Моделирование электромагнитного поля прямоугольного волновода с использованием преобразований Лоренца Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 2 (1), с. 164-169

УДК 537.874

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

© 2014 г. В.В. Бирюков, В.А. Грачев

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

physics@nntu.nnov.ru

Поступила в редакцию 04.12.2013

Рассмотрено изменение структуры электромагнитного поля прямоугольного волновода в движущейся системе отсчета (СО). Проанализирована структура поля в системе отсчета, движущейся со скоростью распространения волны в неподвижной СО. Предложена методика расчета характеристик волновода с неидеально проводящими экранирующими поверхностями на основе релятивистского подхода.

Ключевые слова: преобразования Лоренца, прямоугольный волновод, трансформация поля, потери, условие Щукина-Леонтовича.

В предлагаемой работе рассматривается трансформация структуры электромагнитного поля полого прямоугольного волновода в движущейся системе отсчета. Направление движения системы отсчета совпадает с направлением распространения волны в волноводе. Скорость системы отсчета находится в диапазоне от нуля до скорости распространения волны в волноводе.

Рассмотрим прямоугольный экранированный волновод, изображенный на рис. 1а. Краевые задачи для собственных волн экранированного прямоугольного волновода с размерами поперечного сечения a х b решаются в декартовой системе координат {XYZ}. Компоненты поля (комплексные амплитуды) £-волн и соотношения для определения постоянной распространения имеют вид [1]:

. тжх . пжу j E7 = E„sin-----sin----e j ,

Z U 7 *

a b

et=-je

-cos--------sin

et =-jex

ßXy . mnx nny -Jßz

0 2 x

sin----------cos

b

(1)

rrmn ®S 0xy • mnx n%y -Jßz

Hx = jEo--------— sin--cos—— e Jß ,

X a b

H;n = _JE ^ cos mx sin nve,

y % a b

Hm = 0,

где x - поперечное волновое число, %x = mn¡a, % = nnjb , m и n = 1, 2, 3,..., E0- амплитуда, определяемая из условий возбуждения.

Комплексные амплитуды поля Н-волн прямоугольного экранированного волновода без потерь и соотношения для определения постоянной распространения имеют вид:

тттп тт 1WRX n%y _ ;nz

Hmn = H0cos-------cos—- e jz,

z U 7 *

a b

ßx * mnx cos nnye - Jßz

X a b

Hmn = JH sin---cos^- e -

H.„=JH Щ- cos mnx sin nnye-J„

У X2 ab (2)

et = JH,

oXy mnx . nny -Jßz

02 0 x2

cos-sin-e

ab

Emn=- jh ^ sin mnx cos ППУє Jßz,

y 0 x2 a b

Е™ = 0,

где т = (0), 1, 2,..., п = (0), 1, 2,...,Н0 - амплитуда, определяемая из условий возбуждения.

Связь координат, времени и компонент поля в неподвижной и движущейся (рис. 1б) системах отсчета определяется преобразованиями Лоренца, имеющими в декартовой системе координат вид [2-4]:

, , z + vt' t'+ (v / c2 )z'

x = x , y = y , z = . , t = —, ' —,

Jl -(y/c)2 Jl -(v/c)2 '

E’ + vB’ E' - vB'

E = ,x y , E, = ,y x , E = E', (3)

B=

V1 -(^ic)2 y V1 -(v/cy

Bx -(v/c2)e' B’y + (v/c2E

. Bz = bz .

V1 ~(уIе у У V1 -(у/еУ

Учитывая, что фаза - величина инвариантная по отношению к переходу из одной инерци-

b

a

a

а)

Рис. 1

б)

(4)

альной СО в другую: ф = аt — $2 = а' Ґ — $'2 ' = ф', получим выражения для продольного волнового числа и частоты в движущейся системе отсчета:

п,= $ — ^1с2 ^ 0 ' а— V?

V1—^/сУ V1—(у/сУ

В выражении (4) в явном виде присутствует зависимость от скорости движения новой системы отсчета - продольное волновое число и частота больше не являются константами. Зависимости Р ' и а' в новой системе отсчета от скорости её движения для Е1п-волн представлены на рис. 2а и 2б, для Ніп -волн - на рис. 3а и 3б.

Таким образом, выражения для компонент поля Е-волн (комплексных амплитуд) в движущейся системе отсчета принимают вид: тжх . пжу' —ірг'

E'mn _ E sin-

-sin—— e b

E’xmn _ - jEo

Ч1 -(v/c)2

E mn _ E X y [$-(v!C 2 Ey jE

cos-

-sin-

,-jP z'

mnx nny - ,,y z,

sin-cos—— e 1V ,

HXmn _ jE0

Hymn _-jE0

sin

'cos nnte-*’z\

X V1 -(v/c)2

eoXy (ю - vp) mnx1

x Ы1 -(ч/сУ

S0Xx (ю- VP^„ mnx' oi„ nny_ „-jp'z'

x Ч1 -(v/cУ

cos

sin

H'mn _ jHo

Hymn _ jH o

Jsin-------cos---------e

a b

X x ІЗ-(v/c2 yol . mnx' nny

x L v 1 ' J cm__r>r\с /

X V1 -(v/cf

X y \p-(^lc2 M

Ч1 -(v/cf

X

mnx . nny _ ,r'z

cos---sin---e jp

ab

И'Г = H Ocos mx sin n^-^. a b

Зная выражения для компонент поля, можно определить комплексные амплитуды компонент вектора Умова-Пойнтинга в движущейся СО:

+

(5)

S' _ 1 [e', H'*]_ 2 jex(E'yH': -E'H)-+ey (eh; - eh* )+ez Eh; - e'h: )}.

Для £-волн составляющие вектора Умова-Пойнтинга приобретают следующий вид:

s; = - і eh: _-jE¡^Xk-¿L x 2 4y.'

. „ mnx' . , nny' ,,R'z

x sin 2-sin2—— e j23 z ;

a b

s' _1 eh* _-jEi^o-ñ,

2 4X V1 -(vlc )2

f t . 2 mnx . nny - j 23 z' x sin -sin 2--e J ;

(7)

HZmn = u.

Аналогично, выражения для компонент поля Н-волн (комплексных амплитуд) в движущейся системе отсчета:

Elmn = U, (6)

E,m, = jHУЛ y («_ yp) cos mEL sin ¡n?>Le-*z'

SZ _-(KH'y - EH',) _

e o Eo2 (ю- vpyip- v

'tj'V С 1: 2x 4 [1 -(v/c )2 ]

I(mn\ 2 mnx . 2 nny

x^l-----I cos -------sin---------+

IV a I a b

nn\ . 2 mnx 2 nny I ,,„'z

+ | — I sin2--------cos2—— \e~j23 z .

b I a b I

E'r _-jHo

1Ч1 -(vlc)2

ЦoXx (ю- vp) mnx' nny' При v _ v!p направление вектора Умова-Пойн-

i ~ sin cos e ,

^2/1 - (v/c)2 a b тинга на границе волновода не определено, т.е.

b

a

х

a

2

Е]„ -wave

v / v

гр

а)

N. II - I І і 1* “ ы 1 1 1 1 LO -

= 1, = 2 ,x/a p = 0.25 ,y/b = 0.25

N. N.

/

/

^

У/ У

гр

б)

Рис. 2

|Б'| = 0 . Направление вектора Умова-Пойнтинга

в различных точках поперечного сечения волновода показано на рис. 4. На этом же рисунке представлено распределение по сечению волновода плотности потока мощности Е-волн. Черный цвет соответствует нулевой плотности, белый - максимальной.

Для Н-волн составляющие вектора Умова-Пойнтинга приобретают следующий вид:

S' = 1EН'* = -jHI ЦоХx (ю- vp)

2

х sin 2

4х 2д/і -(v/c)

mnx

-008

nny

~b~

- VIO

j2PV .

Sy = — Kh; = - jH,

2 ^0 X y ^- V

(ю - vp)

4x Vі -(v/c)2

j2P'z’.

X 008

sin 2

nny

e

SZ = ^(E’XH’; -E'yH'x") =

Ц0Hо2 (ю- vp)(^p- C2raj 2X41 -(v/ c)2 ]

mn

a

81П

mnx

-008

nny

( nn

+( T

008

2 mnx . 2 nny

- j 2P' z'

(8)

а Ь І

При V = vгр вектор Умова-Пойнтинга S' оказывается тангенциальным к стенке волновода при X = 0, а и у' = 0, Ь . Однако на границах волновода есть точки, в которых направление вектора Б ' не определено: |Б ' | = 0 при X = 0, а и у' = Ьk|2п, k = 0,1, 2..., а также при у' = 0, Ь и х' = ak|2т, k = 0,1,2.... На рис. 5 показаны направление вектора Умова-Пойнтинга и распределение по сечению волновода плотности потока мощности Н-волн.

х

2

2

+

X

b

a

2

e

X

e

a

x

о

b

a

V / V

гр

а)

Hi„ -wave

v / v

гр

б) Рис. 3

О 0,5 1

б)

Рис. 4

В выражениях (5)-(8) в явном виде присут- системы отсчета. Рассмотрим случай, когда ствует зависимость от скорости движения новой система отсчета движется со скоростью, равной

0,75

б) Рис. 5

групповой скорости уРП распространения элек-

сг

тромагнитной волны в исходной системе отсчета. Групповая скорость определяется выражением Угр = с 2р/ю . В неподвижной СО при Р = 0

распространение энергии вдоль волноведущей структуры прекращается, распределение поля не зависит от продольной координаты и в поперечном сечении соответствует полю стоячей волны. Частота, при которой Р = 0, называется критической и определяется следующей формулой: Юр = ТР [5].

В движущейся СО при V = угр продольное волновое число и частота принимают вид Р ' = 0 , ю' = юкр , а структура поля совпадает со структурой поля волны рассматриваемого типа в исходной системе отсчета на критической частоте.

Это позволяет предложить следующую методику расчета характеристик волновода с неидеально проводящими стенками. Сначала рассчитываются характеристики волновода на критической частоте. При этом граничные условия могут быть определены точно и задача решена

строго. Затем переходом в движущуюся систему отсчета можно найти соответствующие характеристики на любой заданной частоте. В случае волновода с неидеально проводящими стенками критической можно считать частоту, на которой действительная часть коэффициента распространения по величине равна мнимой.

Список литературы

1. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983. 232 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

3. Бирюков В.В. Учет конечной проводимости при расчете волноводов СВЧ и КВЧ диапазонов на основе релятивистского подхода // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. Вып. 2. С. 75-82.

4. Бирюков В.В., Пилипосян С.Е. Использование релятивистского подхода при решении задач прикладной электродинамики // Тез. докл. НТК ИСТ-2010. Н. Новгород, 2010.

5. Неганов В.А., Осипов А.В., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Радио и связь, 2005. 648 с.

ELECTROMAGNETIC FIELD SIMULATION OF A RECTANGULAR WAVEGUIDE USING THE LORENTZ TRANSFORMATIONS

V. V. Biryukov, V.A Grachev

The change of the rectangular waveguide electromagnetic field structure in a moving reference frame (RF) is considered. The field structure is analyzed in the RF moving with the wave propagation velocity in a fixed RF. A procedure to calculate the characteristics of a waveguide with imperfect conducting shielding surfaces is proposed on the basis of the relativistic approach.

Keywords: Lorentz transformations, rectangular waveguide, field transformation, losses, Shchukin-Leontovich condition.

References

1. Il'inskij A.S., Slepyan G.YA. Kolebaniya i volny v ehlektrodinamicheskih sistemah s poteryami. M.: Izd-vo MGU, 1983. 232 s.

2. Landau L.D., Lifshic E.M. Ehlektrodinamika sploshnyh sred. M.: Nauka, 1982. 620 s.

3. Biryukov V.V. Uchet konechnoj provodimosti pri raschete volnovodov SVCH i KVCH diapazonov na

osnove relyativistskogo podhoda // Pis'ma v ZHTF. 2008. Tom. 34. Vyp. 2. S. 75-82.

4. Biryukov V.V., Piliposyan S.E. Ispol'zovanie re-lyativistskogo podhoda pri reshenii zadach prikladnoj ehlektrodinamiki. Tez.dokl., NTK IST-2010. N. Novgorod, 2010.

5. Neganov V.A., Osipov A.V., Raevskij S.B., Yaro-voj G.P. Ehlektrodinamika i rasprostranenie radiovoln. M.: Radio i svyaz', 2005. 648 s.