CC BY
17
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ДАННЫХ
УДК 539.3
DOI: 10.18101/2304-5728-2018-2-77-84
МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКИХ ОТСЛОЕНИЙ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ1
© Бохоева Любовь Александровна
доктор технических наук, профессор кафедры «Сопротивление материалов», Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 670033, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В E-mail: bohoeva@yandex.ru
О Бочектуева Елена Баторовна
кандидат технических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов», Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 670033, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В E-mail: bochektueva.e@yandex.ru
В настоящее время широко применяются элементы конструкций, выполненные из слоистых композиционных материалов, особенно в авиационной промышленности. Для композитных материалов (КМ) характерны высокие значения жесткости и прочности, они легко обрабатываются и эксплуатируются в широком диапазоне температур, что делает их материалами почти безграничных возможностей. Использование многослойных КМ требует учета анизотропии механических характеристик и возможности присутствия скрытых дефектов по поверхностям раздела отдельных слоев. Отслоение является распространенным видом дефекта, и достаточно часто это становится определяющим фактором возможности использования КМ. В данной работе впервые решена задача устойчивости тонких отслоений, расположенных вблизи внутренней поверхности сжатой сферической оболочки, изготовленной из слоистых композиционных материалов. В данной работе представлен энергетический метод решения устойчивости тонких отслоений, расположенных вблизи внутренней поверхности. Проведено компьютерное моделирование многослойной оболочки в системе ANSYS и расчет закритических деформаций сферической оболочки в зоне отслоения.
Ключевые слова: межслойные дефекты; отслоение; энергетический метод; композиционные материалы; критерии; тонкостенные элементы конструкций; модель; метод конечных элементов.
Введение
Главной особенностью авиационной промышленности является обеспечение надежности конструкций, а использование слоистых композиционных материалов — одно из его приоритетных направлений. Композиционные материалы обладают высокой жесткостью и прочностью, но
1 Работа выполнена при поддержке госзадания Минобрнауки РФ, проект №9.7667.2017/БЧ, проект № 9.11221.2018/11.12
77
восприимчивы к отслоениям — дефектам, являющимся главными факторами при решении вопроса о дальнейшем использовании конструкции. Процесс отслоения характеризуется локальной потерей устойчивости и выпучиванием отслоившегося слоя. Результаты исследований поведения тонкостенных конструкций из слоистых КМ изложены в работах В. В. Болотина, И. И. Бугакова, А. Н. Воронцова, Г. X. Мурзаханова, в работах зарубежных авторов — Г. Чея, Ч. Д. Бэбкока, В. Боттего, А. Мавела. В них для случая локальной потери устойчивости дефекта определяется критическая нагрузка. Показано, что величина критической нагрузки может служить мерой несущей способности конструкций с расслоениями. В данных работах авторы использовали одномерную модель расслоения, рассматривали влияние вязкости материала на условия начала расслоения в слоистых композитах под действием сжимающей нагрузки, осесим-метричного выпучивания и роста расслоения в слоистом композите в виде пластины [1-5]. Зарубежные исследователи Г. Чей, Ч. Д. Бэбкок разработали двумерные изотропные модели для оценки устойчивости при сжатии. Приближенное решение при больших, но конечных отклонениях отслоившейся части, нагруженной в ее плоскости, получено методом Релея-Ритца. Однако использование многослойных КМ требует учета влияния анизотропии механических характеристик и учета наличия скрытых дефектов [6]. При обнаружении подобных дефектов в изделии требуется принять решение о возможности его эксплуатации. Принятие таких решений весьма ответственно, поэтому разработка методов оценки устойчивости сферических оболочек полезна и актуальна. Использование современной системы ускоряет процессы проектирования и исследования конструкций из КМ, дает возможность задавать механические характеристики анизотропных КМ, изменять конструкцию, избегая дорогостоящих натурных испытаний.
В данной работе метод оценки поведения отслоений в сферической оболочке из слоистых КМ конструируется как задачи расчета и моделирования устойчивости отслоений сферической оболочки и определения критической нагрузки на основе энергетического подхода. Предлагаемый метод состоит в решении конструируемых задач об оболочке.
1. Постановка задачи
На некотором удалении от края и других зон возмущения в оболочке возникает безмоментное напряженное состояние для замкнутых сферических оболочек толщиной Н и радиусом Я, подверженных внешнему равномерному давлению q с единственным отслоением толщиной к . По
форме зона дефекта представляет собой сферический сегмент с центральным углом 20. Угол отсчитывается от середины дефектного участка. Поскольку для дефектного слоя выполняются соотношение « 1, то при
нагружении оболочки внешним давлением этот слой первым теряет устойчивость. Будем трактовать отслоившийся участок как пологую тонкую
сферическую панель, жестко защемленную по контуру (рис. 1), пренебрегая при этом влиянием деформации отслоившиеся части на деформацию основной части оболочки.
Рис. 1
Рассматриваем симметричную форму выпучивания пологой сферической панели. Переход отслоившейся части изначального невозмущенного состояния в новое состояние задаем перемещениями точек со срединной поверхности
и =и0 +г\их +г]2и2;
м? = м?0 + Г]М?1 + Г]2М72.
При дальнейших расчетах функция м?2(г) не войдет в выражения для потенциальной энергии, поэтому достаточно принять, что
м? = м?0 + 77 м^.
Функции перемещения зависят только от г. В новом состоянии компоненты деформации выразим через перемещение.
Для сферической панели, жестко защемленной по контуру, выполняются следующие граничные условия
Л ^ А
и7 = 0; — = 0 при г = с, Ф
где с — радиус кругового отслоения.
Предположим, что по краю дефекта отсутствуют радиальные перемещения, тогда второе граничное условие будет и — 0, при г — с.
Аппроксимирующую функцию для прогиба, которая удовлетворяет граничным условиям, возьмем в виде
( Г2Л2
при Г - С .
Определим радиальные перемещения м1 (г) и и2 (г), решив следующую вспомогательную задачу. Для нахождения перемещения в первом приближении м1 (г) найдем функцию усилий <р], связанную с прогибом (г)
Е i?
1 d f „
где V =--г—
или
dq\
(
и5 Л
, с ,
V /
г 1 + Q- + C,-. 2 г
г dr\ dr J dr 6Rc
В центре отслоения при г —> 0 радиальные напряжения ограничены по
величине <7г = 0 . В осесимметричном случае <7r = Отсюда следует
г dr
du\ п п
граничное условие —L = 0 при г = 0, согласно которому
dr
с2 = 0, Cj = -
2E(2-/i)
2 4
Г ,, ч Г
Используя С1, определяем радиальное перемещение в первом приближении точек срединной поверхности
г
и, =— 2Я
где ¡л — коэффициент Пуассона дефекта.
Радиальное перемещение во втором приближении и2(г), удовлетворяющее всем необходимым граничным условиям задачи, будет 1
6 R
2. Энергетический метод
Находим изменение полной потенциальной энергии сферической панели при переходе от начального состояния к смежному возмущающему состоянию:
АЭ = Э -Э0= II+ У -И , где 17 = и2 +173 + иА — потенциальная энергия срединной поверхности (для исследования устойчивости в критической точке и анализа закрити-ческого поведения сферической панели рассмотрены члены более высокого порядка малости);
32
V = —лИт]2 / с2 — потенциальная энергия изгиба,
П =
2 С 11 71 -
InRq 2
-П :
2 • ^ dr ) 3
где // — параметр, зависящий от уровня нагрузки сферической панели.
Введем безразмерные величины
3 АЭЯ _ дЯ2 _ г, _ с - Я
АЭ =-—, д = , ц = — , с = —, Я = —
2ЕИ ж Ей И Я И
и получим следующее выражение для АЭ :
_ п2с2Я(2,М-2,М¡и + 0,72/г) А Э =---;-- +
^с[1,64 + 1,01,и + 0,17/г+ (1 + ;и)(0,66-0,33;и)]
+ Г?
П3 [1,64 - 0,76/1 + (1 + ¡и) (1,13 - 0,08/^)]
Г7 +
ПЛ0,П 2гс2ЯМ(2-М)2 1,33 п2
с2Я П 1 з(1-/г) с2д(1-/г)'
Будем считать варьируемым параметр г/ , который характеризует стрелу прогиба отслоения в центре. Из условия стационарности полной потенциальной энергии найдем значение критической нагрузки. Кривые на рис. 2 отражают зависимость безразмерного параметра нагрузки д от размеров дефектного участка.
Рис. 2
3. Компьютерное моделирование оболочки в ПК ANSYS
Моделирование сферической оболочки с дефектом проведено в системе АШУЗ (рис. 3).
Рис. 3
Для определения критической нагрузки и исследования закритическо-го деформирования используется постпроцессор, который выделяет необходимые узловые перемещения или напряжения в элементе [7]. В ПК ANSYS возможно моделирование склеивания слоев. Интерполирующие функции склеенных слоев определяются из решений континуальных задач с напряженным состоянием окрестности вершины трещины. Данные элементы раскрываются при расслоении и разрываются с достижением максимальных напряжений.
Заключение
В результате выполнения работы получены следующие результаты:
1. В ПК ANSYS построены модели тонкостенных сферических оболочек из слоистых КМ с отслоениями. Решена задача роста дефектов типа отслоения.
2. В процессе моделирования заданы анизотропные свойства КМ в отличие от классического подхода, представляющего среду сплошной, однородной и изотропной.
3. Сформулированы основные положения энергетического метода, применяемые для характеристик роста отслоений в тонкостенных оболочках.
Разработанный метод определения устойчивости отслоений сферической оболочки может быть использован инженерами-конструкторами для прочностных расчетов элементов конструкций из КМ, а также для оценки размеров дефектов в целях дальнейшего использования элементов конструкции.
Для полного аналитического исследования закритического поведения и нахождения нижней критической нагрузки следует обратиться к нелинейной теории.
Литература
1. Болотин В. В. Разрушение композиционных материалов по типу отслоений // Расчеты на прочность. 1986. Вып. 27. С. 8-20.
2. Бугаков И. И. Работа разрушения слоистых стеклопластиков по поверхности раздела // Проблемы прочности. 1978. № 4. С. 4-8.
3. Воронцов А. Н., Мурзаханов Г. X., Щугорев В. Н. Разрушение конструкций из композитных материалов по типу расслоений // Механика композитных материалов. 1989. №6. С. 1007-1023.
4. Chai Н., Babcock С. D. Two - dimensional modeling of compressive failure in delaminated laminates // Inter. Journal of Composite materials. 1985. Vol. 19, No.l. Pp. 67-91.
5. Bottega W. J., Maewal A. Delamination buckling and growth in lamination // Journal Applied Mechanics. 1983. Vol. 50, No. 1. Pp. 184-189.
6. Бохоева Л. А. Особенности расчета на прочность элементов конструкций из изотропных и композиционных материалов с допустимыми дефектами. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2007. 192 с.
7. Бочектуева Е. Б., Бохоева Л. А. Математическое моделирование формирования структуры при термообработке в элементах конструкций // Вестник Бурятского государственного университета. Химия. Физика. 2016. № 4. С. 52-56.
MODELING AND CALCULATION OF THE STABILITY OF THIN LAYERS IN A SPHERICAL SHELL
Lyubov A. Bokhoeva
Dr. Sci. (Engineering), Prof.,
East-Siberian State University of Technology and Management 40v Klyuchevskaya St., Ulan-Ude 670033, Russia E-mail: bohoeva@yandex.ru
Elena B. Bochektueva
Cand. Sci. (Engineering), A/Prof.,
East-Siberian State University of Technology and Management 40v Klyuchevskaya St., Ulan-Ude 670033, Russia E-mail: bochektueva.e@yandex.ru
At present, structural elements made of layered composite materials are widely used, especially in aircraft industry. Composite materials (CM) are characterized by high values of rigidity and strength, they are easily processed and operated in a wide range of temperatures, these makes them materials with almost limitless possibilities. The use of multilayer CM requires taking into account the anisotropy of mechanical characteristics and the possibility that hidden defects may exist on the interfaces of individual layers. Layer separation is a widespread type of defect, and quite often it becomes a determining factor in the possibility of using CM. The article first solves the problem of stability of thin layers located near the inner surface
of a compressed spherical shell made of layered composite materials. We have presented the energy method for solving the stability of thin layers located near the internal surface, and carried out a computer simulation of the multi-layer shell in ANSYS system and calculation of the supercritical deformations of a spherical shell in layer separation zone.
Keywords: interlayer defects; detachment; energy method; composite materials; criteria; thin-walled elements of structures; model; finite elements method.
References
1. Bolotin V. V. Razrushenie kompozitsionnykh materialov po tipu otsloenii [Destruction of Composite Materials in the Form of Layers]. Raschety na prochnost' — Calculations for Strength. 1986. V. 27. Pp. 8-20.
2. Bugakov I. I. Rabota razrusheniya sloistykh stekloplastikov po poverkhnosti razdela [Work of Destruction of Laminated Fiberglass over the Interface]. Problemy prochnosti —Problems of Strength. 1978. No. 4. Pp. 4-8.
3. Vorontsov A. N., Murzakhanov G. Kh., Shchugorev V. N. Razrushenie kon-struktsii iz kompozitnykh materialov po tipu rassloenii [Destruction of Structures of Composite Materials in the Form of Layering], Mekhanika kompozitnykh materialov — Mechanics of Composite Materials. 1989. No. 6. Pp. 1007-1023.
4. Chai H., Babcock C. D. Two-Dimensional Modeling of Compressive Failure in Delaminated Laminates. Inter. Journal of Composite Materials. 1985. V. 19, No. 1. Pp. 67-91.
5. Bottega W. J., Maewal A. Delamination Buckling and Growth in Lamination.
Journal Applied Mechanics. 1983. V. 50. No. 1. Pp. 184-189.
6. Bokhoeva L. A. Osobennosti rascheta na prochnost' elementov konstruktsii iz izotropnykh i kompozitsionnykh materialov s dopustimymi defektami [Peculiarities of Calculating the Strength of Structural Elements of Isotropic and Composite Materials with Permissible Defects]. Ulan-Ude: East-Siberian State Technical University Publ., 2007. 192 p.
7. Bochektueva E. B., Bokhoeva L. A. Matematicheskoe modelirovanie formiro-vaniya struktury pri termoobrabotke v elementakh konstruktsii [Mathematical Modeling of Structure Formation during Heat Treatment in Elements of Construction], Vest-nik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Khimiya. Fizika — Bulletin of Buryat State University. Chemistry. Physics. 2016. No. 4. Pp. 52-56.
