CC BY
18
УДК 539.3 Бохоева Любовь Александровна,
д. т. н., профессор, зав. кафедрой «Сопротивление материалов», Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, тел. 8(3012)216165, 89644002615, e-mail: bohoeva@yandex.ru
Рогов Виталий Евдокимович, д. т. н., старший научный сотрудник, Байкальский институт природопользования Сибирского отделения Российской академии наук, тел. 8 (3012) 43-41-15, тел. сот. 89024585030, e-mail: rogov54v@mail.ru
Чермошенцева Анна Сергеевна, аспирант, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
тел. 89644002613
УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГЛЫХ ДЕФЕКТОВ ТИПА ОТСЛОЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
L. A. Bokhoeva, V E. Rogov, A S. Chermoshenseva
STABILITY OF CIRCULAR DEFECTS SUCH AS DELAMINATION IN STRUCTURAL ELEMENTS WITH REGARD TRANSVERSE SHEAR
Аннотация. Статья посвящена некоторым аспектам деформирования пластин из слоистых изотропных и композиционных материалов с дефектами. Решена задача устойчивости пластины с дефектом типа «отслоение» с учетом влияния эффектов поперечного сдвига как на величину критической нагрузки, так и на характеристики закритического поведения.
Ключевые слова: межслойные дефекты, слоистые материалы, устойчивость, критическая нагрузка, эффекты поперечного сдвига.
Abstract. The article is devoted to some aspects of defected layered isotropic and composite materials plate deformation. The problem of a plate defected with peeling stability taking into account transverse shear effect on the critical load value as well as on the supercritical behavior characteristics is solved.
Keywords: interlayer defects, laminates, stability, critical load, transverse shear effects.
Для упругих конструкционных материалов величина деформаций сдвига пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Поэтому для элементов конструкций из изотропных материалов учет деформаций сдвига при определении критических нагрузок не имеет практического значения. Учет влияния деформаций сдвига приобретает решающее значение при анализе слоистых композитов [1, 2, 3]. Классическая теория Кирхгофа, в которой пренебрегается деформациями сдвига, широко используется при расчете тонких изотропных пластин. Однако применение этой теории при исследовании поведения слоистых композитов привело бы к существенным погрешностям, в частности к недооценке прогибов. Задача учета деформаций сдвига при анализе слоистых пластин была освещена в работах Д. Кардоматиса, Г. Чаи, Ч. Бэбко-ка. На основе данных опубликованных работ можно выделить два типа теорий учета деформаций сдвига в пластинах - теории первого и высшего порядков. Теория первого порядка позволяет достаточно хорошо описать глобальное поведение пластины, т. е. определить прогибы, собственные частоты и критические нагрузки. Здесь дифференциальные уравнения получаются с помощью принципа потенциальной энергии. Однако для исследования распределения напряжений по толщине пластины в областях разрыва непрерывности, например на границах, требуется более сложная теория. Хотя применение теории высшего по-
рядка и приводит к более точным результатам, однако высокая стоимость расчетов и большое количество переменных делают ее практически непригодной. В данной работе рассмотрен вариант уточнённой линейной теории [4, 5, 6, 7, 8].
В данной работе решены задачи влияния эффектов поперечного сдвига как на величину критической нагрузки, так и на характеристики закритического поведения элементов конструкций из слоистых материалов при наличии дефектов типа отслоений. Объектом исследования являются тонкостенные элементы конструкций, такие как пластины. Элементы конструкций имеют локализованные области межслоевых дефектов в виде круглого отслоения. Определим критическую нагрузку для локального выпучивания. Рассмотрим пластину толщиной H с отслоением, нагруженную сжимающими деформациями ео по торцам (рис. 1). Исследуем круглое отслоение с радиусом R и толщиной h. Центр ее совпадает с началом координат oxy. Будем рассматривать отслоение как тонкую осесимметричную пластину, защемленную по контуру и подверженную равномерно распределенной нагрузке с интенсивностью ЕЬг о
q =-, соответствующей основой нагрузке
1 "^12 элемента конструкции.
V =
+ Vт)2 - 2(1 - /Кд;/г]тйт +
о
к
+ я| в(^у- м')2 тйт,
где О - изгибная жесткость отслоения, В - сдвиговая поперечная жесткость:
ЕЬ3
В =-—-, В = Ь12Ь.
12(1 /¡2 / 21) Будем считать, что срединная поверхность отслоившейся части является нерастяжимой. Изменение полной потенциальной энергии дефекта определяется выражением
ЛЭ = V - 2яГ 1 (^2 тйт .
0 2 I йт )
При построении приближенного решения примем
О т = ¥(т) ; М = С¥(т), где ¥(т) - функция, удовлетворяющая граничным условиям задачи; с - параметр, характеризующий величину поперечного сдвига. Из условия ЛЭ = 0 следует
Рис. 1. Пластина с круглым по форме межслойным дефектом
Положение каждого сечения деформированной пластины определяется двумя независимыми величинами: поперечным перемещением м = ^(т) и углом поворота &г=-&г(т). В классической теории пластин используется допущение о том, что материальный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается прямолинейным и перпендикулярным к ней и после деформации. Воспользуемся одним из простейших вариантов уточненной линейной теории, которая предполагает, что материальный элемент пластины, до деформации перпендикулярный к срединной плоскости, после изгибания пластины остается прямолинейным, но углы поворота этого элемента непосредственно не связаны с углами поворота нормали к срединной поверхности [5].
Компоненты деформаций слоя, расположенного на расстоянии 2 от срединной поверхности, равны
8т ; ее = -г§т/т; вг = 0;
Уху = 0 ; Уп =От - м'; Уег = 0 , где м' - угол поворота нормали к срединной поверхности отслоения. Тогда энергия деформации изгиба имеет вид
к Г"
д = (я*В + )2 - 2(1 -/)¥'¥/
0
к к
+(с -1)2 2тйт) / (с22тйт).
тйт
(1)
Возьмём ¥ = о0 , где о0 - функция, соответствующая решению задачи без учета поперечного сдвига [4, 7, 8], тогда выражение (1) имеет вид
д =
д:р + В(с -1)2
(2)
где д^ - критическое значение нагрузки, наиденное без учета поперечных сдвигов [4, 7]
к I '
0■! (о-)
+ А7 т
■2(1 -/и)($) О°/т}тйт
дКР =■
} (О0 )2 тйт
д* = 16-„2.
В к2
Минимизируя выражение (2) по параметру С находим
Ср = 1 + я1/в,
дКр =
дк
(3)
1+дЦ в
Критическая нагрузка с учётом поперечного сдвига при локальной потере устойчивости несколько меньше эйлеровой критической нагрузки. Учет эффектов поперечного сдвига приводит к уменьшению критической нагрузки. В частности, для
^ Е
изотропного материала при Ь =- следует
2(1 + и)
,0
дхр
д 1 + [2дI (1 + и)/ЕГ
т. е. эффект поперечного сдвига не оказывает существенного влияния на точность расчетов для тонкого слоя. По сравнению с исследованием изотропных пластин при исследованиях анизотроп-
2
с
О
о
О
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ных учет влияния сдвиговых деформаций приобретает решающее значение.
С учетом поперечного сдвига деформации отслоившейся части при потере устойчивости описываются функциями
&г (Г М° (г),
+ Я°р/в\&0 (г).
Я°
ЕН
+ц
В)2 14 К2 (!
(ЯП В )2 В
В )2
-ц- я = 0.
(1 + яЦ В )2
Введем безразмерные величины
— . — Е — Н — ц
, = фч,, Е=е , Н=; ц=-
Из (3) видно, что учет поперечных сдвигов в отслоившейся части дает поправку порядка яКр/в по сравнению с единицей. Определяя значение ЯК,, оценим эту поправку
Якр^ В
14,68ЕН3 1 Е Н
12 (1 -/и) ЕН G Я2'
Я0 —2 с = 1 + ^ = 1 + Е}1 . В
В табл. 1 приведены значения поправки порядка Я0, /В для различных материалов и разных толщинах дефекта типа отслоения Н = Н / Н. В табл. 2 даны значения постоянных значений для материалов. Учитывая ц Ф 0, приходим к зависимости
Ц = ,
56(1 + ЕН2) - 4 - 3ЕН2(1 -и2)
9(1 -^2) * 4(1 + ЕН2)2 ]
На рис. 2 приведены результаты исследования закритического поведения дефекта типа отслоение из анизотропных материалов.
Т а б л и ц а 1
Рассмотрим простейший случай анизотропии упругих свойств материала отслоившейся части пластин: все плоскости, параллельные срединной плоскости пластины, являются плоскостями
изотропии. Считаем |ст2\ |, |сте|. Исследуем
нелинейное поведение круглого отслоения в слоистой анизотропной пластине.
Изменение полной потенциальной энергии имеет вид
ДЭ = и2 + V + п2+ Т + и. Учет поперечных сдвигов не влияет на формулы для подсчета квадратичных деформаций срединной поверхности (и4). T - потенциальная энергия деформации сдвига. Из условия стационарности полной потенциальной энергии следует [8]
Материал Поправка порядка Я 0 / В
Н = 0,01 Н = 0,02 Н = 0,03
Графитопластик 0,0067 0,027 0,0604
Пластик, подкрепленный кевларом 0,0028 0,0112 0,0252
Графитоэпоксид 0,00205 0,0082 0,0184
Стеклопластик 0,0006 0,0025 0,0055
Т а б л и ц а 2
Материал Е1 Е2 G\2 ^12
Графитопластик 215 6,5 3,2 0,26
Пластик, подкрепленный кевларом 70 4,5 2,5 0,35
Стеклопластик 53 14 8,6 0,26
2т
4-
1
Рис. 2. Кривая 1 - изотропный материал, кривая 2 - пластик, подкрепленный кевларом, кривая 3 - графитопластик
Численные примеры получены для графитопла-стика (кривая 3); пластика, подкрепленного кевларом (кривая 2); изотропного материала (кривая 1). Анализ результатов расчета круглой пластины позволяет сделать следующий вывод. Учет сдвиговых деформаций при исследовании закритического поведения отслоений для изотропных материалов не имеет практического значения, но имеет смысл при чрезвычайно сильной анизотропии упругих свойств материала. Влияние эффектов поперечного сдвига приводит к уменьшению величины критической нагрузки и характеристик закритического поведения дефекта.
4.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
Бохоева Л.А., Балданов А.Б., Рогов В.Е. Прочность кольцевых образцов из слоистых композиционных материалов с межслойными дефектами // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2013. Т. 10. № 1. С. 87-92. Моделирование и технология изготовления конструкций авиационной техники из композиционных материалов / Л.А. Бохоева и др. // Вестн. ВСГУТУ. 2013. № 2 (41). С. 12-18.
Бохэева Л.А., Пнев А.Г., Филиппова К.А. Разработка алгоритма автоматической обработки результатов эксперимента образцов из композиционных материалов с дефектами // Вестн. Казан. гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева. 2010. № 4. С. 10-16. Бохоева Л.А. Исследование устойчивости пластин с дефектами типа круглых отслоений // Вестн. Бурят. гос. ун-та. 2007. № 6. С. 85-89.
5. Бохоева Л.А., Дамдинов Т.А. Определение критических нагрузок энергетическим методом с учетом деформаций сдвига// Вестн. Казан. гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева. 2006. № 1. С. 3-7.
6. Бохоева Л.А. Исследование устойчивости пластин из слоистых композиционных материалов с дефектами типа сквозное отслоение // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. 2007. № 2. С. 7-16.
7. Бохоева Л.А. Исследование устойчивости пластин с дефектами в нелинейной постановке // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. 2008. № 2. С. 2228.
8. Бохоева Л.А. Особенности расчета на прочность элементов конструкций из изотропных и композиционных материалов с допустимыми дефектами. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2007. 192 с.
УДК 621:534 Кузнецов Николай Константинович,
д. т. н., профессор, зав. кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, Иркутский государственный технический университет, тел. (3952) 405434, e-mail: knik@istu.edu
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ САМОНАСТРАИВАЮЩЕГОСЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ДЕМПФИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
N. K. Kuznetsov
NUMERICAL MODELLING OF EFFICIENCY OF THE BEING SELF-ADJUSTED
HYDRAULIC DAMPING DEVICE
Аннотация. В статье предлагается новый вариант реализации конструкции гидравлического демпфирующего устройства, предназначенного для торможения исполнительных механизмов мехатронных систем с цикловым управлением и обладающего свойством самонастройки демпфирующей силы к изменениям скоростей движения и нагрузок. Описывается конструктивная схема демпфирующего устройства, в котором изменение демпфирующей силы осуществляется путем изменения площади проходного сечения дросселирующих отверстий за счет перепада давления между его полостями. Приводятся дифференциальные уравнения движения исполнительного механизма с предложенным демпфирующим устройством и результ а-ты численного моделирования эффективности его применения в пневматическом промышленном роботе, в процессе которого изучалось влияние начальных скоростей движения и величин перемещаемых масс на изменение скорости движения руки робота с демпфирующим устройством с переменным сопротивлением (подвижным плунжером) и постоянным сопротивлением (неподвижным плунжером) в зависимости от величины тормозного пути. Показывается, что демпфирующее устройство с переменным сопротивлением позволяет обеспечить более интенсивное снижение скорости торможения и меньший разброс величин конечных скоростей при увеличении начальных скоростей движения и массы исполнительного механизма, чем демпфирующее устройство с постоянным сопротивлением.
Ключевые слова: торможение, демпфирующее устройство, самонастройка, эффективность, численное моделирование.
Abstract. In the article, the new option of realization of a design of the hydraulic damping device intended for braking of executive mechanisms of mechatronic systems with cyclic management and possessing property of self-adjustment of the damping force to changes speeds of movement and loadings is offered. The constructive scheme of the damping device in which the damping force is changed by changing the orifice holes passage area due to pressure difference between its cavities is described. The differential equations of movement of the executive mechanism with the offered damping device and results of numerical modeling of its using efficiency are given in the pneumatic industrial robot in the course of which influence of initial speeds of movement and sizes of the moved masses on change of speed of movement of the robot hand with the damping device with a variable resistance (a mobile plunzher) and constant resistance (a motionless plunzher) depending on the size of a brake way was studied. It is shown that the damping device with a variable resistance allows to provide more intensive braking speed decrease and smaller dispersion of sizes offinal speeds at increase in initial speeds ofmovement and mass of the executive mechanism, than the damping device with a constant resistance.
Keywords: braking, the damping device, self-adjustment, efficiency, numerical modeling.
Введение
Актуальной проблемой создания мехатрон-ных систем с цикловым управлением является разработка способов и средств торможения исполнительных механизмов перед жесткими упорами
в условиях изменения скоростей движения и нагрузок [1]. Эффективным средством ее решения является использование гидравлических демпфирующих устройств с переменным сопротивлением [2]. В работе [3] была предложена кон-
