фирмы-лидера. Оптимальный порог инвестирования фирмы-лидера равен

шах

где к - наименыпии корень уравнения

— ^ ^ ^. Для выяснения влияние неопределенности рынка на

^ вычислим производную от функции ^ ^ по &, которая может быть представлена в следующем виде

(

д£(У) , д#у)дур

Щ дУ? сір{

эффект опциона ^ инвестирования

стратегический эффект J

5Д

зр)

(6)

(у - оптимальное пороговое значение у , соответствующее фирме-последователю).

Производная

в&у) Щ др. д<Ґ

рынка на

((у)

непосредственно измеряет влияние неопределенности

т.е. на чистую выгоду фирмы от пребывания в роли лидера.

з$(у) с1Уу ад

Произведение

ВУ' 5(?)

отражает влияние на чистый выигрыш фирмы от пребывания в роли лидера того факта, что оптимальный инвестиционный порог последователя растет с ростом неопределенности. Доказано, что имеют место неравенства

з?(у) ,0 Мр^_ЗД^>о

На первый взгляд, совместное влияние обоих эффектов неоднозначно. Первое неравенство (7) представляет простой смысл аргумента ожидания: если

неопределенность велика, предпочтительнее ждать появления новой информации до замены существующих производственных мощностей. Следствием более позднего инвестирования фирмой-последователем для фирмы-лидера является то, что лидер имеет ценовое преимущество в течение большего интервала времени. Это делает более раннее инвестирование лидером потенциально более выгодным. Этот эффект описывается вторым неравенством (7), левая часть которого поэтому может интерпретироваться как приращение в стратегической стоимости стать лидером, обусловленное откладыванием фирмой - последователем реализации стратегии замены производственных мощностей. Анализ показал, что прямой эффект, описываемый первым неравенством (7), доминирует, независимо от значений входных параметров. Доказано, что с ростом неопределенности на товарном рынке барьерное значение спроса, при котором фирма-лидер осуществляет инвестирование в замену производственных мощностей, также возрастает. Из этого утверждения можно заключить, что качественная зависимость порога инвестирования лидера от волатильности подобна зависимости инвестиционного порога от волатильности в нестратегической постановке, т.е. порог инвестирования возрастает с ростом неопределенности (т.е. с ростом волатильности). Причина этого результата состоит в следующем. Во-первых, в построенной модели учитывается возможность откладывания инвестирования в замену производственных мощностей. Увеличение неопределенности повышает прибыльность замены производственных мощностей лидером (поскольку последователь производит такую замену позже), однако стоимость опциона инвестирования повышается еще больше. Во-вторых, неопределенность могла бы быть выгодной для более ранней замены производственных мощностей в силу выпуклости функции чистой прибыли. Однако в рассматриваемой

модели функция чистой прибыли всегда линейна по стохастической переменной -А.

00

Если лидер инвестирует, поток прибыли 71 заменяется потоком прибыли из

выражений (3) и (4) очевидно, что разность ^ ~линейна. То же самое

справедливо для инвестирования последователя (разность ~ ^ линейна) и

одновременного инвестирования (разность я ~ ^ линейна). Для выяснения вопроса о том, может ли выпуклость функции чистой прибыли влиять на получаемые решения, в диссертации рассмотрена ситуация, когда обе фирмы имеют возможность начать производство на новом рынке фирмы (в отличие от ситуации, рассмотренной ранее, в этом случае фирмы сначала не активны, и могут начать получать прибыли

только после несения невозвратных издержек 1 ). Доказано, что и в этом случае неопределенность повышает пороговые значения рыночного спроса, при котором для фирм оптимально инвестировать. Кроме того, результирующая выпуклость функций выигрыша не только повышает инвестиционные пороги фирм, но также приводит к

возникновению областей параметров, в которых инвестирование не оптимально. Проанализировано влияние неопределенности и стратегических взаимодействий фирм на оптимальный момент инвестирования. Хотя пороговое значение инвестирования имомент инвестирования взаимосвязаны, в общем случае нельзя заключить, что зависимость между этими характеристиками монотонна. Установлено, что ожидаемое время инвестирования фирмы в замену производственных мощностей растет с ростом неопределенности благодаря двум эффектам:

дЕ

д1

и, і л-п1 і т

к> О

2

(8)

Во-первых, для любого данного инвестиционного порога связанное с ним ожидаемое время до момента оптимальной остановки (оптимального момента инвестирования) возрастает с ростом неопределенности (см. первую составляющую правой части в выражении (8)). Во-вторых, для фиксированного уровня неопределенности увеличение оптимального инвестиционного порога приводит к увеличению ожидаемого времени для достижения этого порога (см. вторую составляющую в правой части выражения (8)). Основываясь на анализе неравенства (8), можно заключить, что, когда инвестиционный порог увеличивается благодаря большей неопределенности, ожидаемое время до момента оптимального инвестирования также увеличивается.

Альтернативный подход для измерения влияния неопределенности на оптимальный момент инвестирования состоит в установлении вероятности, с которой оптимальный инвестиционный порог достигается в пределах временного интервала заданной длины ^. В противоположность ожидаемому моменту оптимальной остановки этот подход не накладывает никаких ограничений на значения &. Знание вероятности оптимальной замены производственных активов в пределах заданного интервала особенно полезно, если этот интервал совпадает с бюджетным периодом. Кумулятивную функцию распределения времени остановки можно записать следующим образом

(

Р(Т<т) = Ф

, л* Г 1 2^

— 1п— + а — о-" т

А 1 2

Л (

2 а ,

гА*хг'

гЛ/г

Ф

і ^ ( 1 2^

- 1іі а — ег~ т

А ^ 2

Гл/г

)

(9)

где 1 - время достижения оптимального порога инвестирования, а - стандартная

дР(Т<т)

функция нормального распределения Лапласа. Производная не ИМеет

постоянного знака, и поэтому можно показать, что неопределенность может оказывать как положительное, так и отрицательное влияние на вероятность достижения оптимального порога инвестирования в пределах заданного времени.

Вначале проиллюстрируем соотношение между моментом оптимальной остановки, волатильностью спроса и соответствующими вероятностями для оптимального инвестиционного порога фирмы-последователя, поскольку этот порог не испытывает влияния стратегических взаимодействий. Далее представим результаты численных расчетов оптимального инвестиционного порога фирмы-лидера.

Из рис. 1 можно заключить, что форма соотношения между неопределенностью и вероятностью достижения оптимального инвестиционного порога зависит от длины заданного временного интервала. Для достаточно больших временных интервалов вероятность достижения оптимального инвестиционного порога убывает с ростом волатильности. С интуитивной точки зрения этот результат может быть объяснен тем, что плотность распределения вероятностей моментов оптимальной остановки сдвигается вправо (см. (9)), и большие времена достижения уровня спроса, соответствующего оптимальному инвестированию, становятся более вероятными. Кроме того, барьерное значение уровня спроса само возрастает с ростом неопределенности &.

При низких значениях ^ вероятность достижения оптимального инвестиционного

порога сначала возрастает, а затем убывает. При ^ = О вероятность достижения инвестиционного порога в определенном интервале времени равна нулю, когда оптимальный момент инвестирования лежит вне этого интервала. Увеличение & приводит к разбросу значений плотности

Р(Т< г)

0.8 0.6 0.4 0.2

и 0,1 0,2 0,3 0,4 с

Рис. 1. Кумулятивная вероятность достижения оптимального порога инвестирования ф ирмы-последователя

как функция неопределенности спроса; Л. = 4 ? — 0,05 СГ — 0,015 К— Ъ ^

к — 0 и I — 60 Сплошная кривая - ^ ~ 20 пунктир - Г —10 штрих-пунктир -

Рис. 2. Кумулятивная вероятность достижения оптимального порога инвестирования

л л « . Л Л С

фирмы-последователя как функция инвестиционного горизонта; ^4 = 4 ■ — ,

а = 0,015 сг = 0,2

штрих-пунктир -

г

11

<7 = 0,1

= 60

Сплошная кривая -

<7 = 0,3

пунктир

Таблица 1. Кумулятивная вероятность (в процентах) достижения оптимального порога инвестирования фирмы-лидера как функция неопределенности спроса для следующего набора параметров:

Л = 2; г = 0,05; а = 0,015; £ = 0; К = 3; / = 60

О Г = 1 г = 2 г = 5 г = 10 г = 15 г = 20

0,05 0,06 2,39 24,11 54,32 71,17 80,97

0,10 0,61 5,93 26,79 47,94 59,70 67,24

0,20 0,62 5,14 21,00 36,47 45,10 50,72

0,30 0,46 3,97 16,50 28,66 35,31 39,55

0,40 0,39 3,30 13,57 23,22 28,29 32,39

0,50 0,36 2,93 11,55 19,23 23,02 25,21

на временной оси, в то время как обратное верно для точки, расположенной справа. Это влияет на форму кумулятивной функции плотности распределения вероятности, наклон которой снижается с ростом неопределенности.

Зависимость между неопределенностью, временем остановки и вероятностями достижения инвестиционного порога лидера иллюстрируется табл. 1. Соотношение между вероятностью инвестирования фирмой-лидером и неопределенностью аналогично соответствующему соотношению для фирмы-последователя. Вероятность того, что фирма-лидер оптимально заменяет свои производственные мощности в пределах заданного временного горизонта, сокращается с ростом неопределенности,

если длина этого временного интервала достаточно велика. В ситуации, когда соответствующий интервал достаточно мал, имеют место два противоположных эффекта. С одной стороны, вероятность инвестирования возрастает, поскольку более высокая волатильность увеличивает вероятность более раннего достижения конкретного инвестиционного порога. С другой стороны, эта вероятность в дальнейшем снижается с ростом неопределенности, поскольку тогда влияние сдвига

вправо вероятностной массы начинает доминировать. Определим & А 5

а ^ 0 как точку на временной оси, в которой инвестиционный порог А достигается в детерминированном случае. В диссертации доказано утверждение, которое определяет длины временных горизонтов, разделяющих монотонное и немонотонное

соотношение между неопределенностью и вероятностью инвестирования. При Г < Г

вероятность достижения инвестиционного порога А до момента * возрастает с ростом неопределенности при относительно низком уровне неопределенности и убывает при достаточно высоком уровне неопределенности, в то время как при

^ ^ ^ вероятность достижения оптимального инвестиционного порога до момента ^ всегда убывает с ростом неопределенности. В табл. 1 параметры выбраны таким образом, что оптимальный момент инвестирования в замену производственных

г* = 9,36

мощностей в детерминированном случае равен — ’ . Поэтому соотношение

между инвестированием и неопределенностью в столбцах 2-4 немонотонно, в то время как оно монотонно (отрицательно) в столбцах 5-7.

Заключение

Итак, в работе построена непрерывная по времени модель инвестирования, в которой фирма принимает решение о замене существующих производственных мощностей новыми, более эффективными и экономичными. Для того, чтобы исследовать влияние стратегических взаимодействий между фирмами, функционирующими в условиях несовершенной конкуренции и неопределенности, предложена модель товарного рынка как дуополии Курно со стохастическим параметром спроса. Такая формулировка приводит к тому, что платежные функции являются выпуклыми по стохастическому параметру спроса.

Определены типы равновесия игры двух фирм, сформулированной в рамках теории реальных опционов. Показано, что для фирм оптимально заменять свои производственные возможности последовательно, когда связанные с этим издержки относительно низки, и одновременно в противном случае. Кроме того, выяснено, что прямое воздействие неопределенности (относящееся к опциону инвестирования) на инвестиционный порог фирмы-лидера всегда превосходит неявное воздействие (стратегический опцион), являющееся результатом откладывания фирмой-последователем своего инвестиционного решения. Следовательно, независимо от типа равновесия, рост неопределенности всегда приводит к увеличению уровня спроса, соответствующего оптимальному инвестированию в замену производственных активов. Анализ показывает, что ожидаемый интервал времени до момента оптимального инвестирования растет с ростом неопределенности. Этот результат находится в согласии с распространенным мнением о том, что неопределенность способствует откладыванию внедрения новой технологии, даже в присутствие стратегических взаимодействий. Определена вероятность инвестирования в замену

производственных активов в пределах определенного временного интервала. В этом случае момент времени, который соответствует оптимальному инвестированию в замену производственных активов в детерминированном случае, играет важнейшую роль. Для интервала времени, который содержит эту точку на временной оси, вероятность оптимального инвестирования в замену производственных активов в пределах данного интервала времени убывает с ростом неопределенности. Однако, если этот временной интервал настолько мал, что оптимальный момент замены производственных активов в детерминированном случае лежит вне этого интервала, тогда вероятность инвестирования возрастает с ростом неопределенности, когда уровень неопределенности низок, и снижается в противоположном случае.

Библиографический список

1. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. - Princeton: Princeton University Press, 1996.

2. Аркин В.И., Сластников А.Д., Аркина С.В. Инвестирование в условиях неопределенности и задачи оптимальной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, выпуск 1. - С. 3-33.

3. Бычкова М.М., Матвеев Р.И. Оптимизация инновационно-инвестиционных стрпатегий фирмы в условиях конкуренции // Современные научные исследования. - 2005, № 2.

4. Наталуха И.Г. Стратегии оптимального хеджирования инфляционного риска в стохастических инвестиционных условиях // Финансы и кредит. - 2006. - № 9 (213).

№ гос. рег. статьи 0421000034/

Это статья Управление экономическими системами: электронный научный журнал

http ://uecs.mcnip.ru

URL этой статьи: http://uecs.mcnip.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=176