Моделирование гидродинамического взаимодействия залежи высоковязкой нефти с замкнутым резервуаром Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 3

Физико-математические пауки

2009

УДК 532.685

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАЛЕЖИ ВЫСОКОВЯЗКОЙ НЕФТИ С ЗАМКНУТЫМ РЕЗЕРВУАРОМ

М.Ю. Гарпьшев, А.Г. Егоров, А.Б. Мазо

Аннотация

Предложены математические модели гидродинамического взаимодействия нефтяного пласта с замкнутым резервуаром. Показано, что они позволяют адекватно воспроизводить аномальные кривые восстановления давления па некоторых месторождениях Волго-Уральской нефтегазоносной провинции.

Ключевые слова: математическое моделирование, теория фильтрации, сложпопо-строеппая залежь, высоковязкая нефть, замкнутый резервуар, кривые восстановления давления.

Введение

Классические кривые восстановления давления (КВД) в эксплуатационной скважине после ее остановки имеют логарифмический вид [1. 2]. Именно этот закон используется в методиках оценки проницаемости и упругоемкости пласта по КВД [3]. Однако ряд прямых пьезометрических наблюдений на месторождениях Волго-Уральской нефтегазоносной провинции свидетельствует о том. что на некоторых скважинах КВД могут заметно отличаться от классических [4]. Более того, для одной и той же скважины восстановление давления в начальный период эксплуатации может происходить по классическому закону, а уже через несколько лет экспериментальные КВД характеризуются чрезвычайно медленным темпом роста и зависимостью Ар(1), близкой к линейной.

В работе [4]такие аномальные КВД в скважине объясняются наличием в месторождении. помимо основного коллектора, ряда изолированных резервуаров (линз). Роль линз в гидродинамике нефтяного пласта проиллюстрируем на следующем модельном примере.

Вертикальная скважина вскрывает как пласт, так и линзу (см. рис. 1). Медленные процессы перераспределения давления при эксплуатации месторождения практически не зависят от наличия линзы, поскольку в силу ее гидродинамической изолированности и небольшого объема давление в линзе меняется синхронно с давлением в скважине. Иначе обстоит дело в быстрых переходных процессах, которые происходят при пуске и остановке скважины либо при периодическом режиме добычи. В этих случаях линзы играют демпфирующую роль, обусловленную обменом жидкостью между основным коллектором и линзой через ствол скважины. Это. в частности, препятствует быстрому росту давления после остановки скважины.

Отмоченные выше качественные различия в виде КВД для одной скважины в разные периоды разработки объясняются измененном подвижности жидкости, заполняющей линзу. До начала разработки и пласт, и линза заполнены преимущественно высоковязкой нофтыо. В процессе добычи в линзе устанавливается пониженное давление, что приводит к фильтрации воды из расположенной ниже

Рис. 1. Схематическое гоображепие объекта исследования: 1 основной коллектор. 2 линза, 3 скважина, 4 водопасыщеппая толща, 5 плотные породы

водонасыщенной толщи (см. рис. 1) через плотные породы в линзу и в коночном итого к замощению нефти водой, вязкость которой значительно ниже. Как будет показано ниже, вязкость флюида в линзе принципиально влияет на ее демпфирующие свойства.

1. Математическая модель

Будем считать, что и пласт, и линза имеют форму цилиндров, а добывающая скважина располагается на их общей оси. В основу математической модели положим известные уравнения пьезопроводности [1. 2]. записанные для радиально-снмметрнчной схемы фильтрации и осредненные по толщине

от г or у or J

(1)

где р превышение давления над его стационарным распределением в начальный момент времени 1: г радиальная координата: гш радиус скважины: к = а//3 пьезопроводность: /3 упругосмкость: а = кгидропроводность: к проницаемость: ¡л вязкость: Д^1) радиус контура питания пласта: Н^ радиус линзы. Здесь и далее индексами «(1)» и «(2)» обозначены параметры основного коллектора н линзы. При записи граничных условий учтено, что линза гидродинамически изолирована, а давления на скважине в пласте и линзе одинаковы:

г = Д(1) : р(1) = 0;

дЛ = 0. (2)

Г = Д(2). 0-(2)_£1—_ = Q.

Or

г = rw : р^ = р= pw.

Значение забойного давления pw в (2) заранее неизвестно и подлежит определению в ходе решения задачи. Суммарный дебит добывающей скважины считается заданным:

Q{t) = Qoq{t), Qo = const > 0, q{t) G [0,1] (3)

В формуле (3) функция q(t) моделирует включение и отключение скважины. В каждый момент времени дебит Q складывается из притоков к скважине из

основного коллектора СЦ^ и линзы СЦ^, а также дополнительного расхода СЦЬ, обусловленного изменением уровня /? жидкости в скважине. Связь величины <3Л с давлением рт = рд!г выражает простое соотношение

, 2 М"1 _ Фш

яп =

сЫ рд сЫ '

гдо/э плотность жидкости в скважине: д гравитационное ускорение. Баланс потоков флюида в скважине С} = СЦ^ + СЦ^ + СЦЬ приводит к дополнительному граничному условию для определения забойного давления:

ГШ : 2ятш + + ^^ = СМ).

\ ог ог ) рд си

(4)

Начальные условия имеют вид:

* = 0 : р(1) = р(2) = 0. (5)

Введем следующие безразмерные переменные:

_ _ -5« г> Д(0 т Г,-т П ® 7 *

ь Цго го

Р{1) = '—, Р0

ро ' ™ ~ 2^Я(1)а(1)'

_ /ЗЫкМ 1 _ Я(2)

~ /3(2)^(1) ' ц ~ ¿-(1) ' ~ м(1)' Ая ~ #(1):

(6)

7

Тогда задача (1) (5) примет вид (черта над безразмерными величинами опущена)

дрЫ 1 9 ( дрМ\ „т

* >0, '"ш < >' < Д ; (7)

* > 0, <г< Д<2>; (8)

с д'Р{2\ д'Р т (9)

0; г = Д(2):^=0. (10)

Ог

¿ = 0: р(1) = р(2) = 0. (И)

В формулах (6) в качестве характерного времени ¿о выбран период изменения функции который для циклического режима работы скважины составляет

около 10 су т. при этом пространственный масштаб Ь = л/ к1а не превышает сотни метров. Поскольку радиус контура питания

ДС1) оценивается величиной в сотни и тысячи метров, а радиус скважины гш величиной порядка 10 см. то для соответствующих безразмерных параметров имеем оценки Н^ ^ 1, <С 1.

Итак, математическая модоль(7) (11) содержит шесть безразмерных парамет-_ -=(1) -=(2)

ров: 7, rw, Д , Д , ■)] и 4; параметр 7 характеризует емкостные свойства скважины: три параметра i] и S, определяют линзу: параметр Д^, как правило, можно положить равным бесконечности. Если фильтрационные свойства пласта и линзы одинаковы: k™ = , /3« = /?(2> . то I] = А'м 1. £ = А'я / Кц , и влияние линзы на решение задачи будет определяться ее относительными радиусом Д(2) и толщиной Кн , а также вязкостью А'м заполняющего линзу флюида.

Очевидно, в процессе разработки месторождения два параметра Д(2) и Кн остаются постоянными, поэтому причиной трансформации КВД в ходе эксплуатации может служить лишь изменение А'м. Как отмечалось во введении, это изменение является следствием постепенного замещения в линзе высоковязкой нефти водой из подстилающей водонасыщонной толщи через плохопроницаомую «подошву». Время Т замещения нефти водой можно оценить, используя простейшую формулу для скорости фильтрации воды через «подошву» с толщиной Нь и проницаемостью кь:

_ ЯР) _ кь Ар Т Нь

Полагая толщины Нь = Ж 2) = 3 м. вязкость воды fiw = 10 3 Па-с. депрессию Ар = 107 Па. проницаемость кь = 1.5-10-17 м2, получаем Т « 6-107 с « 2 года, что согласуется с временем, когда было экспериментально зафиксировано изменение формы КВД с логарифмической на линейную [4]. В рамках математической модели (7) (11) данная трансформация может быть получена путем изменения параметра А'м от единицы для начального периода разработки до А'м = 0.01 через несколько лет эксплуатации.

2. Численное решение задачи

Метод решения. Задача (7) (11) решается методом конечных разностей [5] на сетках, сгущающихся к точке г = гш по степенному закону. Для уравнений (7) и (8) с граничными условиями (10) на внешних границах и условием =

= = рш на скважине применялись стандартные чисто неявные разностные

схемы. Отметим лишь, что аппроксимация производных

"1 \ (41.Pl Р 0

(О 1 (12)

h\

+ feW/2) In (1 + /г«/

1,2,

в первом сеточном элементе (/г^ первый шаг сотки по г) учитывает логарифмическую особенность поведения давления в окрестности скважины при малых гш и обеспечивает достаточную точность решения даже на грубых сетках, когда ^/г'и> 1 [б]. Замыкает систему сеточных уравнений аппроксимация условий (9) при г = г и,:

(1) (2) (1) Р\ ~Рш , (2) >= Р\ ~Рш , Рш-Рш

О"о '"«>-(Т)--Ь а0 -(5)--Ь 7- =

,(0 (13)

(1) (2) (г) _1Ц/__ ' 1 о

Р 0 =Р 0 = Рш, СГо = -7-7~~\-г, «=1,2.

rw In (l + hf/rw}

Здесь г шаг по времени; рш = рш(1—т). Заметим, что множители а^ в уравнении (13) обеспечивают сеточную аппроксимацию производных др^/дг при г —>■ гш; они не совпадают с а^ , определенными в (12).

Для решения сеточных схем использовался метод прогонки [5]. Установлено, что достаточная точность решения задачи достигается уже на сетках с числом узлов порядка 50. при этом погрешность в определении давления на скважине не превышает 0.3%.

Результаты расчетов. Как упоминалось выше, причиной трансформации КВД служит изменение отношения вязкостой А'м. На рис. 2 представлены расчетные КВД для различных А'м при А'я = 0.58, Д^2) = 2.6 (во всех расчетах принимались значения гш = 0.001, К^ = 10).

Расчеты показали, что увеличение относительных размеров линзы А'я и приводит к снижению темпа восстановления давления в скважине. На рис. 2 для А'м = 0.1 штриховая линия соответствует значениям А'я = 1, Д*-2-1 = 2.6, а штрих-пунктирная А'я = 0.58, Д(2) = 1.5.

Для понимания характера гидродинамического взаимодействия пласта с линзой при пуске и остановке скважины полезно рассмотреть перетоки жидкости между линзой и коллектором. На рис. 3 они показаны при следующих параметрах модели: А'м = 0.1, А'я = 1, = 1. Функция д(1) = 1 — 1г{1 — ¿о) в (9) моделировала включение скважины в момент I = 0 и ее отключение в момент I = ¿о =40; /? функция Ховисайда.

Видно, что до остановки скважины при I < to и линза, и основной пласт отдавали жидкость, причем дебит линзы д^ падал после резкого подъема, а дебит коллектора д^ возрастал. После остановки скважины коллектор продолжает отдавать жидкость (д^ >0), которая в основном перетекает в линзу (д^ < 0). Перетоки между пластом и линзой затухают с ростом 1. Обратим внимание, что в отсутствие линзы поток из пласта д^ практически совпадет с общим дебитом д(1). Различие в графиках д^^) и д(1) на рис. 3 отражает демпфирующую роль

Л ПИЗЫ.

Ту же роль линза играет и при периодическом режиме работы скважины. На рис. 4 приведены результаты численного эксперимента, в котором дебит скважины задавался ступенчатой функцией д с периодом Та = 1, размеры линзы

0.5 -

0 -

-0.5 -

-1

0 20 40 60 t

Рис. 3. Добиты .линзы (штриховая лилия), основного коллектора (штрих-пупктирпая лиши) и общий дебит (сплошная лилия) до и после остановки добывающей скважины

Рп -2

-3

-4

-5

-6

-7

24 25 26 27 28 t

Рис. 4. Влияние параметра К^ па давление па скважине в случае периодического режима работы скважины. Штриховой лилией показан случай отсутствия липзы

определялись параметрами Кн = 0.5, R^ = 1. а относительная вязкость А'м флюида в линзе варьировалась. Видно, что при А'м = 1 линза слабо влияет на изменение давления pw(t). При уменьшении А'м давление на скважине не успевает следовать за изменениями добита. Это приводит к заметному снижению амплитуды колебаний функции pw(t).

Разработанная математическая модель использовалась для интерпретации аномальных КВД для скважины 5421 Черемуховского месторождения, опубликованных в [4]. Согласованно расчетных и экспериментальных КВД показано на рис. 5. Его удалось достичь при следующих безразмерных параметрах линзы: Кн = 1, R= 2.6. При этом расчетная кривая на рис. 5. а отвечает значению А"м = 0.74. а кривая на рис. 5. Ь А'м = 0.01.

,,_____—

/

1 /'

\ /'

\i \

к \

i \ \

i \ \

f \ \

\ ч.

.__ _ -----

^ — •— ~~ ~~

/

/

1

ill

Рис. 5. Зависимость давления рги. атм.. от вромопи I. су т. Экспериментальные данные (маркеры), теоретические КВД. рассчитанные по полной модели (сплошная лилия) и по упрощенной модели (штриховая лилия): а 2006 г.. Ь 2008 г.

3. Упрощенная модель линзы

В представленной выше математической модели гидродинамического взаимодействия пласта и линзы через скважину предполагалось, что изолированный резервуар представляет собой цилиндрическое тело заданного радиуса Н^ и толщины . На практике информация о форме и размере линз недоступна. Кроме того, можно предположить, что демпфирующие свойства линзы в основном определяются двумя ее характеристиками: объемом V и вязкостью ц(2) заполняющего флюида. Ниже предлагается упрощенная модель фильтрационного взаимодействия. в которой линза представлена своими интегральными характеристиками.

Поле давления в основном коллекторе по-прежнему описывается задачей вида (1):

д» 1 д ( др\ „

ОТ г дг у дг) , 1 , <

др С^1) ( ' г = Н : р = 0; г = гш : сг— = --—; 1 = 0: р = 0.

дг 2п гшН'

Здесь и ниже для простоты мы опускаем индекс «(1)». если это не вызывает недоразумений. Пусть линза занимает область произвольной формы с границей Е в трехмерном пространстве, причем ее объем |£>| равен V. Задача пьозопроводности в линзе имеет вид:

/3

др(2) дг

= 0 : р^

= V (ст(2)Ур(2)) , X, у, г € Б, 1 > 0;

(2)/ А

(2)

др( 2)

дп

д(2)

2тгг„,Я(2)'

г(2)

др( 2)

дп

(15)

0;

Здесь Еш боковая поверхность части ствола вертикальной скважины, погруженной в линзу; Я1-2) длина этой части ствола; п внешняя к Е нормаль. Проинтегрируем (15) по области Учитывая изолированность границы Е и допуская радиальную симметрию течения в окрестности ствола скважины, получим

У/3

0(р) дг

2 пг,„Н{2)а^

др(2)

дп

<Р>

± /Р(2) сЮ.

(16)

В качество главного допущения упрощенной модели линзы примем формулу

дп

= -Фт-ри,), (17)

в которой ф безразмерный форм-фактор, концентрирующий в себе информацию о форме линзы. Очевидно, соотношение (17) может адекватно описывать поток в скважину при постоянном параметре ф лишь при сравнительно малых плановых размерах линзы, когда давление в поровом пространстве линзы успевает следовать за изменениями рш. Подставив (17) в уравнение (16) и граничные условия (15). получим уравнение для среднего давления в линзе:

=--у-~«Р)-Рш) (18)

и выражение для потока между линзои и скважинои:

д(2) = 2 тгя <2> а^ф((р) —ри,). Подставляя эту величину в балансовое уравнение С} = СЦ^ + СЦ^ + СЦЬ , найдем:

д(1) = д _ д* _ д(2) = д _ ^^ _ 2пН^а^ф({р)-Рш).

Р9 «г

Если подставить это выражение в (15). получим граничное условие на скважине для уравнения пьезопроводности в пласте:

др СЗод Н^а^ 4 др

г = гш- = (19)

В безразмерных переменных (6) система уравнений (14). (18). (19) принимает 1 ' г^ )=0, Т > 0, гш<г< Д;

дI г дг у дг / г = Н:р = 0; Т = 0 : р = 0; (20)

г = гш : = д(1) - а ((р) - р) -

-^ = -1и(ф)+рш), рш=р(0,*), <Р> (0) = 0. (21)

Здесь

*п т УцЮрЮ Ж 2)

к* = фт> * = 2^(2)Ж2)5 а = ф1^н- (22)

Параметры гш, Д, 7 в задаче (20) (22) вычисляются по формулам (6). в которых следует задать размеры и фильтрационные свойства основного коллектора. Безразмерные коэффициенты а в (22) характеризуют линзу и вычисляются через ее объем V. относительную вязкость и форм-фактор ф, который следует рассматривать как идентификационный параметр модели.

Оценку форм-фактора можно получить, задавшись конкретной геометрией линзы и решив соответствующую модельную задачу: по этому решению р можно подсчитать среднее и производную в (17). а значит, и ф. Ниже приводится оценка форм-фактора ф для замкнутого резервуара в виде цилиндра радиуса Д^2)

II высотой Безразмерное давление р^ в линзе определяется путем реше-

ния задачи (8) (10). Применяя к ней преобразование Лапласа с параметром е. в изображениях получим задачу

Км*Р=--ТгТ-> Р(>'и,)=Ри,(э), £(*)=(>. (23)

г аг аг аг

В рассматриваемой задаче характерное время изменения давления на скважине много больше временного масштаба А'МД2 перераспределения давления в линзе. Поэтому в задаче (23) в можно считать малым параметром. Отыскивая р в виде асимптотического ряда р(в) = рп + врх + ■ ■ ■ . получим, что ро = рт, а р\ удовлетворяет уравнению

Интегрируя (24). при гш <С Д найдем:

Ф1

с1г

^й2, (Р1> = ^^Д2 (\п — - -

2 ' ^ 2 V г,,, 4

Поскольку с точностью О (в2) можно записать (р) = рш + в (рх). р' = вр'-^, то

¿р с1г

Сравнивая полученную формулу с определением (17). находим форм-фактор для цилиндрической линзы:

Для тестирования приближенной модели (20) (22) вычислим значения форм-фактора (25). объема цилиндрической линзы V = п

и безразмерных

коэффициентов а для рассмотренной ранее реальной залежи и скважины

5421 Чоромховского месторождения. Проведем расчет КВД и сравним полученные при различных А'м кривые с экспериментальными данными и расчетами по полной модели (7) (11) (рис. 5). При значениях А'м порядка единицы (см. кривые а) проявляются некоторые различия в КВД. полученных по полной и упрощенной моделям. При малых значениях А'м наблюдается полное совпадение результатов. Это объясняется тем. что временной масштаб

№

перераспределения давления в линзе прямо пропорционален относительной вязкости заполняющего ее флюида, см. (22). Поэтому положенная в основу упрощенной модели гипотеза о малости отношения выполняется все более точно с уменьшением А'м.

Заключение

В статье предложены две модели гидродинамического взаимодействия заложи высоковязкой нефти с замкнутым резервуаром. Они различаются степенью детализации процессов перераспределения давления в линзе. Обе модели адекватно описывают наблюдаемые аномальные КВД на реальных залежах высоковязкой нефти. В условиях недостатка информации о форме и структуре изолированных резервуаров предпочтительнее выглядит упрощенный подход, учитывающий лишь

интегральные характеристики линз. В наибольшей степени это относится к случаю. когда скважина вскрывает не одну, а несколько линз с различными характеристиками. Решение такой задачи в полной постановке предполагает, во-первых, наличие данных по каждой линзе в отдельности, а. во-вторых, сопровождается соответствующим увеличением числа определяющих уравнений. Упрощенная модель позволяет ограничиться здесь идентификацией двух параметров: единственного форм-фактора и суммарного объема линз.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 08-01-00548-а).

Summary

M.Yu. Garnyshev, A.G. Eguruv, А.В. Mazu, Modeling of Hydrodynamical Interaction between High-viscosity Oil Stratum and Closed Reservoir.

Mathematical models of hydrodynamical interaction between high-viscosity oil stratum and closed reservoir are suggested. Close agreement of theoretical pressure build-up curves with abnormal experimental ones is achieved for several fields of Volga-Ural oil-and-gas province.

Key words: mathematical modeling, seepage theory, complex reservoir, high-viscosity oil. closed reservoir, pressure build-up curves.

Литература

1. Желтое Ю.П. Разработка нефтяных месторождений. М.: Недра, 1998. 365 с.

2. Баре.иблатт Г.И., Еитов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211 с.

3. Р. Э'рлаге.'р мл. Гидродинамические методы исследования скважин М.: Ижевск: Ип-т компьютерных исследований, 2006. 512 с.

4. Нефедов Н.В., Калмыков А.В., Егоров А.Г., Мазо А.Б. Об аномальных кривых восстановления забойного давления в сложпопостроеппых залежах высоковязких пеф-тей па примере месторождений НГДУ «ТатРИТЭКпефть» // Нефт. хоз-во. 2009.

3. С. 37-39.

5. Самаре кий А.А., Николаев E.G. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

6. Чекалии А.Н., Кудрявцев Г.В., Михайлов В.В. Исследование двух- и трехкомпо-пептпой фильтрации в нефтяных пластах. Казань: Изд-во Казап. ун-та, 1990. 148 с.

Поступила в редакцию 18.03.09

Гарнышев Марат Юрьевич аспирант кафедры аэрогидромехапики Казанского государственного университета. E-mail: Marat.GarnyshevQksu.ru

Егоров Андрей Геннадьевич доктор физико-математических паук, заведующий кафедрой аэрогидромехапики Казанского государственного университета. E-mail: Andrey.EgorovQksu.ru

Мазо Александр Венцианович доктор физико-математических паук, профессор кафедры аэрогидромехапики Казанского государственного университета. E-mail: amazoQksu.ru