CC BY
45
Kolgunova Olesya Vladimirovna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: lena.alekseenko @gmail.com.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-606.
The Department of Higher Mathematics; post-graduate student.
Чистяков Александр Евгеньевич
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: cheese_05@mail.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 8(8634)371-606.
Кафедра высшей математики; аспирант и ассистент.
Chistyakov Alexander Evgenievich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: cheese_05@mail.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-606.
The Department of Higher Mathematics; post-graduate student and assistant.
УДК 519.8:532
Б.В. Сидоренко
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМОВ НА ОСНОВЕ SRT LATTICE BOLTZMANN МЕТОДА
В данной работе рассматриваются SRT Lattice Boltzmann модели в вычислительной гидродинамике. С их помощью проводятся численные эксперименты для реальных водоемов. При численном моделировании была задействована D3Q19 модель, которая была модифицирована для некубических сеток, при наличии преобладания шага по одному пространственному направлению. SRT-модели показали свою экономичность вычислений, легкость в использовании при численных расчетах.
Решеточное уравнение Больцмана; решеточный метод Больцмана; одиночная релаксационная модель; многовременная релаксационная модель; граничные условия отскока.
B.V. Sidorenko
MODELING OF FLUID DYNAMICS FOR SHALLOW WATER BASINS BASED ON SRT LATTICE BOLTZMANN METHOD
In the work SRT Lattice Boltzmann model in CFD are considered. With their help numerical experiments for real basins are made. At numerical modeling used D3Q19 model which has been modified for not cubic grids, that is with prevalence of one of step in space. SRT models have shown high speed of calculations and simplicity of using in numerical computations.
LBE; LBM; LB-BGK; Lattice Boltzmann; MRT; Bounce Back BC.
В настоящее время все больше внимания в вычислительной гидродинамике привлекают методы, основанные на Lattice Boltzmann(LB) уравнении, которые были
развиты совсем недавно (90-е годы XX в.) [1-2]. Они применяются к разнообразным областям механики сплошной среды, таким как: гидродинамика водных бассейнов, в областях с динамической геометрией (кровоток), турбулентность, магнитогидродинамика, распространение волн, глобальная циркуляция океана и т.д.
Непрерывное уравнение Больцмана - интегро-дифференциальное уравнение, которое описывает эволюцию одночастичной функции распределения / ^, ^, () в :
д/
Э (
-+^ /+a-у5/=е(/,/) (1)
:
е (/,/)= \л 0а(0)|5 - 5,||/(5')/(51)-/(5)/&)|, (2)
где о(й) - поперечное сечение столкновения двух частиц, который преобразовывают скорости из (до столкновения) в {а;} (после столкновения).
Положение в физическом пространстве обозначено x и скорость в пространстве импульса (или скорость) обозначена ^ . /(ж,!;Д )й3 хй3 £ представляет вероятность
нахождения частицы в объеме й3 х вокруг ^ и со скоростью между £, и £, + й, a - сила на единицу массы, действующая на частицу. Стоит отметить, что далее в данной работе влияние внешних сил не учитывается.
Одна из главных трудностей, имея дело с уравнением Больцмана, - сложная природа интеграла столкновения. Поэтому важное упрощение интеграла столкновения было предложено Бхатнагаром, Гроссом и Круком в 1954 г. [3] и известно как приближение БГК. Уравнение Больцмана - БГК тогда принимает форму:
ъ~/+^-V/=-! [/- / и
(3)
где 4 - скорость частицы, / - функция распределения равновесия (функция Мак-
- ), - .
Для нахождения / в числен ном виде, для уравнения (3), во-первых, производится дискретизация в пространстве импульса, используя конечный набор скоростей {^а}, не нарушая законы сохранения в вышеупомянутом уравнении
(4)
где /а(хД) = /(хДаД) и /ае-'(м) = /(0)(x4аД) - функция распределения и функция распределения равновесия в направлении а дискретной скорости ^а, .
Для того чтобы моделировать трехмерные потоки, есть несколько трехмерных моделей решетки с набором в 15, 19 и 27 скоростей - Б3р15, Б3р19 и Б3р27 соответственно. На рис. 1 представлены некоторые из них.
Распределения равновесия для всех Б3Р15, Б3Р19 и моделей Б3Р27 могут быть вычислены по следующей формуле:
/а" )=р™0
(5)
где - весовой фактор, величины скоростей Сх, Су, С2 компонент скорости частицы еа определяются так: с = 8 / 8, С =8 / 8 и с =8 / 8, где
СЛ X X I у у I 2 2 1
8х ,8у ,82 - сеточные шаги по пространству, а 8( - шаг по времени.
В численном моделировании используется модель Б3Р19, которая показала лучшую производительность, чем другие модели(Б3р15, Б3р27) [4] трехмерных .
этой модели дается ниже. Для Б3Р19:
=
(0,0,0) а = 0
(±СХ ,0,0),(0, ±Су ,0),(0,0, ±С2 ) а = 1,..,6
(± Сх, ± Су ,0),(± Сх ,0, ±сг ),(0, ± Су, ± С2) а = 7,..,18,
1/3, а= 0 1/18, а = 1,2,...,6 1/36, а = 7,8,...,18.
Рис. 1. Дискретные наборы скоростей для некоторых, обычно используемых,
трехмерных моделей
После дискретизации в пространстве импульса, локальная плотность р и локальная плотность импульса pu могут быть вычислен ы следующим образом:
N N N N
Р= Е /а= Е а , Р = X /аeа = X
а=0 а=0 а=0 а=0
Скорость звука и в моделях Б3Р15, Б3Р19 и Б3Р27 -
С8 = у]с2 + С2у + С22 /3, из уравнения состояния давления рассчитывается таким
образом: р = рС8 .
Уравнение (4) может быть далее дискретизировано в физическом пространстве х и времени І. Полностью дискретная форма уравнения (4):
fa( + eaSt > * + St )= fa (x, t)--[ fa (x, t)- f eq ) (x, t=
(6)
где x = X/ öt - безразмерное время релаксации. Вышеупомянутое уравнение - дискретное LB-уравнение с приближением БГК и известно как модель LB-БГК. Так как только одно время релаксации используется в модели, эта модель с единственным временем релаксации (SRT). Есть также многорелаксационные временные
(MRT) модели, используемые в литературе [5]. Уравнение (6) часто решается в
следующих двух шагах
Шаг столкновений (Collision step):
fa (xt ) = f a (xt)-^ \fa(xt)- fa*) (xt )] , (7)
Шаг перемещений (Streaming step):
f a ( + ea&, t + &) = fa (xt) (8)
где f a и f a обозначают пред- и постстолкновительное состояние функции рас. (7) , -
, (8) - -
. (7)
легко осуществимое для параллельного вычисления.
, -(N-S), можно получить для данного подхода в моделировании динамики сплошной среды из уравнения (9) следующим образом:
' 1Л Т------
V
c ISt
V 2 J
's
(9)
Этот выбор вязкости делает схему LB-БГК со вторым порядком точности в решении несжимаемых течений. Согласно уравнению (9), положительность вязкости требует, чтобы т > 1/2.
На границе часто задают условия отскока (Bounce Back boundary condition) [5,6]дая частичной функции распределения (ч.ф.р.). Если профиль скорости известен во входном отверстии, стандартная схема отскока (BB BC) для неизвестной ч.ф.р. во входном отверстии имеет вид (см. рис. 2):
% % 3
fa inlet _ fa + 2waMnternal 2 e a u inlet, (10)
c
где Wa - весовой коэффициент, ea и ea обозначают направления друг напротив
ДРУга: е a =-е a.
М о
л со
Boundary node Inlet boundary Fluid node
Puc. 2. Расположение границы входного отверстия
Численные результаты применения SRT-LBM к моделированию гидродинамики мелководного водоема «Etang de Berre»
В данной работе рассматривается решение гидродинамической задачи, а именно расчет параметров течения водной среды в определенные моменты времени в лагуне «Etang de Berre», находящейся на юге Франции, с заданными начальными и граничными условиями. Таким образом, в трехмерной области определения задачи G ={(x,y, z) : H(X,y) < z < 0} - мелководном водоеме «Etang de Berre» (рис. 3-5), требуется найти компоненты скорости течения:
u = u(x,y,z,t), v = v(X,y,z,t),w = w(x,y,z,t); давление водной среды -
P = P( X, y, z, t ) , где H(X, y) - известная функция рельефа дна (рис. 5).
Рис. 3. Снимок «Etang de Berre» Рис. 4. Область решения задачи с г.у
Рис. 5. Изолинии глубин
На твердой части границы условия прилипания u = v = w = 0, на жидкой части границы и в источниках (в устьях рек) Un = const задаются известные потоки жидкости U = const, на свободной поверхности du = о. На рис. 4. обозначе-П dn
ны окрестности характерных граничных условий:
1-2) Un = u(z), (Jun ~ 1 m / s) - в общем случае функция от z (направление скорости может еще зависеть от того, прилив или отлив в данный период вре-1);
5-8) du = о, где n - нормаль к боковой стенке «Etang de Berre». dn
На рис. 6-8 представлены результаты численного эксперимента с помощью SRT LB-метода на расчетной трехмерной сетке для следующего набора парамет-: ,
(94x89x40); пространственные шаги сетки (Sx = 8у = 200м, ôz = 0,25м); число
Re = 1000. Результатом работы программы является векторное поле скоростей и скалярное поле для давления.
Рис. 6. Линии тока на глубине 1 м Рис. 7. Линии тока на глубине 3,5 м
Рис. 8. Линии тока на глубине 6 м Заключение
Практика применения SRT Lattice Boltzmann метода к прикладным задачам расчета течений морской среды в реальных мелководных водоемах показала, что он является очень удобным в использовании, легко осуществимым и не требует больших вычислительных затрат, из-за явности вычислительного алгоритма.
В отличие от классических подходов, основанных на уравнениях Навье - Стокса,
, , .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. S. Chen and G. Doolen, Ann. Rev. Fluid Mech. 8, 2527 (1998).
2. S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond (Clarendon Press, Oxford, 2001).
3. Bhatnagar P.L., Gross E.P. and KrookM., A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component system, Phys. Rev., 94, 1954.
- P. 511-525.
4. D. Kandhai, A. Koponen, A. Hoekstra, M. Kataja, J. Timonen, andP.M.A. Sloot, Implementation aspects of 3D lattice-BGK: boundaries, accuracy, and a new fast relaxation method, J. Comput. Phys., 150, 1999. - P. 482-501.
5. D. d’Humieres, I. Ginzburg, M. Krafczyk, P. Lallemand, and L.-S. Luo, Multi-relaxation time lattice Boltzmann models in three dimensions, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 360, 2002.
- P. 437-451.
6. S. Chen, D. Martinez, andR. Mei, On boundary conditions in lattice Boltzmann method, Phys. Fluids 8, 1996. - P. 2527-2536.
7. Q. Zou and X. He, On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Boltzmann BGK model, Phys. Fluids 9, 1997. - P. 1591-1598.
Сидоренко Борне Владимирович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: sidorenkobv@mail.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)371-606.
Кафедра высшей математики; аспирант и ассистент.
Sidorenko Boris Vladimirovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: sidorenkobv@mail.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-606.
The Department of Higher Mathematics; post-graduate student and assistant.
УДК 518.5.001.57
Т.В. Камышникова
ВЫВОД ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ПРИМЕСЕЙ В МЕЛКОВОДНОМ ВОДОЕМЕ
Изучение гидрохимических характеристик вод мелководного водоема является весьма актуальным, так как их изменчивость, как правило, является отражением возможных отклонений в функционировании водоема. И здесь математическое моделирование может оказать неоценимую помощь.
Модель «мелкой воды»; адвективно-диффузионное уравнение.
