CC BY
27
1ЕШШИЕ ИН УК И
МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ*
Д. В. Якушев, Н. Г. Демурчев, А. О. Шульгин
MODELING OF RANDOM DYNAMIC SYSTEM BY FRACTIONAL RATIONAL INTERPOLATION
Yakushev D. V., Demurchev N. G., Shulgin A. O.
The process of reconstructing the mathematical model of random system is presented in the article with the help of algebraic polynomial and fractional rational interpolation. The results can be used for a person's voice identification in biometrical and access control systems. The investigations have been fulfilled in the frames of the "Scientific and Scientific-Pedagogical Personnel of the Innovation Russia" Federal Designated Project.
Key words: reconstruction, random system, fractional rational interpolation, voice identification.
В статье представлена процедура реконструкции математической модели хаотической системы с помощью алгебраического многочлена и дробно-рационального интерполирования. Результаты исследования могут быть использованы для идентификации личности по голосу в биометрических системах контроля и управления доступом.
Ключевые слова: реконструкция, хаотическая система, дробно-рациональное интерполирование, идентификация по голосу.
УДК 004.93
Установка систем контроля и управления доступом в различных организациях является приоритетным направлением построения систем информационной безопасности. Используя анализ угроз информационной безопасности, можно откорректировать подходы к управлению бизнес-деятельностью в целях обеспечения сохранности информационного ресурса организации.
Биометрические системы контроля и управления доступом обладают существенными отличиями от традиционных систем, использующих в качестве идентификаторов личности символьные пароли и электронные ключи. Идентификация проводится по индивидуальным признакам личности, например голосу, а не по ассоциированному с личностью материальному носителю или коду.
Альтернативой существующим методам голосовой идентификации на основе линейного предсказания является моделирование речевого процесса на основе алгоритмов нелинейной динамики. Реконструированная модель речевого процесса обладает рядом преимуществ. Она устойчива к неблагоприятному внешнему воздействию и значительно расширяет возможность использования оцененных коэффициентов модели в решении практических задач речевых технологий. Поэтому перспективой развития подходов к проектированию биометрических систем контроля и управления доступом
'Исследования выполнены в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».
является разработка методов биометрической идентификации с помощью реконструированной модели речевого процесса на основе алгоритмов нелинейной динамики.
Предполагается нелинейная связь между голосовым источником и речевым трактом, речевой сигнал рассматривается как результат реализации хаотического процесса. Разработка новых подходов к моделированию хаотических процессов основывается на тестовых моделях, например Ресслера или Ван дер Поля. Так как характеристики данных моделей позволяют исключить негативное влияние внешних шумов и особенностей звукозаписывающей аппаратуры, характерное для реальной среды распространения речевых сигналов. Следует отметить, что моделирование хаотических процессов представляет интерес для исследователей различных областей науки. Методы, основанные на алгоритмах нелинейной динамики, имеют многочисленные приложения в физике, астрофизике, медицине, химии, биологии, и т. д. [1], [2], [3], [4], [5], [6].
Данные, полученные в результате эксперимента, представляются в виде временного ряда, по которому проводится моделирование. Эта задача носит название: «идентификация систем» [7] или «реконструкция динамических систем» [1], [2], [3], [4]. При ее постановке приходится аппроксимировать исходные данные с помощью интерполирования.
Создать модель реального объекта или физического явления достаточно сложно. Часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда единственной информацией о свойствах изучаемого явления является экспериментальная зависимость одной из координат состояния исследуемой хаотической системы во времени - V (?). Измеренная в течение конечного времени зависимость называется наблюдаемой (реализацией) системы. При дискретизации с шагом А?, значения последовательности наблюдаемых носят название
(1)
скалярного временного ряда
)г=1 '
где ■ - порядковый номер времени или порядковый номер значения наблюдаемой, за-
V г):
висящей от времени; N - длина ряда (1) (объем выборки).
Восстановление модельной или реальной динамической системы, решение которой с заданной степенью точности воспроизведет одномерную наблюдаемую V (^) на некотором интервале времени, является задачей реконструкции математической модели динамической системы по порождаемому временному ряду.
Для тестирования методики реконструкции математической модели динамической системы по порождаемому временному ряду обычно используют модельные отображения. Это дискретные отображения, либо уравнения движения. Данная работа посвящена моделированию эталонной хаотической системы - системы Ресслера [1], [2]. Для аппроксимации использовался алгебраический многочлен второго порядка. Ошибка аппроксимации становится неприемлемой уже для 0 < ё < 35.
В статье представлен результат моделирования системы Ресслера с помощью дробно-рационального интерполирования. Применение данного подхода позволяет, не увеличивая порядка алгебраических многочленов, используемых для аппроксимации, добиться существенного снижения ошибки аппроксимации при увеличении длительности временного окна, используемого для анализа хаотической системы. Такой подход позволит снизить негативное влияние шумов при моделировании речевого процесса и добиться снижения ошибки идентификации по голосу.
Пусть исходной динамической системой (объектом) является система Ресслера [1]
^¿Х^! / — X2 , &Х2 / — Х3 ,
&Х3 / & — -С2 - С3Х1 + (С1С3 - 1)Х2 + + (С1 - С3 )х3 - С1х12 + (с12 + 1)х1х2 - (2)
Х1Х3 Х2 Х3.
Здесь система Ресслера представлена в виде последовательных производных координаты Х1. Решим систему (2) методом Рун-ге-Кутта 4-го порядка с шагом интегрирования равным 0.01. Далее, пусть V (?,■)— Х1 ^ ),
I = 1, ..., N . Таким образом, временной ряд (1) является решением системы (2).
Применим к системе (2) процедуру реконструкции математической модели динамической системы по порождаемому временному ряду (1). Для этого используем методику глобальной реконструкции, когда полученная модель будет описывать поведение исследуемого объекта во всем фазовом пространстве решений (2).
В процедуре получения модельных уравнений по временным рядам можно выделить три этапа:
- реконструкция фазовой траектории - восстановление компонент векторов состояния модели исследуемой динамической системы;
- реконструкция математической модели исследуемой динамической системы -синтез моделей;
- проверка на адекватность исследуемому объекту (динамическая система).
Рассмотрим представленные этапы в данной постановке задачи.
На этом этапе проводится анализ априорных данных, в нашем случае это ряд (1). И проводится восстановление компонент векторов состояния модели исследуемой динамической системы в момент времени ti
X ^ ), Х2 ),..., хв ), I = 1, ..., N , (3) где О - размерность пространства вложения; N - объем выборки.
Размерность О вычисляют с помощью определения корреляционной размерности аттрактора [2], [3], [4], [5], [8], [9]. На практике О подбирается интуитивно, из соображений хорошей реконструкции [1].
В настоящее время существует множество методов восстановления компонент векторов состояния модели динамической системы. Это методы [2] весового суммирования, последовательного интегрирования, интегральной фильтрации, скользящего среднего, последовательного дифференцирования [1], [2].
Воспользуемся методом последовательного дифференцирования, когда
х^) = [V ^), йп ) / Ш,..., йО -1п (^) / -1,
I = 1, ..., N. Каждая из компонент (3), за исключением х1 ^), получена с помощью численного дифференцирования [10], [11]. В случае экспериментальных данных, методы восстановления компонент векторов состояния необходимо сочетать для получения желаемого результата.
На втором этапе проводится выбор аппроксимирующих базисных функций (нелинейности) и расчет коэффициентов модели.
В качестве аппроксимирующей нелинейности для системы (2) используем алгебраический многочлен второго порядка, получим систему й-х-у / — Х2, йх2 / — Х3,
йх3 /й — ¥Xх2,х3) — с0 + с1х1 + с2х2 +
(4)
i ^3х3 i с4i с5х1х3 i х2i
2 2 2 2 i с7 х3 i с8 i с9 х2 i с10 х3 i 1 х2 i
2 2 2 2 i с12 х3 i с13х 2 х3 i с14 х2 i с1i
2 2 2 2 i с16 х2 х3 i с17 х1х3 i с18 х2 х3 i с19 х1х2 х3
2 2 2 2 2 2 i с20 х2 i с21х1 х2 х3 i с22 х3
22 22 22 222 i с23х1 х2х3 i с24х2 х3 i с25^х^£2 i с26^х .
Для идентификации коэффициентов системы (4) воспользуемся линейным методом наименьших квадратов [10], [11], [12] в следующей постановке
Б (с0 '...' С26 ) —
iv —т
— Е[хо )-¥о (Xl(tI
,(5)
Ш1П
где £(с0,...,с26) - целевая функция; т -
потери точек при вычислении значений компонент векторов состояния (3), по одной на поиск каждой компоненты. Приравняем нулю частные производные
й8 / йс0 — 0, йБ / йс1 — 0, ..., й8 / йс26 — 0.(6)
Тогда минимум (5) найдем из системы
N - т
Е йБ / йс0 [¥0 (х1),..., хо (tI.)) - Х0 (tI.)] — 0,
7—1
N - т
Е йБ / йС1 ¥ (х1 (tI ),...5 хо ))- &о (tI )] — 0,
О VI
—1
Е ^ 'йс 26 ^ ^),..., ^)) - ^)] = 0.
1=1
(7)
Полученные соотношения - система уравнений для идентификации коэффициентов системы (4). Составим матрицу частных производных (6), столбец значений аппроксимирующего алгебраического многочлена, и столбец неизвестных значений коэффициентов этого многочлена
(
А —
В —
1 .. 1 ... х
X (?1 )
x )2 x )2 x (tl)2 л
^ )2 —т / x2 (tn—т ) x3 (tn — т ) 0
( С i и 0
, С—
v С26 0
v хз V Тогда систему (7) можно представить в виде Ат (АС — В) = 0. Далее
(ата)с = Ат В. Отсюда столбец неизвестных коэффициентов системы (4) равен
С = (АтА)-1 АтВ.
Теперь к хаотической системе (2) применим дробно-рациональную интерполяцию [6], [11]. Пусть
Е (х1, х2, х3) = 1 + с'0 + с| + с2 х2 + С. х3 +
+ С +с +с +с +с
Х-1X 2 + С с Х1Х3 + С. Х2 Х3 + С 7 Х1 Х2 Х3 + Со Х1 +
Х2 + С10 Х3 + С11 Х1 Х2 + С12 Х1 Х3 + С13 Х1 Х2 Х3 +
^13 1 2 3
1 4 X1X2 I С.5 X1X2 X3 I С. 6 X2 X3 I С. 7 X1X3 I
г 2 г 2 '22 '22
1 8 X 2 X3 + С1 9 X1X 2 X3 + С 20 X1 X 2 + С 21X 1 X 2 X3 +
2 2 2 2 2 2 2 2
IX1 X3 + С23 X1 X2 X3 + С24 X2 X3 + С25 X1X2 X3 +
'25Л1Л2 Л3
222 + С26 X1 X2 X3 .
(8)
Представим модель реконструируемой хаотической системы (2) в виде
dXl / dt — X2, dx2 / dt — Xз,
dx3 / Ш — Е (x1, x2, x3) / Е ((x1, x2, x3)).
(9)
Значение свободного члена в (8) с'0 — 1 не нарушает общности третьего уравнения в системе (9), так как в случае с'0 ф 1, числи-
тель и знаменатель (9) можно разделить на с0. Преобразуем систему (9) следующим образом:
.&1 — X2 , "X 2 — Xз .
x3 — Е (x1, x2, x3)-x3 (Е^, x2, x3)- 1). (10)
Рассуждая аналогично случаю, приведенному выше, с помощью линейного метода наименьших квадратов, для (10) получим матрицу частных производных, столбец значений аппроксимирующего алгебраического многочлена, и столбец неизвестных значений коэффициентов этого многочлена, количество которых будет равно 53.
Для проверки на адекватность системе Ресслера (2) вычислим величину среднего квадратического отклонения (ошибка аппроксимации) при интерполировании алгебраическим многочленом, для различного объема выборки N с помощью формулы [1], [12]:
1 N—т Л1'2
N-- Е [ Xз ) — Е (X, (t,■), Х2 ), (t,■))] I ,
N — т — 1 0
(11)
Аналогично, получим величину среднего квадратического отклонения при дробно-рациональной интерполяции для различного объема выборки. На рисунке 1 представлены результаты вычислений среднего квадрати-ческого отклонения.
Рис. 1. Результат вычислений среднеквадратических отклонений для систем (4) - сплошная линия и (10) - штриховая линия
Таким образом, применение дробно-рационального интерполирования позволяет значительно увеличить длительность временного окна реконструкции некоторой хаотической системы, по сравнению с применением алгебраического многочлена.
Решим систему Ресслера (2) в режиме спирального хаоса на 0 < t < 1000 с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом интегрирования равным 0,01, при начальных значениях динамических переменных 0,1. На рисунке 2 представлен фазовый портрет системы (2).
1-
-1-
лч -II .11 г II
>:1
Рис. 2. Фазовый портрет системы Ресслера (2)
Представим реконструируемую модель системы Ресслера (2) в виде (10). Для идентификации коэффициентов модели используем линейный метод наименьших квадратов.
Величина среднего квадратического отклонения третьих компонент векторов состояния (3) составила 13,8485. Величина среднего квадратического отклонения реализаций объекта и модели составила 3,7546. В процентах, получаем ошибку аппроксимации - 27 %. Что является хорошим результатом для хаотической системы с таким количеством данных. Модель непригодна, когда ошибка больше 50 %.
В данной работе представлен результат, показывающий, что решение задачи аппроксимации дробно-рациональным интерполированием ряда наблюдаемых значений исследуемой динамической системы позволяет использовать временное окно реконструкции значительно большей длительности, чем использование алгебраического многочлена. Таким образом, для моделирования речевого процесса наибольший интерес представляет дробно-рациональная интерполяция по сравнению с моделированием с помощью алгебраического многочлена.
Представленный подход позволяет использовать методы реконструкции математической модели динамической системы по порождаемому временному ряду для решения практических задач речевых технологий. В частности, идентификация по голосу может быть использована для контроля доступа в помещения и информационные системы организаций любой формы собственности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасо-ва Т. Е., Нейман А. Б., Стрелкова Г. И., Ши-манский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. -М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.: Наука, 1987.
3. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. - Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005.
4. Грибков Д. А., Грибкова В. В., Кравцов Ю. А., Кузнецов Ю. И., Ржанов А. Г. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника. - 1994. - Т. 39. Вып. 2. - С. 269-277.
5. Кузнецов С. П. Динамический Хаос. - М.: Физматлит, 2001.
6. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Наука, 1991.
7. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. — 2-е изд., ис-правл. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2002.
8. Никульчев Е. В. Геометрический метод реконструкции систем по экспериментальным данным // Письма в ЖТФ. — 2007. — Т. 33. Вып. 6. — С. 83-89.
9. Половко А. М., Бутусов П. Н. Интерполяция. Методы и компьютерные технологии их реализации. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
10. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
11. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере / под ред. В. Э. Фигурнова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ИНФРА-М, 2003.
12. Янсон Н. Б., Анищенко В. С. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. 3. № 3. — С. 112—121.
Об авторах
Шульгин Андрей Олегович, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», кандидат технических наук, заведующий кафедрой информационных технологий. Сфера научных интересов автора - технологии интеллектуального анализа данных, методы проектирования информационных систем, моделирование сложных систем. shulgin@ stavsu.ru
Демурчев Никита Георгиевич, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет», кандидат технических наук, заведующий кафедрой организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов автора -безопасность информационных систем, системы разграничения доступа, технологии интеллектуального анализа данных. demurchev@ stavsu.ru
Якушев Дмитрий Владимирович, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет», кандидат технических наук, доцент кафедры организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов автора - технологии интеллектуального анализа и распознавания образов для задач биометрической идентификации. botashev @ rambler. ru
