CC BY
45
ЕКОНОМІКА Економіко-МАТЕМАТИЧИЕ моделювання
4. Теория статистики с основами теории вероятностей
I Под ред. И. И. Елисеевой. - М. і ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 44б с.
5. Ширяев А. Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов М. Н. Ширяев II Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1995. -Т. 2. - Вып.4. - С. 527 - 555.
6. Решение экономических задач на компьютере I [А. В. Каплан, В. Е. Каплан, М. В. Мащенко, Е. В. Овечкина]. -М. і ДМК Пресс, 2008. - б00 с.
7. Найман Э. Расчёт показателя Херста с целью выявления трендовости (персистентности) финансовых рынков и макроэкономических индикаторов I Э. Найман II Економіст. - 2009. - № 10. - С. 25 - 29.
8. Дубницький В. Ю. Прогнозування індикаторів фондового ринку з урахуванням фрактальних властивостей часового ряду спостережень I В. Ю. Дубницький, І. В. Шкодіна
II Бизнес Информ. - 2012. - № 3. - С. 187 - 190.
9 Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников I А. И. Кобзарь. - М. і ФИЗМАТЛИТ, 200б. - 81б с.
10 Рэй Кристина И. Рынок облигаций.Торговля и управление рисками I И. Рэй Кристина. - М. і ДЕЛО, 1999. -б00 с.
11. Вадзинский Р. Н. Справочник по вероятностным распределениям I Р. Н. Вадзинский. - СПб. і Наука, 2001.- 295 с.
REFERENCES
Dubnytskyi, V. Yu., and Shkodina, I. V. "Prohnozuvannia indykatoriv fondovoho rynku z urakhuvanniam fraktalnykh vlastyvostei chasovoho riadu sposterezhen" [Forecasting stock
market indicators based on fractal properties of time series observations]. Biznes Inform, no. 3 (2012): 187-190.
Kaplan, A. V., Kaplan, V. E., and Mashchenko, M. V. Reshe-nie ekonomicheskikh zadach na kompiutere [The solution of economic problems on a computer]. Moscow: DMK Press, 2008.
Kobzar, A. I. Prikladnaia matematicheskaia statistika [Applied Mathematical Statistics]. Moscow: FIZMATLIT, 2006.
Bachelier, L. Theory of Speculation (Translation of 1900 French edn), in: P.H. Cootner (Ed.), The Random Character of Stock Market Prices, The MIT Press, Cambridge, 1964, pp. 17-78.
Wiener, N. Differential-space, J. Math. Phys. Math. Inst. Technol. 2 (1923) 131-174.
Naiman, E. "Raschet pokazatelia Khersta s tseliu vyi-avlenyia trendovosty (persystentnosty) fynansovykh rynkov y makroekonomycheskykh yndykatorov" [The calculation of the Hurst exponent to identify trendiness (persistence) of the financial markets and the macroeconomic indicators]. Ekonomist, no. 10 (2009): 25-29.
Rey Kristina, I. Rynok obligatsiy. Torgovlia i upravlenie riskami [The bond market. Trading and risk management]. Moscow: DELO, 1999.
Shiriaev, A. N. Osnovy stokhasticheskoy finansovoy mate-matiki [Essentials of Stochastic Finance]. Moscow: FAZIS, 1998.
Shiriaev, A. N. "Veroiatnostno-statisticheskie modeli evo-liutsii finansovykh indeksov." [Probabilistic and statistical models of the evolution of financial indices]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki, vol. 2, no. 4 (1995): 527-555.
Teoriia statistiki s osnovami teorii veroiatnostey [Theory of Statistics with the basics of probability theory]. Moscow: YuNI-TI-DANA, 2001.
Vadzinskiy, R. N. Spravochnik po veroiatnostnym raspre-deleniiam [Handbook of probability distributions]. St. Petersburg: Nauka, 2001.
УДК 330.101.52і33б.7б
МОДЕЛЮВАННЯ ДОХОДНОСТЕИ ФОНДОВИХ ІНДЕКСІВ МЕТОДАМИ ВЕИВЛЕТ-АНАЛІЗУ
КРАВЕЦЬ Т. В.
УДК 330.101.52:336.76
Кравець т. В. Моделювання доходностей фондових індексів методами вейвлет-аналізу
У статті розглядаються характерні особливості європейських фондових індексів та проводиться їх порівняльний аналіз. Мета дослідження полягає в локалізації та опису кризових ефектів за часом і масштабом у динаміці індексів за допомогою вейвлет-перетворення. Такий підхід дозволяє виявити кластери фондових індексів і вивчити їх загальні та індивідуальні особливості. Для прогнозування динаміки індексів використовується комбінування методів вейвлет-перетворення, нейронних мереж і SSA.
Ключові слова: економічна криза, доходності фондових індексів, дискретне вейвлет-перетворення, нейронні мережі, SSA-метод.
Рис.: 5. Формул: 1. Бібл.: 11.
Кравець Тетяна Вікторівна - кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри економічної кібернетики, Київський національний університет ім. Т. Шевченка (вул. Володимирська, 60, Київ, 01601, Україна)
E-mail: tankravets@univ.kiev.ua
УДК 330.101.52:336.76 Кравец Т. В. Моделирование доходностей фондовых индексов методами вейвлет-анализа
В статье рассматриваются характерные особенности европейских фондовых индексов, и проводится их сравнительный анализ. Цель исследования заключается в локализации и описания кризисных эффектов по времени и масштабу в динамике индексов с помощью вейвлет-преобразования. Такой подход позволяет выявить кластеры фондовых индексов и изучить их общие и индивидуальные особенности. Для прогнозирования динамики индексов используется комбинирование методов вейвлет-преобразования, нейронных сетей и SSA. Ключевые слова: экономический кризис, доходности фондовых индексов, дискретное вейвлет-преобразование, нейронные сети, SSA-метод.
Рис.: 5. Формул: 1. Библ.: 11.
Кравец Татьяна Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры экономической кибернетики, Киевский национальный университет им. Т. Шевченко (ул. Владимирская, 60, Киев, 01601, Украина)
E-mail: tankravets@univ.kiev.ua
UDC 330.101.52:336.76 Kravets T. V. Modelling Profitabilities of Stock Indices Using Methods of Wavelet Analysis
The article considers specific features of European stock indices and conducts their comparative analysis. The goal of the study lies in localisation and description of crisis effects by time and scale in the dynamics of indices with the help of the wavelet transformation. This approach allows revelation of clusters of stock indices and study of their common and individual specific features. Combination of the wavelet-transformation, neural networks and SSA methods is used for forecasting dynamics of indices.
Key words: economic crisis, profitabilities of stock indices, discrete wavelet transformation, neural networks, SSA-method.
Pic.: 5. Formulae: 1. Bibl.: 11.
Kravets Tatiana V.- Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Economic Cybernetics, Kyiv National University named after T. Shevchenko (vul. Volodymyrska, 60, Kyiv, 01601, Ukraine) E-mail: tankravets@univ.kiev.ua
Широко відомо, що глобальний характер світових криз має певні локальні особливості на рівні окремих національних економік. Дослідження цих особливостей дозволяє оцінити стійкість економічних систем до екзогенних шоків і здатність швидкого відновлення після виходу з кризи. Віддзеркаленням системних проблем економік є поведінка фондових ринків, яка виражається в суттєвій нелінійності та нестаціонарності динамічних рядів фондових індексів [1]. Ефективне моделювання таких часових рядів передбачає застосування сучасних методів нелінійної динаміки, у тому числі й техніку вейвлет-перетворення сигналів складної структури. Вейвлетні функції представляють собою локалізовані в часі компактні хвилі, коефіцієнти розвинення за якими зберігають інформацію про дрейф параметрів апроксимованої функції.
Методи вейвлет-аналізу застосовувалися при дослідженні макроекономічних показників і найбільш ліквідних індексів фінансових ринків в роботах [2 - 8]. Досліджувалися взаємозв'язок між фондовими ринками та економічною активністю, між індексом Dow Jones та індексом промислового виробництва США, вивчалися волатильності портфелів акцій з використанням вейвлет-технологій.
Метою статті є аналіз фондових ринків розвинених країн і країн, що розвиваються, заснований на де-композиції часових рядів фондових індексів з метою локалізації та опису кризових явищ за часом і масштабами, прогнозування дохідностей фондових індексів за допомогою комплексного використання методів вейвлет-декомпозиції, нейронних мереж та методу SSA.
Вейвлет-аналіз широко використовується в обробці сигналів, для розкладення часового ряду на серію ієрархічних «апроксимацій» і «деталей» (багаточастот-ний аналіз), а також для розкладення варіації (енергії) сигналу по частотах [8, 9].
Розвинення функції у вейвлетні ряди на масштабі у спрощеному варіанті має вигляд:
f (t) = (к)<Phк (t)+2 Ё Уj (к)Vj,к (tX (1)
к к j=I
де Х.(к) - коефіцієнти апроксимації, tyik(t) - функції масштабування, Yj.(k) - коефіцієнти деталізації, yik(t) -вейвлетні функції. Перша сума в (1) містить усереднені (з ваговими функціями ф^(^) значення функції f(t) по інтервалах [k ■ 2-i, (k + 1) ■ 2-i], друга - значення флуктуацій на інтервалах [k ■ 2-j, (k + 1) ■ 2-j], j > i. Отже, перша сума у виразі (1) дає згладжені середні значення функції на ^)-му рівні масштабування, друга сума додає до вибраної апроксимації сигналу все більш дрібні деталі на все менших масштабних інтервалах.
Для прогнозу в роботі було використано методи нейронних мереж та SSA-метод. При побудові нейронних мереж зазвичай робиться ряд припущень і значних спрощень, які демонструють властивості навчання на основі досвіду; узагальнення; добування значущих даних із надлишкової інформації. Нейронні мережі можуть змінювати свою поведінку залежно від стану оточуючого їх середовища. Після аналізу вхідних сигналів вони самоналаштовуються та навчаються, щоб забезпечити
правильну реакцію. Навчена мережа може бути стійкою до деяких відхилень вхідних даних, що дозволяє їй правильно розпізнати образ, який містить різні перешкоди та викривлення [9].
Базовий варіант методу SSA полягає у перетворенні одновимірного часового ряду у багатовимірний за допомогою однопараметричної процедури зсуву та дослідженню отриманої багатовимірної процедури за допомогою метода головних компонент (сингулярного розкладу) і відновлення (апроксимації) ряду по вибраних головних компонентах. Таким чином, результатом застосування методу є розклад часового ряду на прості компоненти: повільні тренди, сезонні та інші періодичні або коливальні складові, а також компоненти шуму [10]. Отриманий розклад може служити основою для прогнозування як самого часового ряду, так і його окремих складових.
Дослідження проводилося на основі аналізу нестаціонарних часових рядів логарифмічних дохідно-стей індексів української (иХ), російської (РТС), польської ^1620), німецької (БАХ30), англійської (FTSE100), французької (САС40) фондових бірж за період з 08/01/2007 по 31/06/2012 (для індексу иХ, що виник лише у 2008 р., дані за 2007 р. замінені нулями) [11]. Дохідності індексів розраховувалися за цінами закриття. Експериментальним шляхом для кожного фондового індексу були визначенні вейвлети, які найкраще виявляють фазові переходи досліджуваних систем.
При проведенні дослідження європейські індекси було згруповано у два кластери залежно від амплітуди коливань і характерних особливостей одержаних складових вейвлетних декомпозицій. До першого кластера входять індекси БАХ30, FTSE100, САС40 та 'Ш620. На рис. 1 представлені компоненти сигналів, відновлених по коефіцієнтах апроксимації за результатами розкладу дохідностей індексів БАХ30, FTSE100, САС40 з використанням вейвлету ББ1 (БаиЬесЬіе8).
При цьому спостерігається зона незначної нестабільності вказаних індексів наприкінці 2007 р., за якою слідує різкий спад дохідностей в середині 2008 р. Починаючи з кінця 2008 р., динаміка зазначених індексів також залишається дуже схожою, однак індекси БАХ30 і FTSE100 мають більш схожі тенденції.
Зазначені закономірності можна пояснити локальними особливостями вищенаведених індексів. Індекс FTSE100 має більш інтернаціональний характер у порівнянні з БАХ30. Тому FTSE100 перевищує БАХ при слабкому фунті стерлінгів, спадаючих відсоткових ставках, слабкому рівні економічного зростання та спаду на світових фондових ринках. Загальновідомо, що індексу БАХ властива більша волатильність аніж FTSE100. Окрім цього, індекси повторюють тенденції один одного з деякими незначними часовими лагами, однак така особливість слабко прослідковується при аналізі дохідностей. Зазвичай БАХ є більш циклічним, аніж FTSE100, оскільки його динаміка сильно залежить від німецьких експортерів і політики Європейського банку. Індекс САС40 вважається одним з найбільш інтернаціональних європейських фондових індексів.
ЕКОНОМІКА економіко-математичне моделювання
ЕКОНОМІКА Економіко-МАТЕМАТИЧИЕ моделювання
H.L.
0 -1 .
І___.
2
1
0
-1
Рис. 1. Графіки трендів дохідностей індексів DAX30, FTSE100, CAC40, WIG20, відновлених по коефіцієнтах
апроксимації на 7-му рівні декомпозиції
Індекс CAC40 включає в себе 40 найбільших за капіталізацією компаній, що знаходяться у лістингу EuronextParis. Однак, не дивлячись на те, до індексної корзини входять майже виключно французькі компанії, близько 45% акцій, включених до лістингу, належать іноземним інвесторам. Така інвестиційна привабливість обумовлюється тим, що більш ніж 2/3 свого бізнесу французькі компанії ведуть за кордоном. Тому індекс CAC40 по праву вважається найбільш інтернаціональним європейським індексом. Такий високий рівень залежності від успішності діяльності ТНК пояснює певну відмінність динаміки дохідностей французького індексу від лондонського та німецького у зазначений вище період кризи та відновлення економіки.
До другого кластера входять український UX та російський РТС. Польський індекс WIG20 доданий до другого кластера для порівняння протікання кризових явищ в Україні та Росії з країнами ЄС. Вибір саме WIG20 у якості об'єкта порівняння обумовлений більшою схожістю економіки саме Польщі з економікою пострадянських країн, більш того, саме польський майданчик користувався найбільшою популярністю для виходу українських компаній на IPO протягом 2006 - 2007 рр.
Аналогічно індексам першого кластера дохідності зазначених індексів починають різко спадати влітку 2008 р. (рис. 2). Причому спад дохідностей російського індексу є глибшим за амплітудою коливань, ніж спад дохідностей UX. Це пояснюється різким спадом цін на нафту, що є двигуном російської економіки, і досягненням нею у жовтні 2008 р. свого 12-місячного мінімуму. У березні 2010 р. також був помічений невеликий спад дохідностей обох індексів, що співпало з виборами в Державну думу Росії та відставкою уряду Юлії Тимошенко в Україні. При цьому спостерігається деяка схожість
індексів UX і PTS, а саме, український індекс повторює тенденції російського індексу з певним часовим лагом.
Слід зазначити дуже схожу тенденцію дохіднос-тей WIG20 з доходностями індексів першого кластера у 2007 - 1-му півріччі 2008 рр., що можна пояснити високою популярність зазначених бірж при виході компаній на IPO (особливо лондонську та варшавську біржі). Після рекордного для IPO 2007 р., за даними Thomson Reuters, обсяги IPO у 2008 р. скоротилися на 71,6 %, тобто становили лише 91,7 млрд дол. у порівнянні з 322,9 млрд дол. у 2007 р. Обсяг угод злиття та поглинання також скоротився на 31 % у 2008 р. Багато компаній відмовились від виходу на IPO у зв'язку з нестабільною ситуацією на світових фондових ринках. У результаті за підсумками 2008 р. LSE втратила свою лідируючу позицію на користь Нью-Йоркської фондової біржі. Однак уже у 2010 р. за рахунок того, що приватні інвестиційні фонди почали виходити з інвестицій для фіксації прибутків зростання, IPO на європейському ринку почало відновлюватись, що пояснює схожість тенденцій польської та франкфуртської бірж у вищезазначений період. Відмінність же від FTSE100 і CAC40 пояснюється більш вузькою спрямованістю IPO на варшавській біржі (переважно аграрні сільськогосподарські компанії) і більш високим інтернаціональним характером англійської та французької бірж.
Дослідимо динаміку волатильності дохідностей індексів за допомогою методу віконного перетворення [2], який полягає в розрахунку згладженого центрованим ковзним середнім квадрата коефіцієнтів деталізації вейвлет-перетворення. На рис. 3 представлено динаміку волатильності дохідностей індексів FTSE100, DAX30 та CAC40 на першому рівні декомпозиції, яка має одну чітко визначену хвилю для всіх індексів і ще одну зону нестабільності, сильніше виражену для CAC40 і DAX30
2
0
-2
-4
-б
і
0
-і
-2
S
0
-S
-10
Рис. 2. Графіки трендів доходностей індексів UX, WIG20 та RTS, відновлених по коефіцієнтам апроксимації
на 5-му рівні декомпозиції
і -
з подальшим різким зростанням дисперсії для всіх індексів на кінець періоду. Аналогічна картина спостерігається і на інших рівнях декомпозиції.
Зауважимо, що вищі рівні волатильності французького і німецького індексів свідчать про кумулятивний вплив нестабільності окремих економік на найбільші системо утворюючі економіки Франції та Німеччини.
ни вересня 2010 р., коли, згідно із заявами урядовців, Україна ніби остаточно пережила світову фінансову кризу, проте країна ще відчувала її наслідки: зростання рівня цін на споживчі товари, високий рівень заборгованості економіки країни.
Проведемо прогнозування дохідностей фондових індексів на основі синтезу методів вейвлет-декомпозиції,
САС40
йАХЗО
'РЇББІОО
Рис. 3. Динаміка волатильності дохідностей індексів DAX30, CAC40, FTSE100 на 1-му рівні декомпозиції
З рис. 3 спостерігається збіг за часовими рамками для всіх країн кластера першої хвилі кризи, що стала помітною вже у березні 2008 р. На цьому рівні декомпозиції спостерігається найвищий пік французького індексу в порівнянні з іншими індексами кластера. У той же час, пік коливань індексу БТБЕІОО є найнижчим. Така ситуація пояснюється більшою стабільністю економіки Великобританії.
Цікавим є сплеск для САС40 на умовних точках від-лику 360 - 440 (див. рис. 3), які за часовими рамками відповідають періоду з грудня 2009 р. по серпень 2010 р. Нестабільність саме французського індексу пояснюється тим, що французські банки є одними з найбільших утримувачів боргів Греції (15 млрд євро). Навесні 2010 р. був розроблений план, спрямований на зменшення розмірів бюджетного дефіциту та державного боргу. У результаті вжитих заходів динаміка дохідностей індексу стабілізувалася.
Починаючи з березня 2011 р., помітний сплеск волатильності для усіх трьох зазначених індексів. Сплеск волатильності в цей період пояснюється кумулятивним впливом проблем держав Евросоюзу, зменшенням довіри до їх фінансового становища та єдиної європейської валюти. Криза євро змінила уряди Ірландії, Португалії, Греції, Італії, Іспанії та загострила відносини між Великобританією та континентом.
Проведемо аналогічний аналіз для другого кластера. З рис. 4 видно, що ані Польща, ані Росія не мали чітко вираженої другої хвилі кризи. У випадку з Польщею це пояснюється її вдалими економічними реформами, а відсутність значної нестабільності на російському ринку є результатом сильної залежності економіки Росії від кон'юнктури цін на сировинні ресурси (а саме, нафту та газ). Друга ж хвиля кризи в Україні розпочалася з середи-
методу ББА та штучних нейронних мереж. Розрахунки виконувалися за допомогою пакету МаІЇаЬ, пакета аналізу нейронних мереж А1уиёа Ыеиго1Ш:е1%епсе 2.2 (577) і статистичного пакету Caterpi11arSSA 3.3. Для демонстрації запропонованого способу прогнозування дохід-ностей було вибрано німецький індекс БАХ30. Експериментальним шляхом було встановлено, що найкраще з цією задачею для дохідностей німецького індексу справляється вейвлет Буш2 з двома рівнями декомпозиції.
За першим варіантом спочатку з сигналу знімалася шумова складова за допомогою вибраного вейвлету, використовувалося автоматичне зняття шумів, запрограмоване в статистичному пакеті МаІЇаЬ. Потім сигнал, позбавлений шумів, оброблявся методом ББА та обчислювалися прогнозні значення. За другим варіантом спочатку вибираємо значущі для прогнозу коефіцієнти вейвлет-декомпозиції сигналу, підбираємо оптимальну с точки зору можливості прогнозування нейронну мережу та виконуємо прогнозування.
На рис. 5 наведено графіки реальної та позбавленої шумів динаміки дохідностей індексу БАХ30, а також прогнозовані значення, отримані із застосуванням нейронних мереж та методу ББА.
Зауважимо, що прогнозовані значення дохідностей індексу виступають випереджаючим індикатором реальних значень, оскільки їхнє різке зростання чи падіння передує аналогічним змінам реального сигналу. Для наочності на графіку наведено значення дохідностей сигналу за 2 липня поточного року, яке відповідає різкому падінню значень сигналу. Відмітимо, що прогнозована крива почала спадати ще на минулому кроці. Прогнозні значення, побудовані за допомогою методу ББА, навпаки, більш точно відповідають реальному сигналу, однак вони не слугують випереджаючим індикатором.
<С
т
2
о
=г
<С
і
О
о
<
*
о
*
Ш
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
■ их ^Ів20 КЇБ
Рис. 4. Динаміка волатильності дохідностей індексів UX, WIG20 та PTC на 1-му рівні декомпозиції
ВИСНОВКИ
Питання про другу хвилю глобальної кризи залишається актуальним, адже ситуація у фінансовій сфері світової економіки не тільки не поліпшується, а навпаки, за деякими напрямами продовжує погіршуватися. Є підстави вважати, що ці проблеми є наслідком по-верхневості та недостатності заявлених реформ. При цьому спостерігається прагнення виправити підвалини економік, що похитнулися, без використання кардинальних заходів.
У ході проведеного дослідження ми спостерігали різні картини поведінки фондових індексів у період кризи і релаксації на фондових ринках країн світу. Застосування методів вейвлет-аналізу дало можливість виявити
особливості динаміки самих рядів та їх волатильностей. Було виділено два кластери для європейських фондових індексів за динамікою та схожістю їхніх дохідностей: БЛХБО, САС40, БТБЕІОО та их, №Ю20 і РТС Слід також зазначити, що, не зважаючи на тісний зв'язок між досліджуваними індексами, яскраво вираженими є локальні особливості кожного з них.
У роботі було розглянуто можливість комплексного застосування вейвлет-перетворення та нейромереж до проблеми прогнозування дохідностей індексів фондових ринків. Встановлено, що найкращі результати дає використання прогнозних можливостей нейронних мереж, на вхід яких подається вейвлетні коефіцієнти декомпозиції часового ряду. Цікаві результати можна одер-
жати при комплексному використанні веивлет-перетво-рення та методу SSA. Отримані результати дають можливість прогнозувати значення дохідностей фондових індексів у короткостроковій перспективі з досить високим рівнем точності. ■
література
1. Sornette D. Why stock markets crash: critical events in complex financial systems / D. Sornette. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 2004. - 448 p.
2. Gencay R. Scaling properties of foreign exchange volatility / R. Gencay, F. Selcuk, B. Whitcher // Physica A, 2001b. -P. 249 - 266.
3. Capobianco E. Multiscale analysis of stock index return volatility / E. Capobianco // Computational Economics, 2004. - Vol. 23, No. 3. - P. 219 - 237.
4. Lee H. International transmission of stock market movements: A wavelet analysis / H. Lee // Applied Economics Letters, 2004. - Vol. 11. - P. 197 - 201.
5. Crowley P. M. A guide to wavelets for economists / P. M. Crowley // Journal of Economic Surveys, 2007. - Vol. 21. -P. 207 - 267.
6. Gallegati M. Wavelet analysis of stock returns and aggregate economic activity / M. Gallegati // Computational Statistics and Data Analysis, 2008. - Vol. 52, No 6. - P. 3061 - 3074.
7. Subbotin A. A Mutli-horizon Scale for Volatility / A. Sub-botin // CES Working Papers Series, University of Paris-1 (Pan-theon-Sorbonne), 2008. - Vol. 20. - P. 1 - 44.
8. Кравець т. Вейвлет-аналіз індексів фондових ринків України та Польщі в періоди кризи та релаксації / T. Кравець, A. Ситєнко // Вісник КНУ імені Тараса Шевченка: Економіка. - 2012. - № 132. - С. 39 - 43.
9. Minu K. K. Wavelet Neural Networks for Nonlinear Time Series Analysis / K. K. Minu, M. C. Lineesh, C. J. John // Applied Mathematical Sciences, 2010. - Vol. 4, No. 50. - P. 2485 - 2495.
10. Golyandina N. Analysis of Time Series Structure: SSA and related techniques / N. Golyandina, V. Nekrutkin, A. Zhigl-javsky // Chapman & Hall/CRC, 2001. - 256 p.
11. Yahoo Finance. Indices' historical data. [Електронний ресурс]. - Режим доступу : http://www.rts.ru/ru/index/stat/ dailyhistory.html?code=RTSI
REFERENCES
Capobianco, E. "Multiscale analysis of stock index return volatility". Computational Economics, vol. 23, no. 3 (2004): 219-237.
Gencay, R., Selcuk, F., and Whitcher, B. "Scaling properties of foreign exchange volatility". Physica A, 2001b: 249-266.
Gallegati, M. "Wavelet analysis of stock returns and aggregate economic activity". Computational Statistics and Data Analysis, vol. 52, no. 6 (2008): 3061-3074.
Golyandina, N., Nekrutkin, V., and Zhigljavsky, A. Analysis of Time Series Structure: SSA and related techniques: Chapman & Hall/CRC, 2001.
Kravets, T., and Sytienko, A. "Veivlet-analiz indeksiv fon-dovykh rynkiv Ukrainy ta Polshchi v periody kryzy ta relaksatsii" [Wavelet analysis of stock market indices Ukraine and Poland in times of crisis and relaxation]. VisnykKNU, no. 132 (2012): 39-43.
Lee, H. "International transmission of stock market movements: A wavelet analysis". Applied Economics Letters, vol. 11 (2004): 197-201.
Minu, K. K., Lineesh, M. C., and John, C. J. "Wavelet Neural Networks for Nonlinear Time Series Analysis". Applied Mathematical Sciences, vol. 4, no. 50 (2010): 2485-2495.
Crowley, P. M. "A guide to wavelets for economists". Journal of Economic Surveys, vol. 21 (2007): 207-267.
Subbotin, A. "A Mutli-horizon Scale for Volatility". CES Working Papers Series, vol. 20 (2008): 1-44.
Sornette, D. Why stock markets crash: critical events in complex financial systems. Princeton; NJ: Princeton University Press, 2004.
"Yahoo Finance. Indices' historical data" http://www.rts. ru/ru/index/stat/dailyhistory.html?code=RTSI
<C
m
2
o
ZT
<c
I
o
o
<
*
o
*
Ш
