МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ТВЕРДОТЕЛЬНОМ ВОЛНОВОМ ГИРОСКОПЕ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Б01 10.36622^Ти.2023.19.2.007 УДК 004.94:519.63

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ТВЕРДОТЕЛЬНОМ ВОЛНОВОМ ГИРОСКОПЕ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ

И.Л. Батаронов, Г.Е. Шунин, С.А. Кострюков, В.В. Пешков Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: при помощи метода конечных элементов решены задача на собственные значения и смешанная краевая задача для системы связанных дифференциальных уравнений в частных производных линейной теории электроупругости, описывающей колебания цилиндрического резонатора твердотельного волнового гироскопа с пьезоэлектрическими преобразователями. Для решения использовалась разработанная интегрированная система конечно-элементного анализа гравиинерциальных датчиков. Рассчитаны спектр собственных частот, энергия упругой деформации и диссипативные характеристики колеблющегося резонатора. Показана эволюция формы колебаний резонатора, возбуждаемого переменным синусоидальным напряжением заданной амплитудой на рабочей частоте резонатора, приложенным к двум противоположным пьезоэлементам, в разные моменты времени. Найдена временная зависимость электрических потенциалов на пьезоэлементах, уровень неустранимых фоновых переменных электрических потенциалов на приёмных пьезоэлементах, расположенных под углом 45 градусов к пьезоэлементам системы возбуждения. Проведена оценка минимально возможного времени выхода твердотельного волнового гироскопа на рабочий режим для выбранной конструктивной схемы при заданных параметрах возбуждения, обусловленного инерционностью резонатора гироскопа. Эти факторы должны учитываться при выборе конструкции резонатора и системы съёма и обработки сигнала с пьезоэлементов гироскопа

Ключевые слова: твердотельный волновой гироскоп, цилиндрический резонатор, уравнения электроупругости, смешанная краевая задача, задача на собственные значения, конечно-элементный анализ

Введение

В настоящее время широкое применение в технике находят сравнительно дешёвые твердотельные волновые гироскопы (ТВГ) средней и низкой точности с металлическими резонаторами различной формы. Довольно эффективной оказалась конструкция ТВГ с цилиндрическим резонатором [1]. Она часто используется в качестве прототипа при разработке ТВГ как в России, так и за рубежом [2]. Для решения требуемых целевых задач вносятся изменения в конструктивную схему прототипа разрабатываемого ТВГ. Это приводит к необходимости математического моделирования ТВГ с целью достижения заданных метрологических параметров и характеристик. Моделирование осуществляется с помощью систем конечно-элементного анализа, таких, как Сош8о1 Ми1-йрЬу8Ю8, Ашу8 и других. Так, например, в работе [3] рассчитывались термоупругие потери и влияние дефектов формы и малых неоднород-ностей плотности цилиндрического резонатора ТВГ на его собственные частоты. В работе [4] изучалось влияние пьезоэлементов, располо-

© Батаронов И.Л., Шунин Г.Е., Кострюков С.А., Пешков В.В., 2023

женных на цилиндрическом резонаторе ТВГ, на спектр его собственных частот.

В данной работе определены спектр собственных частот, энергетические и диссипатив-ные характеристики колеблющегося резонатора ТВГ. Рассчитана временная электрических потенциалов на пьезоэлементах и проведена оценка времени выхода ТВГ на рабочий режим.

Постановка задачи

Математическая модель электромеханических процессов в резонаторе ТВГ определяется системой связанных дифференциальных уравнений в частных производных линейной теории электроупругости [5]

— = 0,

У-Б = 0, УхЕ = 0,

где р - плотность материала, и - векторное поле смещений, Е - вектор напряжённости электрического поля, Б - вектор индукции электрического поля, о - тензор напряжений второго ранга.

Используются линейные материальные соотношения

о = с: s - а* • Е,

D = а: 8 + £ • Е,

£ = £0£г,

электрическое поле выражается через скалярный потенциал У:

Е = -УУ.

Здесь с - тензор модулей упругости 4-го ранга, 8 = "2(Уи + (Уи)*) - тензорное поле деформаций 2-го ранга, а - тензор пьезоэлектрических модулей 3-го ранга, е0 - абсолютная диэлектрическая проницаемость, £г - тензор относительной диэлектрической проницаемости материала 2-го ранга.

Задаются начальные условия в области решения задачи О:

и = 0,

и о = 0,

и граничные условия на соответствующих частях границы

и = 0,

о • п = 0,

У = 0,

У = У„,

где У~ — заданная функция времени, п — вектор нормали к границе области.

Для нахождения собственных частот и форм колебаний резонатора ТВГ решается краевая задача для уравнения

ра>2и - Уо = 0.

Здесь со = 2я/ , f - собственная частота.

Диссипативные процессы в материале резонатора учитываются в модифицированном выражении для тензора напряжений:

о = (1 + -1) с: 8,

где 04 - безразмерный коэффициент внутреннего трения материала.

Для решения этих краевых задач использовалась интегрированная система конечно-элементного анализа гравиинерциальных датчиков [6].

Результаты и их обсуждение

Для вычислительных экспериментов был взят один из возможных вариантов конструкции датчика ТВГ, предложенного в [1]. Конструктивная схема и геометрия сечения этого варианта датчика плоскостью, проходящей через ось симметрии, показана на рис. 1.

Предполагалось, что корпус и цилиндрический резонатор датчика изготовлен из стали марки 12Х18Н10Т (плотность - 7900 кг-м-3, модуль Юнга - 198-109 Па, коэффициент Пуассона - 0.3, добротность 75000). Восемь пьезо-элементов размером 8x2x0.25 мм3 из керамики Р2Т-4 (плотность 7500 кг-м-3; ненулевые элементы матриц: модулей податливости с 11 = с22 = 12,3-10-12 Па-1, с33 = 15,5-10-12 Па-1, с 12 = С21 = -4,05-10-12 Па-1, с 13 = с31 = с23 = с32 = = -5,31 • 10-12 Па-1, с 44 = с55 = 39-10-12 Па-1, с66 = 32,7-10-12 Па-1; пьезоэлектрических модулей й31 = й32 = -123-10-12 Кл-Н1, й33 = 289-10-12 КлН-1, й24 = й15 = 496-10-12 Кл-Н-1; относительной диэлектрической проницаемости ег11 =ег22 = 1475, £г33=1300, добротность 1000), с металлизированными верхними и нижними гранями, наклеены на резонатор, как показано на рис. 1.

Пьезоэлементы были разбиты на призматические, а корпус и резонатор на тетраэдральные лагранжевы элементы 2-го порядка. Число конечных элементов было около 379 тыс., среднее качество элементов - 0,68, число степеней свободы - около 1,93 млн.

На верхней поверхности основания корпуса (3 на рис. 1) задавалось граничное условие и = 0 , а на других частях поверхности датчика ТВГ граничное условие о - п = 0 .

Рис. 1. Конструктивная схема и геометрия сечения датчика ТВГ (размеры в мм): 1 - цилиндрический резонатор, 2 - пьезоэлемент, 3 - основание корпуса, 4 - корпус

3

2

4

1

Собственные Энергия упругой Добротность Время

частоты деформации резонатора затухания

Г, Гц РГ, отн. ед. в Тй, с

1432.22148+0.087^ 0.071178 8146.59774 1.81058

1432.34124+0.087^ 0.071472 8147.46082 1.81062

2706.39598+0.02057i 0.324832 65771.9547 7.73570

3731.54256+0.22465i 0.62561 8305.28693 0.708462

5690.1332+0.04564i 1.00000 62339.0354 3.48728

5690.59724+0.04564i 0.99672 62337.3829 3.48692

11292.51221+0.10099i 6.63180 55909.9843 1.575974

11294.31448+0.10102i 6.66282 55899.2337 1.575420

14940.62961+0.102Н 7.10283 73296.8381 1.561588

14941.74967+0.10^ 7.04389 73193.3517 1.5592676

В таблице приводятся результаты расчётов собственных частот, энергии упругой деформации, добротности и времени затухания колебаний резонатора на собственных частотах. Энергия упругой деформации на собственных частотах приведена в относительных единицах по отношению к энергии упругой деформации на рабочей частоте / = 5690.1332 Гц.

Для определения временных зависимостей электрических сигналов на пьезоэлементах было необходимо численно решить смешанную краевую задачу связанных уравнений электроупругости. Её решение позволило определить эволюцию форм колебаний резонатора, временную зависимость потенциалов на пьезоэле-ментах и оценить время выхода ТВГ на рабочий режим. Из-за ограниченности вычислительных ресурсов используемых ПК (объём оперативной памяти 32 Гб, 8-ядерный процес-

сор с частотой 3.4 ГГц) задача решалась во временном интервале от 0 до 0.015 с.

На рис. 2 показана нумерация точек на пьезоэлементах и торце резонатора, с которых выводилась информация в вычислительных экспериментах.

_3_ 2

15 ы 10 -1 /^Ч, 1

( 1

0 -—"1 1 1 ш

о - \ ^^ 10

ЩЯ -10— \ -10

Рис. 2. Нумерация точек на пьезоэлементах и торце резонатора

На рис. 3 показана эволюция формы колебаний резонатора, возбуждаемого переменным синусоидальным напряжением с амплитудой 5 В и рабочей частотой 5690.1332 Гц приложенным к двум противоположным пьезоэле-ментам, в разные моменты времени.

На рис. 4 показана временная зависимость синусоидального электрического потенциала, приложенного к двум противоположным пьезо-элементам (точка 1).

Из рис. 5 видно, что временная зависимость компонент вектора смещений в точке 1 на начальном этапе представляет собой суперпозицию колебаний с различными собственными частотами, которые с течением времени будут затухать с выделением составляющей, соответствующей рабочей частоте. Амплитуда ^-компоненты вектора смещений возрастает с течением времени линейно, тогда как амплитуды х- и ^-компонент практически постоянны.

На рис. 6 показана временная зависимость амплитуды генерируемого электрического потенциала на электроде пьезоэлемента (точка 3).

Из рис. 6 видно, что амплитуда генерируемого переменного потенциала растёт линейным образом с увеличением времени возбуждения резонатора и достигает значения 0.08 В при t = 0.015 с. Отсюда следует, что для выхода на рабочий режим 5 В в силу линейности роста амплитуды потенциала необходимо время раскачки порядка 1 с. Линейность роста напряжения обусловлена линейностью инерционно-упругого отклика резонатора ТВГ при возбуждении на частотах, близких к рабочей собственной частоте. Вязкость материала резонатора и наличие внешней системы съёма сигнала с пьезоэлементов естественно приведёт к нелинейности роста напряжения и, вследствие этого, к небольшому увеличению времени выхода ТВГ на рабочий режим. Для учёта этого влияния в вычислительных экспериментах необходимо расширение используемой для расчётов математической модели электроупругости.

Рис. 3. Формы колебаний резонатора в моменты времени: а) t = 0.00019 с; б) t = 0.00036 с; в) t = 0.00045 с; г) t = 0.01337 с

в

г

Point Graph: Electric potential (V)

О O.OOl 0.002 0.003 0.004 0,005 0.006 0.007 O.OOS 0.009 O.Ol 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015

Time (i)

Рис. 4. Синусоидальный электрический потенциал возбуждения резонатора ТВГ на пьезоэлементе 1

О 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.003 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015

"Time Is]

Рис. 5. Временная зависимость компонент вектора смещений резонатора ТВГ в точке 1

Point Graph: Electric potential (V)

-0 09 ^-1-1-1-1-'-1-1-1-1-1-1-1-:-1-Ü

0 0.001 0.002 0.003 0,004 0.005 0.00S 0,007 0.000 0,009 0,01 0.011 0.012 0.013 0.014 0,015

Тлпе (s)

Рис. 6. Временная зависимость потенциала на электроде пьезоэлемента (точка 3)

На рис. 7 показана временная зависимость генерируемого электрического потенциала на электроде приёмного пьезоэлемента (точка 2). Важно отметить, что представленные на этом рисунке результаты показывают уровень неустранимого фонового переменного потенциала (порядка 0.02 В) на приёмных пьезоэлементах, расположенных под углом 45 градусов к пьезо-элементам системы возбуждения. Его величина зависит от размеров пьезоэлементов и их положения на резонаторе. Необходимы дополни-

тельные вычислительные эксперименты по подбору оптимальных значений этих параметров.

На рис. 8 показана временная зависимость компонент вектора смещений в точке 2. Вклад в колебания точек на поверхности приёмного пьезоэлемента вносят все собственные частоты резонатора. В отличие от этого, в колебания точек кромки резонатора (например, точки 4), как видно из рис. 9, преобладает вклад основной рабочей частоты.

Рис. 7. Временная зависимость потенциала на электроде приёмного пьезоэлемента (точка 2)

Рис. 8. Временная зависимость компонент вектора смещений резонатора ТВГ в точке 2

. , 1

t field, X component (mm), Point: 4 t field, Y component (mm). Point: 4 t field, Z component [mm]. Point: 4

-Displa cerner -Displa cemer

i 'TT"" 1

1 Hill II

1 ; МП 1 11

III

а 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0,005 0,007 0.003 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015

Time (S)

Рис. 9. Временная зависимость компонент вектора смещений резонатора ТВГ в точке 4

Заключение

Проведённое моделирование ТВГ позволило определить:

- минимально возможное время выхода ТВГ на рабочий режим для выбранной конструктивной схемы при заданных параметрах возбуждения;

- неустранимый фоновый переменный электрический потенциал на электродах пьезо-элементов съёма сигнала.

Эти факторы необходимо учитывать при разработке конструкции резонатора ТВГ и системы съёма и обработки сигнала с пьезоэле-ментов.

Литература

1. A Set of High Accuracy Low Cost Metallic Resonator CVG / V.V. Chikovani, I.M. Okon, A.S. Barabashov, P. Tewksbury // 2008 IEEE/ION Position, Location and Navigation Symposium. Monterey, CA. 2008. P. 238-243.

2. Волновой твердотельный гироскоп с металлическим резонатором / В.Я. Распопов, И.А. Волчихин, А.И. Волчихин и др.; под ред. В. Я. Распопова. Тула: Издательство ТулГУ. 2018. 189 с.

3. Миниатюрные волновые твердотельные гироскопы для малых космических аппаратов / В.А. Матвеев, Б.С. Лунин, М.А. Басараб и др. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2014. №4. С. 80-96.

4. Влияние пьезоэлектрических преобразователей на собственные частоты резонатора волнового твердотельного гироскопа / И.Л. Батаронов, Г.Е. Шунин, С.А. Кострю-ков и др. // Известия АН. Серия Физическая. 2019. Т. 83. № 9. С. 1220-1223.

5. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнито-упругость пьезоэлектрических и проводящих тел. М.: Наука. 1988. 472 с.

6. Система компьютерного моделирования физико-механических процессов в волновом твердотельном гироскопе / И.Л. Батаронов, Г.Е. Шунин, С.А. Кострюков и др. // Физико-математическое моделирование систем: материалы XIX междунар. семинара. Воронеж: ВГТУ. 2018. С. 162-166.

Поступила 21.03.2023; принята к публикации 13.04.2023 Информация об авторах

Батаронов Игорь Леонидович - д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и физико-математического моделирования, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: i-bataronov@mail.ru, тел. +7(473) 246-42-22

Шунин Геннадий Евгеньевич - канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: vmfmm@mail.ru, тел. +7(473) 246-42-22, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1035-6858

Кострюков Сергей Александрович - канд. техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: kostry@mail.ru, тел. +7(473) 246-42-22, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8367-6003

Пешков Вадим Вячеславович - канд. техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: pvv-vrn@mail.ru, тел. +7-915-580-94-00, ORCID: https://orcid. org/0000-0001 -9331 -5623

SIMULATION OF ELECTROMECHANICAL PROCESSES IN A SOLID-STATE WAVE GYROSCOPE WITH PIEZOELECTRIC TRANSDUCERS

I.L. Bataronov, G.E. Shunin, S.A. Kostryukov, V.V. Peshkov

Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: the eigenvalue problem and the mixed boundary value problem for the electroelasticity equations describing oscillations of the cylindrical resonator of a solid-state wave gyroscope with piezoelectric transducers was solved numerically. The developed integrated system of finite element analysis of gravity inertial sensors was used for the solution. The natural frequency spectrum, elastic strain energy, and dissipative characteristics of an oscillating resonator are calculated. The evolution of the oscillation form of a resonator excited by an alternating sinusoidal voltage of a given amplitude at the operating frequency of the resonator applied to two opposite piezoelectric elements at different times is shown. The spectrum of natural frequencies, the energy and dissipative characteristics of the oscillating resonator, the time dependence of the electric potential on the piezoelectric elements, the level of the background alternating voltage on the receiving piezoelements located at an angle of 45 degrees to the piezoelectric elements of the excitation system are determined. An estimate of the time it takes for a solid-state wave gyroscope to reach its operating mode was carried out. These factors should be taken into account when choosing the design of the resonator and the system for removing and processing the signal from the piezoelectric elements of the gyroscope

Key words: solid-state wave gyroscope, cylindrical resonator, electroelasticity equations, mixed boundary value problem, eigenvalue problem, finite element analysis

References

1. Chikovani V.V., Okon I.M., Barabashov A.S., Tewksbury P. "A Set of High Accuracy Low Cost Metallic Resonator CVG" 2008 IEEE/ION Position, Location and Navigation Symposium, Monterey, CA, 2008, pp. 238-243.

2. Raspopov V.Ya., Volchikhin I.A., Volchikhin A.I., etc. "Wave solid-state gyroscope with a metal resonator" ("Volnovoy tverdotel'nyy giroskop s metallicheskim rezonatorom"), Tula: TulGU, 2018, 189 p.

3. Basarab M.A., Lunin B.S., Matveev V.A., Fomichev A.V., Chumankin E.A., Yurin A.V. "Miniature gyroscope based on elastic waves in solids for small spacecraft", Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Instrument Engineering (VestnikMGTU im. Baumana. Ser. "Priborostroenie "), 2014, no. 4, pp. 80-96.

4. Bataronov I.L., Shunin G.E., Kostryukov S.A., Peshkov V.V., Pisarev S.A. "Effect of Piezoelectric Transducers on the Resonator Frequencies of a Hemispherical Resonator Gyroscope" The Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics (Izvestiya AN. SeriyaFizicheskaya), 2019, vol. 83, no. 9, pp. 1110-1113.

5. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A. "Electromagnetoelasticity of piezoelectric and conducting bodies" (Electromagnitouprugost' p'ezoelektricheskih i provodyaschih tel), Moscow: Nauka, 1988, 472 p.

6. Bataronov I.L., Shunin G.E., Kostryukov S.A., Peshkov V.V., Pisarev S.V. "System of physical-mechanical processes computer simulation in a wave solid-state gyroscope" Proc. of XIX Int. Sem.: Physical and mathematical modeling of systems (Fiziko-matematicheskoe modelirovanie sistem), Voronezh, 2018, pp. 162-166.

Submitted 21.03.2023; revised 13.04.2023 Information about the authors

Igor L. Bataronov, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Higher Mathematics and Physical and Mathematical Modeling, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: i-bataronov@mail.ru, tel. +7(473) 246-42-22

Genady E. Shunin, Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior researcher, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: vmfmm@mail.ru, tel. +7(473) 246-42-22, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1035-6858

Sergey A. Kostryukov, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: kostry@mail.ru, tel. +7(473) 246-42-22

Vadim V. Peshkov, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: pvv-vrn@mail.ru, tel. +7-915-580-94-00, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9331-5623