CC BY
73
МАШИНОСТРОЕНИЕ
УДК 51.74
К.В. Змеу, М.Н. Невмержицкий, Б.С. Ноткин
ЗМЕУ КОНСТАНТИН ВИТАЛЬЕВИЧ - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой технологий промышленного производства Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток).
НЕВМЕРЖИЦКИЙ МАКСИМ НИКОЛАЕВИЧ - аспирант кафедры технологий промышленного производства Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: maxim.nevmer@gmail.com
НОТКИН БОРИС СЕРГЕЕВИЧ - кандидат технических наук, научный сотрудник (Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток).
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СЛОЖНОГО МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА
В статье рассматривается пример применения специальной среды математического моделирования - при построении многосвязного существенно нелинейного аэродинамического объекта со сложным пространственным движением.
Ключевые слова: динамическая модель, динамический объект, пространственное движение, квадрокоптер.
Dynamics Modeling of Complex Mechanical Plant. Konstantin V. Zmeu, PHD, Maxim N. Nevmerzhitskiy, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok; Boris S. Notkin, PHD, Institute of Automation and Control Process, FEB RAS, Vladivostok.
The article deals with the example of special mathematical modelling environment: applied when modeling a multiply nonlinear aerodynamic object with the complex 6DOF motion.
Key words: dynamic model, complex dynamic plant, 6DOF movement, quadrotor.
Моделирование - важная часть процесса исследования, способная упростить и ускорить его, а также сэкономить материальные ресурсы. Моделирование механического объекта управления содержит ряд требований, предъявляемых к полноте конкретно взятой модели. В то же время наличие множества сил и эффектов, влияющих в процессе работы на объект управления, может существенно усложнить его математическое описание. Построение наиболее точной и полной модели объекта управления - первоочередная задача для исследователя.
© Змеу К.В., Невмержицкий М.Н., Ноткин Б.С., 2013
Примеры сложных механических объектов управления - многозвенные промышленные манипуляторы, подъемные и транспортные механизмы, подводные роботы, летательные аппараты и др. [11]. Математическое описание сложного объекта управления может быть достаточно громоздким, поэтому моделирование при традиционном подходе существенно затруднено. В таких случаях перед разработчиками встает задача упрощения модели объекта управления. Альтернативным подходом для сложного объекта управления может быть его построение в специальных средах математического моделирования. Примером одной из таких сред может послужить SimMechanics - отдельная библиотека пакета Simulink среды МАТЬАВ, предназначенная для моделирования механических систем с использованием модели твердого тела. Эта библиотека позволяет воспроизводить поступательное и вращательное движение тел в трехмерном пространстве.
Цель настоящей работы состоит в моделировании сложного объекта управления на примере четырехвинтового вертолета - квадрокоптера. Существует множество работ, посвященных моделированию летательных аппаратов с вертикальным взлетом [1-4; 6-8; 10], где приводятся различные варианты уравнений движения с различной степенью их детализации или различием выбранных подходов в описании. В настоящей же работе рассматривается моделирование без воспроизведения математического описания объекта. МАТЬАВ^тМеЛап^ может послужить в качестве подходящего инструмента моделирования многосвязного существенно нелинейного аэродинамического объекта со сложным пространственным движением.
Уравнения движения квадрокоптера
Квадрокоптер представляет собой летательный аппарат с четырьмя винтами. Его винты закреплены на двух пересекающихся крест-накрест балках и вращаются попарно в противоположных направлениях, как показано на рис. 1 . Центр масс вертолета находится на пересечении балок, т.е. в его геометрическом центре. Обозначим оси глобальной системы координат Е, связанной с землей, как X, У, 2; а оси локальной системы координат В, связанной с центром масс квадрокоптера, - х, у, ъ (рис. 1).
Р4
1 ]
Е
У
Рис. 1. Кинематическая схема квадрокоптера
Квадрокоптер в пространстве имеет шесть степеней свободы. Его движение состоит из поступательного движения центра масс и сферического движения тела относительно центра масс [3, 4, 7]. Главные эффекты, оказывающие воздействие на квадрокоптер, представлены в таблице.
Эффекты и силы, воздействующие на тело квадрокоптера
Эффекты и силы Источник Обозначение
Аэродинамический эффект Вращения винтов СП2
Моменты инерции Изменение скорости вращения винтов ]П
Гравитация Центр масс —тд
Гироскопический эффект Изменение ориентации твердого тела Изменение ориентации плоскостей винтов 10ф JШ, ф
Трение Все движения квадрокоптера Сф, 0!, ф
Для тела массы т справедлив второй закон Ньютона:
та = —тд~ё^ + в, Ц>)и, (1)
где а = (х,у,2)т - суммарное ускорение динамической системы; т - масса тела; ёу -единичный вектор, направленный вдоль оси Y; Я(ф, 0, ф) - матрица поворота; и - сумма неконсервативных сил, действующих на систему (включая силы лобового сопротивления и силу тяги винтов).
Один из примеров уравнений движения для квадрокоптера представлен в [4]. Система дифференциальных уравнений для каждой из шести степеней свободы выглядит следующим образом:
гтх = и^соз-фзтвсозф + зЬпфзтф) ту = и^т-фзтвсозф — соз-фзту) тг + тд = и1(созвсозф)
•* = М^И*" + Ь (2)
в= + ±11,
\ 'у / 'у 'у
и = + ,
где 1х — момент инерции тела относительно оси х, 1у - оси у, ^ - оси z; ]г — момент инерции ротора; ш - угловая скорость роторов; Б; - силы, действующие на динамическую систему.
Уравнения сил, действующих на динамическую систему иТ, и2, и3, и4, и скорости пропеллеров ш приведены ниже:
гиТ = к(ш2 + ш2 + ^2 + Ц2 = 1(о>2 —
< и3 = 1(^2 — ^2) (3)
и4 = к(ш2 + — ш2 — ш,) = + ш2 + ш3 + ш4 .
Уравнения (2) демонстрируют сложную взаимосвязь входных воздействий и переменных вектора состояния объекта управления. Проконтролировать правильность построения такой математической модели непросто, а, как мы убедились, МАТЬАВ/81тМесЬатс8 помогает смоделировать уравнения движения, а также эффекты, представленные в таблице.
Моделирование динамики квадрокоптера
Пакет SimMechanics помогает построить структурную модель объекта управления и промоделировать движение в пространстве. Для построения модели необходимо знать лишь массогабаритные характеристики объекта и силы, действующие на него. Средствами 81тМесЬатс8 нами построена механическая модель рассматриваемого объекта управления (рис. 2).
Рис. 2. Модель SimMechanics
Шарнир Custom Joint позволяет задать между двумя любыми звеньями до шести степеней свободы, а также однозначно менять последовательность степеней свободы относительно друг друга (рис. 3). Благодаря этому шарниру тело квадрокоптера не ограничено относительно земли, а каждая степень свободы шарнира позволяет присоединить датчик Joint Sensor. Параметрирование шарнира выполняется в соответствии с системой координат B. Сначала заданы поступательные координаты, а за ними последовательно расположены вращательные. Порядок степеней свободы в шарнире Custom Joint следующий: x, y, z, в.
Визуализация SimMechanics позволяет анимировать движения трехмерных моделей. Эти модели могут быть присоединены в виде графических файлов формата STL, построенных в любой программе CAD-моделирования, например SolidWorks [5, 10]. Каждый
блок Body содержит параметры масс и моментов инерции относительно центра масс тела. Импортированная модель показана на рис. 4. На анимации можно увидеть объект управления в процессе его движения по траектории.
Рис. 3. Параметрирование инструмента Custom Joint
Рис. 4. Визуализация движения квадрокоптера в среде SimMechanics
Пример траектории движения объекта в пространстве представлен на рис. 5. Примеры переходных процессов, регистрируемых датчиками в шарнире Custom Joint, приведены на рисунках 6 и 7.
Рис. 5. Траектория движения объекта в трехмерном пространстве
Рис. 6. Переходные процессы по линейным координатам
Помимо удобства и простоты работы 81тМесЬатс8 обладает еще одним достоинством - это достаточно гибкий инструмент. Из построенной модели можно извлечь разнообразную информацию, получить ее в различных удобных для чтения и обработки формах.
Рис. 7. Переходные процессы по угловым координатам
Итак, SimMechanics, представленная нами как библиотека для моделирования механических систем в рамках физических законов, является составной частью семейства продуктов для моделирования физических систем в среде MATLAB/Simulink. Средствами SimMechanics построена динамическая модель сложного динамического объекта на примере квадрокоптера. Модель демонстрирует поступательное и вращательное движение в трехмерном пространстве и дает возможность измерять относительные координаты перемещения. SimMechanics позволяет сократить время построения проектируемой модели и существенно упростить работу над ней. По сравнению с традиционным подходом моделирования среда SimMechanics обладает преимуществами: простотой построения и параметрирования модели, быстротой отладки, гибкими инструментами измерения и визуализации. В ходе исследования выявлено, что трехмерная визуализация помогает разработчику раскрыть полноту динамики объекта со сложным пространственным движением. В данной работе показано, что модели, которые можно строить с помощью SimMechanics, не ограничены чисто механической физикой, что дает возможность применять ее и в отношении аэродинамических объектов. С ростом интереса к робототехнике рассмотренный нами метод приобретает все большую актуальность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ / REFERENCES
1. Белинская Ю.С., Четвертиков В.Н. Управление четырехвинтовым вертолетом // Наука и образование: электр. науч. изд. М: МГТУ им. Н.Э. Баумана. Май, 2012. С. 157-171. URL: http://technomag.edu.ru/doc/397373.html (дата обращения: 20.09.2013) = Belinskaya Yu. S., Chetverikov V.N., The control design for a four-rotor rotorcraft, Science and Education, 2012, May, Russia, Bauman Moscow State Technical University, p. 157-171. URL: http://technomag.edu.ru/doc/397373.html (date of circulation: 20.09.2013). [Belinskaya Yu. S., Chetvertikov V.N. Upravleniye chetyryokhvintovym vertolyotom // Nauka i obrazovaniye: elektr. nauch. izd. M: MGTU im. N.E. Baumana, 2012. S. 157-171. URL: http://technomag.edu.ru/doc/397373.html (data obrashcheniya: 20.09.2013)].
2. Beji L., Abichou A., Slim R., Stabilization with Motion Planning of a Four Rotor Mini-rotorcraft for Terrain Missions, Fourth Int. Conf. on Intelligent Systems Design and Applications (ISDA). 2004, рр. 335-340.
3. Bouabdallah S., Clavel R. Siegwart Design and control of quadrotors with aррlication to autonomous flying. Thèse NO 3727, A la faculté des sciences et techniques de l'ingénieur: Laboratoire de systèmes autonomes 1, Section de microtechnique Lausanne, EPFL. 2007, 155 р.
4. Bouabdallah S., Murrieri P., Siegwart R., Design and control of an Indoor micro quadrotor, Proceedings IEEE International Conference on Robotics and Automation. 2004; (5), рр. 4393-4398.
5. Chen Y., Chen R., Su J., Simulation design on the 6-dof parallel vibration platform Based on SimMechanics and Virtual Reality, World Automation Congress Proceedings. 2012; (6321647).
6. Krajnik T., Vonâsek V., Fiser D., Faigl J., AR-drone as a platform for robotic research and education, Communications in Computer and Information Science 161 CCIS, Czech Technical University in Prague. 2011, pp. 172-186.
7. Lara D., Romero G., Sanchez A., Lozano R., Guerrero A., Robustness margin for attitude control of a four rotor mini-rotorcraft: Case of study. Mechatronics, Elsevier. 2010;20(1): 143-152.
8. Li Y., Wang X., Xu P., Zheng D., SolidWorks/SimMechanics-based lower extremity exoskeleton modeling procedure for rehabilitation, IFMBE Proceeding. 39. 2013, pp. 2058-2061.
9. Lim H., Park J., Lee D., Build Your Own Qudrotor - Open Sours Projects on Unmanned Aerial Vehicles, IEEE Robotics and Automation Magazine. 2012;19(3), art. no. 6289431: 33-45.
10. Mahony R., Kumar V., Corke P., Multirotor aerial vehicles: Modeling, estimation, and control of quadrotor, IEEE Robotics and Automation Magazine. 2012;19(3), art. no. 6289431: 20-32.
11. Siciliano B., Khatib O., Handbook of Robotics. Springer, Verlag Berlin Heidelberg, 2008, 1611 р.
