Аналитический и численный методы решения обратной задачи кинематики для робота Delta Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Оригинальная статья / Original article УДК 007.52

DOI: 10.21285/1814-3520-2017-5-87-96

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ДЛЯ РОБОТА DELTA

© Д.С. Колтыгин1, И.А. Седельников2, Н.В. Петухов3

Братский государственный университет,

Российская Федерация, 665709, г. Братск, ул. Макаренко, 40.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Рассмотрены аналитическое и численное решения обратной задачи кинематики для определения обобщенных координат робота-манипулятора DELTA. Нахождение обобщенных координат производится по известным координатам объектов и точкам позиционирования в пространстве. По полученному результату представлена программа Delta v1. 1 для вычисления обобщенных координат робота. МЕТОДЫ. Для решения поставленных задач использовались кинематика и тригонометрические уравнения движения звеньев роботов, методы программирования, вычислительные методы и алгоритмы. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Решение прикладных задач, связанных с кинематикой роботов-манипуляторов, основано на идентификации геометрических параметров их звеньев. Также важным аспектом является увеличение точности позиционирования при работе с объектами. При этом необходимо решать обратную задачу кинематики для определения уравнений связи между обобщенными координатами и координатами схвата или объекта, с которым взаимодействует робот. Наиболее простой и самый распространенный метод получения данных уравнений - это метод преобразования координат, который на практике должен учитывать конструктивные особенности робота, углы поворота звеньев, базовую систему координат. ВЫВОДЫ. Предложена методика определения обобщенных координат робота-манипулятора DELTA по составленной кинематической схеме и системе уравнений. Предложены численный метод решения данной задачи и программа для ЭВМ.

Ключевые слова: кинематика, робот, робототехника, программа, манипулятор, система управления.

Формат цитирования: Колтыгин Д.С., Седельников И.А., Петухов Н. В. Аналитический и численный методы решения обратной задачи кинематики для робота DELTA // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 5. С. 87-96. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-5-87-96

ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS OF INVERSE KINEMATIC PROBLEM SOLUTION FOR DELTA ROBOT D.S. Koltygin, I.A. Sedelnikov, N.V. Petukhov

Bratsk State University,

40, Makarenko St., Bratsk, 665709, Russian Federation.

ABSTRACT. PURPOSE. The article deals with the analytical and numerical solutions of the inverse kinematic problem for the determination of generalized coordinates of the DELTA robot manipulator. The generalized coordinates are found on the basis of known coordinates of objects and points of position in space. The Delta v1.1 program for calculation of the generalized robot coordinates is presented by the received result. METHODS. The set objectives are solved through the use of kinematics and trigonometric equations of robot link movement, programming methods, computing methods and algorithms. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The solution of applied tasks connected with the kinematics of robots-manipulators is based on the identification of geometrical parameters of their links. One more important aspect is improvement of positioning accuracy when manipulating objects. This involves the solution of the inverse kinematic problem for the determination of equations of relationship between the generalized coordinates and the coordinates of a gri p-per or an object the robot interacts with. The simplest and most widespread method of receiving these equations is a

1

Колтыгин Дмитрий Станиславович, кандидат технических наук, доцент кафедры управления в технических системах, e-mail: kds_kds@mail.ru

Dmitriy S. Koltygin, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Management in Engineering Systems, e-mail: kds_kds@mail.ru

2Седельников Илья Андреевич, ассистент кафедры управления в технических системах, e-mail: ohtargil@yandex.ru

Ilya A. Sedelnikov, Assistant Professor of the Department of Management in Engineering Systems, e-mail: ohtargil@yandex.ru

3Петухов Никита Владимирович, магистрант кафедры управления в технических системах, e-mail: nkitos.petukhov@mail.ru

Nikita V. Petukhov, Master's Degree Student of the Department of Management in Engineering Systems, e-mail: nkitos.petukhov@mail.ru

method of coordinate transformation. In practice, it should take into account the features of robot design, angles of link rotation and a basic coordinate system. CONCLUSIONS. The paper introduces a technique for the determination of the generalized coordinates of the DELTA robot manipulator according to the developed kinematic structure and the system of equations. A numerical method for the solution of this task and the computer program are proposed. Keywords: kinematics, robot, robotics, program, manipulator, control system

For citation: Koltygin D.S., Sedelnikov I.A., Petukhov N.V. Analytical and numerical methods of inverse kinematic problem solution for DELTA robot. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 5, pp. 87-96. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-5-87-96

Введение

В промышленной робототехнике, как и в целом при эксплуатации роботов -манипуляторов, приходится решать задачу идентификации геометрических параметров робота4 [1]. Сущность этой операции состоит в уточнении действительных значений геометрических параметров робота путем сбора информации о его положении в пространстве. Геометрическими параметрами являются длины звеньев манипулятора и углы, задающие их положение друг относительно друга. При сборке манипулятора длины звеньев имеют отклонения от номинальных значений, в результате каждый образец робота имеет свою систематическую погрешность. Решение задач кинематики имеет важное значение, основными составляющими при этом являются прямая и обратная задачи кинематики [2].

Методы и результаты

Обратная задача кинематики состоит в нахождении значения всех обобщенных координат при известных координатах конца кинематической цепи и длинах всех звеньев, то есть нахождение углов, на которые нужно повернуть звенья для того, чтобы рабочий орган манипулятора оказался в заданной точке. Так, например, угловые перемещения манипулятора имеют одни значения, а координаты объектов, с которым работает манипулятор, другие, и они различны по единицам измерения.

Таким образом, система управления роботом должна включать решение обратной задачи кинематики и использовать более совершенные средства очувствления. Сейчас все более широко используется система технического зрения для точного определения положения звеньев манипулятора. Уменьшение погрешности в определении обобщенных координат и точности позиционирования дают возможность эффективно использовать робота -манипулятора для работы с различными деталями, расположенными в пространстве.

Но в любом случае при решении как прямой, так и обратной задач кинематики необходимо выявить уравнения связи между обобщенными координатами, скоростями и ускорениями с одной стороны, и координатами, скоростями и ускорениями схвата (или объекта, в нем находящегося), с другой стороны. Наиболее простой и самый распространенный метод получения этих уравнений - это метод преобразования координат5. На практике метод преобразования координат должен учитывать конструктивные особенности робота, углы поворота звеньев, базовую систему координат [3].

На рис. 1 представлен робот DELTA с электромеханическим типом привода и тремя

4Колтыгин Д.С. Аппаратно-программное обеспечение дистанционного управления, идентификации и диагностики робототехнических комплексов: дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2004. 152 с. / Koltygin D.S. Hardware and software for robotic system remote control, identification and diagnostics: Candidate's Dissertation in technical sciences, Irkutsk, 2004. 152 p.

5Курышкин Н.П. Основы робототехники: учеб. пособие. Кемерово: Изд-во КузГТУ им. Т.Ф. Горбачева, 2012. 166 с. / Kuryshkin N.P. Fundamentals of robotics. Kemerovo, Kuzbas State Technical University named after T.F. Gorbachev Publ., 2012, 166 p.

подвижными звеньями, у которого в управляющей системе нет возможности автоматического позиционирования в зависимости от координат объекта в пространстве, поэтому здесь необходимо решать обратную задачу кинематики. На рис. 2 робот DELTA представлен в режиме работы с объектами.

Рис. 1. Общий вид манипулятора DELTA Fig. 1. DELTA manipulator main view

Рис. 2. Режим работы с деталями Fig. 2. Operating mode with parts

Необходимо определить обобщенные координаты Zr подвижного звена в плоскости XY (рис. 3) и обобщенные координаты Xr и Yr подвижных звеньев в плоскости Z (рис. 4).

Рис. 3. Манипулятор DELTA: схематичный вид сверху Fig. 3. DELTA manipulator: schematic top view

Рис. 4. Кинематическая схема манипулятора Fig. 4. Manipulator kinematic scheme

Угол перемещения (град.) будет определяться по следующему выражению:

Zr = arctan(X) + 90. (1)

Если коэффициент передачи на звене не равен 1, то его необходимо учитывать. В кинематической схеме манипулятора (см рис. 4) приняты следующие обозначения: h0 - высота от установочной площадки до первого звена; 1 - длина первого звена манипулятора; l2 - длина второго звена; Z XR и Z Yr - углы поворота звеньев; X, Y, Z - координаты объекта.

На основании [3] и тригонометрических функций можно записать:

Z1 = ZYr -90 , Z2 = 90-Z1 = 90-ZYR + 90 = 180-ZYR; Z3 = ZXR -Z2 - 90 = ZXR -180 + ZYR - 90 = ZXR + ZYR - 270; h = A ■ sin(ZY - 90) = A ■ (sm(ZYK ) • cos(-90) + sm(-90) • cos(ZYK )) = 4 cos(ZY ); h = A ■ sin(Z^ + Z Y + 90) = A ■ cos(ZXj + ZYr );

z=h+h+h=h - к ■ cos(z y )+/2 ■ cos(z^ + zyr )

Аналогично получаем следующие выражения:

/0 = 1г ■ sin(ZY ), h = ' sin(ZXß + ZYR ); UX2 + Y2 = L + L.

Из вышесказанного следует система уравнений:

Z = h - k ■ cos(z Y )+h ■ cos(zXj + z Y ); [Vx2 + Y2 = k ■ sin(z Y ) - h ' sin(ZXR +ZYR ).

(2)

Робот DELTA позиционируется обобщенными координатами Xr, Yr, Zr, что соответствует x, y, z (рис. 5).

Рис. 5. Работа с обобщенными координатами Fig. 5. Work with the generalized coordinates

Необходимо привести углы поворотов Z XR, Z YR, Z ZR, найденные в (1) и (2), к обобщенными координатам:

ZXR = ZXR0 ~ Xr ,ZYR = ZYR0 - Yr ,ZZR = Zr ,

где ZXR0 и ZY0 - углы начального положения звеньев.

Если коэффициенты передачи на звеньях не равны 1, то их необходимо учитывать:

zXr = zXRo - KxXr,zYR = ZYro - KyYr,ZZr = KzZr.

При этом система (2) для нахождения обобщенных координат Xr, Yr будет иметь вид:

Z = h - h • cos(ZYM - KYr ) +12 • cos(ZXr0 - KXr + ZYm - KYr );

,--. (3)

VX2 + Y2 = ¡1 • sin(ZY^0 -KyYr)-12 • sm(ZXR0 -KX +ZYi0 -KyYr)

Решим систему (2) аналитически:

Y =Z1 + 90; Хл =Z3-Z1 + 180; a = Z1; ß = Z3;

^ , v2.

-h • cos(a) + A • cos(ß) = VX2 + Y2; Js = ix2+Y2; M •>/ 1 - sin2 (a) + ¡2 ^ 1 - sin2(ß) = 5; [h • sin(a) + A • sin(ß) = Z - h. [h = Z - h0. [h • sin(a) + h2 • sin(ß) = h.

-h ^ 1 - sin2(a) = 5 - A •>/1 - sin2(ß); h • sin(a) = h - A • sin(ß).

A] • sin2 (a) = 52 - 2 • A • 5 ^ 1 - sin2(ß) + h2 - h2 • sin2 (ß) - h2; [ h2 • sin2 (a) = h2 - 2 • h • h2 • sin(ß) + h2 • sin2 (ß).

hl - h2 • sin2 (a) = 52 - 2 • A • 5 ^1 - sin2(ß) + A2 - h2 • sin2 (ß); h2 • sin2(a) = h2 - 2 • h • h2 • sin(ß) + h2 • sin2(ß).

Разделим первое уравнение на второе:

_ 52 - 2 • А • 5 • - sin2(ß) + ¡z2 - hl • sin2(ß) - h2 - = h2 - 2 • h • A • sin(ß) + h2 • sin2(ß) '

52 - 2 • А • 5 ^ 1- sin2(ß) + h2 - £ • sin2 (ß) - h2 = 2 • h • h2 • sin(ß) - h2 - £ • sin2 (ß);

52 - 2 • A • 5 ^ 1 - sin2(ß) + £ - h2 = 2 • h • A • sin(ß) - h2;

(2 • A • 5 •V1 - sin2(ß))2 = (2 • h • A • sin(ß) + hl - h2 - 52 - h2)2; 4 • h22 • 52 • (1 - sin2(ß)) = 4 • h2 • h22 • sin2(ß) + 4 • h • h2 • sin(ß) • (h2 - h2 - 52 - £) + (h2 - h2 - 52 - h2)2; q = sin(ß), 4 • h2 • 52 - 4 • h2 • 52 • q2 = 4 • h2 • h2 • q2 + 4 • h • h2 • q • (h2 - h2 - 52 - h2) + (h2 - h2 -52 - h2)2; q2 • (4 • h2 • h22 + 4 • h22 • 52) + q • (4 • h • ¡z • ß2 - h2 - 52 - h2)) + ОД2 - h2 - 52 - h2)2 - 4 • h2 • 52); a = 4 • h2 • (h2 + 52), b = 4 • h • h2 • (h2 - h2 - 52 - h2), с = (h2 - h2 - 52 - h2)2 - 4 • h2 • 52;

q = ■

-b Wb - 4ac _ -4 • h • ¡2 • (¡2 - h2 - s2 -/2) +

2a

8 • ¡1 • {h2 + s2)

^16 • h2 • ¡2 • (¡2 - h2 - s2 - ¡D2 -16 • ¡2 • (h2 + s2) • ((¡2 - h2 - s2 - ¡D2 - 4 • ¡2 • s2) _

8 • ¡2 • {h2 + s2) ~

h • {¡2 - h2 - s2 - ¡2) -y/h2 • (¡2 - h2 - s2 - ¡22)2 - (h2 + s2) • ((¡2 - h2 - s2 -¡22)2 - 4 • ¡2 • s2)

2-¡2- {h2 + s2) '

ß = arcsin(q), ^ • sin(a) + ¡2 • sin(ß) = hjl- sin(a) = h - ¡2 • sin(ß), a = arcsin(

h -¡2 • sin(ß)

s =

y/x^+Y2 ;

h = Z - h,

G'

-h • (¡2 - h2 - s2 - ¡22) - ^h2 • (¡2 - h2 - s2 - ¡D2 - (hh2 + s2) • ((¡2 - h2 - s2 - ¡D2 - 4 • ¡22 • s2)

2 •¡^ (h2 + s2)

q = ■

a = arcsin(

¡1

ß = arcsin(q);

X, = ZXß0 -(ß-a +180); Y, = ZYM - (a + 90).

Система (4) является аналитическим решением обратной задачи кинематики для определения обобщенных координат робота-манипулятора DELTA.

Далее решим систему (2) численным способом на ЭВМ. Ниже представлена форма программы Delta v1.1 (рис. 6) и текст программы с комментариями.

Рис. 6. Форма программы Delta v1.1 для определения обобщенных координат Fig. 6. The form of Delta v1.1 program for generalized coordinates determination

Листинг 1. Программа Delta v1.1:

Private Sub CommandButton1_Click()

Dim h0, 11, 12, Z, Zr, X, Y, Yr, Xr, Yr0,

Xr0, k, k1, x1, y1, W, Z1 As Double

'h0 - высота основания манипулятора

'11 - длина первого звена манипулятора

'12 - длина второго звени манипулятора

'X,Y,Z - координаты объекта

'Xr,Yr,Zr - координаты робота

'Yr0, Xr0 - начальные углы робота

'k - переменная для хранения значения ошибки

'k1- переменная для расчета значения ошибки

'x1, y1 - переменные для хранения значения

углов наклона робота

'Z1- переменная для расчета высоты объекта 'W - переменная для расчета длины вылета манипулятора (Sqr(X Л 2 + Y л 2)) 'Начальные значения h0 = 24

11 = 27

12 = 35 Yr0 = 165 Xr0 = 125

'Координаты объекта X = TextBox1 Y = TextBox2 Z = TextBox3

' Начальные значения для переменных «ошибки» k= 10000000 k1 = 0

'Проверка пределов для введенных координат If Z > 60 Or Z < 0 Or Sqr(X л 2 + Y л 2) < 34 Or Sqr(X л 2 + Y л 2) > 53 Then MsgBox "Неверные координаты" Else

' двойной цикл для перебора параметров углов наклона ( X и Y) робота For Xr = 0 To 50 Step 1 For Yr = 0 To 60 Step 1 'расчет

Z1 = h0 - 11 * Cos((Yr0 - Yr) * 3.14 / 180) + 12 * Cos((Xr0 - Xr + Yr0 - Yr) * 3.14 / 180)

W = 11 * Sin((Yr0 - Yr) * 3.14 / 180) - 12 * Sin((Xr0 - Xr + Yr0 - Yr) * 3.14 / 180) 'Расчет суммарной ошибки k1 = Abs(Z - Z1) + Abs(Sqr(X л 2 + Y л 2) - W) ' проверка условия минимальной ошибки

If (k1 < k) Then ' присваивание значений временным переменным k = k1

x1 = Xr y1 = Yr End If Next Yr Next Xr

'расчет угла поворота робота Zr = Atn(X / Y) * 180 / 3.14 + 90 ' вывод оптимальных координат робота и соответствующей ошибки TextBox4 = Round(x1, 1) TextBox5 = Round(y1, 1) TextBox6 = Round(zr, 1) TextBox7 = k End If End Sub ' отчистка формы

Private Sub CommandButton2_Click()

TextBox1 = ""

TextBox2 = ""

TextBox3 = ""

TextBox4 = ""

TextBox5 = ""

TextBox6 = ""

TextBox7 = ""

End Sub

Сравним оба метода решения (таблица).

Значения обобщенных координат Values of generalized coordinates

Аналитическое решение / Analytical solution Численное решение на ЭВМ / Computer numerical solution

Xr = 38,5 Xr = 39

Yr = 12,4 Yr = 12

Zr = 135 Zr = 135

Так как обобщенные координаты - это углы поворота шаговых электрических двигателей робота DELTA, то целые значения, полученные в результате двух решений, имеют допустимую погрешность.

Заключение

На первом этапе была составлена кинематическая схема робота DELTA и система уравнений (2) решения обратной задачи кинематики для определения обобщенных координат. Предложен аналитический метод решения и получена система (4) для определения обобщенных координат. Предложены численный метод решения данной задачи и программа для ЭВМ. Полученные решения позволяют не только определять обобщенные координаты по конструктивным параметрам робота, но и решать обратную задачу, проводить идентификацию самих конструктивных параметров по известным обобщенным координатам. Для этого можно использовать численные решения на ЭВМ, изменив представленную выше программу относи-

тельно нахождения конструктивных параметров робота, таких как l1, l2, h0. Полученный результат позволяет существенно сократить наладку технологического процесса для робота, увеличить точность работы с деталями, и, следовательно, повысить эффективность автоматизации с применением робота DELTA.

Библиографический список

1. Лузгин В.В., Колтыгин Д.С. Метод идентификации и диагностики аналоговых объектов // Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. 2004. № 1. С. 23-30.

2. Поливанов А.Ю., Клевалин В.А. Идентификация геометрических параметров технологических роботов с системой технического зрения (СТЗ) // Мехатроника и робототехника. 2001. Вып. 17 [Электронный ресурс]. URL: http://magazine.stankin.ru/arch/n_17/31/index.htm (14.03.2017).

3. Колтыгин Д.С., Седельников И.А. Основные признаки классификации промышленных роботов // Проблемы современной науки. 2016. № 22. С. 19-27.

References

1. Luzgin V.V., Koltygin D.S. Metod identifikatsiii diagnostiki analogovykh ob"ektov [The method of analog objects identification and diagnostics]. Informatsionnye tekhnologii i problemy matematicheskogo modelirovaniya slozhnykh sistem [Information technologies and problems of complex system mathematical modeling]. 2004, no. 1, pp. 23-30. (In Russian)

2. Polivanov A.Yu., Klevalin V.A. Identifikatsiya geometricheskikh parametrov tekhnologicheskikh robotov s sistemoi tekhnicheskogo zreniya (STZ) [Identification of geometrical parameters of technological robots with the system of artificial vision]. Mekhatronika i robototekhnika [Mechatronics and Robotics]. 2001, issue 17. Available at: http://magazine.stankin.ru/arch/n_17/31/index.htm (accessed 14 March 2017).

3. Koltygin D.S., Sedel'nikov I.A. Osnovnye priznaki klassifikatsii promyshlennykh robotov [Main features of industrial robots classification]. Problemy sovremennoi nauki [Problems of modern science]. 2016, no. 22, pp. 19-27. (In Russian)

Критерии авторства

Колтыгин Д.С., Седельников И.А., Петухов Н.В. разработали и апробировали на ЭВМ прикладную методику определения обобщенных координат робота-манипулятора DELTA. Авторы имеют равные авторские права и несут одинаковую ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Koltygin D.S., Sedelnikov I.A., Petukhov N.V. have developed and computer tested an applied technique for the determination of generalized coordinates of the DELTA robot manipulator. The authors have equal copyrights and bear equal responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

Статья поступила 10.03.2017 г. The article was received 10 March 2017