Моделирование динамики запутанных квантовых состояний Текст научной статьи по специальности «Физика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов Н.В. Предельные законы распределения для членов вариационного ряда // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. 1949. 25. С. 5-59.

2. Re i s s R. D. On the accuracy of the normal approximation for quantiles // Ann. Probab. 1974. 2. N 4. P. 741-744.

3. Reiss R. D. Asymtotic expansions for sample quantiles // Ann. Probab. 1976. 4. N 2. P. 249-258.

4. Бенинг В.E., Королев В.Ю. Об использовании распределения Стьюдента в задачах теории вероятностей и математической статистики // Теор. вероятн. и примен. 2004. 49. № 3. С. 417-435.

5. Беврани X., Бенинг В. Е., Королев В. Ю. О точности аппроксимации отрицательного биномиального распределения гамма-распределением и скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2005. С. 88-103.

6. Пагурова В.И. Об асимптотическом распределении случайно индексированного максимума // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2005. С. 104-113.

7. Пагурова В.И. Об асимптотическом распределении максимальной порядковой статистики в выборке случайного объема // Информатика и ее применения. 2008. Вып. 2. С. 54-58.

8. Barndorff-Nielsen O.E., Сох D. R. Asymptotic techniques for use in statistics. L.; N.Y.: Chapman and Hall, 1989.

Поступила в редакцию 22.11.07

УДК 530.145

К.С. Аракелов, Ю.И. Ожигов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЗАПУТАННЫХ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ1

(кафедра квантовой информатики факультета ВМиК, e-mail: ozhigov@cs.msu.su)

При ассоциации двухатомной молекулы мы рассматриваем атомы как квантовые частицы, находящиеся в запутанном квантовом состоянии. Предлагаемая модель ассоциации основана на отборе таких состояний по принципу их плотности в конфигурационном пространстве, что в точности соответствует отбору по величине амплитуды двухчастичных состояний. Приведен результат одного шага такого отбора, вычисленный на основе метода коллективного поведения.

Введение. Квантовая физика является теоретической основой для описания атомных и молекулярных процессов. Эти процессы состоят из эффектов коллективной природы, которые не могут быть объяснены через простую комбинацию свойств отдельных частиц. Однако прямое применение квантовой теории к таким многочастичным системам наталкивается на вычислительные трудности принципиального характера, что делает такое ее применение невозможным. Именно с этой трудностью связано отсутствие в настоящее время удовлетворительного симулятора химических реакций. В данной работе мы предлагаем простой способ моделирования одного из главных химических процессов — ассоциации двух атомов в молекулу, основанный на методе коллективного поведения, предложенном в работах [1, 2]. Этот подход может стать основой для построения симуляторов химических реакций, учитывающих запутанные квантовые состояния участвующих в них частиц.

В стандартной квантовой теории поведение системы п частиц описывается волновой фукцией вида |Ф) = ^ Ар |r), г = (ri, г2,..., гп), где rj — коодинаты частицы j. Если система п частиц разбита

г

на две части, Si и и ее волновая функция есть произведение волновых функций, соответствующих каждой из подсистем: |Ф) = то такое состояние объединения двух систем называется незапутанным. Фундаментальную роль в химических процессах имеют как раз запутанные квантовые состояния. Представление волновой функции n-частичной системы в виде |Ф), значения которой Af зависят от п троек координат, означает, что мы имеем дело с экспоненциальным ростом

хРабота поддержана фондом компьютерной компании НИКС, грант № F793/8-05.

необходимой для моделирования такой системы памяти при росте числа частиц п. Практически эта трудность становится непреодолимой при п > 2, так как случай п = 2 может быть сведен к одной частице. Двухчастичные состояния можно представить в виде разложения Шмидта \Ф\ ) ^^г); гДе

з

{|^Î)} и {|</4)} являются ортонормированными базисами в пространстве состояний соответствующей частицы. Уже для трех частиц шмидтовское разложение, вообще говоря, не имеет места, и потому стандартный путь квантовой механики оказывается несостоятельным в вычислительном плане.

Проект квантового компьютера, предложенный для решения проблемы моделирования многочастичных квантовых систем, не решает всех трудностей, так как помимо экспоненциальной сложности есть еще жесткое разделение на унитарные эволюции и измерения. Если унитарная эволюция описывается уравнением Шрёдингера (или 5-матрицей рассеяния в квантовой электродинамике), то измерение является случайной величиной, плотность которой определяется по правилу Борна pj = |Aj|2. Отсутствие целостного описания квантовых эволюций невозможно преодолеть, даже имея квантовый компьютер. Однако, например в химических реакциях, именно измерение фактически определяет результат. Если в случае одной или двух частиц эта трудность преодолима, то для более сложных систем она также становится принципиальной. Таким образом, численные модели сложных процессов неизбежно приходится строить на основе известного урезания квантовой теории. Целью такого урезания является получение модели, которую можно было бы реализовать на существующих типах вычислительных устройств.

Для демонстрации предлагаемых методов мы избрали химические реакции, поскольку именно эти процессы представляют исключительную практическую важность и являются по своей природе квантовыми. Их квантовый характер обусловлен не только способностью валентных электронов образовывать химические связи, но и вытекающим из этого минимумом потенциальной энергии взаимодействия атомов при ассоциации. Квантовый характер химии вытекает из динамики запутанных состояний самих атомов в ходе ассоциации молекул. Именно эта сторона квантовых эффектов находится в фокусе современных исследований по динамике химических процессов, так как на этом пути у нас есть возможность построения химических симуляторов для компьютеров существующих типов. Предлагаемый нами подход основан на методе коллективного поведения, который мы кратко опишем ниже.

1. Метод коллективного поведения. Метод коллективного поведения состоит в том, что квантовая частица рассматривается как набор (рой)

S = {S1,S2, • • -,Sm}

классических частиц, называемых ее экземплярами. Плотность такого набора p(r) = lim jPjt, где

dx^oo \ах>

Nf,dx есть общее число экземпляров в кубе с центром f и ребром dx. Можно определить также v(r) как среднюю скорость экземпляров в кубе с центром г. Динамика роя определяется обменом импульсами между расположенными рядом экземплярами, так что каждый экземпляр в промежутках между обменами сохраняет свою скорость. Тогда можно доказать, что при фиксированном dx (зерне пространственного разрешения) динамика такого роя является приближением унитарной эволюции (точного решения уравнения Шрёдингера) с точностью dx. При этом соответствие между параметрами роя: функциями р и v — и параметрами стандартного квантово-механического описания динамики через волновую функцию Ф = у/резадается следующими формулами:

|ф(Г)| = у/Дг),

ф(г)= f k(dx)4.d7, (1)

7: Tg —ут

v = a(dx)~2 grad</>(r),

где • обозначает скалярное произведение векторов.

В случае системы нескольких частиц роль экземпляров играют кортежи s вида si, S2, ■ ■ •, sn, где Sj есть экземпляр реальной частицы j. При этом формулы (1) остаются справедливыми при естественном понимании всех величин, например плотность понимается как плотность роя кортежей s в конфигурационном пространстве n-частичной системы и т.д. Метод коллективного поведения (КП)

сводит квантовую динамику комплекснозначной волновой функции к обыкновенной динамике роя с микроскопическим механизмом обмена импульсами между соседями. Это отличается от известного подхода Бома-Маделунга (см. [3]), в котором нет такого механизма. Зато в бомовском подходе есть уравнения, эквивалентные шрёдингеровскому, а в методе коллективного поведения таких уравнений написать нельзя. Из формул (1) видно, что интенсивность обмена обратно пропорциональна (¿ж2, т.е. для получения лучшего приближения волновой функции необходим новый рой. Однако метод КП более эффективен, чем стандартный метод, для большого количества реальных частиц. Здесь, так же как в методе Монте-Карло, реализуется лебеговская схема интегрирования, более подходящая для функций с плохим локальным поведением, чем стандартная римановская схема, используемая при решении уравнения Шрёдингера. Метод КП позволяет явно сформулировать механизм измерения волновой функции многих частиц в виде так называемой процедуры отбора квантовых состояний, который мы опишем.

2. Отбор квантовых состояний для реакции ассоциации. Метод отбора квантовых многочастичных состояний основан на простой идее. Предположим временно, что каждый экземпляр наделен комплексной амплитудой, и мы можем применять фейнмановскую схему интегралов по путям:

Ф(г,г)= J к(г,г,гьг1)Ф(г1,г1),

К3п

где К — ядро системы, которое является амплитудой, переносимой кортежем я. Такие амплитуды должны быть близки для близких начальных и конечных состояний. Оценим вклад в вероятность г)|2 двух групп кортежей из I элементов каждая: в первой будут близки и начальные и конечные состояния, а во второй — только начальные, а конечные выбраны случайно. Вклады этих двух групп примерно равны:

(¿1 =

I

1>2а

3=1

2

= к2 \а\2 , (¿2 =

8=1

1 I I2

к а .

где фазы ф8 распределены равномерно. Последнее равенство вытекает из того, что равномерное распределение фаз приводит к отклонению суммы порядка квадратного корня, т. е. вклад первой группы будет превалировать.

Из этого мы можем вывести следующий простой метод отбора наиболее значимых кортежей в роевого представления системы п частиц. Предположим, что у нас сначала есть просто отдельные рои экземпляров невзаимодействующих частиц. Мы можем образовать из них кортежи, объединяя экземпляры случайным образом. Такое многочастичное состояние будет соответствовать незапутанному квантовому. После этого мы производим несколько шагов динамической эволюции и группируем кортежи по принципу их близости в конфигурационном пространстве состояний п частиц (при этом речь идет не обязательно о Д3п, можно включать и, например, спиновые координаты; можно также включать и электродинамические эффекты через учет экземпляров фотонов и т. п.). Получаем группы кортежей

Си, (?2, • • •, О).,

о которых предполагаем, что они упорядочены по числу кортежей в каждой группе: 1 |(?21 >> • • • ... \Gk\ - Теперь выберем среди О^ несколько первых членов, а экземпляры в кортежах, принадлежащих оставшимся группам, переформируем так, чтобы вновь сформированные кортежи были ближе к кортежам выбранных групп. Затем повторим эволюцию и отбор и т. д. Такова схема генетического алгоритма отбора квантовых состояний. Эта схема полностью соответствует выбору квантовых состояний |г) с наибольшей амплитудой в квантовом многочастичном состоянии.

Рассмотрим, как эта схема работает в случае задачи с ассоциацией молекулярного иона водорода из атома водорода и одиночного протона.

Пусть протон налетает на неподвижный атом водорода с некоторой фиксированной скоростью и прицельным (минимальным от траектории свободного полета) расстоянием. Мы представляем и атом водорода, и протон как рои из их экземпляров. Считаем, что электрон является не отдельной частицей, а источником поля, так что потенциал взаимодействия атома и протона имеет локальный минимум в некоторой точке До, являющейся расстоянием между протонами в стационарном положении молекулярного иона водорода. Условимся также считать, что этот потенциал начинает действовать, когда

расстояние между протонами становится меньше некоторого предела d, а прекращает действие, когда оно становится больше некоторого D > d (иначе ассоциация не произойдет никогда). В таких предположениях мы можем рассчитывать классические траектории каждого экземпляра атома и протона. Первый шаг нашего генетического алгоритма состоит в том, что мы объединяем экземпляры атома и протона в пары и группируем их по признаку близости, т. е. считаем их плотность в конфигурационном пространстве R6. Нас интересует только вопрос: произойдет ли ассоциация? Необходимо определить величину i?0, на которой образовавшийся ион стабилен, а также (при массовых экспериментах) зависимость вероятности ассоциации от прицельного расстояния и скорости протона. Таким образом, каждую пару экземпляров можно представить как число R, равное расстоянию между ними. В результате численного моделирования этого процесса для случая происшедшей ассоциации должна быть найдена плотность пар в зависимости от расстояния R = asin/3(i+ i0), соответствующего колебаниям классического осциллятора. Для случая неудачной ассоциации, т. е. разлета протона и атома (перезарядку мы не учитываем), плотность должна быть малой. При этом первая плотность должна иметь примерный вид (1 — i?2)-1/2.

3. Численное моделирование реакции образования молекулярного иона. В численном эксперименте с помощью метода коллективного поведения исследовались резонансные столкновения атомной частицы (например, атома водорода) со своим собственным положительным ионом (протоном) и определялись вероятности образования молекулярного иона. Предполагалось, что для сталкивающихся частиц выполняется адиабатическое приближение. В этом случае движение ядер происходит по адиабатическим термам. Значение каждого из этих термов, в зависимости от межъядерного расстояния, равно сумме энергии кулоновского взаимодействия ядер и соответствующего собственного значения электронного гамильтониана, зависящего от межъядерного расстояния как от параметра. В такой постановке исследуемая задача созвучна известной задаче Ландау-Зинера (см. [4, 5]). Одной из особенностей модели Ландау-Зинера является то, что движение ядер рассматривается классически почти на всей траектории, за исключением малой области квазипересечения адиабатических термов, где движение предполагается квазиклассическим. Другой особенностью является то, что модель Ландау-Зинера напрямую (без модификаций) не подходит для моделирования резонансных столкновений.

Предлагаемая модель свободна от отмеченных особенностей: движение ядер рассматривается ква-зиклассически почти на всей траектории; резонансные процессы учитываются с помощью феноменологической D-d, модели.

Численный эксперимент состоял из трех основных алгоритмических частей.

1. Начальное конфигурирование.

2. Собственно эксперимент. Запись промежуточных и финальных координат и импульсов частиц в выходной файл.

3. Расчет интегральных характеристик эксперимента по данным из выходного файла п. 2. Начальное конфигурирование.

Задавались начальные координаты и импульсы двух первоначальных ("родительских") частиц. Родительские частицы несли информацию о начальном прицельном расстоянии и относительном импульсе. Для этих частиц происходило генерирование ансамблей ("дочерних") частиц, идентичных родительским частицам (идентичность в данном случае означает равенство массы и параметров потенциала парного взаимодействия). Количество частиц в каждом ансамбле равнялось 50. Координаты и импульсы частиц в каждом ансамбле были распределены по Гауссу со средними значениями, равными соответствующим значениям родительских частиц. Таким образом, общее количество пар частиц равнялось 2500. После этого для каждой пары проводился численный эксперимент.

Эксперимент. Траектории пар частиц рассчитывались с помощью уравнений Ньютона. В выходной файл записывались промежуточные и финальные координаты и импульсы частиц. В эксперимент были введены два параметра Rs и Rt, соответствующие расстояниям d и D.

Расчет характеристик эксперимента. По финальным координатам частиц для всех экспериментов рассчитывались функции распределения частиц в зависимости от межчастичного расстояния. Также рассчитывалась полная вероятность получения молекулярного иона.

Перечислим существенные черты применяемого алгоритма (форма потенциалов I \ и I '•_> описывается при обсуждении результатов).

Первоначально (когда межчастичное расстояние Я > Я^ потенциал межчастичного взаимодействия (адиабатический терм) равен 1]\. Он соответствует взаимодействию атома с собственным положительным ионом на большом расстоянии.

При первоначальном пролете области Я3 < Я < Яъ потенциал взаимодействия не изменяется — реакция не происходит.

При достижении расстояния Я8 потенциал взаимодействия становится равным 112 — произошла ассоциация иона, 112 выбран как квадратичный потенциал.

Дальнейшее движение осуществляется под воздействием потенциала 112 (молекулярный ион) вплоть до достижения межчастичного расстояния Яъ. После этого потенциал взаимодействия становится снова равным 11\ — происходит диссоциация.

4. Результаты. Целью численных экспериментов данной работы являлось: определение вероятности образования молекулярного иона при двухчастичном столкновении модельного иона с собственным модельным атомом; расчет распределения финальных расстояний между парами частиц. Это распределение поможет найти равновесное расстояние между ядрами молекулярного иона.

В настоящей статье константы задачи (параметры потенциалов, массы частиц, расстояния Я8 и Я¿) не соответствуют реальным физическим константам. Конкретные физические системы будут рассмотрены в дальнейших работах. Потенциалы 1]\ ж I]2 рассматривались как функции только от межчастичного расстояния Я. В качестве был выбран стандартный потенциал взаимодействия иона с собственным атомом на далеких расстояниях [6]. В качестве 112 был выбран гармонический потенциал:

и± = -а/Я4,

и2 = к(Я-Я0)2 + и0.

Вероятность определялась по формуле Р = где — количество пар частиц, финальное

расстояние между которыми не превосходит Я3, N — количество всех пар частиц (оно всегда равно 2500).

Значения констант су, к, Яо, ?7о, Яь, Я8 были выбраны 2,0, 10,0, 1,0, —5,0, 1,85, 1,8. Каждый эксперимент занимал 5000 временных шагов.

Распределение межчастичных расстояний. Начальные данные: относительная скорость частиц — 0,1, прицельное расстояние — 6, суммарная вероятность образования молекулярного иона — 72,16%

На рисунке видны зависимости распределения финальных функций распределения частиц от межчастичных расстояний для прицельного расстояния 6 и относительной скорости частиц 0,1. Графики

зависимости для прицельных расстояний 2 и 0 и относительной скорости 0,1 в численном эксперименте получились сходного вида, но дали вероятности образования иона 83,7 и 84,28% соответственно. Таким образом, с уменьшением прицельного расстояния растет вероятность образования молекулярного иона. Видно также, что в области межчастичных расстояний, соответствующих молекулярному иону, форма функции распределения межчастичных расстояний сохраняется. В частности, растояние, соответствующее минимуму функции распределения, во всех случаях одно и то же и соответствует минимуму потенциальной энергии С/г-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. О z hi gov Yu. I. Selection of quantum states in the simulation of quantum mechanics // Quantum Computers and Computing. 2007. 7. N 1. P. 88-110.

2. Ozhigov A., Arakelov K., Ozhigov Yu. Principles of the numerical simulation of many body quantum dynamics // Quantum Computers and Computing. 2006. 6. N 1. P. 137-148.

3. Блохинцев Д. В. Принципиальные вопросы квантовой теории // М.: Наука, 1977.

4. Ландау J1. Д. Ассоциация двухатомных молекул // Советский физический журнал. 1932. 2. С. 46-52.

5. Zener С. Molecular terms and chemical reactions // Proc. R. Soc. Ser. A. 1932. 137. P. 515-546.

6. Никитин E. E., Смирнов Б.М. Атомно-молекулярные процессы в задачах с решениями. М.: Наука, 1989.

Поступила в редакцию 12.02.08

УДК 519.688

А.Ю. Дижевский

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ, ВЛОЖЕННЫХ В ПОЛУПРОЗРАЧНЫЙ ОБЪЕМ

(кафедра вычислительной математики механико-математического факультета,

e-mail: mathlog@yandex.ru)

В данной работе описаны основные алгоритмы объемной визуализации (volume rendering) и методы поверхностной визуализации (surface rendering) трехмерных объектов. Представлены методы гибридной визуализации:

• поверхности, заданной триангуляцией, вложенной в полупрозрачный объем;

• неявно заданной поверхности, вложенной в полупрозрачный объем.

Введение. Объемная и поверхностная визуализация применяются в медицине (визуализация снимков, полученных с помощью компьютерной томографии, ультразвука или магнетического резонанса), вычислительной динамике жидкости (аэродинамические симуляторы), метеорологии (прогнозы), астрофизике и других областях.

При поверхностной визуализации изображаемая модель представляется в виде поверхности (набор полигонов). При объемной визуализации модель задана поточечно в некоторой области. Алгоритмы поверхностной визуализации вычислительно более просты, чем алгоритмы объемной визуализации. В то же время объемное изображение хранит больше информации, поскольку включает информацию о всех деталях объекта.

Визуализация поверхностей, вложенных в полупрозрачный объем, играет важную роль как в медицине (хирургическое планирование, обучающие системы), так и во многих других областях исследований (например, при создании различных симуляторов).

Целью данной работы являются описание основных алгоритмов гибридной визуализации и разработка алгоритма, способного изображать поверхности, вложенные в полупрозрачный объем. Изображаемые в этом алгоритме поверхности задаются неявными функциями, т. е. уравнениями вида f(x,y,z) — к = 0. Здесь / — некоторая функция, принимающая вещественные значения; к — пороговое значение; физически f(x,y,z) обычно представляет собой плотность изучаемой модели в точке (x,y,z). Изображаемая поверхность представляет собой поверхность уровня функции /.