ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 32.973 Научная статья

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Дауылбек Н., Дарикулова Е.К., Касымов Р.К. Кокшетауский университет имени Абая Мырзахметова (г. Кокшетау, Республика Казахстан)

Аннотация. Для непосредственного численного моделирования процесса деформации «классических» и «сложных» капель под действием электрического поля используется математическая модель «одна жидкость». Где уравнения модели записываются для всей области расчета (капля + среда), а межфазное взаимодействие выражается в виде отдельного суммирования в уравнениях. Гидродинамическая модель состоит из уравнения неразрывности и уравнения Навье-Стокса.

Ключевые слова: плотность среды, массовые силы, скорость, вектор, свободный контрольный объем, давление.

Для цитирования: Дауылбек Н., Дарикулова Е.К., Касымов Р.К. Численный алгоритм решения гидродинамических уравнений // Наука и реальность. 2024. № 2 (18). С. 61-66.

NUMERICAL ALGORITHM FOR SOLVING HYDRODYNAMIC EQUATIONS

Dauylbek N., Darikulova E.K., Kasymov R.K. Abay Myrzakhmetov Kokshetau University (Kokshetau, Republic of Kazakhstan)

Abstract. The mathematical model "one liquid" is used for direct numerical simulation of the deformation process of "classical" and "complex" droplets under the action of an electric field. Where the model equations are written for the entire calculation area (drop + medium), and the interphase interaction is expressed as a separate summation in the equations. The hydrodynamic model consists of the continuity equation and the Navier-Stokes equation.

Keywords: medium density, mass forces, velocity, vector, free control volume, pressure.

For citation: Dauylbek N., Darikulova E.K., Kasymov R.K. Numerical algorithm for solving hydrodynamic equations // Science and Reality. 2024. no. 2 (18), pp. 61-66. (in Russian).

Для создания численной схемы воспользуемся уравнением Навье-Стокса, записанным в интегральной форме:

— | рйдУ + рйй • МБ = рМБ +1 р^йУ + ^ ¡л ^Ум + (Уй)т ^ • МБ +1 /(IV ?

^ V 5 5 V 5 V

где р - плотность среды, и - вектор скорости, р - давление, ¡1 - динамическая вязкость среды, / -массовые силы (включая силы поверхностного натяжения и электрические силы), §- вектор ускорения свободного падения, V - свободный контрольный объем, 8 — поверхность контрольного объема, п — вектор внешней нормали, проецируемый на поверхность контрольного объема[2, а 133-142].

Полагая, что рассматриваемая среда несжимаема, уравнение неразрывности в интегральной форме записывается следующим образом:

фй -псШ = О

" Вр др _ ^ _

и плотность каждой материальной частицы остается постоянной —— = — + и ■ Ур = 0.

Бг дг

Верхний индекс переменной указывает время, для которого вычисляется переменная, а нижний индекс представляет пространственную дискретизацию. Кроме того, обозначения используются для представления дискретных величин (в отличие от непрерывных исходных функций р,й, р), а р1],й1],р1] обозначения используются для значений этих функций в

узловой точке (1, j) дискретной структурированной двумерной сетки [1, а 25-28 ].

Для средних значений в контрольном объеме введем следующие обозначения:

м„ = ^ | рйс1У , А, = тг / РШ •> УпРи =77] , Ръ8 РёЛУ ,

V V V в * V

* Я У V

Тогда уравнение Навье-Стокса запишется следующим образом:

д - -

т:М„ = -А„- V,ръ + + £>й + /й .

от

Введем следующие обозначения для уравнения неразрывности: У ,ци = — \f\u-ndS .

1/ ^ У Я

Уравнение Навье-Стокса описывает изменение импульса во времени, однако для расчета членов в правой части этого уравнения скорость и плотность необходимо определять отдельно. Предположим, что наблюдаемая скорость V в каждый момент времени может быть выражена как произведение средней скорости и средней плотности [3,

с. 269-274]:

м;=рх и мг^рГС1,

й:=Цйс1У, РЧ=х-\рсы.

у у у V

Однако это оправдано при небольшом объеме управляющего объема, когда скорость и давление можно считать постоянными [4 c 295-319; 5 с 201-225].

ы аппроксимируем производную времени в уравнении Навье-Стокса, используя простую конечно-разностную формулу первого порядка и прямую разность:

здесь

п+1 — п+1 п — п

рк и\;рл = -а:-укрк + ри+щ + 7;.

аг

Верхний индекс «п» представляет значение переменной в этот момент времени ^ а верхний индекс «п+1» представляет значение переменной в следующий момент времени г + Аг. Все члены в правой части уравнения, кроме давления, вычисляются в п-м временном слое, поскольку давление определяется из условия уравнения неразрывности в п+1 новом временном слое [6, с. 33-38]:

V/, • «Г1 = 0.

Предположим, что новое поле давления известно (г + Аг во времени). Однако даже в этом случае мы не можем решить уравнение и получить новое поле скорости, поскольку неизвестно поле давления, которое является стандартной задачей при рассмотрении несжимаемых течений. Существует два уравнения для скорости (Навье-Стокса и неразрывность), но нет отдельного уравнения для давления. Для решения этой задачи воспользуемся методом прогнозирования-коррекции, при котором промежуточное поле скорости рассчитывается без учета слагаемых, связанных с давлением, затем поле давления, конечное поле скорости определяется из условия, удовлетворяющего уравнению неразрывности. Таким образом, алгоритм численного решения состоит из двух этапов [7, с. 335-354]:

Шаг 1 - «Угадай».

п+1—*

п. и, — п. и, - -

Аг

Шаг 2 - «Коррекция».

-И+1--И+1 -.п+1-

р„ щ, ~ри щ, _ уу „

А _ НРН

Аг

и найденное поле давления должно удовлетворять условию

о.

На этапе «коррекции», взяв расхождение с обеих сторон уравнения, получим:

1

V— /7+1 Х"7 —* ^

А '"А

Аг

У /г

Рн

„п+1

\Рн 0

Первый член в числителе в левой части уравнения равен нулю из-за уравнения неразрывности, поэтому для нахождения давления мы получаем следующее уравнение [8 с 96]:

г , л

1 _

п+1 рн

Аг

к ■

0РН 0

Обобщая все вышесказанное, можно сформулировать алгоритм поиска поля скоростей в новом временном слое:

1. Расчет новых полей плотности и вязкости.

2. Расчет промежуточного поля скоростей по следующей формуле:

= Лг (РХ+А/ (-А;+ /);;+/;))

Рн

1. Нахождение поля давления по уравнению:

v

1

и+1 Ph \Ph 0

At

hh

2. Выпрямите промежуточное поле скорости, добавив градиент давления.

— и+1 —* д + Uh =Uh~At

vhPh

n+1

P.

Область расчета выбирается путем деления на последнее число прямоугольного контрольного объема. Дискретизированная сетка используется для расчета и хранения дискретных величин компонент вектора скорости и давления. На рис. 1 показана типичная область регулирования компонентов вектора давления и скорости. [9, с. 25-37; 10, с. 12-49].

*i-Mj

vij+1/2

Pij

у-1/2

и 1+1/2

4)

5)

в)

Рисунок 1. Регулирование компонентов вектора давления и скорости.

Формулы расчета компонент промежуточного поля скорости с использованием введенной пространственной дискретизации (шаг 2 алгоритма) можно записать следующим образом:

1

i+1/2, j 1 2

(n+1 , и+1\

Pi+1,j+Pi,j j

2 P j +PPjj <1/2, j +At (-< Ax >-+1/2. j +

+ — 2

~(p"+1,j +Ppj j <S* >.+1/2, j + <Dx > .+1/2, j + < fx )

x i+1/2, j

Vi, j+1/2

-- í2 (p^j+1 +PPj j v^j+1/2 + at (~<ay >п,j+1/2 +

2 P++1+p+ 1 jl 2

+ 2 P j+1 +Pp j j < >" j+1/2 + (Dy >" j+1/2 + < fy >n

yJi, j+1/2

Линейная интерполяция соответствующих значений плотности используется для нахождения неизвестныгх значений плотности в центре объемов контроля скорости. [11, с. 39-41; 12, с. 112-152]:

и+1 1 / и+1 и+А и+1 1 / и+1 и+1\

Р+1/2, j = 2 (Р+1, j + P, j ) , P, j+1/2 = 2 0Р,j+1 + P, j ) .

П.

-i:

Численный метод прямоугольника используется для расчета интегралов по компонентам конвективныгх компонент Ах и Ау:

(А,)

ХАЧ^, j

1 V

фри(й ■ n)dS

V s

V

J м 12, j

|[ipuu)i+h j - (puu)i, j ] Ay -

+ [(Puv)i+1/2, j+1/2 - (PUv)i+1/2, j-1/2 ] ■^ I = A,

P+1,

J_

'Ay

i+3/2, j ^ i+1/2,j 2

n „ n

Pi,

i+1/2, j i-1/2, j

Pi,j + P+1,j + Pi,j+1 + P+1,j+1 Ui+1/2,j+1 + Ui+1/2,j Vi+1,j+1/2 + Vi,j+1/2

4 2 2

Pi, j +P+1, j + Pi, j-1 +P+1, j-1 Ui+1/2, j + Ui+1/2, j-1 Vi+1, j-1/2 + Vi , j-1/2

n

4

2

2

()

■y'i, j+1/2

+

[J puiit ■ n)dS

s

[PVV)i,j+ 1 - (PUV)i, j ^^

Ji,j+1/2

P

■¿У {[(puv)

i+1/2, j+1/2

- (puv)

i—1/2, j+1/2

i, j+1

Vi, j+3/2 + Vi, j+1/2

^ ^ V" + V" ^ Vi, j+1/2 ^ Vi, j-1/2

2

■Pi,

2

1 Pi, j + P+1, j + P+1, j+1 + Pi, j+1 Ui+1/2, j + Ui+1/2, j+1 Vi , j+1/2 + Vi+1, j+1/2 Ax 4 2 2

л n n n

Pi,j + Pi,j+1 + P-1,j+1 + P-1,j Ui -1/2,j+1 + Ui-1/2,j Vi ,j-1/2 + Vi-1,j+1/2 4 2 2

Список источников

1. Ratke L., Voorhees P.W. Growth and Coarsening: Ostwald Ripening in Materials Processing; Springer: Berlin, Germany, 2002.

2. Reitz J.R., Foldy L.L. The force on a sphere moving through a conducting fluid in the presence of a magnetic field // Journal of Fluid Mechanics. - 1961. - Vol. 11, Issue 1. - p.133-142.

3. Kaptay G. On the temperature gradient induced interfacial gradient force, acting on precipitated liquid droplets in monotectic liquid alloys // Material Science Forum. - 2006. - Vol. 508. - p.269-274.

4. Torza S., Cox R.G., Mason S.G. Electrohydrodynamic Deformation and Burst of Liquid Drops // Philosophical Transactions of the Royal Society A. - 1971. - Vol. 269, Issue 1198. -p.295-319.

5. Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // Journal of Computational Physics. - 1981. - Vol. 39, Issue 1. - p.201-225

6. OpenFOAM, The Open Source CFD Toolbox, User Guide. - 2008.

7. Kothe D.B., Brackbill J.U., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension // Journal of Computational Physics. - 1992. - Vol.100, Issue 2. - p.335-354.

8. Vantzos O. Mathematical Modeling of Charged Liquid Droplets: Numerical Simulation and Stability Analysis. - Master Thesis. - 2006. - 96 p.

9. Unverdi S.O., Tryggvason G. A front tracking method for viscous incompressible multi-fluid flows // Journal of Computational Physics. - 1992. - Vol. 100, Issue 1. - P.25-37

10. Osher S., Sethian J.A. Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations // Journal of Computational Physics. - 1988. - Vol. 79, Issue 1 - p.12- 49.

11. Young D.L. An interface tracking method for a 3D Eulerian hydrodynamics code: Technical report AWRE/44/92/35, Atomic Weapons Research Establishment. - 1987.

12. Rider W.J., Kothe D.B. Reconstructing volume tracking // Journal of Computational Physics. - 1998. - Vol. 141, Issue 2 - p.112 - 152.

Даулбек Нургиза, магистр технических наук, преподаватель, Кокшетауский университет имени Абая Мырзахметова (г. Кокшетау, Республика Казахстан).

Daulbek Nurgiza, Master of Technical Sciences, Lecturer of the Department of Information Systems and Informatics, Abay Myrzakhmetov Kokshetau University (Kokshetau, Republic of Kazakhstan).

S: Nurgiza_0709@mail.ru

Дарикулова Елена Кудайбергеновна, магистр технических наук, преподаватель, Кокшетауский университет имени Абая ырзахметова (г. Кокшетау, Республика Казахстан).

Darikulova Elena Kudaibergenovna, Master of Technical Sciences, Lecturer of the Department of Information Systems and Informatics, Abay Myrzakhmetov Kokshetau University (Kokshetau, Republic of Kazakhstan).

©Ï

I I: darikulovaelena@gmail.com

Касымов Расул Кудабаевич, студент второго курса по специальности «Информационные системы», Кокшетауский университет имени Абая Мырзахметова (г. Кокшетау, Республика Казахстан).

Kasymov Rasul Kudabaevich, a second-year student in the specialty "Information

Systems", Abay Myrzakhmetov Kokshetau University (Kokshetau, Republic of Kazakhstan).

I_I: fergercer@gmail.com

Дата поступления: 05.04.2024

© Дауылбек Н., Дарикулова Е.К., Касымов Р.К., 2024