CC BY
2УДК 62
Дауылбек Н.
магистр технических наук преподаватель кафедры «Информационные системы и информатика» Кокшетауский университет им. А. Мырзахметова (г. Кокшетау, Казахстан)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ КАПЛИ В СТАНДАРТНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Аннотация: в теоретических работах предлагаются различные математические модели для моделирования процесса воздействия электрического поля на капли эмульсии: от простейших, основанных на нелинейных алгебраических уравнениях, до наиболее сложных, представляющих собой систему самостоятельно выведенных дифференциальных уравнений с набор эмпирических соотношений замыкания. Область применения каждой из моделей ограничена определенными условиями, поэтому возникает проблема выбора модели, адекватно описывающей рассматриваемый физический процесс. Вторая проблема заключается в том, что даже при использовании простых математических моделей невозможно получить результат вручную, без помощи компьютера.
Ключевые слова: капля, интерфейс, инструменты визуализации, моделирование, электрическое поле, вибрация, деформация капли.
Предварительные численные расчеты проводились с помощью программных продуктов, разработанных для различных значений физических параметров капли и окружающей среды, а также параметров электрического поля. Все программные продукты продемонстрировали свою эффективность, полученные результаты согласуются с физическими представлениями и известными экспериментальными данными [1, с 22].
Последняя версия программного продукта проходит официальную регистрацию в установленном порядке. Основная часть работы - проведение нескольких численных экспериментов с использованием полной двумерной
модели для выявления законов взаимодействия электрических полей с «классическими» и «сложными» каплями [2, с 13].
Из материала с диэлектрической текучестью е2 (например вода) радиус Я Диэлектрическая сферическая капля имеет диэлектрическую проницаемость £1 (например, воздух) находится в диэлектрической среде. Определим а коэффициент поверхностного натяжения на границе капли со средой. Рассматриваемая система Е = (Ех,0,0) Предположим, что он помещен во внешнее постоянное электрическое поле с напряженностью, то есть вектор напряжения электрического поля направлен вдоль оси X пространственной декартовой системы координат (рисунок 1.1) [3, с 20-21].
Рисунок 1.1. Диэлектрическая капля во внешнем постоянном электрическом
поле.
Под действием постоянного электрического поля исходная сферическая капля имеет форму эллипсоида, вытянутого вдоль вектора электрического поля, ее эксцентриситет е определяется как решение нелинейного алгебраического уравнения [4, с 18].
Е
3 -2е2 3 -4е2 агсБШе гЕ2(а2 -^)2
С
/1 2\2/3 /Л 2\7/6
(1 - е ) (1 - е ) е
2аех (1 + Б(е2 -е1)/ а)2
= 0
(1.1)
где коэффициенты В и С определяются по формуле ниже [4].
В =
1 - е
2 Г
2е
, 1 + е о 1п--2е
1-е
С = 1 С е2
— - е 11п - 6 .е ) 1-е
Простой метод деления пополам используется для численного решения нелинейного алгебраического уравнения (1.1), блок-схема которого представлена на рис. 1.2. [5, с 35].
Рисунок 1.2. Блок-схема метода разделения исчисления для решения уравнения
I (х) = 0.
Для проведения численного моделирования деформированной формы капли (ее эксцентриситета) при различных параметрах окружающей среды и напряжении постоянного электрического поля создан программный продукт на основе алгоритма метода масштабного распределения, основанного на
алгоритме программирования C++ в перекрестном режиме. -платформа интегрированной среды (IDE) Qt Creator [6, с 85].
На рисунке 1.3 показано главное окно программного продукта. В панели «Исходные данные» вводятся все параметры для численного моделирования (значения указаны в скобках по молчаливому соглашению): начальный радиус капли (R = 10-3 м),
f = 1
- относительная диэлектрическая проницаемость среды ( 2 ),
f = 81
- относительная диэлектрическая проницаемость капли ( 1 ),
- коэффициент поверхностного натяжения на границе капли (а = 71,97-10-3 Н/м)
- напряженность электрического поля (E =11,4 10 В/м), точность решения нелинейного уравнения (f =10 6) [7, с 8].
* Droplet Deformation in Stationary Electric Refd - □ X
Initial data Dependence of Droplet Total Energy on Its Eccentricity Initial and Deformed Droplet Shape
® Initial Droplet Radius, m le-3
a,9-iD-T
0 Relative Permittivity of Media 1 j —R = n.aoim | O.COl | - R-O.COlm |
S^'lD-7 i
0 Relative Permittivity of Droplet 81 ■J,ешь у Xv
0 Surface Tension Coefficient, N/m 7L97e-3
I / j/
0 Electric Fietd Intensity, V/m 11.4e5 f Mf - 0 h 1 1
Accuracy of Numerical Solution 1 e-6 3 a, 5-3D T /
Solve Result Eccentricity of Deformed Droplet; 0.616825 8,3'ID'7 --^^ J -0ДО5 -O.COl Ш - ir
0,2 0,4 DHS 0,8 1 Eaentrfctty e ■0,DD1 -fl.,0005 D 0,0305 1,111 0,001
3 Uttiaidyov twain Natccul Urwsraty,, 3019 Save Clear Graphs Save
Рисунок 1.3. Главное окно программы по результату расчета. Результаты и обсуждение.
После ввода исходных данных и нажатия кнопки Решить программа выдает следующие результаты:
- график зависимости полной энергии капли от ее эксцентриситета,
- форма деформированной капли (в данном случае пунктиром показана исходная форма капли),
- в панели «Результат» отображается числовое значение эксцентриситета деформированной капли (в примере рисунка 1.3 значение равно 0,616825). [8, с 18].
Для удобства численного моделирования, анализа и представления полученных результатов в программе предусмотрены следующие инструменты:
- выбор переключателя слева от названия входного параметра позволяет изменить его в параметре и отобразить на чертеже при нажатии кнопки решить,
- кнопка Сохранить позволяет сохранить соответствующий график в графический файл с расширением .рп§,
- кнопка «Очистить графики» очищает оба графика [9, с 5].
На рисунках 1.4, 1.5 показаны результаты численного моделирования с использованием описанного выше программного продукта. На рисунке 1.4, а) показана зависимость полной энергии капли от ее эксцентриситета для трех различных значений начального радиуса капли, а на рисунке 1.4, б) показана зависимость эксцентриситета деформированной капли от ее начальный радиус. При постоянной напряженности электрического поля капли малого радиуса деформируются незначительно, поскольку значительные силы поверхностного натяжения препятствуют деформации. С физической точки зрения для капель такого размера электрические силы значительно превышают силы поверхностного натяжения, капля значительно растягивается (рис. 1.5), и может произойти дальнейший распад капли. Можно сказать, что капли с большим начальным радиусом распадаются на мелкие капли под действием заданного электрического поля [10 с 29-36].
0.8
и
•р 0.6 "С
и
Й 0.4
М
0.2
О
1 1
/ • •
■ ■
*
-1г •г
10"' 10'4 ю-1
Dropiet га(1ш5 В, т
а)
б)
Рисунок 1.4. Зависимость полной энергии капли от эксцентриситета (а) и зависимость эксцентриситета от начального радиуса (б).
Рисунок 1.5. Сильно вытянутая деформированная форма капли, начальный
радиус Я = 1,5-10-3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Reitz J.R., Foldy L.L. The force on a sphere moving through a conducting fluid in the presence of a magnetic field // Journal of Fluid Mechanics. - 1961. - Vol. 11, Issue 1. - P.133;
2. Torza S., Cox R.G., Mason S.G. Electrohydrodynamic Deformation and Burst of Liquid Drops // Philosophical Transactions of the Royal Society A. - 1971. -Vol. 269, Issue 1198. - P.295;
3. Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // Journal of Computational Physics. - 1981. - Vol. 39, Issue 1. -P.201;
4. Osher S., Sethian J.A. Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations // Journal of Computational Physics. - 1988. - Vol. 79, Issue 1 - P. 49;
5. Unverdi S.O., Tryggvason G. A front tracking method for viscous incompressible multi-fluid flows // Journal of Computational Physics. - 1992. - Vol. 100, Issue 1;
6. Kothe D.B., Brackbill J.U., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension // Journal of Computational Physics. - 1992. - Vol.100, Issue 2. -P.335;
7. Ratke L., Voorhees P.W. Growth and Coarsening: Ostwald Ripening in Materials Processing, Springer: Berlin, Germany, 2002;
8. Kaptay G. On the temperature gradient induced interfacial gradient force, acting on precipitated liquid droplets in monotectic liquid alloys // Material Science Forum. - 2006. - Vol. 508. - P.274;
9. OpenFOAM, The Open Source CFD Toolbox, User Guide. - 2008;
10. Vantzos O. Mathematical Modeling of Charged Liquid Droplets: Numerical Simulation and Stability Analysis. - Master Thesis. - 2006. - 96 p
Dauylbek N.
Kokshetau University named after A. Myrzakhmetov (Kokshetau, Kazakhstan)
MODELING THE SHAPE OF A DROP IN PERMANENT ENERGY CONSUMPTION
Abstract: theoretical works propose various mathematical models for simulating the process of the action of an electric field on emulsion droplets: from the simplest, based on nonlinear algebraic equations, to the most complex, representing a system of independently derived differential equations with a set of empirical closure relations. The scope of application of each model is limited by certain conditions, so the problem arises of choosing a model that adequately describes the physical process under consideration. The second problem is that even when using simple mathematical models, it is impossible to obtain the result manually, without the help of a computer.
Keywords: drop, interface, visualization tools, modeling, electric field, vibration, drop deformation.
