Моделирование характеристик полевых эмиссионных систем вольфрам-цезий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.533.2

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 1

С. Р. Антонов, А. Ю. Антонов, Д. В. Жуков МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК

ПОЛЕВЫХ ЭМИССИОННЫХ СИСТЕМ ВОЛЬФРАМ-ЦЕЗИЙ

1. Введение. При воздействии сильного электрического поля на поверхность твердого тела потенциальный порог на границе раздела фаз твердое тело-вакуум превращается в потенциальный барьер, и появляется определенная вероятность туннелирования приповерхностных электронов сквозь барьер без затраты энергии в процессе полевой электронной эмиссии (ПЭЭ). В сравнении с одноэлементными полевыми эмиссионными эмиттерами наиболее перспективными являются многослойные эмиттеры из-за их улучшенных технических характеристик [1]. Эмиссионные системы на основе ПЭЭ являются основными элементами таких приборов и устройств как СТМ, СВЧ-генераторы, плоские дисплеи и т. д.

Работы по ПЭЭ из тонких пленок алмазоподобного углерода стимулировали интерес к поверхностям с низким или отрицательным электронным сродством. Поэтому в качестве адсорбата для проведения эксперимента и расчетов был выбран Се, обладающий низким электронным сродством (0,47 эВ).

2. Теоретический анализ. Перед нами стояла задача математического моделирования и сравнения свойств многослойной полевой эмиссионной системы металл-металл в следующих случаях: 1) тонкий слой адсорбированного металла; 2) сверхтонкий слой адсорбированного металла. Первым металлом выбран вольфрам 0^), вторым - цезий

(Се).

2.1. Тонкое покрытие. При тонком слое адсорбированного металла учитываются объемные свойства адсорбата. Рассматривавшиеся слои имели толщину 1-т-5 постоянных решетки Се.

В изолированном состоянии электронный газ в каждом из этих тел представляет собой отдельную систему, характеризуемую электрохимическими потенциалами 62 и работами выхода е<£>1, еу?2- На рис. 1 представлена схема энергетического состояния электронов для двух металлов.

Если при этом оба тела были

нейтральны, то во всем внешнем - ж ---

пространстве электрическое поле е(р1 | е(р\.

равняется нулю [2]. Если два рас- .......................*_________________

сматриваемых металла привести в _

электрический контакт, то элек- £|

троны второго металла из-за мень- _

шей работы выхода частично будут переходить в свободные уровни Рис. 1. Энергетическое состояние двух металлов, первого металла. При этом первый изолированных друг от друга.

металл будет заряжаться отрицательно, второй - соответственно положительно, уровни электрохимического потенциала будут приближаться друг к другу. Переход электронов будет происходить до тех пор, пока уровни Ферми обоих тел не будут одинаковы (Ер). При этом между любой точкой над поверхностью первого металла и поверхностью второго металла будет существовать разность потенциалов, равная разности

© С. Р. Антонов, А. Ю. Антонов, Д. В. Жуков, 2006

их работ выхода, называемая контактной разностью потенциалов

^КРП = VI -

Вследствие кулоновского взаимодействия разноименных зарядов по различные стороны поверхности раздела металлов возникает ионная связь, которая может быть охарактеризована как дипольный момент, равный произведению электрического заряда на расстояние порядка межъядерного.

Таким образом, потенциальная структура в нашей модели имеет вид

Щх) = <

О,

е<р1 + £1 — еЕ\х, £1 — £2,

еу>2 + £1 - eFa:, О,

X ^ XI,

XI < X ^ Х2,

х2 < X ^ Жз,

Хз < X ^ Х4, ^ X)

(1)

где Е1 =

^КРП

; XI = О, Х2 = (1, хз = Х2 + Ь, Х4 = хз + с; Е - напряженность внешнего

поля, Е\ - напряженность поля в дипольном слое; е - элементарный заряд; с! - толщина дипольного слоя; Ъ - толщина внешнего металла; с - толщина барьера на границе фаз металл-вакуум.

На рис. 2 представлена схема энергетических уровней системы вольфрам-цезий при сильном внешнем электростатическом поле. В данном случае в качестве значения энергии Ферми системы Е? используется величина энергии Ферми металлической подложки (\У), поскольку влияние адсорбата на объемную концентрацию свободных электронов пренебрежимо мало.

Рис. 2. Схема энергетических уровней системы вольфрам-цезий в сильном внешнем поле.

Область I - \У, область II - дипольный слой, область III - Сб, область IV - потенциальный барьер на границе раздела фаз металл-вакуум, область V - вакуум.

Толщина барьера на границе раздела фаз металл-вакуум с находится из условия

и^{х) = 11\{х).

В качестве толщины дипольного слоя d принималось расстояние, равное сумме радиусов атомов вольфрама и цезия. Для нахождения волновой функции электрона в системе решалось уравнение Шрёдингера с потенциалом вида (1)

(2)

где "ф - волновая функция; т - масса электрона; Е - полная энергия; h - приведенная постоянная Планка; U{x) - потенциальная энергия.

В областях I, III и V решение уравнения Шрёдингера находилось в аналитической форме, в областях II и IV - численно.

Для численного решения уравнения Шрёдингера использовался метод Рунге-Кутты четвертого порядка [3].

При решении уравнения Шрёдингера требовалось удовлетворение условий непрерывности волновой функции чр(х) и ее производной ip'(x) в точках х\, Х2, х3, х\, т. е.

= ФпЫ,

=

= фт(х2),

Ф'иЫ)

ФтЫ = ifav(x3),

Фп\{хз) = i>iv(x3),

1piv{x4) = фу{хА),

гр'1У{х 4) = ^{x4).

После нахождения волновой функции рассчитывались такие характеристики эмиссионной системы как прозрачность барьера, плотность тока, энергетическое распределение электронов.

Коэффициент прозрачности барьера рассчитывался по формуле

= (3)

в которой Апап - амплитуда падающей волны в начальной области, соответствующей первому металлу, Д1рош - амплитуда прошедшей волны в конечной области, соответствующей вакууму.

Плотность тока эмиссии определялась по уравнениям

оо

3=еI (4)

о

здесь ¡/(Е) - функция поставки электронов: и{Е) = 47ГГ^вт 1п + ехр

кв - постоянная Больцмана, Т - температура, к - постоянная Планка. Плотность энергетического распределения электронов в вакууме

Пе*(Я) = £(£,*>(£)■ (5)

2.2. Сверхтопкое покрытие. Для него объемные свойства адсорбата не учитываются. При этом средняя толщина адсорбированного слоя не превышает по величине постоянной решетки Се.

При адсорбции цезия на поверхности вольфрама появляется дипольный слой, под действием которого изменяется работа выхода вольфрама. При этом отсутствует понятие толщины адсорбированного материала. Работа выхода системы может колебаться от работы выхода вольфрама до величины, близкой к значению работы выхода цезия. Потенциальный барьер аппроксимируется ломаной прямой, как показано на рис. 3. Таким образом, потенциальная структура для данной системы будет иметь вид

и(х) - <

О, ж ^ хх,

— е-Е^ж, х\ < х ^ Х2,

И^ - е^ж, Х2 < х ^ жз,

О, ж3 ^ х,

(6)

где хх = 0,а;2 — с?, жз

ж2 + с; И^х = Ер + У/г = Ер + <р2] Ех =---; еу?1 - работа

выхода чистого металла; е<^2 - работа выхода металла, покрытого адсорбированной пленкой; Р, с и с1 - то же, что в (1).

Рис. 5. Схема энергетических уровней при адсорбции сверхтонких слоев цезия на вольфраме в сильном внешнем поле.

Толщина барьера на границе раздела фаз металл-вакуум с и толщина дипольного слоя й находились аналогично предыдущему случаю.

Для определения волновой функции электрона в этой системе решалось уравнение Шрёдингера (2) с потенциальной энергией вида (6). После этого были рассчитаны такие характеристики эмиссионной системы как прозрачность барьера (3), плотность тока (4) и энергетического распределения электронов в вакууме (5).

3. Результаты расчетов и их обсуждение. 3.1. Тонкое покрытие. При различных степенях покрытия вольфрама цезием был вычислен коэффициент прозрачности потенциального барьера. Результат расчета представлен на рис. 4.

Для трех значений толщины адсорбата построены вольт-амперные характеристики (ВАХ) в координатах Фаулера- -Нордгейма. Из рис. 5 видно, что с повышением тол-сшны адсорбата плотность тока со всего острия начинает сильно увеличиваться.

Вольт-амперная характеристика для наиболее толстого покрытия имеет нелинейный вид. Этот график можно разбить на три отдельных участка. Первый соответствует прямой Фаулера-Нордгейма. На втором участке есть резкое увеличение плотности

Прозрачность 1,0 г

0,0

0,8

0,2

0,6

0,4

—о-—2 3

4 5 6 7 8 9 10 И 12

Энергия, эВ

Рис. 4- Прозрачность барьера системы вольфрам-цезий при различных толщинах покрытия вольфрама цезием (Р —

2, 5 ■ 109 В/м).

1-4 = 0,614 нм, 2 - 4 = 1,00 нм, 3 - <* = 1,84 нм.

1п и'Р2) -Юг

1/7% м/В

Рис. 5. В АХ системы вольфрам-цезий при различных толщинах покрытия вольфрама цезием.

Обозначения см. на рис. 4.

тока, которое в литературе [4] связывают с нагревом эмиттера. На третьем участке наблюдается уменьшение плотности тока.

3,0хЮ"10

9,0х10~'° 1,5х10~9

2,1х10~9

На рис. 6 приведены расчетные плотности распределений полевых электронов по энергиям. Как видно из него, энергетические спектры полевых электронов при различных степенях покрытия очень сильно отличаются друг от друга. При покрытии наименьшей толщины на энергетической кривой имеются два максимума (1.1 и 1.2). Максимум 1.2 может быть обусловлен влиянием вольфрама, так как его положение и полуширина соответствуют чистому вольфраму. Разница между максимумами - два порядка. Первый максимум имеет полуширину, меньшую 0,1 эВ, а второй - примерно 0.3 эВ, что характерно для чистого вольфрама. В натурном эксперименте из-за узости полуширины первый максимум может быть не обнаружен.

МО

114 112 110 108 106 104 102 100 98 96 94 92 90

j_i_и

4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2

Энергия, эВ

Рис. 6. Энергетический спектр электронов при различных толщинах покрытия вольфрама цезием (F — 2, 5 • 109 В/м). Обозначения см. на рис. 4.

При промежуточной толщине слоя адсорбата, равной 1 нм, наблюдаются два ярко выраженных максимума (2.1 и 2.2). Их положения не соответствуют вольфраму. Первый максимум на 4 порядка меньше второго, и его полуширина меньше 0,05 эВ. Полуширина второго максимума также меньше 0,05 эВ, но ширина его основания 1,15 эВ, из чего можно сделать вывод, что экспериментально этот максимум будет обнаружен.

В третьем случае наблюдаются два слабо выраженных (3.1 и 3.2) и два ярко выраженных максимума (3.3 и 3.4). Первые два максимума можно не рассматривать из-за слабой выраженности и малой полуширины. Третий максимум на два порядка меньше четвертого, и его полуширина меньше 0,05 эВ. Полуширина четвертого максимума также меньше 0,05 эВ, но ширина основания 0,3 эВ, следовательно, в эксперименте он будет обнаружен.

Необходимо отметить, что экспериментальная кривая во всех случаях может содержать либо один, либо два максимума, в зависимости от шага дифференцирования.

Энергетические спектры чистых металлов имеют один характерный максимум вблизи энергии Ферми. Как показывает расчет, при адсорбции цезия на вольфраме появляются несколько новых максимумов, а положение максимумов не всегда близко

к энергии Ферми. Если рассмотреть внешний металл как отдельный потенциальный ящик, то в нем есть несколько энергетических уровней, для которых существует решение уравнения Шрёдингера. Они являются «благоприятными» для осуществления процесса туннелирования. Их положение и количество сильно зависят от ширины потенциального ящика, т. е. от толщины внешнего металла. Положения максимумов спектров в основном соответствуют этим энергетическим уровням. Можно сделать вывод, что при сравнении экспериментальных данных с теорией необходимо как можно точнее определить толщину адсорбированного слоя.

Рассчитанные значения плотности тока при различных значениях напряженности поля и толщины покрытия представлены в табл. 1.

Таблица 1. Расчетные значения плотности тока при различных толщинах покрытия вольфрама цезием

Толщина слоя Ь, нм Напряженность поля Р, В/м Плотность тока ], А/м2

0,614 3,2 • 10у 1,36 • 10'

2 • 109 2,16- 10®

1,00 3,2-10у ' 2,45 • 101а

2 • 109 6,52 • 107

1,84 3,2 ■ 10у 5,09 • 10у

2 • 10® 5,34 ■ 1011

3.2. Сверхтонкое покрытие. Как было сказано выше, основным параметром системы является работа выхода металла ес/^г, покрытого адсорбированной пленкой.

1п(£>) -22 £-24 --26 --28 --30 --32 --34 --36 --38 --40 --42 --44 --46 --48 1 -50 ^

4,8 ' 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4

Энергия, эВ

Рис. 7. Прозрачность барьера системы вольфрам-цезий при сверхтонком покрытии вольфрама цезием (Р = 2,5- 109 В/м, <¿>1 = 4, 50 эВ).

1-Ч>2- 3,86 эВ, 2 - <р2 = 3,95 эВ, 3 - <р2 = 4,20 эВ.

Численный расчет производился для трех значений 3,85, 3,95 и 4,20 эВ (данные эксперимента).

На рис. 7 представлен рассчитанный коэффициент прозрачности для трех значений системы \V-Cs при сверхтонком слое цезия. Как видно из него, при адсорбции сверхтонких слоев металла на металл коэффициент прозрачности является монотонной функцией. Прозрачность в основном зависит от работы выхода металла е</з2, покрытого адсорбированной пленкой.

При различных значениях е</>2 рассчитаны и построены в координатах Фаулера-Нордгейма ВАХ. Как видно из рис. 8, ВАХ при всех трех значениях имеет линейный вид. По сравнению с предыдущим случаем в модели сверхтонкого слоя напряженность электрического поля, необходимая для получения тока заданной плотности, больше.

На рис. 9 представлены расчетные плотности распределения полевых электронов системы \V-Cs при сверхтонком покрытии вольфрама цезием (для трех значений е^)-Во всех случаях энергетический спектр имеет единственный максимум. Полуширина всех спектров равна 0,274 эВ. Положения максимумов спектров - 5,7 эВ. Следовательно, основным источником электронов, участвующих в полевой электронной эмиссии, являются электроны из вольфрама, а вклад электронов цезия ничтожно мал.

Рассчитанные значения плотности тока представлены в табл. 2.

1п и/г2)

-33 -

-34 -

-35 -

-36 -

-37 -

-38 -

-39 -

-40 -

-41 -

-42 -

-43 -

■ I

о 2

а 3

1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2

1/^1010, м/В

Рис. 8. ВАХ системы вольфрам-цезий при сверхтонком покрытии вольфрама цезием (<р\ — 4,50 эВ). Обозначения см. на рис. 7.

88 86 84 82 80 78 76 74 72 70

J_I_I

4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4

Энергия, эВ

Рис. 9. Энергетический спектр электронов при сверхтонком покрытии вольфрама цезием (Е? = 5,80 эВ, Г — 2, 5 ■ 10° В/м, = 4, 50 эВ).

Обозначения см. на рис. 7.

Таблица 2. Расчетные значения плотности тока при сверхтонком покрытии вольфрама цезием

Работа выхода системы Напряженность поля Р, В/м Плотность тока з, А/м2

е(р2, эВ

4 • 109 8,1 • 10'

3,86 5 ■ 109 1,5 • 104

6 ■ 109 1,1 • 10®

4 ■ 10у 4,5 • 10''

3,95 5 • 109 9,3 • 103

6 • 109 7,3 ■ 104

4 • 10у 1,1 • Ю'

4,20 5 • 109 2,98 • 103

6 - 109 2,8 • 104

4. Заключение. По результатам численного моделирования были сформулирова-

ны следующие выводы:

для случая тонкого покрытия -

1) коэффициент прозрачности изменяется немонотонно - тунеллирование приобретает резонансный характер,

2) с повышением толщины адсорбата плотность тока со всего острия начинает

сильно увеличиваться,

3) с утолщением адсорбата в энергетическом спектре появляются несколько новых максимумов. Положение максимумов не всегда близко к энергии Ферми. Положение и количество максимумов сильно зависит от толщины адсорбата,

4) как показал расчет, максимумы спектров в основном соответствуют «благоприятным» энергетическим уровням;

для случая сверхтонкого покрытия -

1) коэффициент прозрачности изменяется монотонно,

2) энергетический спектр сохраняет свою монохроматичность, что очень важно для практического применения,

3) в модели сверхтонкого слоя напряженность электрического поля, необходимая для получения тока заданной плотности, больше, чем в модели тонкого слоя.

Summary

Antonov S. R-, Antonov A. Yu., Zhukov D. V. Parameters modeling for tungsten - caesium field emission systems.

The results of parameters modeling for metal-metal (W-Cs) field emission systems axe presented. A cross-section of the potential structure, calculated current-voltage plots and energy distributions are described. Two cases of thin and ultrathin coverage are considered.

Литература

1. Semet V., Binh V. Т., Zhang J.P. et al. Composite-layered solid-state field controlled emitter for a better control of the cathode surface barrier // J. Vac. Sci. Technol. B. 2005. Vol. 23, N 2. P. 824-830.

2. Добрецов JI. H., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. М.: Наука, 1966. 546 с.

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.; СПб.: Физ-матлит, 2000. 624 с.

4. Елипсон М. И., Васильев Г. Ф. Автоэлектронная эмиссия. М.: Физматлит, 1958. 272 с.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2005 г.