Моделирование движения частицы грунта по шероховатой поверхности пространственной лопатки роторного грунтометателя Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 514.18

В.М. Шатохин, д.т.н., проф., Н.В. Шатохина, к.т.н., доц., А.Н. Попова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ГРУНТА ПО ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЛОПАТКИ РОТОРНОГО ГРУНТОМЕТАТЕЛЯ

Харьковский национальный университет строительства и архитектуры Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет Национальный университет гражданской защиты Украины

Построена математическая модель движения частицы грунта по шероховатой поверхности пространственной лопатки роторного грунтометателя. Использованы уравнения динамики относительного движения в форме уравнений Лагранжа первого рода. Поверхность лопатки формируется из брахистохрон, найденных для поля центробежных сил инерции, с использованием двумерной кубической сплайн-интерполяции.

Постановка проблемы. Работы, направленные на модернизацию технологии грунтометания при ликвидации низовых пожаров в условиях отсутствия воды чрезвычайно важны. Существующие конструкции грунтометательных механизмов недостаточно совершенны [1 - 4]. Рядом достоинств обладают роторные грунтометатели [2 - 6], которые грунт в зону возгорания выбрасывают с помощью лопаток, расположенных на вращающемся роторе. От формы лопаток существенно зависят технологические характеристики устройств. Рациональный их выбор в значительной степени зависит от достоверности моделей, которые используются для исследования движения частицы грунта по шероховатой поверхности пространственной лопатки. Указанные задачи моделирования имеют актуальный характер.

Анализ основных исследований и публикаций. В работе [7] создана модель для изучения движения частицы грунта по прямолинейной лопатке, необходимая для выбора рациональных параметров грунтометателя с такими лопатками. Моделированию движения частиц грунта по криволинейным (оптимальным) лопаткам, днище которых выполнено по форме брахистохроны, полученной для поля центробежных сил инерции [8], посвящены статьи [9, 10] Перспективным представляется использование в грунтометателях пространственных лопаток [11]. Исследования по моделированию движения частиц грунта по ним в настоящее время отсутствуют.

Постановка задачи. Для пространственной лопатки грунтометательного механизма, поверхность которой формируется с помощью брахистохроны для центробежной силы инерции поступательным перемещением ее плоскости, либо поступательным перемещением с соответствующим поворотом, построить математическую модель движения частицы грунта, учитывающую наличие сил трения.

Основная часть. На рис. 1 показана схема грунтометателя: 1-ступица; 2 - кольцо; 3 - спица; 4 -криволинейная лопатка. Предполагается, что метатель вращается с угловой скоростью ю против хода часовых стрелок. Радиусы Я1 и Я2 представляют собой радиусы окружностей,

проходящих через заднюю и переднюю кромки лопатки.

Описание поверхности пространственных лопаток. В работе [11] предложены методы построения пространственных лопаток, поверхности которых таковы, что траектории движения частиц по ним близки к брахистохронам для поля центробежных сил инерции, т.е. близки к оптимальным. Типичная форма такой лопатки представлена на рис. 2. Жирной кривой на внутренней поверхности лопатки показана "базовая" брахистохрона, поступательным перемещением плоскости которой, либо поступательным перемещением с поворотом на соответствующий угол (на рис. 3 - угол 0) в ее плоскости и формируется поверхность. Основания брахистохрон располагаются при этом на подходящей дуге (на рис.2 - дуга полуокружности). Заметим, что поступательное перемещение базовой кривой с соответствующим поворотом позволяет сохранить у этой кривой свойства брахистохроны [11].

Рис. 1. Схема грунтометательного Рис. 2. Пространственная лопатка, механизма сформированная из брахистохрон

Анализ движения частиц грунта удобно осуществлять в декартовой системе координат. На рис. 2, 3 начало правой системы координат (точка О) помещено в начальную точку "базовой" брахистохроны; ось г имеет направление полярного радиуса, т.е. направлена к оси ротора; ось у - к периферии ротора; ось х параллельна оси ротора (на рис. 3 не показана; предполагается, что она направлена на читателя). Выбор ее обусловлен тем, что одной из важнейших характерных особенностей оптимальной кривой является то, что полярный радиус, проходящий через ее начальную точку, представляет собой касательную к кривой в этой точке. Физически это означает, что на начальном этапе движения сила (центробежная сила инерции) близка к направлению движения, т.е. обеспечивает максимальное ускорение, что не возможно при использовании прямолинейной лопатки (случай, когда прямолинейная лопатка расположена вдоль радиуса, не удовлетворителен с технологической точки зрения).

Поверхности лопаток

в статье [11] строились с использованием средств двумерной кубической сплайн-интерполяции MathCAD. Важным обстоятельством с точки зрения дальнейших исследований движения частиц грунта по лопатке является то, что полученные таким способом функции г = р(х, у) в среде MathCAD можно аналитически дифференцировать, как и традиционные функции.

Силы, действующие на частицы грунта. На указанных рисунках частица грунта М изображена в произвольном текущем положении с координатами (х, у, г). Будем полагать, что в плоскости, проходящей через

точку М и параллельной плоскости Оуг, положение ее определяется

полярными координатами (р, у) (начало соответствующей системы

координат находится на оси ротора [11]).

г = Р( X У)

(1)

г

В изложенной ниже

теории радиусам Я1 и Я2

соответствуют полярные радиусы р0 и р:.

Специфика задачи состоит в том, что

движение точки (частицы грунта) целесообразно изучать в подвижной (вращающейся) системе координат, что возможно

с

использованием

уравнений динамики

е.

е

Рис. 3. Схема для записи уравнений движения частицы грунта по лопатке

относительного движения.

На рис. 2 приняты следующие обозначения: Vг - относительная скорость; а к=2юх V г - кориолисово ускорение; Фе - переносная (центробежная) сила инерции; Фк - кориолисова сила инерции; N -нормальная реакция лопатки; - сила трения скольжения (направлена

против относительной скорости); ю - вектор угловой скорости ротора грунтометателя.

Выражения для модуля силы Фе и ее проекции на направление полярного радиуса совпадают

фе =фер= таа= та р, (2)

где т - масса частицы грунта; аю=ю2р - осестремительное (нормальное) ускорение.

Для кориолисовой силы инерции имеет место формула

Фк =-так, (3)

а для ее модуля с учетом выражения для кориолисова ускорения выражение

фк = , (4)

где уг - модуль проекции относительной скорости на плоскость Оу2.

Из определений переносной и кориолисовой сил инерции следует, что они лежат в одной плоскости, параллельной Оу2.

По закону Кулона для сухого трения сила трения пропорциональна нормальной реакции:

V

Кр =-N1 ^, (5)

V

уг

где / - коэффициентом трения скольжения; N - модуль нормальной реакции; vr - модуль относительной скорости точки.

Влияние сил тяжести на движение точки для рассматриваемых параметров устройств и угловых скоростей незначительно, поэтому здесь они не учитываются. Принципиальные осложнения для их учета отсутствуют.

Для удобства записи дифференциальных уравнений на рис. 3 введен ряд важных дополнительных обозначений (фактически на этом рисунке показана профильная проекция лопатки - проекция на плоскость Оу2):

vr , Nyz, F^ - соответственно проекции относительной скорости,

нормальной реакции и силы трения на плоскость Oyz; Фе , Фе , Фk , Ф&

- составляющие переносной и кориолисовой сил инерции по осям y и z; Р - угол между vr—z и направлением параллельным оси z.

Полярный радиус текущего положения точки M (см. рис. 3)

p = V(p<) + z)2 + y2 , (6)

модуль переносной силы инерции

Фе = тю2р = mro^(p0 + z)2 + y2 . (7)

Для полярного угла текущего положения точки M справедлива формула

sin у = — = . У , (8)

р Vu^ZfT/'

следовательно,

у = arcsin^= y ==. (9)

V(p0 + z )2 + y2

Тогда проекции переносной силы инерции на координатные оси:

Фвх = 0, Ф = Фе sin у, Фе = -Фе cos у. (10)

Запишем теперь выражения для проекций кориолисовой силы инерции на координатные оси. Воспользуемся очевидными формулами для скорости точки и ее проекции на плоскость Oyz через проекции на координатные оси:

vr = vr\ + vry j + vrz k = x\ + yj + zk, v^ = vry j + vrz k = yj + zk ,

где i, j, k - орты указанной выше системы координат. Тогда для угла Р (см. рис. 3) имеет место формула

Vr y

sin Р = —^ = ■ у , (11)

yz

т. е.

vy V? + z2

P = arcsin . 2y 2 . (12)

4 y2+z 2

Для проекций кориолисовой силы инерции имеем:

Фкх = 0, Фку =-Фк cosр, Ф^ =-Фк sin р, (13)

причем с учетом формулы (4) и принятых обозначений

Фк = 2m®vr = 2m®ylу2 + z2 . (14)

Вывод уравнений движения частицы грунта. Для получения дифференциальных уравнений движения основное векторное уравнение динамики относительного движения запишем в виде

т = ф + N - , (15)

& V.

r

где Ф = Фе + Фк - результирующая сила инерции.

Для ее проекций на координатные оси с учетом формул (10), (13) имеем

Ф х =Ф ех +Ф кх = 0

Ф у =Ф еу +Ф ку =Ф е Sin V-Ф к COS Р, \ (16)

у у у

Фz = Фez + Фкz = -Фе COS ^ - Фк sin Р.

vz

Запишем уравнение поверхности (1) иначе

д(х,у,г) = г - р(х,у) = 0. (17)

Тогда нормальную реакцию N можно представить в виде

N = т = ^гаёq, (18)

где п - единичный вектор внешней нормали к поверхности (17) (он направлен в ту область пространства, где q > 0); X- скалярная функция, зависящая от координат точки, проекции ее скорости, причем

х =

N

N

N

^гаё q|

1

/^л2 Л2

дq \дх у

+

дq

чду у

+

\д2 у

' др + 'др Л

\дх У ^ду у

(19)

+1

а gradq представляет собой вектор, заданный в декартовой системе координат своими проекциями следующим образом:

, д^ д^ д^ др. др . 1 , gгad q = — 1 + — ] + — к = —— 1 - —] +1 • к.

дх ду дг дх ду

Разложим левую и правую части выражения (18) по ортам декартовой системы координат

N = ^ 1 + Nv ] + N. к = Х

д^ д^ дq, —1 + — ] + — к

дх ду дг

X

др. др . 1 , —1 -—] +1 • к

дх ду

откуда

Nx = = -Х^р ,

дх

дх

ду ду

N. =Х^ = Х. (20)

д2

Проецируя (15) на оси декартовой системы координат, получим с учетом выражений (19), (20) систему скалярных уравнений (уравнения Лагранжа первого рода)

тх = Ф х + X

ту = Ф у + X

^ - / Л

Чдх ^ у

^ - /\gгadq —

ду V

= Ф х-X

Ф у -X

т2 = Ф2 + X

г

\

'др+/ Л

чдх ^ у

др у

-р + /\ gгadq|— ду V

^ - /| gгadqvL

г У

Ф. + X

Г

1 - /

V

г У

(21)

^г ^

где х = —-, у = ——, 2 = —2— проекции относительного ускорения на

& & &

координатные оси.

Уравнения (21) существенно упрощаются в случае идеальных связей, для которых касательная составляющая силы реакции (сила трения) равна нулю: уравнения не будут содержать последних членов.

Присоединяя к (21) уравнение поверхности (уравнение связи) (17), получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

х, у, г и скалярной функцией X (множитель Лагранжа).

Для решения системы уравнений (17) и (21) необходимо исключить множитель Лагранжа. С этой целью продифференцируем дважды по времени левую часть уравнения (17). Имеем

дд .. дд .. дд .. • • -ч л

—х + — у + — г + д (х,у,г,х,у,г) = 0 ,

дх ду дг

(22)

где через д(х,у,г,х,у,г) обозначены те члены, которые не зависят от х, у,

г.

Для рассматриваемого случая выражение (22) с учетом формулы (17) приобретает вид

где

др др ~

х —— у + г + р( х, у, г, х, у, г) = о,

дх ду

. . .4 д2р .2 ~ д2р .. д2р .2

р(х,у,г,х,у,г) = -—-2-х - 2^-хуу

дх'

дхду ду2

(23)

(24)

Из уравнений (21) и (23) исключаем х, у, г. В результате получаем уравнение с неизвестной функцией Лагранжа X. Решая это уравнение, находим

Х =

др , Ф др дх

Ф ^ + Ф -Ф г + тр

ду

др дх

др + г\х дх

/| gradg|-

,

др ду

др ду

+ /| gradд|

• л í у +

1- / |gradд|

г V,

(25)

у ^ V ^ , / V , /

Подставляя в уравнения (21) выражение (25), приходим к системе дифференциальных уравнений относительно неизвестных х , у , г.

Лишь после того, как из уравнений (17) и (21) найдены величины х, у,

г и X, по формулам (20) можно определить проекции Ых, Ыу, Ыг, а

затем и модуль реакции

гФ V

кдх у

+

Г Л 2 др

\ду у

+1

(26)

В случае гладкой поверхности выражение (25) для X будет значительно более компактным.

Выводы. Построена математическая модель движения частицы грунта по шероховатой поверхности пространственной лопатки роторного

грунтометателя. Использованы уравнения динамики относительного движения в форме уравнений Лагранжа первого рода. Поверхность лопатки формируется из брахистохрон, найденных для поля центробежных сил инерции, с использованием двумерной кубической сплайн-интерполяции.

Дальнейшие исследования будут направлены на изучение кинематических характеристик движения частиц грунта по шероховатым поверхностям пространственных лопаток различной формы.

Литература

1. Найдыш В.М. Обоснование параметров и разработка машины для насыпки противоэрозионных валов на склонах / В.М. Найдыш, Е.Н. Нагорный, Н.С. Левчук, А.И. Караев // Механизация и электрификация сельхоз производства.- 1989.- № 4.- С. 7-12.

2. Семюв О.М. Розрахунок робочого органа ланцюгового Грунтометального мехашзму / О.М. Семюв , В.М. Шатохш // М1жвщомчий науково-техшчний збiрник "Прикладна геоме^я та шженерна графша" Випуск 87.- К.: КНУБА.- 2011.- С. 303-312.

3. Шатохин В.М. Об оптимальной форме лопатки роторного грунтометателя / В.М. Шатохин, О.М Семкив, А.Н. Попова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений.- 2013.-№ 2.- С. 49-55.

4. Шатохин В.М. Сравнение прямолинейной и криволинейной (оптимальной) лопаток роторного грунтометателя / В.М. Шатохин, О.М. Семкив, А.Н. Попова // Науково техшчний збiрник "Енергоефектившсть в будiвництвi та архггектурГ'.-К.: КНУБА.- 2013.-Вип. 4.- С. 301-309.

5. Шатохш В.М. Про оптимальну форму лопатки роторного метальника Грунту / В.М. Шатохш, О.М Семюв, А.М. Попова // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного ушверситету.-Мелггополь: ТДАТУ, 2012.- Вип. 4.-Т. 55.- С. 260-269.

6. Шатохш В.М. Розроблення методiв побудови лопаток оптимально! форми роторного Грунтометальника / В.М. Шатохш, О.М. Семюв, Н.В. Шатохша // Одинадцятий мiжнародний симпозiум украшських iнженерiв-механiкiв у Львовi: Тези доповiдей.- Львiв: К1НПАТР1 ЛТД.-2013.- С. 96.

7. Попова А.М. Дослщження руху частки Грунту по лопатщ: результати комп'ютерних експериментiв / А.М. Попова, В.М. Шатохш // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного ушверситету.-Мелггополь: ТДАТУ.- 2012.- Вип. 4.- Т. 54.- С. 135-144.

8. Шатохин В.М. Оптимальные траектории движения точки, перемещающейся под действием центробежной силы инерции /

В.М. Шатохин, Н.В. Шатохина // Восточно-Европейский журнал передовых технологий.- Харьков, 2012.- Вып. 4/7 (58).- С. 9-14.

9. Семюв О.М. Опис руху частки грунту по лопатщ i3 профшем брахiстохрони у полi вщцентрових сил шерци / О.М. Семюв, В.М. Шатохiн, А.М. Попова // Геометричне та комп'ютерне моделювання: Збiрник наукових праць.- Харкiв: ХДУХТ.- 2012.- Вип. 30.- С. 190-200.

10. Семкив О.М. Исследование движения частицы грунта по лопатке с профилем оптимальной формы в поле центробежных сил инерции / О.М. Семкив, В.М. Шатохин, А.Н. Попова // М!жвщомчш науково техшчний збiрник "Техшчна естетика i дизайн".- К.: КНУБА.- 2012.-Вип. 11.- С. 165-174.

11. Шатохин В.М. Построение пространственных лопаток грунтометателя с помощью брахистохрон для поля центробежных сил инерции / В.М. Шатохин, О.М. Семкив, А.Н. Попова // (статья в этом сборнике).

МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ ЧАСТКИ ГРУНТУ ПО ШОРСТК1Й ПОВЕРХН1 ПРОСТОРОВО1 ЛОПАТКИ РОТОРНОГО

Грунтометальника

В.М. Шатохт, Н.В. Шатохiна, А.М. Попова

Побудовано математичну модель руху частки грунту по шорсткш поверхш просторово! лопатки роторного грунтометальника. Використано рiвняння динамжи вщносного руху у формi рiвнянь Лагранжу першого роду. Поверхня лопатки формуеться з брахютохрон, знайдених для поля вщцентрових сил iнерцil, з використанням двовимiрноl кубiчноl сплайн-iнтерполяцil.

MODELING OF SOIL PARTICLE MOVEMENT ALONG THE ROUGH SURFACE OF THREE-DIMENSIONAL ROTOR GROUND-

THROWER'S BLADE V. Shatokhin, N. Shatokhina, A. Popova

Mathematical model of soil particle movement along the rough surface of three-dimensional rotor ground-thrower's blade is built. Dynamic equations of relative movement in Lagrangian form of the first kind are used. Surface of the blade is formed by brachistochrones, that were found for the field of centrifugal inertia forces with usage of two-dimensional cubic spline interpolation.