Моделирование газодинамических процессов в камерах сгорания двигателей с анизотропными твердыми топливами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Ю. И. Д и м и т р и е н к о, Ю. А. К у л а г и н, А. П. Я р м о л а

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В КАМЕРАХ СГОРАНИЯ ДВИГАТЕЛЕЙ С АНИЗОТРОПНЫМИ ТВЕРДЫМИ ТОПЛИВАМИ

Предложен метод численного решения 3-мерной задачи газодинамики горения в рабочем тракте РДТТ с учетом переменной геометрии камеры сгорания за счет выгорания топлива. Проведено численное моделирование процессов горения анизотропных твердотопливных зарядов с кольцевой структурой, в ходе которого исследованы особенности изменения геометрической формы топлива в процессе горения.

E-mail: dimit.hmstu@mail.com

Ключевые слова: горение, газодинамика, анизотропные твердые топлива, численное моделирование.

Проблема моделирования газодинамики горения в камерах сгорания твердотопливных двигателей имеет уже достаточно длинную историю [1...6 ]. Однако для ее решения до сих пор в инженерной практике в основном применяют аналитические, одномерные и, реже, двумерные расчетные модели. Настоящая работа направлена на разработку метода расчета газодинамических процессов горения в рабочем тракте ракетных двигателей на твердом топлива (РДТТ) в рамках общего 3-мерного подхода с использованием метода ленточных адаптивных сеток [7.10]. Численное исследование проводится для перспективных анизотропных твердых топлив, имеющих скорость горения, различную для разных направлений в пространстве.

Система уравнений газодинамики в рабочем тракте РДТТ. Рассмотрим модель мгновенного сгорания твердого топлива [7.9], в которой топливо, сгорая, сразу переходит в газовую фазу, состоящую из продуктов сгорания, образование к-фазы учитывать не будем. Движение продуктов сгорания в камере сгорания (КС) рассматривается в рамках системы уравнений динамики идеального нетеплопроводного газа, состоящей из уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнения энергии. Записанная в бескоординатной форме, эта система имеет следующий вид [7]:

dp dt

dpv

dt

+ V • pv = 0, + V- (pv ®v + pE) = 0,

P + V- ((pE + p )v)

0.

К этим уравнениям присоединяются определяющие соотношения идеального совершенного газа:

p = Ярв, e = cv6, E = e + Ivl /2.

(2)

Здесь р — плотность газа; t — время; Е — полная энергия газа; е — внутренняя энергия; су — теплоемкость при постоянном объеме;

П II2 г

в — температура газа; V = \ — квадрат модуля скорости; р — давление; Я — газовая постоянная (Я = М/ц, р, — молекулярная масса газа, М — универсальная газовая постоянная); Е — метрический тензор; V — набла-оператор Гамильтона [11].

Решение системы уравнений газодинамики (1)-(4) ищем в переменной области У{(), соответствующей рабочему тракту РДТТ (камера сгорания с топливом и сопло), поэтому к этой системе присоединяется уравнение движения поверхности горения топлива

|+«If=

(3)

где /(x,t) = 0 — уравнение поверхности горения; х — радиус-вектор; Б — скорость горения топлива, которая зависит от давленияр продуктов горения на твердой поверхности горения:

D = Dr

с v

JL

vp0y

(4)

здесь Б0,у—характеристики топлива, р0 = 105 Па. Вследствие неоднородности топлива его скорость горения является переменной функцией в разнык зонах топлива, поэтому характеристики топлива являются функциями координат: Б0(х),у(х).

Рассматриваются 5 типов граничных условий для системы уравнений (1).

На границе 21, представляющей собой твердую непроницаемую стенку (стенки сопла), к системе (1) присоединяется граничное условие прилипания:

v = 0.

(5)

На твердой границе Z2 горения твердого топлива рассматривается условие массоприхода, которое дополняется условием задания температуры поверхности горения:

v• n = ~(ps -p)D, в = вс, (6)

P

где ps — плотность топлива; Qc — температура поверхности горения; n — вектор нормали.

В начальный период работы РДТТ происходит затекание в КС горячих газов, образующихся при работе воспламенителя. На этой границе входа потока 23 задаются условия

P = Pe, v • n = ve, в = ве, (7)

где ре, ve, ве — заданные значения.

После воспламенения основного топлива начинается рост давления в КС. Как только давление достигает некоторого предельного значения, разрушается заглушка в сопле и происходит истечение продуктов сгорания через сопло наружу. На дозвуковой границе выхода потока Z4 из сопла задается одно условие [7]:

Р = Ре. (8)

На сверхзвуковой границе выхода потока Z4 не задаются никакие граничные условия.

На плоскости симметрии Z5 задаются условия симметрии

дР = 0, v • n = 0, дв = 0. (9)

"Л ' ' \ /

дп дп

Начальные условия к системе (1)-(5) имеют вид

t = 0; р = р0, v = 0, E = cve0. (10)

где р0, e0 — заданные значения.

Уравнения газодинамики в подвижных адаптивных координатах. Рассмотрим три типа координат: декартовы xJ, ортогональные криволинейные координаты X'J (например, цилиндрические) и адаптивные криволинейные координаты XJ которые согласованы с границей рассматриваемой геометрической области течения продуктов сгорания потока, т. е. в этих координатах все части поверхности Zr..Z4 являются координатными поверхностями, где Xa = const. Вследствие выгорания топлива адаптивные координаты изменяются: XJ = XJ(xJ,t) и XJ = XJ(X'J,t). Тогда, записывая систему уравнений газодинамики (1) сначала в ортогональных координатах X'J [7], а затем, переходя к подвижным адаптивным координатам XJ, получим следующую систему:

д4^p + <ЬЕрcj+y P _

dt dXj adX}

3 ■ j d

4s'pv

= 0,

d_ dt

(gpvY) + cj X(Jgpvf)+ X P

a,ß=1

гdXj

4s R aß

SßY +

+ paßf а = 0,

Ha

d4s'PE + cj^ffpE + X p j J_

dt dxj adxj

4s'pv

Ha

E + P p

\\

= 0.

Здесь \а — компоненты вектора скорости в физическом базисе Г координат Xg'ав = О"аО'1 — метрическая матрица этого базиса,

а также

4g = HiH 2 H 3; Г

1 dH_ 1 dHß

Y = " 5 -——'—^5 ■

ßa H ß dx'ß aY HY dx'Y aß'

ß

Y

(12)

р' =дХ-; О" = —; Н = 4gr~; *аР = р^в + р5ар.

1 дХ' 1 ЭХ' а У баа> г Г

В системе (11) введены компоненты вектора скорости движения

г ЭХ' дХа ^

подвижной поверхности горения: с =-=-оа. Поскольку в ко-

дt дt

ординатах Х] уравнение движения поверхности горения/(x,t) = 0 имеет вид / = Ха - Xa(X'1,t) = 0, то из уравнение (5) находим выражение для с :

D

■ 3 2 Л1/2

х p ) I.

j=1

(13)

Использование метода ленточных адаптивных сеток. Для численного решения системы уравнений (11) был применен метод ленточных адаптивных сеток [7], использующий разностную схему типа предиктор-корректор 2-го порядка аппроксимации. Генерация адаптивной конечно-разностной сетки осуществлялась с помощью программы Sigma, разработанной на кафедре ФН-11. Введение подвижных адаптивных координат позволяет не пересчитывать разностную сетку по мере выгорания топлива, а использовать для этих целей одну и ту же исходную сетку.

Поскольку характерное время горения топлива (примерно 0,1 с) значительно превышает время установления газодинамического режима

истечения из сопла (примерно 0,01 с), то в целях сокращения общего времени расчета применялся внутренний итерационный процесс по «макровремени». На каждом шаге такого процесса расчет производился при фиксированных значениях с3 и до установления истечения потока, а при переходе на следующий шаг осуществлялся пересчет значений с1 и матриц Якоби и снова производился расчет до достижения нового режима установления. За счет такого алгоритма удалось значительно сократить общее время расчета по сравнению с методом прямого полного расчета процесса горения.

Результаты численного моделирования. Рассмотрена геометрия твердотопливного заряда цилиндрической формы. Свойство анизотропии скорости горения топлива обусловлено наличием у него неоднородной структуры, это так называемая структурная анизотропия. Вследствие анизотропии топлива горение его происходит неравномерно: на участках с большими значениями скорости горения Б образуются новые участки горения, что приводит к возрастанию давления в камере сгорания. Был рассмотрен случай, когда неоднородность топлива имела форму четырех концентрических колец, вследствие чего при горении топлива образовывались четыре кольцевых канала, распространяющиеся по оси цилиндра.

На рис. 1 представлена геометрическая форма заряда такого топлива в различные моменты безразмерного времени ^ = ¿I¿0, где ^0 — характерное время горения. Наружное кольцо топлива на рисунке не показано. В начальный момент заряд имеет форму цилиндра, далее по мере неравномерного выгорания в нем образуются четыре кольцевых канала, которые с разными скоростями изменяют свою форму: в радиальном направлении его скорость примерно в 2-4 раза отличалась от скорости в продольном направлении. В зоне горения каналы имеют клиновидную форму (заострение).

На рис. 2 показаны геометрические формы топлива в плоском продольном сечении, проходящим через ось симметрии. Угол клиновидной части каналов меняется по мере горения топлива: на режиме с большими значениями скорости горения Б этот угол имеет меньшие значения и, наоборот, при уменьшении скорости горения — угол клиновидной части возрастает.

На рис. 3 изображена характерная кривая изменения безразмерного давления р = р/р0 в КС в окрестности клиновидной части топлива в различные моменты безразмерного времени, где р0 — характерная величина давления. На начальной стадии горения из-за быстрого образования новых участков поверхности горения топлива давление повышается и достигает максимальных значений. Затем, по мере выгорания, площадь поверхности горения топлива уменьшается и давление падает. Вследствие кольцевой структуры анизотропного топлива

Рис. 1. Геометрическая форма цилиндрического анизотропного топлива с кольцевой структурой в различные моменты времени горения £ = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,6; 0,8

Рис. 2. Геометрическая форма анизотропного топлива с кольцевой структурой в сечении, проходящем через ось симметрии, в различные моменты времени горения - = 0; 0,1; 0,3; 0,6; 0,8

Рис. 3. Кривая изменения давления в КС РДТТ с анизотропным топливом

Рис. 4. Распределение по координате г давления в сопловом блоке РДТТ на оси симметрии в момент времени / = 0,9

Рис. 5. Распределение по координате г продольной безразмерной скорости в сопловом блоке РДТТ на оси симметрии в момент времени / = 0,9

его геометрическая форма остается самоподобной, площадь поверхности горения стабилизируется, и также стабилизируется участок с пониженным давлением.

На рис. 4-6 показаны графики распределения по продольной координате z = zIz0 безразмерных функций: давления р, продольной скорости V = V31 у0 и температуры в = 6160 в сопловом блоке РДТТ на оси

1.13 1.15 1.17 1.19 1.21 1.23 1.25 ^

Рис. 6. Распределение по координате г безразмерной температуры в сопловом блоке РДТТ на оси симметрии в момент времени / = 0,9

симметрии в момент времени ^ = 0,9. Здесь у0 и в0 — характерные значения продольной компоненты вектора скорости и температуры в КС. В целом полученные результаты расчетов газодинамических параметров в КС с анизотропным топливом имеют вид, характерный для классических РДТТ со смесевыми топливами и канально-щелевы-ми зарядами [3...5].

Выводы. 1. Предложен метод численного расчета газодинамических параметров в рабочем тракте РДТТ с учетом переменной геометрии КС за счет выгорания топлива. 2. Проведено численное моделирование процессов горения анизотропных твердотопливных зарядов с кольцевой структурой, которое показало, что в процессе горения таких топ-лив образуется характерная канальная форма топлива с клиновидной частью поверхности горения. 3. Разработанный численный метод позволяет проводить расчеты газодинамических параметров в рабочем тракте на различных режимах горения топлив в целях выбора рациональной геометрической формы заряда.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Р ы ч к о в А. Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. Новосибирск: Наука, 1988.

2. З е л ь д о в и ч Я. Б., Л е й п у н с к и й О.И., Л и б р о в и ч В.Б. Теория нестационарного горения пороха. - М.: Наука, 1975.

3. Л и п а н о в А. М., А л и е в А. В. Проектирование ракетных двигателей твердого топлива. - М.: Машиностроение, 1995.

4. К а л и н и н В. В., К о в а л е в Ю. Н., Л и п а н о в А. М. Нестационарные процессы и методы проектирования узлов РДТТ. - М.: Машиностроение, 1986.

5. Е р о х и н Б. Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирования РДТТ. -М.: Машиностроение, 1991.

6. С м и р н о в Н. Н., Д и м и т р и е н к о И. Д. Исследование конвективного горения в сжимаемом твердом топливе с продольными каналами // Физика горения и взрыва. 1990. № 4. С. 14-22.

7. Д и м и т р и е н к о Ю. И., К о т е н е в В. П., З а х а р о в А. А. Метод ленточных адаптивных сеток для численного моделирования в газовой динамике. - М.: Физмаглит, 2011.

8. Д и м и т р и е н к о Ю. И., З а х а р о в А. А. Автоматизированная система для моделирования газовых потоков методом ленточных адаптивных сеток // Информационные технологии. 2009. - № 6. С. 12-16.

9. Д и м и т р и е н к о Ю. И., И з о т о в а С. Г., А н у ф р и е в С. Н., З а х ар о в А. А. Численное моделирование трехмерных газодинамических процессов в камерах сгорания РДДТ на основе метода геометрически-адаптивных сеток // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2005. - № 3. -С. 139-146.

10. Д и м и т р и е н к о Ю. И., Б е л е в с к и й В. В. Численное моделирование процессов воспламенения и горения в РДТТ на основе метода ленточных динамически адаптивных сеток. Аэрокосмические технологии: Научные материалы Второй международной научно-технической конференции, посвященной 95-летию со дня рождения академика В.Н.Челомея / под ред. Р.П. Симоньянца. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - С. 146-151.

11. Д и м и т р и е н к о Ю.И. Тензорное исчисление. - М.: Высшая школа. - 2001. - 560 с.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.

Димитриенко Юрий Иванович родился в 1962 г., окончил в 1984 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член академии инженерных наук. Автор более 200 научных работ в области механики сплошной среды, вычислительной механики, термомеханики композитов, математического моделирования в науке о материалах.

Кулагин Юрий Александрович, д-р техн. наук, профессор, главный научный сотрудник ФГУП «ЦНИИХМ». Автор более 100 научных работ. Область научных интересов: химия и механика горения твердых топлив.

Ярмола Антон Петрович, канд. техн. наук, начальник отдела Управления перспективных межвидовых исследований. Автор около 20 научных работ в области проектирования твердотопливных и ракетных систем.