CC BY
4МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ MATHEMATICAL MODELLING
© (¡)
■Ц) Check for updates
Научная статья !0
УДК 519.6
https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-52-59
Моделирование и анализ динамики квази-2Б-турбулентности в мелководных водоемах
С.В. Проценко Е.А. Проценко Н
Таганрогский институт им. А. П. Чехова (филиал) РГЭУ (РИНХ), Российская Федерация, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48
Н capros@rambler.ru
Аннотация
Введение. Работа посвящена изучению генерации и развития турбулентных структур в мелководных потоках. Для оптимального управления водным ресурсом необходимо знать, какие будут последствия при изменении системы течения в результате вмешательства человека. В основном все потоки жидкости, которые относятся к практике гражданского строительства, имеют турбулентный характер. Это, например, речные и русловые потоки, приливные течения в океанах и прибрежных морях. Неглубокие течения в окружающей среде часто включают в себя широкий диапазон масштабов вихрей, начиная от микромасштабных вихрей и заканчивая крупномасштабными когерентными структурами с горизонтальными масштабами длины, которые намного превышают глубину воды (L >> H). Существование таких крупных структур — типичная характеристика турбулентности при мелком течении. Это указывает на необходимость проведения системного анализа проблемы, а также моделирования подобных сложно формализуемых систем. Целью данной работы является моделирование и анализ динамики структур квази-2D-турбулентности.
Материалы и методы. Исследуются крупномасштабные квази-2D когерентные структуры (2DCS) в зависимости от источника и локализации в столбе жидкости. Рассматриваются турбулентные течения в канале, удовлетворяющие несжимаемым уравнениям Навье-Стокса. Численный эксперимент выполнен на основе подхода «моделирование крупных вихрей» (LES).
Результаты исследования. Построен сценарий динамики структур квази-2D-турбулентности береговой зоны. Предсказано формирование вихревых структур.
Обсуждение и заключения. Развитие двумерной турбулентности в неглубоких потоках служит иллюстрацией процессов, которые управляют квази-двумерной турбулентностью, включая слияние отдельных вихрей. Основным механизмом, управляющим распадом 2DCS, являются потери энергии из-за трения о дно. При этом, чем больше размер вихря относительно глубины, тем быстрее происходит прямое рассеивание его кинетической энергии. Ключевые слова: турбулентные структуры, мелководные потоки, крупномасштабные квази-2D когерентные структуры (2DCS), квази-2D-турбулентность, масштаб вихрей.
Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00295. https://rscf.ru/project/22-11-00295/
Для цитирования. Проценко С.В., Проценко Е.А. Моделирование и анализ динамики квази-2D-турбулентности в мелководных водоемах. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(2):52-59. https://doi. org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-52-59
Original article
Modeling and Analysis of Quasi-2D Turbulence Dynamics in Shallow Waters
Sofia V Protsenko , Elena A Protsenko H
Taganrog Institute named after A. P. Chekhov (branch) of RSUE, 48, Initiative St., Taganrog, Russian Federation Н capros@rambler.ru
Abstract
Introduction. The work is devoted to the study of the generation and development of turbulent structures in shallow-water flows. For optimal water resource management, it is necessary to know what the consequences will be if the flow system
© С.В. Проценко, Е.А. Проценко, 2023
changes as a result of human intervention. Basically, all fluid flows that relate to the practice of civil engineering are turbulent in nature. These are, for example, river and channel flows, tidal currents in the oceans and coastal seas. Shallow currents in the environment often include a wide range of vortex scales, ranging from micro-scale vortices to large-scale coherent structures with horizontal length scales that far exceed the depth of water (L >> H). The existence of such large structures is a typical characteristic of turbulence in shallow flow. This indicates the need for a systematic analysis of the problem, as well as modeling of such complex formalized systems. The purpose of this work is to model and analyze the dynamics of quasi-2D turbulence structures.
Materials and Methods. Large-scale quasi-2D coherent structures (2 DCS) are investigated depending on the source and localization in the liquid column. Turbulent flows in the channel satisfying incompressible Navier-Stokes equations are considered. The numerical experiment was carried out on the basis of the "large eddy simulation" (LES) approach. The Results of the Study. Scenario of the dynamics of quasi-2D turbulence structures of the coastal zone is constructed, the formation of vortex structures is predicted.
Discussion and Conclusions. The development of two-dimensional turbulence in shallow flows illustrates the processes that control quasi-two-dimensional turbulence, including the merging of individual vortices. The main mechanism controlling the decay of 2DCS is the loss of energy due to friction on the bottom, while the larger the size of the vortex relative to the depth, the faster the direct dissipation of its kinetic energy occurs.
Keywords: turbulent structures, shallow water channels, large-scale quasi-2D coherent structures (2PCS), quasi-2D turbulence, vortex scale.
Founded information. The study was supported by the Russian Science Foundation grant No. 22-11-00295. https://rscf.ru/project/22-11-00295/
For citation. Protsenko SV, Protsenko EA. Modeling and analysis of quasi-2D turbulence dynamics in shallow waters. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(2):52-59. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-52-59
Введение. В контексте механики жидкости в окружающей среде можно констатировать, что практически все потоки жидкости имеют турбулентный характер. Обычно турбулентный поток содержит вихри, также называемые «завихрениями», «когерентными структурами» или «структурами турбулентности». Это структуры динамической рециркуляции, возникающие в результате нестабильности внутреннего потока. Несмотря на то, что размер и границы отдельных вихрей обычно не могут быть выявлены однозначно, зачастую можно определить масштабы длины и скорости для характеристики поведения различных типов вихрей в потоке, особенно доминирующих энергосодержащих крупных вихрей. Неглубокие течения включают широкий диапазон масштабов вихрей, включая крупномасштабные когерентные структуры. Такие вихри часто наблюдаются в областях с большими перепадами горизонтальных скоростей или вблизи препятствий, где поток отделяется от стенки.
Турбулентность мелкого течения, как и любая другая, в окружающей среде не может быть прямолинейно предсказана в деталях из-за ее хаотической природы. Требуется тщательная экспериментальная работа (полевые или лабораторные данные) и детальное численное моделирование, чтобы с некоторой точностью предсказать поведение турбулентности в реальных ситуациях. Это имеет практическое значение для улучшения понимания и моделирования крупномасштабной турбулентности на мелководье. Для оптимального управления водным ресурсом необходимо с большой долей вероятности знать, какие последствия произойдут при изменении системы течения (включая турбулентность) в результате вмешательства человека.
Турбулентные потоки присутствуют в природе повсюду, неглубокие турбулентные потоки среди них образуют важную подгруппу. По сути, турбулентность — это хаотическое явление. Однако турбулентность при мелком течении можно охарактеризовать как «организованный хаос». Организация в таких потоках видна благодаря турбулентным структурам с масштабами длины, обычно превышающими глубину воды, которые могут иметь относительно длительный срок существования.
Неглубокий поток определяется как трехмерный, одно измерение которого значительно меньше двух других измерений. В контексте гидромеханики окружающей среды этим меньшим измерением обычно является глубина воды. G. H. Jirka [1] описывает несколько механизмов, вызывающих крупномасштабные структуры турбулентности, которые типичны для неглубоких течений. Такие крупные вихри имеют преимущественно двумерный характер. Их динамика существенно отличается от вихрей меньшего масштаба (L < H), которые имеют полностью трехмерный характер, т. е.: относительно короткое время жизни (T ~ L/U), более слабая взаимная корреляция и непрерывная тенденция распадаться на более мелкие вихри. Хотя вся турбулентность в природе, по существу, трехмерна, турбулентность мелкого течения часто называют «квази-2D» [2]. G. H. Jirka [1] ввел аббревиатуру 2DCS для обозначения крупномасштабных квази-2D когерентных структур. Очевидно, что 2D-объекты в потоке всегда сопровождаются трехмерными структурами меньшего масштаба.
Обычно турбулентность вызывается сдвигом в направлении, перпендикулярном локальной скорости потока, в результате чего поток становится нестабильным. Происхождение такого бокового сдвига всегда можно проследить либо до трения о стенки (пристенная турбулентность), либо до поперечного градиента скорости внутри области (свободная турбулентность). Важным механизмом, ответственным за возникновение внутренних градиентов скорости, является разделение потока. Разделение происходит, когда пограничный слой потока теряет контакт с соответствующей сплошной стенкой и отрывается от нее (рис. 1). Это может быть связано с геометрическими причинами (например, поток не способен следовать сложной форме границы или плавно огибать угол) или по динамическим причинам (градиент давления в потоке нарушает равновесие локального пограничного слоя). Разделяющие потоки включают область сильного поперечного сдвига ниже по течению от места разделения, что приводит к большой интенсивности турбулентности и часто является областью рециркуляции потока [3-5].
Рис. 1. Цветосинтезированное изображение Таганрогского залива Азовского моря со спутника дистанционного
зондирования Земли Landsat 8, разрешение 30 м
Неглубокие потоки, струи и перемешивающие слои — это три распространенных типа свободных, неглубоких, сдвиговых потоков. В других случаях наличие боковых стенок приводит к тому, что разделяющий поток создает область рециркуляции.
Материалы и методы
1. Мелководье и его влияние на турбулентность. Турбулентные течения в канале удовлетворяют несжимаемым уравнениям Навье-Стокса в консервативной форме [6]:
д u _i_
д t
д uu, + —+
д X:
^ = 0, д x i
д Р/ р д
(
д X.
д X;
д u д u,
- + -дX, дX,
= f,
(1)
(2)
где и — вектор скорости жидкости (в м/с); Р — гидродинамическое давление (кг/мс2); р — постоянная плотность (пресная вода, 1000 кг/м3); V — постоянная кинематическая молекулярная вязкость (106 м2/с) и/— вектор силы тела на единицу массы (м/с2), что обычно составляет силу тяжести, /, ] е {1, 2, 3}. Поле скоростей и называется свободным от дивергенции или соленоидальным. Силу тяжести тела можно устранить, включив ее в градиент давления. Если установим = )/дх1 (при ускорении силы тяжести g = 9,81 м/с2) и определим так называ-
емое, негидростатическое нормированное давление через р = Р/р + g х3 (м2/с2), уравнение (2) можно переписать в виде:
dut "dt
duiuj dp ■+—— + - F
д
dx.. dx, dx.
du i dx;
ÖUj
dx;
= 0.
(3)
Уравнения (1) и (3) должны быть дополнены соответствующими начальными и граничными условиями. На непроницаемых твердых стенках физически выполняется граничное условие отсутствия скольжения, тогда как на поверхности (рассматриваемой либо как подвижная свободная поверхность, либо как жесткая крышка) действует условие свободного скольжения (в данном исследовании ветровыми и атмосферными воздействиями пренебрегают) [7-9].
Движение жидкости индуцируется гидродинамическими градиентами давления, в то время как поле скоростей постоянно деформируется под действием нелинейной адвекции импульса и вязкости. Когда уравнение (3) записано в безразмерной форме, используя шкалу скоростей и и шкалу длин ¿-, соотношение адвективных и вязких сил может быть выражено одним безразмерным параметром — числом Рейнольдса (Re):
Яе =
и и
(4)
Две особенности в уравнениях Навье-Стокса являются существенной причиной турбулентности. При больших значениях Re проблема течения может стать гидродинамически нестабильной и в конечном итоге проявлять хаотическое поведение. Действие вязких сил (в сочетании с граничными условиями отсутствия скольжения) вносит вращение (или завихренность) в поле скоростей, даже если исходное поле течения не содержало вращения. Вследствие наличия завихренности поле хаотического потока всегда будет содержать вихри или «завихрения» [10].
Из-за важной роли завихренности турбулентность, по сути, является трехмерным явлением. С физической точки зрения растущий хаос в турбулентных потоках иллюстрируется тем фактом, что вихри нестабильны и имеют тенденцию распадаться на более мелкие вихри. Это в основном означает, что турбулентная кинетическая энергия передается в сторону меньших масштабов, пока мельчайшие вихри не достигнут масштабов длины, при которых их энергия преобразуется в тепло под действием вязкости (так называемые масштабы Колмогорова). Этот продолжающийся выброс турбулентной кинетической энергии часто называют «3D-энергетическим каскадом» [11]. Поток энергии в сторону меньших масштабов длины часто оставляет свой след в спектре плотности энергии турбулентного движения. Что касается трехмерного энергетического каскада, спектр пространственной плотности энергии E (м3/с2) при малых масштабах изотропной турбулентности (инерционный диапазон) должен иметь следующий вид:
(5)
Е (к ),
т 2/3к -5/3,
где т (м2/с3) — скорость рассеивания энергии на единицу массы; а k (т - 1) — «волновое число», связанное с определенной шкалой длины турбулентности. Завихренность играет жизненно важную роль в механизме энергетического каскада. Это можно увидеть, взяв кривизну уравнения (3), которое дает уравнение завихренности:
Бю
г
Бг
дю
г
дг
+ и
дю/
дх
ди
д2 ю
= ю
■ + V-
(6)
3 дх. 3 дх. дх2
где ю (5 - 1) — вектор завихренности. Это уравнение показывает, что материальная производная завихренности движущейся частицы жидкости определяется правой частью уравнения. Первый член описывает взаимодействие между полем завихренности и полем деформации скорости; второй — диффузию завихренности посредством молекулярной вязкости [12-14].
Первый член отвечает за растяжение вихря и может быть переписан как:
д и,
д X:
1
= — га 2 ■
(
д и,. д и
Л
- + -дх, дX:
1
2 ] 3
(7)
Если поле скоростей растянуть в направлении вектора локальной завихренности (т. е. по нормали к соответствующей плоскости вихря, (рис. 2 а)), локальная завихренность в этом направлении увеличится; кинетическая энергия вращения будет передаваться на более высокие частоты и, следовательно, в меньшие масштабы, как в пространстве, так и во времени. Этот механизм растягивания вихря отвечает за спектральный поток энергии в 3D-энергетическом каскаде.
З.ю. ф 0
Ч ]
8. ю. = 0
ч ч
а) б)
Рис. 2. 2D и 3D динамика вихря: а — в трехмерном пространстве вихри могут быть растянуты в направлении локального вектора завихренности, перпендикулярного плоскости вихря; б — вихрь в двумерной плоскости не может быть растянут
в направлении, перпендикулярном этой плоскости
со
г
г
2. Теоретическое исследование динамики структур квази-2D-турбулентности. Несмотря на присущую турбулентности трехмерность, многие области турбулентного течения в природе ограничены вертикальным направлением. Такой поток называется неглубоким; его крупномасштабная турбулентность часто рассматривается как квазидвумерная. Хотя 2D-турбулентность является свЫтайгсИв т 1еттШв, эта классификация все же имеет смысл, поскольку на практике динамика структур квази-2D-турбулентности может значительно отличаться от «нормальной» 3D-турбулентности. Это можно показать, обратившись к уравнению завихренности (6). В двух измерениях вектор скорости состоит только из одной компоненты и везде перпендикулярен двумерному полю скоростей (рис. 2 б). Однако растяжение двумерного поля скоростей невозможно в этом перпендикулярном направлении. Следовательно, член растяжения вихря обращается в нуль, что приводит к:
Dro. д 2ю.
(8)
Dt д х ;
Остальные члены показывают, что теоретически завихренность является сохраняющейся величиной в 2D. Более того, из (8) следует, что общая энстрофия (мера количества кинетической энергии вращения) также приблизительно сохраняется, за исключением небольшого квадратичного члена диссипации из-за вязкости:
т ( \
DO dQ. дО д2 Q дю
-=--+ U,-= V-— -V
Dt д t J д х,. д х
(9)
■V ^;
где О = — ю2 (я ~2) — общая энстрофия. Принцип сохранения энстрофии аналогичен принципу сохранения энергии: кинетическая энергия также сохраняется, за исключением квадратичного члена диссипации. Этот результат следует из умножения уравнения (3) на и.:
DE, д u .р д -- +--— =-vu.
Dt dxt dxj '
{ д ut + д Uj ^
д x, д x .
V j ' J
{ дut дu, ^
дх , дx. j ' j
(10)
где Ек =— и 2 (т2/я2) — полная кинетическая энергия. Следовательно, в пределе невязкости энергетический баланс двумерного потока во времени и пространстве ограничен двумя законами сохранения (9) и (10) (вместо только (10) для 3D-случая). Сохраненные величины Ек и О могут быть записаны в спектральной форме:
1
Ek = - « =f Ek(k ) dk, (11) 2 0 1 »
- ю2 =J к2 Ek (k ) dk. (12)
0 = -ю2 = ' ''2 2 ' о
Следовательно, О может быть выражен как второй момент спектрального распределения кинетической энергии. Это означает, что в двумерном потоке сохраняется не только общее количество кинетической энергии, но и ее дисперсия по всем масштабам длины. Этот факт подразумевает два одновременных энергетических каскада. Предположим, что ситуация с двумерным потоком нарушается некоторым принудительным механизмом с характерным масштабом длины, тогда можно определить волновое число воздействия к. « /_-1, при котором к системе добавляется кинетическая энергия. Комбинация законов сохранения (9) и (10) вызовет перераспределение энергии: если кинетическая энергия передается от масштаба к к более высоким волновым числам (малые масштабы) к > к. должен присутствовать компенсирующий поток энергии в направлении более низких волновых чисел (большие масштабы) к < к. чтобы сохранить дисперсию. Этот перенос энергии в сторону большей длины и временных масштабов часто называют обратным рассеянием или обратным энергетическим каскадом. Рассмотрим спектральные формы для учета этих двух одновременных процессов:
, , ¡1 "'кЯ к<к ,
Е(()'\ч-к<к,, (13)
где т (м2/с3) — скорость рассеивания энергии; а п (я - 3) — скорость рассеивания энстрофии на единицу массы. Существование обратного энергетического каскада в области к < к. подразумевает, что после некоторой начальной стадии кинетическая энергия имеет тенденцию концентрироваться в крупномасштабных вихрях, которые стабильны и не распадаются. Этот принцип часто называют «самоорганизацией».
В результате экспериментов и моделирования выявляются конкретные типы вихрей, можно выделить монополярные, дипольные и трехполярные вихревые образования. Эти конфигурации характеризуются тем фактом, что соседние двумерные вихри способны сосуществовать, когда они имеют противоположные знаки завихренности. С другой стороны, два монополярных двумерных вихря с одинаковым знаком завихренности способны объединяться и образовывать новый, более крупный вихрь. Это явление известно как слияние вихрей, очень заметное
= V
2
и впечатляющее вследствие существования обратного энергетического каскада и естественный аналог механизма растяжения вихрей, который отвечает за их разрушение (рис. 3).
Результаты исследования
Численное моделирование динамики структур квази-2D-турбулентности. Неглубокие турбулентные течения проявляют множество двумерных характеристик, что называется квазидвумерным поведением потока. Хотя в неглубоком потоке механизм растягивания вихря не исключен полностью, он, по крайней мере, сильно затруднен в вертикальном измерении. Если в неглубоком потоке присутствуют крупномасштабные квази-двумерные когерентные структуры, часто наблюдается, что они довольно стабильны и лишь слабо диссипативны.
Типичная квази-2D задача, характеризуется как небольшой 3D-турбулентностью, так и 2DCS. Последние представляют собой хорошо различимые крупномасштабные структуры, которые остаются нетронутыми в течение относительно длительного времени во время прохождения через область потока.
Пример слияния вихрей при 2D-моделировании крупных вихрей (LES) приведен на рис. 3, который демонстрирует графики контуров завихренности при четырех стадиях процесса слияния.
У, M
У, м
y, м
y, м
1 2 3 4 5
x, м
1 2 3 4 5 x, м
1 2 3 4 5 x, м 1 2 3 4 5 x, м Рис. 3. Результаты двумерного моделирования LES слияния вихрей из-за существования обратного энергетического каскада: графики контуров завихренности
Термин «когерентные структуры» используется для рассмотрения связанных крупномасштабных турбулентных масс жидкости, которые равномерно распространяются по всей глубине воды и содержат фазово-корре-лированную завихренность, за исключением тонкого придонного пограничного слоя. В случае внутренней неустойчивости при поперечном сдвиге разделения не происходит: из-за разницы боковых скоростей возникнут гидродинамические неустойчивости, которые постепенно перерастут в 2DCS. Различия в боковой скорости могут быть вызваны, например, слияниями рек или различиями в глубине и неровностях (сложные каналы).
Обсуждение и заключения. Во всех случаях генерация и развитие последовательностей 2DCS требует определенного времени прохождения и определенного пространственного расстояния от их источника. Выделяют три различных региона развития 2DCS, основываясь на соотношении расстояния распространения вихря х и глубины воды H. В области «ближнего поля» ( х / H < 1) преобладает трехмерная мелкомасштабная турбулентность, но присутствующий средний поперечный сдвиг обычно двумерный, главным образом из-за формы геометрии. В «дальнем поле» (x / H > 10) 2DCS хорошо развиты в горизонтальном направлении и, в конечном итоге, рассеиваются из-за трения о дно. И средний поток, и крупномасштабная турбулентность имеют ярко выраженный 2D-характер. «Среднее поле» (1< x /H <10) характеризуется взаимодействием между растущими 2DCS, средним потоком и 3D-турбулентностью дна, что приводит к эффектам среднего вторичного потока и 3D-эффектам внутри 2DCS, например, областям восходящего и нисходящего потоков жидкости.
Развитие двумерной турбулентности в неглубоких потоках часто служит хорошей иллюстрацией процессов, которые управляют квази-двумерной турбулентностью, включая слияние отдельных вихрей. 2DCS обычно растут при движении в направлении вниз по течению. В конечном счете 2DCS будут распадаться в области дальнего поля. Основным механизмом, управляющим этим распадом, являются потери энергии из-за трения о дно. Чем больше размер вихря относительно глубины, тем быстрее происходит прямое рассеивание его кинетической энергии. Этот факт ограничивает максимальный размер вихря X, который может быть обнаружен в реальных неглубоких потоках. В случаях очень мелкого течения даже образование 2DCS уже может быть подавлено трением о дно.
Среди множества конфигураций неглубокого потока, которые могут содержать 2DCS, выделяют несколько основных типов: следы, сетчатая турбулентность, струи и слои смешивания. Эти базовые конфигурации, основанные на общих исследованиях 3D-турбулентности, имеют свои аналоги в теории неглубокого течения. В трехмерных случаях режим турбулентности этих типов потоков определяется соотношением между адвективными и вязкими силами, которое выражается числом Рейнольдса (Re). В соответствующих квази-двумерных случаях донное трение важнее молекулярной вязкости, следовательно, поведение этих неглубоких течений определяется соотношением между горизонтальным поперечным сдвигом и донным трением. Эти две величины, соответственно, определяют производство и рассеивание кинетической энергии 2DCS.
5
5
4
4
3
3
2
2
1
Список литературы
1. Jirka G.H. Large scale flow structures and mixing processes in shallow flows. Journal of Hydraulic Research. 2001;39(6):567-573.
2. G.J.F van Heijst. Zelf-organisatie van twee-dimensionale stromingen. Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde. 1993;59:321-325.
3. Avancha R. and Pletcher R.H. Large eddy simulation of the turbulentflow past a backwardfacing step. Proceedings of the 38th AIAA Areosciences Meeting and Exhibit. Reno, Nevada, USA; 2000;0542:1-7.
4. Bijlsma A.C., Uittenbogaard R.E. and Blokland T. Horizontal large eddy simulation applied to stratified tidal flows. Proceedings of the International Symposium on Shallow Flows. Delft, Netherlands; 2003;559-566.
5. Breugem W.P. The influence of wall permeability on laminar and turbulent flows. PhD thesis, Delft University of Technology. 2004.
6. Clercx H.J.H, Zoeteweij M.L. and G.J.F. van Heijst. Quasi two-dimensional turbulence in shallow fluid layers: the role of bottom friction and fluid layer depth. Proceedings of the International Symposium on Shallow Flows, Delft, Netherlands; 2003;87-94.
7. Frohlich J. and Rodi W. Indroduction to Large Eddy Simulation of turbulentflows. Closure Strategies for Turbulent and Transitional Flows (ed. B. E. Launder and N. D. Sandham), Cambridge University Press; 2000;8:267-298.
8. Kadota A., Suzuki K. and Uijttewaal W.S.J. The shallow flow around a single groyne under submerged and emerged conditions. Proceedings of the International Conference in Fluvial Hydraulics (River Flow), Lisboa, Portugal; 2006;673-682.
9. Labeur R.J. Finite element modelling of transport and non-hydrostaticflow in en- vironmentalfluid mechanics. PhD thesis, Delft University of Technology. 2009.
10. Mittal R. and Iaccarino G. Immersed Boundary Methods. Annual Review of Fluid Mechanics. 2005;37:239-61.
11. Schnauder I., Sukhodolov A., Uijttewaal W.S.J. and Labeur R.J. Field experiments and numerical modelling on shallow mixing layers at a confluence of two parallel streams. Proceedings of the International Conference in Fluvial Hydraulics (River Flow), Izmir, Turkey; 2008;883-892.
12. Talstra H., Uijttewaal W.S.J. and Stelling G.S. 3D LES computations of a shallow lateral expansion using an immersed boundary method. Proceedings of the International Conference on Hydroscience and Engineering (ICHE), Philadelphia, USA; 2006.
13. W. van Balen. Large-scale coherent structures in turbulent shallow flows. Master's thesis, Delft University of Technology; 2005.
14. B.C. van Prooijen and Uijttewaal W.S.J. The relevance of a back-scatter model for depth-averaged flow simulation.
Flow Turbulence Combust. 2009;82:73-91.
References
1. Jirka GH Large scale flow structures and mixing processes in shallow flows. Journal of Hydraulic Research. 2001;39(6):567-573.
2. GJF van Heijst. Zelf-organisatie van twee-dimensionale stromingen. Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde. 1993;59:321-325.
3. Avancha R and Pletcher RH. Large eddy simulation of the turbulentflow past a backward facing step. Proceedings of the 38th AIAA Areosciences Meeting and Exhibit. Reno, Nevada, USA; 2000;0542:1-7.
4. Bijlsma AC, Uittenbogaard RE and Blokland T. Horizontal large eddy simulation applied to stratified tidal flows. Proceedings of the International Symposium on Shallow Flows. Delft, Netherlands; 2003;559-566.
5. Breugem WP. The influence of wall permeability on laminar and turbulent flows. PhD thesis, Delft University of Technology. 2004.
6. Clercx HJH, Zoeteweij ML and GJF van Heijst. Quasi two-dimensional turbulence in shallow fluid layers: the role of bottom friction and fluid layer depth. Proceedings of the International Symposium on Shallow Flows, Delft, Netherlands; 2003;87-94.
7. Frohlich J and Rodi W. Indroduction to Large Eddy Simulation of turbulentflows. Closure Strategies for Turbulent and Transitional Flows (ed. BE Launder and ND Sandham), Cambridge University Press; 2000;8:267-298.
8. Kadota A, Suzuki K and Uijttewaal WSJ. The shallow flow around a single groyne under submerged and emerged conditions. Proceedings of the International Conference in Fluvial Hydraulics (River Flow), Lisboa, Portugal; 2006;673-682.
9. Labeur RJ. Finite element modelling of transport and non-hydrostaticflow in en- vironmentalfluid mechanics. PhD thesis, Delft University of Technology. 2009.
10. Mittal R and Iaccarino G. Immersed Boundary Methods. Annual Review of Fluid Mechanics. 2005;37:239-61.
11. Schnauder I, Sukhodolov A, Uijttewaal WSJ and Labeur RJ. Field experiments and numerical modelling on shallow mixing layers at a confluence of two parallel streams. Proceedings of the International Conference in Fluvial Hydraulics (River Flow), Izmir, Turkey; 2008;883-892.
12. Talstra H, Uijttewaal WSJ and Stelling GS. 3D LES computations of a shallow lateral expansion using an immersed boundary method. Proceedings of the International Conference on Hydroscience and Engineering (ICHE), Philadelphia, USA; 2006.
13. W van Balen. Large-scale coherent structures in turbulent shallow flows. Master's thesis, Delft University of Technology; 2005.
14. BC van Prooijen and Uijttewaal WSJ. The relevance of a back-scatter model for depth-averaged flow simulation.
Flow Turbulence Combust. 2009;82:73-91.
Об авторах:
Проценко Софья Владимировна, доцент кафедры математики, научный сотрудник, Таганрогский институт им. А. П. Чехова (филиал) Ростовского государственного экономического университета (347936, РФ, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48), кандидат физико-математических наук, ORCID, rab5555@rambler.ru
Проценко Елена Анатольевна, доцент кафедры математики, ведущий научный сотрудник, Таганрогский институт им. А. П. Чехова (филиал) Ростовского государственного экономического университета (347936, РФ, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48), кандидат физико-математических наук, ORCID, eapros@rambler.ru
Заявленный вклад соавторов:
С.В. Проценко — проведение расчетов, формулирование выводов, подготовка текста, оформление научной статьи, работа с источниками, оформление графических материалов. Е.А. Проценко — формирование основной концепции, цели и задачи исследования, анализ результатов исследований, корректировка выводов, доработка текста.
Поступила в редакцию 03.04.2023.
Поступила после рецензирования 18.05.2023.
Принята к публикации 19.05.2023.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
About the Authors:
Sofia V Protsenko, Associate Professor of the Department of Mathematics, Researcher, Taganrog Institute named after A. P. Chekhov (branch) of RSUE (48, Initiative St., Taganrog, 347936, RF), PhD (Physical and Mathematical Sciences), ORCID, rab5555@rambler.ru
Elena A Protsenko, Associate Professor of the Mathematics Department, Leading Researcher, Taganrog Institute named after A. P. Chekhov (branch) of RSUE (48, Initiative St., Taganrog, 347936, RF), PhD (Physical and Mathematical Sciences), ORCID, eapros@rambler.ru
Claimed contributorship:
SV Protsenko: making calculations, drawing conclusions, text preparation, working with sources, making graphic materials. EA Protsenko: basic concept formulation, research objectives and tasks computational analysis, conclusions correction, text revision.
Received 03.04.2023.
Revised 18.05.2023.
Accepted 19.05.2023.
Conflict of interest statement
The authors do not have any conflict of interest.
All authors have read and approved the final manuscript.
