О моделировании фильтрации жидкости в пористой среде методом решеточных уравнений Больцмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

х ю-4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

: /А - // \\

■ / / V

// \

/ / \\ /х \\

^^ \\ ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 . 1 . 1 1 1 . . 1

Кривая 1 построена по данным расчета в ЛШУ8, кривая 2 определена по формуле (1) с помощью найденной функции податливости

После определения коэффициентов Фурье выполняем проверку найденной функции податливости. Для расчетов использовались следующие числовые параметры: Нт = 0,000005 м, Е = 2,1 • 1011 Па, т = 0,3, ц = 0,024 Па/с, V = 7 м/с, Я = 0,005 м, где Е - модуль упругости материала, по которому катится ролик (сталь); т - коэффициент Пуассона. Результаты расчетов представлены на рисунке. Расчет Л№У8 дает результат, завышенный на 4 %, что может быть связанно с вычислительной погрешностью самого пакета ЛШУ8.

Библиографические ссылки

1. Коднир Д. С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин. М. : Машиностроение, 1976. 304 с.

2. Галахов М. А., Усов П. П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической модели теории трения. М. : Наука, 1990. 280 с.

3. Галахов М. А., Гусятников П. Б., Новиков А. П. Математические модели контактной гидродинамики. М. : Наука, 1985. 294 с.

4. Терентьев В. Ф., Еркаев Н. В., Докшанин С. Г. Трибонадежность подшипниковых узлов в присутствии модифицированных смазочных композиций. Новосибирск : Наука, 2003. 142 с.

5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М. : Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1979.

References

1. Kodnir D. S. Contact hydrodynamics lubrication of machine parts. М. : Mashinostroyeniye, 1976. 304 р.

2. Galakhov M. A., Usov P. P. Differential and integral equations of the mathematical model of the theory of friction. M. : Nauka. Sci. Lit., 1990. 280 р.

3. Galakhov M. A., Gooseries P. B., Novikov A. P. Mathematical models of the contact fluid dynamics. M. : Nauka, 1985, 294 р.

4. Terentev V. F., Erkaev N. V., Dokshanin S. G. Tribonadezhnost bearing units in the presence of modified lubricant compositions. Novosibirsk : Nauka, 2003. 142 p.

5. Tikhonov A. N., Arsenin V. Y. Methods for solving ill-posed problems. M. : Nauka. Chap. Ed. Sci. Lit., 1979.

© Иванов В. А., Еркаев Н. В. 2013

УДК 519.6

О МОДЕЛИРОВАНИИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ МЕТОДОМ РЕШЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА

В. А. Киреев

Сибирский федеральный университет Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79. E-mail: kireevvit@gmail.com

Рассматривается метод решеточных уравнений Больцмана и его применение при моделировании процесса фильтрации вязкой жидкости через пористую среду.

Ключевые слова: гидродинамика, пористая среда, метод решеточных уравнений Больцмана.

Решетневскуе чтения. 2013

ON SIMULATION OF FLUID FILTRATION THROUGH POROUS MEDIUM BY LATTICE BOLTZMANN METHOD

V. A. Kireev

Siberian Federal University 79, Svobodny prosp., Krasnoyarsk, 660041, Russia E-mail: kireevvit@gmail.com

The Lattice Boltzmann method and its application in modeling the filtration process of viscous fluid through a porous medium are considered.

Keywords: hydrodynamics, porous medium, Lattice Boltzmann method.

Методы решеточных уравнений Больцмана для моделирования гидродинамики происходят из LGCA-метода (Lattice Gas Cellular Automata), статистической модели, которая симулирует газ в виде частиц в дискретных точках пространства (например, в гексагональной решетке), представленных логическими (булевыми) переменными. Тем не менее, решеточные методы Больцмана могут быть выведены также из уравнения Больцмана [1]. Доказано, что решеточные методы Больцмана эквивалентны явной разностной аппроксимации первого порядка по времени и второго - по пространству уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости [2]. Методы решеточных уравнений Больцмана набирают популярность в последние годы благодаря своей численной точности, эффективности вычислений, присущему алгоритму параллелизму и программной простоте [3]. Методы решеточных уравнений Больцмана пригодны для моделирования потоков в самолетостроении, ракетостроении, автомобилестроении, промышленной химии, медицине, особенно полезны для моделирования потока жидкости в пористой среде [4]. Так, для приложений, в которых важно точное отслеживание свободной поверхности, данные методы наиболее экономны с точки зрения вычислений [5]. Алгоритм метода решеточных уравнений Больцмана хорошо распараллеливается на большое количество потоковых процессоров в современных графических картах. Ускорение расчетов достигает 60-80 раз [6].

В методах решеточных уравнений Больцмана булевы переменные метода решеточных газовых клеточных автоматов (РГКА) заменяются дискретными функциями распределения вероятности. Другим отличием является упрощение оператора столкновений в виде BGK (Bhatnagar-Gross-Krook) [7]. Также, в отличие от РГКА, существует больший выбор решеток. Они обычно классифицируются, используя нотацию DaQß, где a - размерность пространства; ß -число дискретных скоростей. Наиболее популярные модели решеток - D2Q9 и D3Q19.

Макроскопические переменные определяются через функции распределения частиц:

. f. - макроскопическая плотность жид-

кости;

1 ß-i

= — ^ ,_0 f ei - макроскопическая скорость.

Функции распределения в каждой точке решетки обновляются по следующей формуле:

f (x + вг At, t + At) = f (x,t) -

f (X, t) - feq (X, t)

где I е [0, Р -1] - индекс дискретной скорости; т - параметр релаксации, зависящий от вязкости.

Это уравнение выполняется во внутренних точках решетки, но не на ее границах. Граничные условия компенсируют недостающее число функций распределения на границах. По этой причине обычно два шага алгоритма - распространение и столкновение -рассчитываются отдельно.

Равновесные функции распределения можно поучить из локальной функции распределения Максвел-ла-Больцмана:

feq (X) = w. Р( X)

1 + 3-

„2

u 9 (e. • u)

+— /

2 с4

2

3 u

где для модели Б2Р9 используются следующие весовые коэффициенты:

4 1 1

Щ=0 =-, Щ={1,...,4} =-, Щ={5,.. "

36

с - распространение скорости на решетке (отношение шага решетки к временному шагу), взятое за единицу в большинстве случаев.

Вязкость жидкости соотносится с параметром релаксации т по формуле:

v = cs

т-22

^ Т =

v

c

1

2 + 2~

т

cs \D2Q9-

D 2Q9

= 3v +-.

Доказательство этих результатов следует из исследования Чапмана-Энскога. Скорость звука с - зависимая от решетки величина, которая для модели

Б2Р9 берется как с_ = .

л/3

Наиболее частый тип граничных условий в потоке, моделируемом методами решеточных уравнений Больцмана, - правило отскока. Основная идея заключается в том, что входящие функции распределения в узле стенки отражаются назад в исходные узлы жидкости, но с обратным направлением. Такие граничные условия являются одним из наиболее выраженных

т

преимуществ метода, так как их легко реализовать и они позволяют без усилий ввести препятствия для жидкости в область определения. Тем не менее такие граничные условия имеют только первый порядок точности. Для повышения точности рассматривают границу «стена-жидкость», расположенную посередине между узлами стенки и жидкости [8].

Модель, описанная выше, может применяться только к изотермическим жидкостям, в то время как термальные эффекты важны во многих природных явлениях. В этом случае решается скалярное уравнение для температуры на отдельной решетке. На поле температур влияет перенос жидкости, который, в свою очередь, влияет на член плавучести (например силу). Такой подход правомерен только для приближения Буссинеска, которое является рациональным предположением для многих потоков. Таким образом, предположив на всей области малые вариации плотности, исключая член гравитации, добавляем простое уравнение состояния:

Р = Ро[1 -а(т -To)],

где a - коэффициент теплового расширения; T0 - температура, при которой измерена плотность р0 и (p,T) -мгновенные значения для плотности и температуры.

Эволюционный алгоритм решеток Больцмана такой же на температурной решетке, но с другими равновесными функциями распределения. Также, поскольку макроскопическая температура - скаляр (в отличие от поля скоростей), достаточна решетка с меньшим количеством направлений скоростей. В остальном действуют аналогичные правила.

Метод решеточных уравнений Больцмана применен в расчетах течения вязкой жидкости в пористой среде. Пористая среда задавалась случайной расстановкой непроницаемых узлов решетки так, чтобы отношение проницаемых узлов к общему количеству узлов равнялось пористости среды. Проведенные расчеты показали, что алгоритм устойчив при ламинарном течении жидкости и эффективен с точки зрения вычислений.

Библиографические ссылки

1. He X., Luo L.-S. Theory of lattice Boltzmann method: From the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation // Physical Review E. 1997. Vol. 56. P. 6811-6817.

2. Junk M., Klar A. Discretizations for the incompressible Navier-Stokes equations based on the lattice Boltzmann method // SIAM J. Sci. Comput. 2000. Vol. 22. P. 1-19.

3. Chen S. and Doolen G. D. Lattice Boltzmann method for fluid flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 1998. Vol. 30. P. 329-364.

4. Yu D., Mei R., Luo L.-S., and Shyy W. Viscous flow computations with the method of lattice Boltzmann equation. Prog. Aerospace Sci. 2003. Vol. 39. P. 329-367.

5. Гугушвили И. В. Некоторые результаты для различных методов моделирования несжимаемой гидродинамики свободной поверхностью на графических процессорах. Ученные записки // Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2010. № 4(16).

6. Куперштох А. Л. Метод решеточных уравнений Больцмана для моделирования двухфазных систем типа жидкость-пар // Современная наука. 2010. №2(4). C. 56-63.

7. Bhatnagar P., Gross E. P., and Krook M. K. A model for collision process in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component system // Physical Review. 1954. Vol. 94(3). P. 511-525.

8. Ziegler D. P. Boundary conditions for the lattice Boltzmann simulations // J. Stat. Phys. 1993. Vol. 71. Р. 1171-1177.

References

1. He X. and Luo L.-S. Theory of lattice Boltzmann method: From the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation. Physical Review E., 1997, vol. 56., pp. 6811-6817.

2. Junk M. and Klar A. Discretizations for the incompressible Navier-Stokes equations based on the lattice Boltzmann method. SIAM J. Sci. Comput., 2000, vol. 22, pp. 1-19.

3. Chen S. and Doolen G. D. Lattice Boltzmann method for fluid flows. Annu. Rev. Fluid Mech., 1998, vol. 30, pp. 329-364.

4. Yu D., Mei R., Luo L.-S., and Shyy W. Viscous flow computations with the method of lattice Boltzmann equation. Prog. Aerospace Sci., 2003, vol. 39, pp. 329-367.

5. Gugushvili I. V. Uchennye zapiski. Jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kurskogo gosudarstvennogo universiteta, 2010, №4(16).

6. Kupershtoh A. L. Sovremennaya nauka, 2010, № 2(4). р. 56-63.

7. Bhatnagar P., Gross E. P., and Krook M. K. A model for collision process in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component system. Physical Review, 1954, vol. 94(3), pp. 511-525.

8. Ziegler D. P. Boundary conditions for the lattice Boltzmann simulations. J. Stat. Phys, 1993, vol. 71. pp. 1171-1177.

© Киреев В. А., 2013