CC BY
3
УДК 004.9:621.9.07:621.833
DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-73-81
EDN: PBNXWQ
Т. А. ШЕВЕЛЕВА А. А. ЛЯШКОВ
Омский государственный технический университет, г. Омск
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАНИЦ РАБОЧЕГО ПРОСТРАНСТВА ПЛАНАРНОГО
ТРЁХЗВЕННОГО МАНИПУЛЯТОРА
Проведено исследование границ рабочего пространства трехзвенного планар-ного манипулятора, заданного аналитическими уравнениями. Предложена новая геометрическая трактовка этих уравнений. На ее основе установлено, что рабочее пространство представляет собой двухпараметрические множества эксцентрических и концентрических окружностей. При отображении таких окружностей в четырехмерное пространство получены два вида гиперповерхностей, которые являются геометрической моделью рабочего пространства манипулятора. Дискриминантами этих гиперповерхностей на гиперплоскости являются две двумерные поверхности. Получены как аналитическое описание этих поверхностей, так и их компьютерные модели. В результате установлено, что границами рабочего пространства на плоскости механизма являются дискриминанты таких поверхностей. Для подтверждения достоверности полученных результатов в качестве примера на дискриминантных поверхностях решена обратная задача кинематики — определены значения обобщенных координат в точках границ рабочего пространства манипулятора для заданных их декартовых координат.
Ключевые слова: геометрическое моделирование, компьютерная модель, манипулятор, центр схвата, рабочее пространство манипулятора, гиперповерхность, дискриминанта, трехзвенный планарный манипулятор.
Введение. Планарные двух- и трехзвенные манипуляторы нашли широкое применение, в частности, на сборочных линиях при установке мелких деталей для электронных компонентов, в качестве испытательных стендов при исследовании трехзвенных манипуляторов [1], а также в медицине и других отраслях промышленности. Основной характеристикой манипулятора, которая указывается в паспорте манипулятора, является рабочее пространство [2], так как оно влияет на конструкцию манипулятора, размещение в рабочей среде и планирование траекторий. В последние десятилетия многочисленные исследования рабочего пространства и его границ лишь подтверждают эту значимость.
Граничные кривые (для 2Б-манипуляторов роботов), а также поверхности (для ЭБ-манипуляторов роботов) рабочего пространства робота были изучены графическими, аналитическими или численными методами, а также с использованием программного обеспечения.
В настоящее время наиболее исследованным, вследствие простоты его конструкции, является рабочее пространство двухзвенного планарного манипулятора.
Границы двухзвенного планарного манипулятора представляют собой дуги окружностей [2], в работе [Э] это кольцо, определяемое двумя концентрическими окружностями радиуса + и |¡1 — 12| с центрами в начале координат (11 и 1 — длины зве-
ньев). Внутренний круг может выродиться в особую точку, когда два звена имеют одинаковую длину [Э]. Подробнее границы двухзвенного планарного манипулятора исследованы в работе [4].
Хотя в области исследования границ трехзвен-ного манипулятора существует множество работ, до сих пор остаются открытые проблемы в характеристиках границы [5].
СессагеШ М. (1995) [6] был предложен алгоритм определения границ, использующий алгебраическую формулировку. Предварительная классификация типов кольцевых пустот и геометрические особенности были представлены в ОНа^иапо е! а1. (1999) [7]. Анализ бугров в границах рабочего пространства был предложен также в (Витебск, 1995; Багашадо е! а1., 2002) [8, 9].
В статье [7] представлено алгебраическое решение задачи по установлению граничного рабочего пространства ЭБ-манипулятора в декартовом пространстве. Показано, что граничная кривая поперечного сечения может быть описана полиномом 16-го порядка. Исследованы геометрические особенности этой кривой [7].
В работе Ва8Иеп Л. [10] граница манипулятора состоит из дуг окружностей, которые определяются геометрической интерпретацией вырожденной матрицы Якоби. В статье [11] используется аналитическое решение для определения рабочего пространства робота с использованием МаНаЪ.
Рис. 1. Расчетная схема
К сожалению, аналитические методы не подходят с инженерной точки зрения из-за их сложности в расчетах.
Снайман и Плесси (2000) использовали численный метод определения границ [12]. В работе [13] исследование направлено на определение положения и ориентации базы манипулятора относительно заранее заданной рабочей среды. Численные методы размещения робота основаны на определении точной границы рабочего пространства. Задача решается без применения алгоритма обратной кинематики с использованием некоторой «меры ловкости». В качестве примера рассмотрен плоский манипулятор с тремя степенями свободы.
В ряде статей [14—16] был использован метод Монте-Карло, бета-распределение и программа ишдгарЫс8 для создания формы и объёма рабочего пространства робота. В статье [13] в среде программы ишдгарЫс8 получено рабочее пространство путем вращения граничных кривых вокруг оси. В статье [14] для более сложных роботов использовался метод твердотельного моделирования БоЦс^огкБ. Суть метода состоит, во-первых, в применении численного метода для создания плоских граничных кривых пространственного робота в своей основной рабочей плоскости, а затем 3Б-форма и объем рабочего пространства робота генерируются программным обеспечением ишдгарЫс8.
В статье [17] получена классификация для всех возможных плоских 3Я-манипуляторов (где Я — вращательная пара) в зависимости от соотношений длин звеньев. Выделено три класса манипуляторов.
Практический интерес представляет нахождение бугров и пустот внутри рабочей области [7].
Наличие бугров и пустот можно обнаружить по анализу геометрических особенностей граничных поверхностей и кривых. Эффективным инструментом для достижения этих целей является разработка соответствующих геометрических моделей и компьютерных технологий.
Актуальными являются исследования, направленные на развитие методов геометрического и компьютерного моделирования рабочего пространства манипуляторов применительно к их использованию в среде интегрированных систем компьютерной графики.
Целью настоящей работы является исследование рабочего пространства планарных трехзвенных манипуляторов средствами геометрического и компьютерного моделирования с возможностью решения как прямой, так и обратной задач кинематики механизмов этих манипуляторов.
1. Теория. Для решения поставленной задачи выполним исследования кинематической схемы (рис. 1) планарного трехзвенного манипулятора. На этом рисунке заданы длины звеньев ¡1, ¡2 и ¡3, а также углы поворота звеньев и, V и ш (обобщенные координаты).
Рис. 2. Семейства эксцентрических окружностей для различных значений параметра w w = 0°, w = 90°, w = 180°
Аналитические зависимости, связывающие координаты центра схвата с обобщенными координатами манипулятора, определяются системой уравнений
x = l -cos(u) + 12 -cos(u + v) + +13 -cos(u + v + w)
y = 1 -sin(u) + 12 -sin(u + v) + +13 em(u + v + w).
(1)
Проведенны е иес ледов ания ура внений (1) позволили устано в инь, что они задают семейство эксцентрических окружностел , цннтры которых расположены на окружности 3 ддиус нм Я0 = ¡1 с центром в начале системы кооддинат (рии. Т). Радиусы этих окружностей снкедекзются зазисимдстью
Ri = д/(12 )2 +(1з )2 + 2(1а )(1з) cos(w)
(2)
Для каяеднго Н>изс^]ес^1^ген^оти тначения и предлагается рассматриеазт семейства окружностей на плоскости (рис. 2) как проекции окружностей некоторого многоо3ртзтя из четырёхмерного пространства [18, 19]. Пунть дс^дан из окружностей этого семейства смещена параллельно плоскости ХУ на величипу, п]за)У[оуцилегалзтуи) дараметрам V и и. Тогда семейстко задих о кдуншодтий определит гиперповерхность в уетьфехмерном пространстве, которая записываеття укавденнями
т н еине(о) -У е2ине(о д и) д к 1(иня(о д- и У- иг)
П = е1ака:т(о) д 12-еак (о -3 д) д к 4 •еак(о д и д и)
2 у е 'и
t = C¡ • u,
(3)
где С1 и С2 — некоко+ые константы.
Эта поверхность задает рабочее пространство трёхзвенного планарнота манипулятора. Для определения границ этого про странства выполним отображение гихерповертности (3) ортогональным проецировануем вдокь =cie Z на гиперплоскость XYT. В этом слуеае в тотках диск]^и»^инжты гиперповерхности связь обобщенных координат манипулятора устанавливается з авикимостью:
У, К
F (н, о с°) = ху уу Су = 0 .
и V С
Ж ) аа аа
(4)
После вычисления и подстановки выражений для частных пуоизводных в уравнение (4) и преобразований, получим
ч = 0 и ш = +180
(5)
Значения по]рамеора V? совместно о уравнениями (Э) определяюу дае двумерные повнрхвоста:
х о Д мос)) И о И аз В яос(н И о)
V о а1«1п(н) и ) и а() •ат (н и в)
с о с И)
х о Дмос)) И (а2 - аз)яос(на И в)
V о дот) и (а2 - а3) от(н и в)
с о с(н).
Эти поаеухности зяоают границы рабочего пространства махипуляоора в зав—симости оо обобщенных координат и и V. Модели полученных поверхностей привеуены на )ис. 3.
Выполнив преобразование уравнений (6), получим ( )
]х - а • яос(н)]) в
в]у - а, • сОп(н)]) о (а) в а3 )2.
F (и, V) =
Хи Уи Хд Уд
а)
б)
(6)
(7)
(8)
Уравнение (8) определяет семейство эксцентрических окружностей радиусом 12 + 1Э с центрами: х0 = 11 • sm(u), у0 = 1 • sm(u) на окружности радиусом 11.
В свою очередь уравнения (7) определяют семейство эксцентрических окружностей радиусом 12 —1Э с центрами: х0 = 11 • cos(u), у0 = 11 • sm(u) на окружности радиусом 1 .
Огибающие этих окружностей задают границы рабочего пространства манипулятора на плоскости ХУ в зависимости от значений параметра и.
2. Дискриминанты гиперповерхностей, задающих границы рабочего пространства. Границами рабочего пространства манипулятора являются дискриминанты (двумерные поверхности) указанных выше гиперповерхностей на гиперплоскости. Для нахождения границ рабочего пространства в плоскости манипулятора нужно найти дискриминанты полученных двумерных поверхностей.
2.1. Дискриминанта гиперповерхности, образованной семейством эксцентрических окружностей. Для установления границ рабочего пространства в плоскости манипулятора выполним отображение поверхностей (6) и (7) ортогональным проецированием на координатную плоскость ХУ. В точках дискриминант этих поверхностей выполняется условие
Рис. 3. Дискриминантные поверхности на гиперплоскости XYU для а) w = 0°, б) w = ±180°
После подстановки выражений для частных производных переменных х и у из (6) в уравнение (9) и преобразований получим в точках дискриминанты значения параметра х V У 0° и V = ±180°. Тогда уравнения (6) и (7) для значуни= о = 0° имеют вид
х = (Д +12+ 13 у • сог( и
у = (А + 1х+ О-™^
t = ^и),
22 = (11 + 4 - 1з)-РОг(и х = (А + К - 1з)-г°°(и
t = ¿(и) ,
а для V = ±180° будут
х = (Д - Д2 1з)-ТО8(и
У = (11 -12 -1з)-гоо(и t = ^и),
х = (11 - 12 +1з)-Рог(и у = (А -12 +Дз)- Уо(и
t = г(ит).
(10)
(11)
(12)
(1Э)
(9)
В результате ур ав гее ния (и0) — (1=) определяют цилиндрические аинтовы- )инии. Проекциями этих линий на координатнуао пооскоать ХУ являются четыре концннтриоеские ок°ужности радиусами Дшах = (11+12 + 1Э), Дп=п = (+-72-)3), ^ = (11-12 + 1Э),
= (А + 12 —У ■ ДР™ 3™д о-руж-с^стей являются участками границы дабочего 7растраоства в зависимости от диапазона изменения параметра и.
Для опреде ния границ рабочего пространства манипулятора в зависимости от обобщенной координаты V выполним отображение гиперповерхности (Э) ее ортогональным проецированием вдоль оси Т.
В этом случае уравнение, устанавливающее связь обобщенных координат, будет
и
и
О
Zfv)
л - iircsinl — • sin(- w)
(17)
и радиусами
Ri
б)
Рис. 4. Дискриминантные поверхности на гиперплоскости XYV а) k = 0; б) k = ±1
1,2+12+12+21, ^x
л - arcsinl — • sin(- c(c) 11
+ 2С • 4 • c-s(cs) +
+ 21 • 1 • c-s
л - arcsin | — • sin(- w 1,
sin(- w)
Xu Уи Za
F (u, v, w) = Xv Уу Zv = 0 (14)
xw yw Zw
Для определения границы рабочего пространства на координатной плоскости ХУ в зависимости от параметра V определим дискриминанты поверхностей (рис. 4) с учетом уравнения связи (15). В точках дискриминант выполняется условие
у = л • k + (- 1)k x x arcsinI — • sin(- w) I - w,
l А )
in l — • sin(- w)
+ 212 • 12 • c- s
+ 212 • 1., • c-s(w-) + 1.
ff, W
arcsin| — • sin(- w)
v
у
и радиусами
Ri
circsill| — sin(- w) I - w
+ 212 • - • c-s(wn) + + 21+ • 4 • c-s
( (1 arcsin| wx)
л - arcsin
3in(- w)
+ 212 • 1| • c-s(ws) + 2| • 13 x
F(u,s) =
После подстановки зависимостей для частных производных в уравнонае (14) с поеобразований уравнение свяаи параметров V и в будет:
Хи Уи xs У„
= 0
(18)
После подстановки выражений для частных производных в равенство (18) и преобразований получим
(15)
где
где к = 0, ±1.
Полученное уравнение (15) совместно с уравнениями (3) определяют две двумерные поверхности.
Модели этих поверхностей показаны на рис. 4.
Проекцией одной из поверхностей (рис. 4а) является семейство концентрических окружностей с центром в начале системы координат:
х2 + y2 = 12 + 12 + 1з2 + 21, • 12 x
v'(^ • sin(v) - 4 • sin(ws)) = 0,
я • k + (- 1)k
(19)
h ■ — Sin
(-Sn)
- S
У У
- (- l)k • V) • cos (- w)
-1.
(20)
(1 -
5 i n(- S )
(16)
Решено ем урав нерия ( 19) яв ляю т°я з наче нш V и ш: V = 0° и ш = 0р у рт ± 1 £5С»° и в = 0°; V = ±180° и ш = ±180°; в = °Н80° и 9 = 0°.
Подставляя в уравнен°я (16) и 8 7) зна°ения параметров V и w, получим 8еты реикружности:
4
Проекцией другой поверхности (рис. 4б) является семейство концентрических окружностей с центром в начале системы координат:
х°зу° о ¡уз1 уз4озов-4м
( í, \ \
x = (h + k + (3)-cos(u)
У = ( А + 4+- ) • ccin(u)-z = z(+) = 0 °
x = ( 1i + 22- () • cos(u) У = (A +"=2 - () • sin(u) .
z = z3v°) = 0°
x = (A - 4 - ^зз)) • cos(u) У = (А - 4 sin(u) . z = z(v) = zh1l30°
(21)
(22)
v =
X cirCSiil
2
+
x c-s2
w
42 + 42 +4 + Ü1, • 12 x
76
Рис. 5. Семейства концентрических окружностей для различных значений параметра ж w =0°, ж = 90°, ж =180°
Щк)
б)
Рис. 6. Дискриминантные поверхности на гиперплоскости XYW. а ) к = 0;(н) к = Н1
X = - l2 + l3 )• cos(u)
У = (l1 - l2 + l3^ Sin(u) Z = z(v ) = +180 °
(24)
2.2. Дискриминанта гиперповерхности, образованной семейством концентрических окружностей. Выполним еще одно преобразование уравнений системы (1), в результате которого получим
X2 + y2 = l2 + l22 + l¡ + 2l • l2 X x cos(v) + 2l • l3 • cos(v + w) + + 24 • б • cos(w) .
(25)
Это уравнение определяет двукпараметриче-ское семей ство концентрических окружностей с центром в начале систены ксордиекти ]ыадиусами (рис. 5)
ai и
+ +3 +22 + ^32 -2 2Ч, • l) X
x cos^) + 2+ • б x cos(v + w) + 2l2 • l2 • cos(w) .
(26)
Тогда уравнения гиперповерхности в четырехмерном простррннтве, обр^зхван^й семейством концентрит1^е^кит5; oejjj+^+KHосоеíé, ИЧеютвид
x = б•ент(о) Ч б2•ент(о Ч т) Ч б3ент(и Ч т Ч w) y = б •sin (о) Ч б •sin (о Ч т) Ч б •sin (о Ч т Ч w) z е C • w
• I б
w = 7Т • k + (- l)k • arcsin! 2 • sin(— т)l - т, (28)
где k = 0, ± 1.
Значения параметра w аочестно с уравнениями (27) определяют две двумерные птверхности.
Эти поверхности задают границы рабочего пространства манипуашеорэд в зависимдстт от иб дбщен-ной координаты w.
Мояела полуеенных новдрхнднттй пуидвдены на рис. 6.
Выполнив преобразонсние уртвнений (27) с учетом (28), получим
X2 w яа н т w е w Ii w all?! X
arcsin- • TTin(- т)
+ 26 • б ' cos(v) + 2x2 • б x
in l si. • sin(— т) l —
(29)
В результате уравнение (29) опиыываер однопа-раметриохскоо семейнтво концантрических окружностей с центром в точке (0,0) и раднусоми
Oi е
6 2 + •2
Ч т 2
(
\
arcsin- -2- • sin(— т)
+ 2б • б • ент(т) +
arcsin - 62 • sin (— т) I - т
t е с • о
(27)
где С и С2 — н-которью нонстангы.
Такая гиперповерхность, как и (3), задает рабочее пространство трехзвенного планарного манипулятора. Для опредолнния границ этоно пространства выполним отображение гиперповерхности (27) ортогонарьным пронцированием вдоль оси Т на гиперплоскость ХУ^ В этом случае в точках дискриминанты гиперповерх+ооги с+ягь обо7щенных координат манипулят о ра уст а н а т ливае тт я, как и ра -нее, знвисн мгятью (1 .
После подстановки выражени й для соответствующих часан ых про и зво дных в (1 Г) и )1+еобразова-ний получим:
Выполнив аналогично предыдущему, но для к = 1, преобразования системы уравнений (27), получим:
х2 + у2 = I2 + б2 + б2 + 2А • 4 х
• I 6
х cos % - arcsin
— • sin(- v)
+ 26 • б • cos(v) + 26 • l3
х cos| % - arcsin I 62 • sin(- v) | - v
(30)
Тогда уравнение (30) задает семейство концентрических окружностей с центром (0,0) и радиусами
x k • cos
т
3
р охн
+
3
х
Ri =
12 . -¡2 . ;в
' ■ В ^ ■ Г ^
й 8 аггат I — • У1и°- р)
р 2Д • ^ • соу°р)р
( В1 а л
■я 8 аосуцр — • уш°- у)1-у
Огибающие этих окружностей задают границы рабочего прортранотва манипулятора на плоскости ХУ в зависимости от звачений парамевра ю
Для нарождении )раницы рабочвго пространства на координатной плоскосагс ХО °° завиррмо-сти от параметрг ш епределим дискриминаеты ео-верхностей (рис. 6) с учетом уравне ния р в язи (28). В точках дискриминант выполняенся ]вавенство (9), из которого получим
е'°4 • у1и°е) - Д • у1и°р)) г 0.
(31)
Решением уравжния (Зт) являювся ря м
и ш: ч а о° 12 ° = 0°; в = ±180° и ш = 0°; V = ±280° и ш = ±180°; ш = м 180] и у = Со
Плдставляя в ения (27) зеачения параме-
тров V и ш, получам аетыро окружности:
Ч г °/] м1] м тз) • соу=)
Рис. 7. Модели дискриминант и и Т'-поверхностей рабочего пространства манипулятора для w = 0°, -80°<и< 80°, —120°<у<120°
Е -ПОВСрХЗК с...
(-2,-18.5,-3.14) I У
У-[ювсрхность
<72*18.5,-2.1) (-2,-18^,-1.14)
(-2.-l4.il
Рис. 8. Определение обобщенных координат (и, V, И') рабочего пространства на моделях дискриминант и- и Vповерхностей для w = 0°, -80°<и< 80°, —120°<у<120°
л г {¡1 р Iв р 13) • )1и°в)
а г° а°е) г о;
Л4 г °1н р1] -1с)'со))°в)
Л г р 12 - 113) • у1и°в)
а г а°е) г 0° 44 г °1н °° 12 1з) • <Сот);°и) Л г °1н 8 12 'зМ^ а? = аа°ее) = ±180°
Х = (11 - 12 + 13)' СОн(—В
У = (11 - 12 + 1з) • этН
2 = а(в) = +180
(32)
(33)
(34)
(35)
странства при изменении параметров и и V. Они определяются моделями двух дискриминант и представлены на рис. 7 и 8. Границами дискриминанты (6) являются дуги окружностей поз. 1—5, при этом дуге 1 соответствует параметр V = —80°, 2 — V = 80°, 3 - ш = 0°, 4 - ш = -120°, 5 - ш = 120°.
Для решения обратной задачи кин-ма+ики манипулятора воспользуемся предложенной геометрической интерпретацией рабочего пространства. Модели сечений гиперповерхности (3), определяющей рабочее пространство манипулятора, приведены в [19]. На гор из онталь ной п роекции моделей дискриминант и- и У-поверхностей, задав точку 1 (рис. 8) с координатами (х, к) = (-2; — 18,.5), получим ка дискриминантах и- и У-поверхностей третью коор-3,14 _ ^ _ 3,14
180 °
а(у) а 2у •
-3,14;
Выполненное оаобр ажение гиперповерхности (27) ортогональным проецированием вдоль оси Z позволило установить, что 14 дискриминанта совпадает с дискриминантой г те р поверхности (3).
3. Результаты компьютерных экспериментов. Так как обобщенные координаты в промышленных манипуляторах изменяются в определенных границах, то изложенные выше результаты применим для моделирования рабочего пространства в конкретных диапазонах изменения этих координат. Компьютерные модели выполнены по разработанным авторами алгоритмам и программам в среде СЛЭ-системы [20].
Для рассмотренной выше дискриминанты (6) гиперповерхности (3) построим модели рабочего про-
динату а(—) а 2— —'— а -2,1;
180 °
или и = -60°, V = -90°.
Заключение. Проведенные исследования границ рабочего пространства трехзвенного планарного манипулятора, заданного аналитическими зависимостями, позволили получить ряд новых результатов. Так, на основе предложенной геометрической трактовки этих зависимостей установлено, что рабочее пространство в плоскости манипулятора состоит из двух множеств окружностей. Одно из них представляет собой двухпараметрическое множество эксцентрических, а второе — двухпараметри-ческое множество концентрических окружностей. Выполненные отображения таких окружностей в четырехмерное пространство позволили получить два вида гиперповерхностей. Дискриминантами этих гиперповерхностей на две гиперплоскости являются двумерные поверхности. Получено как аналитическое описание этих поверхностей, так и их компьютерные модели. В результате определены границы рабочего пространства на плоскости механизма. Они являются дискриминантами двумерных поверхностей при их ортогональном отображении на координатную плоскость манипу-
н соу
лятора. Для решения обратной задачи кинематики манипулятора на дискриминантных поверхностях определены значения обобщенных координат в точках границ рабочего пространства манипулятора для заданных их декартовых координат.
Библиографический список
1. Duka A. V. Neural network based inverse kinematics solution for trajectory tracking of a robotic arm // Procedia Technology. 2014. Vol. 12. P. 20-27. DOI: 10.1016/j.protcy.2013.12.451.
2. Зенкевич С. Л., Ющенко А. С. Основы управления манипуляционными роботами. Москва: Изд-во МГТУ, 2004. 478 с.
3. Zar T., Lin P. W., Win S. Y. Workspace Analysis of Two-link Planar Manipulator // International Journal of Science and Engineering Applications. 2019. Vol. 8. P. 380-383. DOI: 10.7753/ IJSEA0808.1028.
4. Ляшков А. А., Шевелева Т. А. Моделирование рабочего пространства планарного двухзвенного манипулятора средствами компьютерной графики // Автоматизация в промышленности. 2023. № 12. С. 46-50. DOI: 10.25728/ avtprom.2023.12.08. EDN: ORUSIA.
5. Ottaviano E., Husty M., Ceccarelli M. Identification of the Workspace Boundary of a General 3-R Manipulator // Journal of Mechanical Design. 2006. Vol. 128 (1). DOI: 10.1115/1.2120807.
6. Ceccarelli M. A synthesis algorithm for three-revolute manipulators by using an algebraic formulation of workspace boundary // Journal of mechanical design. Vol. 117 (2A). Р. 298302. URL: https://www.dmg-lib.org/dmglib/streambook/index. jsp?bookid = 23666009 (дата обращения: 11.02.2024).
7. Ottaviano E., Ceccarelli M., Lanni C. A Characterization of Ring Void in Workspace of Three-Revolute Manipulators // Proceedings 10th World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms. 1999. Vol. 3. P. 1039-1044.
8. Burdick J. W. A Classification of 3R Regional Manipulator Singularities and Geometries // Proceedings. 1991 IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1991. Vol. 3. P. 2670-2675. DOI: 10.1109/ROBOT.1991.132033.
9. Lanni C., Saramago S., Ceccarelli M. Optimum Design of General 3R Manipulators by Using Traditional and Random Search Optimization Techniques // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences. 2002. Vol. 24. P. 293-301.
10. Bastien J. Description analytique complète des limites de l'espace de travail pour un manipulateur en série plan // Comptes Rendus Mécanique. 2018. Vol. 346. P. 13-25. DOI:10.1016/j. crme.2017.10.004.
11. Goyal K., Sethi D. An analytical method to find workspace of a robotic manipulator // Journal of Mechanical Engineering. 2010. Vol. 41 (1). DOI: 10.3329/jme.v41i1.5359.
12. Serweryouns S., Hasan D. S. Kinematic Workspace Modelling of Two Links Robotic Manipulator // Anbar Journal of Engineering Science. 2020. Vol. 4. P. 101-106. DOI: 10.37649/ aengs.2020.171281.
13. Abdel-Malek K., Yu W. Placement of Robot Manipulators to Maximize Dexterity // International Journal of Robotics and Automation. 2004. Vol. 19 (1). DOI: 10.2316/ Journal.206.2004.1.206-2029.
14. Cao Y., Qi S. P., Lu K. [et al.]. An integrated method for workspace computation of robot manipulator // Proceedings of International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization. 2009. Vol. 1. P. 309-312. DOI: 10.1109/ CSO.2009.161.
15. Cao Y., Zang H., Wu L., Lu T. An engineering oriented method for the three dimensional workspace generation of robot manipulator // Journal of Information and Computational Science. 2011. Vol. 8, no. 1. P. 51-61.
16. Cao Y., Lu K., Zang Y. Accurate Numerical Methods for Computing 2D and 3D Robot Workspace // International Journal of Advanced Robotic Systems. Vol. 8, Issue 6. 2011. DOI: 10.5772/45686.
17. Guo W. Z., Gao F., Mekid S. A new analysis of workspace performances and orientation capability for 3-dof planar manipulators // International Journal of Robotics and Automation. 2010. Vol. 25, № 2. P. 89-101. DOI: 10.2316/ Journal.206.2010.2.206-3326.
18. Thom R. Sur la theorie des envelopes // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1962. Vol. 41, № 2. Р. 177192.
19. Ляшков А. А., Шевелева Т. А. Моделирование рабочего пространства планарного двухзвенного манипулятора средствами компьютерной графики // Онтология проектирования. 2024. Т. 14, № 1. С. 71-81. DOI: 10.18287/2223-95372024-14-1-71-81.
20. Ляшков А. А., Шевелева Т. А. Программа компьютерного моделирования трехмерной гиперповерхности, являющейся моделью рабочего пространства плоского трёхзвен-ного механизма: программа для ЭВМ. Москва: ФИПС, 2022. № 2022685586.
ШЕВЕЛЕВА Татьяна Анатольевна, аспирант кафедры «Инженерная геометрия и САПР» Омского государственного технического университета (ОмГТУ), г. Омск. SPIN-код: 5059-6717 ORCID: 0009-0002-2577-8348 Адрес для переписки: [email protected] ЛЯШКОВ Алексей Ануфриевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная геометрия и САПР» ОмГТУ, г. Омск. SPIN-код: 2377-7912 ORCID: 0000-0003-0100-8584 AuthorlD (SCOPUS): 55237710400 ResearcherID: C-2426-2017 Адрес для переписки [email protected]
Для цитирования
Шевелева Т. А., Ляшков А. А. Моделирование границ рабочего пространства планарного трёхзвенного манипулятора // Омский научный вестник. 2024. № 3 (191). С. 73 — 81. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-73-81.
Статья поступила в редакцию 14.05.2024 г. © Т. А. Шевелева, А. А. Ляшков
UDC 004.9:621.9.07:621.833
DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-73-81
EDN: PBNXWQ
T. A. SHEVELEVA A. A. LYASHKOV
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
MODELING THE BOUNDARIES OF THE WORKING SPACE OF A PLANAR THREE-LINK MANIPULATOR_
A study of the boundaries of the working space of a three-link planar manipulator, specified by analytical equations, is carried out. A new geometric interpretation of these samples is proposed. On its basis, it is established that outer space consists of two-parameter volumes of eccentric and concentric circles. When transforming such environments into four-dimensional space, two types of hypersurfaces are obtained, which represent a geometric model of the manipulator's workspace. The discriminants of these hypersurfaces on the hyperplane are two two-dimensional surfaces. Both an analytical description of these surfaces and their computer models are obtained. As a result, it is established that the boundaries of the working space on the plane of the mechanism are the discriminants of such surfaces. To confirm the reliability of the results obtained, as an example, an inverse kinematics problem is solved on discriminant surfaces — the values of generalized coordinates at the boundary points of the manipulator's workspace are determined for their given Cartesian coordinates.
Keywords: geometric modeling, computer model, manipulator, gripper center, manipulator workspace, hypersurface, discriminant, three-link planar manipulator.
References
1. Duka A. V. Neural network based inverse kinematics solution for trajectory tracking of a robotic arm // Procedia Technology. 2014. Vol. 12. P. 20-27. DOI: 10.1016/j.protcy.2013.12.451. (In Engl.).
2. Zenkevich S. L., Yushchenko A. S. Osnovy upravleniya manipulyatsionnymi robotami [Fundamentals of manipulative robot control]. Moscow, 2004. 478 p. (In Russ.).
3. Zar T., Lin P. W., Win S. Y. Workspace Analysis of Two-link Planar Manipulator // International Journal of Science and Engineering Applications. 2019. Vol. 8. P. 380-383. DOI: 10.7753/ IJSEA0808.1028. (In Engl.).
4. Lyashkov A. A., Sheveleva T. A. Modelirovaniye rabochego prostranstva planarnogo dvukhzvennogo manipulyatora sredstvami komp'yuternoy grafiki [Modeling the workspace of a three-link planar manipulator] // Avtomatizatsiya v promyshlennosti. Automation in Industry. 2023. No. 12. P. 46-50. DOI: 10.25728/ avtprom.2023.12.08. EDN: ORUSIA. (In Russ.)
5. Ottaviano E., Husty M., Ceccarelli M. Identification of the Workspace Boundary of a General 3-R Manipulator // Journal of Mechanical Design. 2006. Vol. 128 (1). DOI: 10.1115/1.2120807. (In Engl.).
6. Ceccarelli M. A synthesis algorithm for three-revolute manipulators by using an algebraic formulation of workspace boundary // Journal of mechanical design. Vol. 117 (2A). P. 298-302. URL: https://www.dmg-lib.org/dmglib/ streambook/index.jsp?bookid = 23666009 (accessed: 11.02.2024). (In Engl.).
7. Ottaviano E., Ceccarelli M., Lanni C. A Characterization of Ring Void in Workspace of Three-Revolute Manipulators // Proceedings 10th World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms. 1999. Vol. 3. P. 1039-1044. (In Engl.).
8. Burdick J. W. A Classification of 3R Regional Manipulator Singularities and Geometries // Proceedings. 1991 IEEE International Conference on Robotics and Automation. 1991. Vol. 3. P. 2670-2675. DOI: 10.1109/ROBOT.1991.132033. (In Engl.).
9. Lanni C., Saramago S., Ceccarelli M. Optimum Design of General 3R Manipulators by Using Traditional and Random Search Optimization Techniques // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences. 2002. Vol. 24. P. 293-301. (In Engl.).
10. Bastien J. Description analytique complète des limites de l'espace de travail pour un manipulateur en série plan // Comptes Rendus Mécanique. 2018. Vol. 346. P. 13-25. DOI:10.1016/j. crme.2017.10.004. (In Engl.).
11. Goyal K., Sethi D. An analytical method to find workspace of a robotic manipulator // Journal of Mechanical Engineering.
2010. Vol. 41 (1). DOI: 10.3329/jme.v41i1.5359. (In Engl.).
12. Serweryouns S., Hasan D. S. Kinematic Workspace Modelling of Two Links Robotic Manipulator // Anbar Journal of Engineering Science. 2020. Vol. 4. P. 101-106. DOI: 10.37649/ aengs.2020.171281. (In Engl.).
13. Abdel-Malek K., Yu W. Placement of Robot Manipulators to Maximize Dexterity // International Journal of Robotics and Automation. 2004. Vol. 19 (1). DOI: 10.2316/ Journal.206.2004.1.206-2029. (In Engl.).
14. Cao Y., Qi S. P., Lu K. [et al.]. An integrated method for workspace computation of robot manipulator // Proceedings of International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization. 2009. Vol. 1. P. 309-312. DOI: 10.1109/ CSO.2009.161. (In Engl.).
15. Cao Y., Zang H., Wu L., Lu T. An engineering oriented method for the three dimensional workspace generation of robot manipulator // Journal of Information and Computational Science.
2011. Vol. 8, no. 1. P. 51-61. (In Engl.).
16. Cao Y., Lu K., Zang Y. Accurate Numerical Methods for Computing 2D and 3D Robot Workspace // International Journal of Advanced Robotic Systems. 2011. Vol. 8, Issue 6. DOI: 10.5772/45686. (In Engl.).
17. Guo W. Z., Gao F., Mekid S. A new analysis of workspace performances and orientation capability for 3-DOF planar manipulators // International Journal of Robotics and Automation. 2010. Vol. 25, no. 2. P. 89-101. DOI: 10.2316/ Journal.206.2010.2.206-3326. (In Engl.).
18. Thom R. Sur la theorie des envelopes // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1962. Vol. 41, no. 2. P. 177192. (In Engl.).
19. Lyashkov A. A., Sheveleva T. A. Modelirovaniye rabochego prostranstva planarnogo dvukhzvennogo manipulyatora sredstvami komp'yuternoy grafiki [Modeling the workspace of a three-link planar manipulator] // Ontologiya proyektirovaniya. Ontology of Designing. 2024. Vol. 14, no. 1. P. 71-81. DOI: 10.18287/22239537-2024-14-1-71-81. (In Russ.).
20. Lyashkov A. A., Sheveleva T. A. Programma komp'yuternogo modelirovaniya trekhmernoy giperpoverkhnosti, yavlyayushcheysya model'yu rabochego prostranstva ploskogo trAkhzvennogo mekhanizma [A program for computer modeling of a three-dimensional hypersurface, which is a model of the working space of a flat three-link mechanism]. Moscow, 2022. No. 2022685586. (In Russ.).
SHEVELEVA Tatyana Anatolyevna, Graduate Student of Engineering Geometry and CAD Department, Omsk State Technical University (OmSTU), Omsk. SPIN-code: 5059-6717 ORCID: 0009-0002-2577-8348 Correspondence address: [email protected] LYASHKOV Aleksey Anufriyevich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Professor of Engineering Geometry and CAD Department, OmSTU, Omsk. SPIN-code: 2377-7912 ORCID: 0000-0003-0100-8584 AuthorlD (SCOPUS): 55237710400 ResearcherlD: C-2426-2017 Correspondence address: [email protected]
For citations
Sheveleva T. A., Lyashkov A. A. Modeling the boundaries of the working space of a planar three-link manipulator // Omsk Scientific Bulletin. 2024. No. 3 (191). P. 73-81. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-73-81.
Received May 14, 2024. © T. A. Sheveleva, A. A. Lyashkov
