CC BY
14
УДК 51
Н.А. Берков*, А.И. Архангельский**, М.В. Архангельская***
* МИРЭА — Российский технологический университет, ** Московский политехнический университет
*** Российская академия Народного хозяйства и Госслужбы при президенте России
ON. Berkov *, A.I. Arkhangelsk **, M.V. Arkhangelsk ***
* MIREA — Russian University of Technology,
** Moscow Polytechnic University *** Russian Academy of National Economy and State Service under the President of Russia
ш
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ТОРОВЫМ ПЕРЕХОДНИКОМ
MODELING OF GEOMETRY OF CROSS-CONNECTING CYLINDRICAL
SHELLS WITH TORO-ADAPTER
Аннотация
Выполнено математическое моделирование геометрии пересекающихся цилиндрических оболочек, соединённых через переходник в виде торовой оболочки. Получены зависимости криволинейных координат оболочек на линии сопряжения и матрицы переходов между базисами оболочек. Полученные результаты внедрены в разработанную авторами проблемно-ориентированную программу SAIS, предназначенную для определения напряжённо-деформированного состояния пересекающихся оболочек методом конечных элементов в физически и геометрически нелинейной постановке. Проведён сравнительный расчёт с экспериментальными результатами, полученными другими авторами.
Ключевые слова: сопряжения оболочек, сосуды давления, торовая оболочка, то-ровый переходник, метод конечных элементов, матрица перехода.
Abstract
Mathematical modeling of the geometry of intersecting cylindrical shells connected through an adapter in the form of a torus shell was performed. The dependences of the curvilinear coordinates of the shells on the conjugation line and the matrix of transitions between the bases of the shells were obtained. The obtained results were introduced into the problem-oriented program SAIS developed by the authors, designed to determine the stress-strain state of intersecting shells by the finite element method in a physically and geometrically non-linear formulation. A comparative calculation with experimental results obtained by other authors was made.
Key words: conjugations of shells, pressure vessels, torus shell, torus adapter, finite element method, transition matrix.
W X
I-<
z
и .0
с;
ш
25
IL X
Z ГО
¡e <u и <u а <u с
s s а
ш
s о
<U
>s
s
*
V
c;
Ш
IL <
■ 2
<J
to S о Я
ш с
üQ ш
< О X Z
Сосуды и аппараты давления являются распространённым оборудованием различных отраслей машиностроения (транспортного, химического, нефтегазового, энергетического и др.). Наиболее ответственными конструктивными элементами такого оборудования являются узлы присоединения патрубков (или штуцеров) к корпусу или днищу. В резервуарах высокого давления конструктивные узлы в виде ответвлений испытывают повышенную нагрузку и материал в области состыковки двух элементов подвергается нелинейным деформациям, которые необходимо учитывать при проектировании самих узлов и подключаемого к ним оборудования. Для уменьшения напряжений в зоне соединения оболочек применяюся торовые вставки, которые сглаживают линию сопряжения.
Исследование пересекающихся оболочек наиболее интенсивно проводится лишь в последние 30 лет, причём основные результаты получены в области линейного анализа (известны лишь единичные работы в области нелинейного анализа). Как правило, исследования ограничены решением частных прикладных задач, проведением параметрического анализа для соединений оболочек определенной геометрической формы, но отсутствует системный подход к данной проблеме. Полученные результаты при решении различного рода прикладных задач отражены в статьях, научно-технических отчётах, диссертациях. Данная работа является продолжением цикла работ по исследованию напряжённо-деформированного состояния пересекающихся оболочек вращения, подкреплённых различными способами в линейной и нелинейной постановке, написанных под руководством профессора В.Н. Скопинского [1-4].
Для адекватного моделирования соединений пересекающихся оболочек предпочтительным является использование теории оболочек, в которой геометрические и статические соотношения записываются для точек срединной поверхности оболочки в локальных криволинейных координатах. Во-первых, такой подход позволяет точно представлять геометрию оболочечной конструкции; во-вторых, обеспечивает возможность правильного учета взаимосвязанной мембранной и изгибной деформаций оболочки, обусловленной кривизной поверхности. При таком моделировании соединения необходимо получить два вида геометрических зависимостей [5]: 1) координатные соотношения для точек линии пересечения срединных поверхностей оболочек; 2) матрицу преобразований систем криволинейных координат на линии пересечения.
Рис. 1. Соединения цилиндрической и конической оболочек
Пересекающиеся оболочки структурно могут включать и некоторую переходную секцию (рис. 1). Такие структуры характеризуют как определённую форму конструктивного и технологического решения для снижения эффектов концентрации напряжений в области сопряжения оболочек, а также и некоторый
V/ V/
способ оптимизации свойств композитной оболочки, изготовленной намоткой.
РЧ ■ ■ V/ V/ V/ V/
Расчётный анализ соединений оболочек с переходной секцией имеет свои особенности. Переходная секция, как правило, представляет собой оболочку отрицательной гауссовой кривизны, которую можно рассматривать как часть тороидальной поверхности (см. рис. 2).
Рис. 2. Геометрия участка тора отрицательной кривизны
Фактически, такая конструкция состоит из трёх оболочек: цилиндрической (патрубок), тороидальной (переходная секция) и основной оболочки. В этом случае необходимо определить не только геометрические соотношения для линии пересечения оболочек, но и получить геометрические параметры оболочек по линии пересечения. Рассмотрим особенности получения указанных соотношений и параметров для соединений с различными видами основной оболочки.
На рис. 3 показано радиальное соединение цилиндр-тор-цилиндр.
Рис. 3. Соединения цилиндр-тор-цилиндр
Рис. 4. Фрагмент КЭМ SAIS
< *
S
H <
z
ш
H <
z
(Л I
H <
z
и .û
Ш l_ X
S
Q.
<
CQ
z
и
.û
ç
ш l_ X
S
Q.
<
К
и X s
2
rc a v и V
a v с
s s a
H
v z о
^ «
* s
QQ g
S S
* s
Ш S
Lû 3
^ О
X Z
Геометрические соотношения для линий пересечения в данном случае имеют -для линии пересечения патрубка и торовой отбортовки L1:
sT = 0, фт = ф', s' = R
1 -
1
1 -
^ 2 V r у
. 2 sin Ç
для линии пересечения основной оболочки и торовой отбортовки L2
(r + rT)q3 sin2 ф
sT = Гт q0, cos 00-
R + rTq3 sin2 ф
г ; q = V1 + cts 0cos ;
(i)
(2)
s = г.соБф', ф = arcsin
Г
R
sinç
; r = r + r(1 - cos0o).
Графики данных зависимостей (1), (2) авторы проверили, используя программы пакета математической алгебры МайаЬ, описанные авторами в работе [6].
Для рассмотрения преобразований системы координат на линии пересечения
оболочек введём локальные базисы е (е1, в2, е3)
), связанные
с системами криволинейных координат основной оболочки и патрубка (см. рис. 3). Тогда матричные преобразования на линии пересечения определяются следующим образом:
е' = Хе, (3)
где Х — матрица преобразования из базиса основной оболочки в базис патрубка.
Компоненты матрицы преобразования X определяются следующими соотношениями:
Хп = sin^0 cosç'. Х12 = sin^Q sinç'cosç + cos6>0sin^ . À23 = cosç'sinç .
Al3 = sine0 sinç' sinç-cos в cosç . X2\ =-sinç' . . X22 = cosç' cosç
; ; ;
X31 = cosû0 cosç' , ХЪ2 = OOS^Q sinç'cosç- sin^0 sinç,
(4)
Я33 = OOS^Q sinç'sinç + sin^Q sinç
На рис. 4 представлен фрагмент конечно-элементной модели, автоматически сгенерированной программой SAIS, в которую встроили разработанную теорию.
Для проверки модернизированной программы SAIS, был проведён сравнительный расчёт. На рис. 5 приведены сравнительные результаты для модели радиального соединения цилиндрических оболочек с торовой отбортовкой при нагружении внутренним давлением. Сплошной линией представлены результаты работы программы SAIS, а маркерами — экспериментальные результаты, полученные с использованием метода фотоупругости в работе[7].
Результаты представлены в относительной форме для главной плоскости соеди-
нения (a = G/G0 , G0 -pR/H). Геометрические параметры модели:
R = 49,25 мм; H = 1,5 мм; r = 14,325 мм; h = 1,35 мм; rT= 3,9 мм; /0= 165 мм; /1= 130 мм,
r/R = 0,291; R/H = 32,8; r/h = 10,6; h/H = 0,9; rT/H = 2,6.
Ш
Рис. 5. Распределение напряжений с тройнике с переходной секцией
Отбортовка в модели выполнена переменной толщины с линейный переходом от патрубка к основной оболочке в меридиональном направлении. Максимальные напряжения получаются приблизительно на середине отбортовки, но несколько больше, чем для аналогичного соединения без отбортовки.
Можно видеть, что меридиональные и окружные напряжения резко изменяются в пределах торовой секции. Наибольшими являются окружные напряжения, причём их максимальные значения на наружной и внутренней поверхности примерно одинаковые, но относятся к разным сечениям. В зоне наибольших напряжений в опасных точках имеет место напряжённое состояние типа двухосного растяжения.
Сопоставление представленных расчётных и экспериментальных результатов, а также соответствующих результатов и для других моделей (при различных видах нагружения) показало достаточно хорошее их соответствие, что подтверждает возможность практического использования разработанной программы SAIS.
Литература
1. Скопинский В.Н., Берков Н.А. Неупругий анализ и определение предельных пластических нагрузок для торосфериче-ского днища с патрубком. Машиностроение и инженерное образование. 2016. №3 (48). С. 45-54.
2. Берков Н.А., Скопинский В.Н. Упру-гопластический анализ соединений пересекающихся цилиндрических оболочек. Машиностроение и инженерное образова-
ние. 2008. № 4(17). С. 44-51.
3. Скопинский В.Н., Берков Н.А., Ва-жова Н.В. Новый критерий определения предельной нагрузки в сосудах давления с патрубками. Машиностроение и инженерное образование. 2011. № 3 (28). С. 50-57.
4. Скопинский В.Н., Берков Н.А., Емельянова А.Д. Способ определения предельной пластической нагрузки в пересекающихся цилиндрических оболочках. Химическое и нефтегазовое машиностроение.
M X
I-<
Z
и .о
ш
25
IL X
Е га ¡е о и и а и с
s s а
ш Z о
(U
>s
s
*
и .0
ш
IL <
■ 2
<J
tû S о й
ш ? ш §
< о X Z
2012. № 1. С. 11-21.
5. Берков Н.А., Архангельский А.И., Архангельская М.В. Математическое моделирование предельной нагрузки некоторых узлов сопряжения в машиностроительных конструкциях. Системные технологии. 2018. №3(28). С. 124-132.
6. Берков Н.А., Архангельский А.И., Архангельская М.В. Математический практикум с применением пакета Matlab. Учебное посо-
бие. Часть 1. Алгебраические преобразования. Графики. Задачи линейной алгебры. Москва, 2017. 74c.
7. Mokhtarain, K. & Endicott, J.S. Stresses in Intersecting Cylinders Subjected to Pressure // Welding Research Council Bulletin. 1991. No. 368. P. 1-31.
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Берков Н.А., Архангельский А.И., Архангельская М.В. Моделирование геометрии пере секающихся цилиндрических оболочек с торовым переходником— Системные технологии. -2019. — № 30. — С. 147—152.
История статьи:
Дата поступления в редакцию 11.02.19 Дата принятия к печати 24.03.19
УДК 519.2, 372.851
С.А. Муханов*, А.А. Муханова**
* Московский политехнический университет
** Российский государственный аграрный заочный университет
S.A. Mukhanov*, A.A. Mukhanova**
*Moscow Polytechnic University **Russian State Agrarian Correspondence University
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЕРВИСА WOLFRAM|ALPHA В ЭКОНОМИКО-
СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ
WOLFRAM | ALPHA SERVICE IN ECONOMIC STATISTICAL CALCULATIONS
