Моделирование геомеханического состояния анизотропного по прочности неоднородного массива горных пород Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.241.54

Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПО ПРОЧНОСТИ НЕОДНОРОДНОГО МАССИВА

ГОРНЫХ ПОРОД

Одной из фундаментальных проблем эффективной разработки угольных месторождений является прогноз следствий техногенного воздействия на массив горных пород (вывалы, потеря устойчивости, газодинамические проявления), которые в первую очередь обусловлены разрушениями массива в окрестности системы горных выработок вследствие их проведения. Поэтому остро встаёт проблема количественной оценки геомеханиче-ской обстановки при ведении горных работ, согласно которой производится выбор рациональных технологических схем отработки угольного месторождения. В связи с этим актуальна задача создания методического обеспечения для оценки геомеханического состояния массива в области ведения горных работ.

Существующие модели достаточно полно учитывают такие свойства изотропного массива как упругость, пластичность, ползучесть. Однако одно из его основных свойств - прочностная анизотропия, обусловленная наличием поверхностей ослабления (слоистость, кливаж, другие типы ослаблений), практически не используется в анализе его геомеханического состояния. В то время как разрушение массива, в первую очередь, происходит по этим поверхностям ослабления. Учёт прочностной анизотропии позволяет получить обоснованные оценки нарушенности массива и в соответствии с ними дать достоверную картину устойчивости выработок. Решение задачи о гео-механическом состоянии массива с системами регулярных поверхностей ослабления сопряжено с определёнными трудностями. Поскольку для оценки прочности такого массива необходимо формулировать условия прочности по этим поверхностям, то поле напряжений должно быть непрерывным, т.е. в каждой точке массива определимым. Такое поле можно получить, решая задачу, например, аналитическими методами. Однако класс задач, решаемых аналитическими методами, ограничен, а численные методы - конечных элементов и конечных разностей определяют дискретное поле. В связи с этим, единственным методом, определяющим непрерывное поле напряжений, является метод граничных элементов. Этот метод основывается на подходе Грина, в котором

массив рассматривается как бесконечная среда с вырезами (полостями) произвольных очертаний, нагруженных со стороны массива естественным полем напряжений, а изнутри - фиктивной нагрузкой. В математической постановке это приводит к интегральному уравнению краевой задачи теории упругости [1], которое является сингулярным и решается численно - методом механических квадратур. Сначала поверхность полости разбивается на конечное число элементов - Ы, а интеграл заменяется суммой; фиктивная нагрузка, напряжения естественного поля, реакция крепи по каждому элементу заменяются равнодействующими, при этом считается, что они в пределах элемента постоянны. В результате этой процедуры получаются 3Ы уравнений относительно проекций вектора фиктивной нагрузки. После решения системы алгебраических уравнений напряжения в любой точке массива определяются суммированием напряжений от действия фиктивной нагрузки и естественного поля напряжений. Нормальные и касательные напряжения по поверхности ослабления, задаваемой в пространстве углами падения а и простирания р, образованными нормалью к поверхности и осями г и х, связанны с компонентами непрерывного поля ачт известными формулами теории напряжённого состояния в точке. Поскольку в этом методе конечными элементами аппроксимируется только граница вырезов, а не сам массив, то напряжения можно определить в любой произвольной точке этого массива, что обеспечивает определение непрерывного поля напряжений и построение непрерывной картины нарушенности массива в виде зон нарушения сплошности (ЗНС) согласно критерию разрушения Мора - Кузнецова. А применение коэффициента нарушенности кп (отношение площади зон нарушения сплошности массива к площади поперечного сечения выработки) позволяет количественно сопоставить размеры разрушений при различных горнотехнических условиях проведения выработок и разработать рекомендации по их рациональному и безопасному сооружению.

На основе метода граничных элементов создана объёмная модель, описывающая геомехани-

ческое состояние (напряжённое, нарушенности, устойчивости) массива горных пород, вмещающего систему выработок, и разработан комплекс методов её компьютерной реализации и систематизированного проведения исследований модельных сред [2, 3]. Созданная модель универсальна, т.е. определяет непрерывное поле напряжений в окрестности выработок произвольного очертания, строит ЗНС, учитывая при этом любые системы поверхностей ослабления, произвольные характеристики среды, а также опорное давление в области ведения горных работ, и на базе вычислительного эксперимента обеспечивает комплексное изучение различных модельных сред. Возможности модели были хорошо изучены в результате проведения широкомасштабных вычислительных экспериментов на модельных и физических средах в широком диапазоне варьирования их основных параметров (коэффициенты бокового давления и сцепления, угол внутреннего трения и углы падения и простирания поверхностей ослабления). Результаты применения компьютеризированной модели и разработанных методов исследования опубликованы в ряде работ [4, 5].

Однако в геомеханике существует целый класс задач, в которых в силу достаточно сложной структуры массива никак не отражены и в расчётах не учитываются свойства его неоднородности. Это в первую очередь касается массивов осадочных горных пород, в которых наряду с коренными породами (аргиллиты, алевролиты, песчаники), слагающими этот массив, имеются угольные пласты, чьи свойства существенно отличаются от свойств коренных пород. Упомянутая выше модель может быть модернизирована и использована для анализа геомеханического состояния неоднородных, анизотропных по прочности массивов горных пород, вмещающих систему выработок.

Задача о распределении напряжений в массиве, вмещающем вставку (инородное включение с другими отличными от основной среды свойствами) может рассматриваться как совокупность двух задач теории упругости: второй внешней - для основного массива, охватывающего вставку, и второй внутренней, описывающей напряжённое состояние во вставке.

Интегральное уравнение второй внешней задачи теории упругости имеет вид [1]

2 а/во)-¡¡Ф1т(во'М0)ат(М0МОМо =

= °етПт(Яо) - Рц(Яо)

а второй внутренней [1]

2 а/во) - ДОФ 2 цт(во, М о )ат (М о #0 к

(1)

о

= ^(в0) + Р • Пт (во )

Складывая эти два уравнения, приходим к следующему уравнению, описывающему состояние на поверхности раздела двух сред

aq(Qо) +

Я

Ф2..Шо.МоЫМо) -

-Ф2„. (воМо)

ат(МоР0Мп =

= ?1тПт(в0) + Р • Пт(в0)

. (3)

В уравнениях (1) - (3) индексы q, т, ^ = 1, 2, 3

- номера координатных осей: ось 1 - х, ось 2 - у, ось 3 - ось г, ? цт - компоненты тензора напряжений естественного поля (нетронутого горными работами массива) здесь принимают следующие значения ? 11=^22=^уН, ?зз=уИ, р - равномерное давление на вставку, например, газа. о -поверхность вставки Ф1цт(во,Мо), Ф2 qm(Qо,Mо)

- тензоры Грина (фундаментальные решения для поверхности вставки), соответственно, со стороны основного массива и со стороны вставки. Ф1чт(во,Мо), например, определяется следующим образом [1]

Ф1

1

qm(Q0,Mо ) о /Л 1Г>2

8п(1 - и1 )Я

(1 - 2ц )(■

ХцПт

Я

ПцХт

Я

)+

+

(1 - 2и )дт + 3

Я2

Я

Ф2 т(во,Мо) =

1

8п(1 -и2 )Я2

х п п х (1 - 2и2)(—ил^) +

+

Я

(1 - 2и )5<т + 3

Я

ХцХт

Я

(4)

где и>1, 02 - коэффициенты Пуассона, соответственно, основной среды и вставки, Я - расстояние между точками во и Мо, расположенными на поверхности вставки, 5цт - символ Кронекера, пт(во) - единичный вектор внешней к поверхности вставки нормали в точке во.

Для неоднородного массива, вмещающего вырез и вставку, краевая задача сводится не к одному интегральному уравнению, а к системе интегральных уравнений, в которых учитывается взаимное влияние выреза и вставки. При этом число уравнений определяется числом вставок.

Поэтому для задачи, расчётная схема которой показана на рис. 1, имеем систему двух интегральных уравнений

о

X

X

ntхt

X

X

ntхt

о

2 aq (<201 ) ^11

1 О ------- О П I

12 qm т'

• пт (0)- Рч (да1)

(бо2 ^ ^21 — ^22 — Одт • Пт (бо2 )

(5)

где

¿11 — ЦФ^т (М,)) Ю

¿12

ЯК- ((.Мл )—ф2 т (Мо,_ )}>

02

> «т (М02 )^0Мо2;

ШФ1,т (&,•[ )—Ф2 т, (,.Мо)}>

01

> ат (М0! )^0Мо1;

= ЯКт ( ■ М0, )- Ф2цт (во, ,МО, )]

02

Х ат (М02 )^0Мо2

2 (6) В выражении (2) о1, о2 - поверхности, соответственно, выреза и неоднородности.

Следует заметить, что во всех приведённых выше уравнениях единственной константой, характеризующей упругие свойства материала, является коэффициент Пуассона. Следовательно, свойства массива и вставки в количественном отношении отличаются друг от друга лишь значениями своих коэффициентов Пуассона. Однако этот, странный на первый взгляд, факт вполне объясним. В теории упругости существуют два пути (направления) решения задач о напряжённо-деформированном состоянии тел. Первый путь это решение в перемещениях, когда разрешающая система 15 дифференциальных уравнений в частных производных для объёмной задачи сводится к системе 3-х дифференциальных уравнений Ляме также в частных производных относительно проекций вектора перемещений. Причём, в эти уравнения (для изотропного массива) входят две константы - модуль упругости и коэффициент Пуассона. Второй путь - решение в напряжениях. В этом случае разрешающая система для той же, объёмной, задачи сводится к системе 6-и дифференциальных уравнений Бельтрами - Митчелла в частных производных относительно компонент тензора напряжений. В этих уравнениях присутствует только одна константа - коэффициент Пуассона. Как уже было отмечено, интегральные уравнения второй внешней и второй внутренней задач были получены именно этим путём. В теории упругости выбор того или иного пути решения зада-

0

Рис. 1. Расчётная схема неоднородной задачи геомеханики

Таблица. ЗНС и коэффициенты нарушенности вмещающего массива с и=0,45

Типоразмер

вставки

И/И

Коэффициент Пуассона и2 материала вставки

0,1

0,2

/

/

Выработка

Н

Вставка

П

Л «■

444

□

£„=1,59

£„=1,475

£„=1,398

= <М

тх

£„=1,993

о

£„=1,373

■«■11

•и*

к„=7,33

£„=1,844

10

£„=24,188

£„=11,375

0

1

2

£„=1,583

3

£„=3,22

£„=1,5

£„=2,05

5

£„=3,672

£„=3,65

чи определяется рядом факторов, например, граничными условиями. Все задачи геомеханики связаны с бесконечными массивами, поэтому наиболее эффективно для их решения использовать второй путь. Вследствие этого в задачах геомеханики предварительное определение коэффициент Пуассона в лабораторных и натурных условиях приобретает особый, чрезвычайно важный статус (смысл).

В статье представлены результаты расчёта в

плоской постановке задачи о геомеханическом состоянии массива горных пород в окрестности протяжённой одиночной выработки квадратного поперечного сечения и вставки квадратной формы. Вставка расположена вблизи выработки таким образом, что линия, соединяющая центры выработки и вставки, наклонена к горизонту под углом 45°. Минимальное расстояние между вставкой и выработкой, как и её пролёт, составляет 2 единицы (первый фрагмент таблицы). Размер стороны

вставки принимает значения: 2, 4, 6, 10, 20 единиц, т.е. соотношение сторон вставки и выработки составляет, соответственно, 1, 2, 3, 5, 10 раз.

Коэффициент Пуассона массива и вставки варьировался в следующем интервале: 0, 0,1, 0,2,

0,3, 0,4, 0,45, 0,495 единицы.

Физико-механические характеристики среды

приняты следующими. Коэффициент бокового давления Л=1. Массив пронизан регулярными горизонтальными поверхностями ослабления с углами а=0°, в=0°. Угол внутреннего трения по основной породе и по поверхностям ослабления равнялся 20°, а коэффициент сцепления принят

а)

2.5

н

о

о

м

я

«

с

X

Н

X

<и

ЯГ

1—4

I—I

£*)

ин

5 V1

ъ . < э.

3-’3‘-Э

2 "■оС..

0 0.2 0.4 0.6

Коэффициент Пуассона вставки

И/к=1

б)

н

о

о

и

м

I.

Г~, 1

а

X

и

X

-©- 2

¡т>

о

И

о

а.

а*. 3

0 0.2 0.4 0.6

Коэффициент Пуассона вставки

Н/к=Ъ

м

о

о

X

К

¡2-

с;

и

н

м

¡Т)

о

ин

20

в)

г)

15

10

>

V1

ч * Г)

Ч2 з, ^ + +4 ¥¥**,[ ч >*©■«

60

а 50

I—I

М

О

X

X

<и

I

о.

с:

9

м

Я

40

30

* 20

И

10

г

V-1

©

\

( У

¡'С

^

0 0.2 0.4 0.6

Коэффициент Пуассона вставки И/к=5

0 0.2 0.4 0.6

Коэффициент Пуассона вставки И/к=10

Рис. 2. Кривые зависимости коэффициента нарушенности от коэффициента Пуассона и2 для разных коэффициентов Пуассона для среды и

равным нулю. Зоны нарушения сплошности строятся только для основного массива, полагая, что вставка монолитная, не имеет ослаблений, а потому не разрушается.

Некоторые результаты проведённого вычислительного эксперимента приведены в таблице и на фрагментах рис. 2, 3.

В таблице, в частности, представлены картины ЗНС в окрестности выработки и вставки, а

также значения коэффициента нарушенности, полученные для всех принятых типоразмеров вставки, одного значения коэффициента Пуассона для среды и трёх его значений для вставки. Видно, что при некоторых значениях и2 ЗНС охватывают не только окрестность выработки, но и окрестность вставки. Увеличение размеров вставки приводит и к увеличению коэффициента нарушенности массива, причём, оно не пропорционально линейному

а)

2.4

в 2.2

м

и

О

к

и 2 и

К

ф

Ш 1.6

я

л 1.4

о

К

1.2

1

і

у ¿а \

/ г -Л Ь, / ,1 1

" 1

У0' і

&•■<•>-о < г> *' < і

10

Типоразмер вставки

______»1=0,2____________

, 1.5

м

н

и

о

X

X

| 1.4

ее

9

м

9

О

о

1.3

1.2

1.1

б)

1 /

у з’*'

/ і * * »• Щ

о/ .• /р У

> V

5 10

Типоразмер вставки

и1=0,4

4Т

9 3.5т

Н

О

0

X X

1 Л &

9 м 9 и

в)

3

2.5-

9

И 2

- і

ггі

О

И

1.5 -

35

30

г)

А

*

о

0 X X

1

¡V

¡3

9

НІ

I

V

9

9

9

Л

О

15

4-

10

І

і у

у

у

/ V

Г"'*' 'І ■—і Ь ї"""

****** V" 1

Типоразмер вставки

и1=0,45

0 5 10

Типоразмер вставки

и1=0,495_____________

Рис. 3. Кривые коэффициента нарушенности при изменении типоразмера вставки при различных соотношениях коэффициентов Пуассона для вставки и среды

росту размера вставки.

На рис. 2 представлены четыре фрагмента (а -г), соответствующих четырём принятым типоразмерам вставки. Фрагмент (а) относится к первому типоразмеру, а фрагменты (б), (в), (г), соответственно, к третьему, четвёртому и пятому типоразмерам вставки. На фрагментах приведено по три кривых коэффициента нарушенности. Каждая кривая построена при одном из трёх значений коэффициента Пуассона для среды. Так кривая 1 соответствует и=0,495, кривая 2 - и=0,4; кривая

3 - и=0,2.

На рис. 3 даны четыре фрагмента (а - г), полученные при четырёх значениях коэффициента Пуассона для среды. На фрагментах приведено по четыре кривых коэффициента нарушенности. Каждая кривая соответствует одному значению коэффициента и2. Так на фрагменте (а) кривая 1 соответствует и=0,495, кривая 2 - и=0,45; кривая

3 - 02=0,4, кривая 4 - и=0,2. На фрагменте (б) кривая 1 построена при 02=0,2, кривая 2 при и=0,495; кривая 3 - и=0,45, кривая 4 - и=0,4. На фрагменте (в) кривая 1 построена при и2=0,2, кривая 2 при и=0,495; кривая 3 - 02=0,4, кривая 4

- и=0,45. На фрагменте (г) кривая 1 получена при и2=0,1, кривая 2 - и2=0,2; кривая 3 - 02=0,3, кривая

4 - и2=0,495.

Из таблицы следует:

1) наибольшее значение коэффициент нару-шенности соответствует коэффициентам Пуассона для вмещающего массива горных пород и=0,45 и вставки и2=0 при всех типоразмерах вставки. При этом наблюдаемые области нарушенности в угловых частях вставки с ростом её типоразмера увеличиваются и становятся сопоставимыми с размерами зон нарушения сплошности, расположенными непосредственно в окрестности выработки. При росте значений и2 (0,1, 0,2) значение коэффициента нарушенности уменьшается; .

2) прямо пропорциональное увеличение размеров вставки нелинейно влияет на изменение коэффициента нарушенности, значения которого растут не прямо пропорционально.

Фрагменты рис. 2 демонстрируют следующее.

1. Кривые коэффициента нарушенности с изменением коэффициента Пуассона вставки носят плавный характер.

2. Кривая 1, построенная при значении

и=0,495, близком к предельному значению коэффициента Пуассона для реально существующих материалов, значительно превышает остальные кривые и отличается большим градиентом изменения особенно на интервале изменения коэффициента Пуассона вставки и2=0 - 0,3.

3. Кривые 2, 3, построенные, при значительно

отличающихся друг от друга значениях и=0,4 и

01=0,2, по сравнению с кривой 1, проходят достаточно близко друг к другу.

Из анализа графиков, приведённых на рис. 3 следует.

1. Кривые 1 на фрагментах (а, в, г), построенные при о1/и2 (02/и)>2, с ростом размера вставки резко возрастают, при этом растёт и их градиент.

2. Кривые 2, 3 получены при соотношении коэффициентов Пуассона меньшем 2, с ростом размера вставки возрастают, но при этом их градиент убывает.

3. Кривые 4 на всех фрагментах постоянны, поскольку они построены при 01 = 02. Этот случай соответствует однородной задаче. Однако разница в коэффициентах нарушенности для крайних случаев: 01 = 02=0 и 01 = 02=0,495 составляет более 80%.

Выводы

1. Приведённая система интегральных уравнений краевой задачи теории упругости определяет напряжённое состояние на границе раздела сред: массив - вставка, массив - выработка.

2. Метод граничных элементов, основанный на численном решении системы интегральных уравнений, позволяет построить поле напряжений неоднородного массива. Применение критерия прочности Мора - Кузнецова обеспечивает полный анализ геомеханического состояния неоднородного анизотропного по прочности массива горных пород в окрестности выработки произвольного очертания.

3. Области нарушения сплошности вмещающего массива тем больше, чем значительнее отличаются друг от друга коэффициенты Пуассона для основного массива (среды) и включений (вставок). Наибольшая нарушенность массива достигается в случае, когда коэффициент Пуассона для включения и2=0, а коэффициент Пуассона для массива и1 близок к 0,5.

4. С ростом отношения площади включения к площади сечения выработки, а также числа включений существенно возрастает и число граничных элементов. В этих случаях по объёму вычислений и требуемой оперативной памяти плоская задача геомеханики неоднородного массива для выработки и включений становится сопоставимой по объёму вычислений с трёхмерной задачей однородного массива с выработкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука. - 1970. -940 с.

2. Черданцев Н.В. Метод граничных интегральных уравнений в задачах механики подземных сооружений /Н.В. Черданцев, В.А. Шаламанов //Вестник КузГТУ, 2003, № 4.-С. 19-21.

3. Черданцев Н.В. Некоторые трёхмерные и плоские задачи геомеханики /Н.В Черданцев, В.Ю. Изаксон.- Кемерово, КузГТУ, 2004.-190 с.

4. Черданцев Н. В. Влияние опорного давления на прочность массива горных пород, содержащего цилиндрические вырезы / Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Ю. Изаксон //ПМТФ.-2009.-№ 6.-С. 201-206.

5. Черданцев Н. В. Геомеханическое состояние анизотропного по прочности массива горных пород в

окрестности сопрягающихся выработок /Н.В. Черданцев, В.Т. Преслер, В.Ю. Изаксон

//ФТПРПИ.-2010.-№ 2.-С. 62-68.

□ Авторы статьи:

Черданцев Николай Васильевич: докт.техн.наук, старший научный сотрудник лаборатории газодинамики и геомеханики угольных месторождений Института угля СО РАН. E-mail: [email protected]

Преслер

Вильгельм Теобальдович: докт.техн.наук, ведущий научный сотрудник лаборатории газодинамики и геомеханики угольных месторождений Института угля СО РАН.

УДК 516.02

С.В. Черданцев

ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО ТРУБАМ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Трубы переменного поперечного сечения, используемые для изменения скорости газового потока, широко применяются в паровых турбинах и являются важнейшей составной частью ракетных и сверхзвуковых реактивных авиационных двигателей, представляющих собой сопло Лаваля. Отметим, что точного расчета сопла Лаваля в настоящее время не существует, и поэтому его проектирование производится в каждом конкретном случае индивидуально.

В этой связи в данной статье предпринята попытка обсудить возможность использования в качестве сопла Лаваля труб переменного сечения, профилями которых являются меридианы незамкнутых в вершине безызгибных оболочек вращения [1].

Главные радиусы безызгибных оболочек получены в явном виде

С - С х2 С - С х2

к^1 *^2л ^ _ ^ 1 К-'2Л (1)

2C1C2x2(C1 - C2x2)

2CiC2x

а уравнение меридиана выражается посредством формулы

f(x) = ±î

2CiC2x3dx

J(C} - C2x2)2 - 4C]C_

2n2x6 2 л

(2)

где положительный знак соответствует правой ветви меридиана, а отрицательный знак - левой. В формулах (1) и (2) абсцисса х отсчитывается от оси оболочки по перпендикуляру к ней. Из условия при

в = в, = П: Я/в,) - R, = r, R/e, ) - Ri

определяются постоянные интегрирования

Ci =

Ri

C2=-

Ri

r(r - 3Ri)’ 2 r3(r - Ri)

(3)

Численное интегрирование в (2) позволило [1] построить формы меридианов безызгибных оболочек (рис. 1,а).

Как видно из рисунка 1,а, безызгибные оболочки делятся на замкнутые в вершине, у которых 0 < Я\ / Я1 < 1 и незамкнутые, у которых

Я / Я > 1. Сфера и цилиндр входят в найденный класс оболочек как частные случаи. Важнейшей характеристикой незамкнутых оболочек вращения является величина Лг/г (рис. 1,б).

Будем полагать идеальный газ баротропным, а его движение по каналу переменного сечения стационарным и безвихревым. Кроме этого мы считаем, что газовый поток не обменивается теплотой с окружающей средой (т.е. процесс адиабатический).

В связи со сказанным, уравнение Громеки -Лэмба [2]

^+V

dt

r v V ivr

- v x rot v = J------Vp.

p

(4)

описывающее движение газа, допускает следующие упрощения.

Во-первых, массовые силы в идеальном газе, как правило, не учитываются f = 0 .

Во-вторых, ввиду стационарности газового

потока его скорость V и плотность р не зависят

от времени, поэтому

dv др _

— = 0, — = 0 . (5)

dt dt

В-третьих, поскольку движение газа безвихревое, то каждая индивидуальная частица газа перемещается только поступательно, поэтому вихрь скорости

rot V = 0. (6)

В-четвертых, предположение о баротропности газа позволяет нам ввести функцию давления P(p), дифференциал которой

dP(p) = dP, (7)

Р

что приводит нас к равенству

VP = 1 Vp , (8)

Р

в котором V является оператором Гамильтона

V д r д ^ д г

V = — i +------j +-----k .

дх ду дг

В силу сказанного, уравнение (4) преобразуется к виду

V

\

= 0

(9)

V ~ У

и, поскольку выражение в скобках не зависит от координат, то решением уравнения (9) является равенство

V2

— + Р _ С, (10)

2

называемое интегралом Бернулли, в котором С -постоянная.

Зависимость между давлением р газа и его плотностью р в адиабатическом процессе выражается формулой [2,3]

р _ Орк, (11)

в которой давление р называют адиабатой Пуассона, а коэффициент к = е/е„, содержащий теплоемкости газа при постоянном давлении ер и постоянном объеме е,, называют показателем адиабаты [2,3].

Из формул (7) и (11) вытекает, что функция давления баротропного газа в адиабатическом процессе представима в следующем виде

р(Р) = г dp = Г DkP ~ dP

Г Р Г Р

или после преобразования

■■ Dk j pk-2 dp = Dk

Р

P(P) =

kp

k -1 Р

(12)

В силу формулы (12) интеграл Бернулли (10) приводится к виду

V-+-L-. p = C.

2 k -1 Р

(13)

Учитывая, что скорость звука а в газе определяется формулой [2]

a =

k. Р

Р

(14)

уравнение (13) представимо как

22

V-+-О- _ С.

2 к -1

Возьмем дифференциалы от обеих частей (13)

(15)

vdv + ■

k

(

k-1

dp ■ Р - p ■ dp

\

Р

=0

У

откуда

dp k f dp

vdv +

Р k -1 i dp

\

p

Ру

= 0 . (16)

k -1

В силу формулы (14) и соотношения [2]

^ _ а2, ёр

уравнение (16) приобретает вид ,ё, ёр

— + —_ 0 . (17)

а2 р

Изменение плотности потока р, вдоль линии

тока можно представить в виде следующего соотношения

ё(рV • е1) _ ё(р,) • е1 + рV • ё(е1), (18) в котором е1 - единичный вектор, касательный к линии тока. Так как

ё(е1) _к2 • её, где е2 - единичный вектор, перпендикулярный е1, к2 - кривизна линии тока, которой можно пренебречь ввиду ее малости, и поэтому равенство (18) упрощается

ё(р, • е1) _ ё(р,) • е1

и, значит,

ё(р,) • е1 _ (рё, + ,ёр) • е1.

Умножив скалярно обе части полученного равенства на вектор е1 и разделив на р, получим уравнение

ё( р,) ё, ёр рV V р

складывая которое с уравнением (17), получим

d( pv)

dv

= P

1 - 4Л

V a J

Рис. 1. Формы меридианов безызгибных оболочек вращения (а) и общий вид незамкнутой безызгибной оболочки (б)

P1v1S1 = P2v2S2 ,

показывающее, что при стационарном течении объем газа есть величина постоянная

prvS = const. (21)

Из равенства (21) получаем соотношение рvdS + Sd( рv) = 0 , из которого следует

л/ > dS

d(рv) =------------------------р. (22)

(19)

откуда

d(pv) = p(1 - M2 )dv,

где M = v/a - число Маха.

Ввиду стационарности газового потока, урав нение неразрывности

JJJ div( pv ) • dV = 0

с учетом формулы Остроградского - Гаусса Жdiv( pp) • dV = jj pv • ndS

S

Приравняем правые части равенств (19) и (22)

2 ,,dv dS

приобретает вид

jj pv • ndS = 0 .

(20)

(M2 -1)— = vS

Поскольку по определению M = v/a, то

п , dv • a - da • v dM =---------------,

(23)

Поскольку боковая поверхность канала непроницаема, а газ течет только через торцевые

откуда

a

dM dv da

сечения канала

S, и S2

получаем равенство

ЦрV • пёБ _ Цр1,1 • (-п1 )ёБ + Цр2,2 • п2ё$

5 В, В’2

с учетом которого, уравнение (20) приводится к виду

Л р1,1 •(-п1 № + л р2,2 • п2ё$ _ 0,

51 ¿2

откуда вытекает равенство

M v a Из уравнения (15) вытекает равенство 2

vdv + -

-ada = 0.

k -1

преобразуемое к виду

dv 2 1 da

- +------------Г— = 0,

v k -1 M a

откуда имеем

S

S

Рис. 3. Зависимость числа Маха от величины относительного сужения канала

к -1 ё, ёа

M2

2 v a Из равенства (24) вычтем (25)

dM dv f, , -2 k - Ґ

-----= —I 1 + M2--------

M v I 2 ,

(25)

и найдем производную dv/v

dv dM

2

V М 2 + (к - 1)М2

В силу полученного равенства, дифференци альное уравнение (23) приводится к виду

ё8 _ _ 2(М2 -1 )ёМ 8 ~

(2б)

М[2 + (к - 1)М2]’

переменные в котором разделены. Поэтому, ин тегрируя (26), находим его решение

k+1

S

S„

M

2 + (k - 1)M2 k +1

2(k-1)

(27)

В левой части формулы (27) находятся геометрические параметры канала переменного сечения, а в правой части - коэффициент к и число Маха, являющиеся характеристиками газового потока. Обозначим

k +1

S

S

1

' = Уі. 77 M

2 + (k - 1)M2 k+1

2(k-1 )

и вычислим значение y1 при Ar/r = 0,2324, что соответствует незамкнутой в вершине безызгибной оболочки вращения с соотношением главных

радиусов в торцевом сечении R / R = 3 (см. рис. 1,а). График функции y2(M) построим при к = 1,4 (рис. 2). Абсцисса точки пересечения графиков M = 2,01 является решением уравнения (28).

Это значит, что труба переменного сечения с профилем безызгибной оболочки, относительное сужение которой Ar/r = 0,2324 обеспечивает увеличение скорости газового потока до двойной скорости звука в газе.

Выполняя аналогичные рассуждения для труб переменного сечения с профилями безызгибных оболочек при других значениях Ar/r, построим график зависимости числа Маха от величины от-

Рис. 2. К определению числа Маха газового потока на выходе из канала

носительного сужения (рис. 3), который показывает, что чем больше сужение Лг/г, тем выше скорость газового потока при выходе из трубы переменного сечения.

Таким образом, трубы переменного поперечного сечения с профилями незамкнутых в вершине безызгибных оболочек вращения, обеспечивают разгон газового потока до сверхзвуковой скорости и, следовательно, могут использоваться в качестве сопла Лаваля.

= y2(M)

(28)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гуревич, В.И. Тонкие оболочки вращения, деформирующиеся без изгиба под действием равномерного давления / В.И. Гуревич, В.И. Калинин // Докл. АН СССР.- 1981. - т. 256, № 5. - С. 1085 - 1088.

2. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа: - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

3. Леонтович, М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. - М.: Физматгиз, 1983. - 416

с.

□Автор статьи :

Черданцев Сергей Васильевич

- докт. техн. наук, проф.каф. математики КузГТУ E-mail: svch01@y andex.ru

Тел. 8-3842-53-57-85

2б С.В. Черданцев