Научная статья на тему 'Моделирование динамики полета квадрокоптера'

Моделирование динамики полета квадрокоптера Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

CC BY
3843
1448
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КВАДРОКОПТЕР / УГЛЫ ЭЙЛЕРА-КРЫЛОВА / МАТРИЦА ПОВОРОТА / MODELLING / IDENTIFICATION AND CONTROL OF A QUADROTOR HELICOPTER

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Попов Н. И., Емельянова О. В., Яцун С. Ф.

В работе рассмотрены вопросы математического моделирования движения квадрокоптера, приведена его расчетная схема и составлены дифференциальные уравнения на основе общих теорем динамики.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MODELLING OF DYNAMICS OF FLIGHT OF A QUADROTOR HELICOPTER

In work questions of mathematical modeling of movement of a quadrotor helicopter are considered, his settlement scheme is provided and the differential equations on the basis of the general theorems of dynamics are worked out.

Текст научной работы на тему «Моделирование динамики полета квадрокоптера»

ПОЖАРНАЯ ТЕХНИКА

УДК 681.51

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА КВАДРОКОПТЕРА Н.И. Попов, О.В. Емельянова, С.Ф. Яцун

В работе рассмотрены вопросы математического моделирования движения квадрокоп-тера, приведена его расчетная схема и составлены дифференциальные уравнения на основе общих теорем динамики.

Ключевые слова: квадрокоптер, углы Эйлера-Крылова, матрица поворота.

Введение. Квадрокоптер - это летательный аппарат с четырьмя несущими винтами, вращающимися диагонально в противоположных направлениях. Он обладает рядом преимуществ, таких как: беспилотное управление, надежность, компактность, маневренность, малая взлетная масса при существенной массе полезной нагрузки. Благодаря простоте конструкции квадрокоптеры часто используются в любительском моделировании, удобны для недорогой аэрофото- и киносъёмки — громоздкая камера вынесена из зоны действия винтов.

Первое миниатюрное радиоуправляемое судно было предложено 1898 году Николой Тесла. Вдохновленной этой идеей, в 1910 г. американский военный инженер из Огайо Чарльз Кеттеринг предложил модель летательного аппарата без человека.

В СССР в 1930-1940 гг. авиаконструктором Никитиным разрабатывался торпедоносец-планер специального назначения (ПСН-1 и ПСН-2) типа «летающее крыло» в двух вариантах: пилотируемый тренировочно-пристрелочный и беспилотный с полной автоматикой. К началу 1940 г. был представлен проект беспилотной летающей торпеды с дальностью полёта от 100 км и выше (при скорости полёта 700 км/ч).

Попов Н.И. кандидат тех. наук, Воронежский институт ГПС МЧС России, Россия, г. Воронеж. Емельянова О.В., кандидат тех. наук, ЮЗГУ, Россия, г. Курск; teormeh@inbox.ru.

Яцун С.Ф., доктор тех. наук, ЮЗГУ, Россия, г. Курск, teormeh@inbox.ru

© Попов Н.И., Емельянова О.В., Яцун С.Ф., 2014

В 1944 году военными США в был применён впервые в мире классический ударный БПЛА — Interstate TDR. Однако дальше прототипов дело не продвинулось.

Новое рождение мультикоптеры получили в XXI веке. Современные мультикоптеры используют бесколлекторные электродвигатели и литий-полимерные аккумуляторы в качестве источника энергии. Это накладывает определенные ограничения на их полетные характеристики: типичный вес мультикоптера и время полета.

Для изучения основных закономерностей движения квадрокоптера рассмотрим математическую модель, описывающую пространственное движение летающего робота. Квадрокоптер - это электромеханическая система, корпус которой можно моделировать твердым телом с 6-ю степенями свободы [3].

Математическая модель квадрокоптера.

Различные виды движения квадрокоптера было подробно описаны в [1, 3-7]. Пусть положение центра масс квадрокоптера С совпадает с началом подвижной системы координат СХ¡YjZj, а в неподвижной декартовой системе координат описывается координатами X, Y, Z (рис.1).

Ориентацию в пространстве задают углы Эйлера-Крылова, которые обычно применяются в авиационной технике при описании движения аппарата и составляют так называемые углы: крена, тангажа и рысканья. Они соответствуют следующей последовательности поворотов:

1. Поворот на угол у относительно вертикальной оси OZ (R z,y ) — рыскание.

2. Поворот на угол 6 относительно главной поперечной оси инерции ОУ (Я у,6 ) — тангаж.

3. Поворот на угол ф вокруг продольной оси OX (Я х,ф) — крен.

При полёте квадрокоптера на него действуют аэродинамические силы несущих винтов F], F2, F3, F4, приложенные к их центрам масс роторов А], А2, А3 А4 соответственно, и силы тяжести корпуса meg и винтов mg (рис. 1) [1-3], причем силы Fj параллельны оси CZ].

Рис. 1. Расчетная схема квадрокоптера

Положение центра масс квадрокоптера определяют координаты вектора гОС= [Х,У,г]Т. Условимся в дальнейшем системы координат ОХУ2 и СХУгХг понимать под символами ( венно. Тогда векторы сил :

■(0) и (1) соответст-

= Tío •

(1)

гр (1) (0)

где Т- матрица перехода из () в () систему координат.

Результирующая матрица перехода получается путем перемножения трёх основных матриц вращения и имеет следующий вид:

где

Tio = (V, 0, 9) = V) x R(y,0) x R(x,9)=

cosv cos0 cosv sin 9sin 0- cos^sin v sin v sin 9 + cosv cos^sin 0 sin v cos0 cosv cos9 + sin v sin 9sin 0 cos9 sin v sin 0- cosv sin 9

- sin 0

Запишем очевидное равенство:

cos0sin 9

r (0) - f(0)

_(0) rOC + rCAj

rCA) - T10 • rcA

Векторы rj?? для точек Л, имеют вид:

r (1) -

rCA1 -

r (1) rCA2

r (1)

rCA3

— i 0 0

cos9cos0

r (1)

rCAi

(2)

(3)

(4)

0

где I - расстояние от центра масс квадрокоптера С до центра масс роторов А1

Скорости точек Ai определим, продифференцировав равенство (3) по времени:

_ т<0) г(0)

и

Ai

С учетом равенства (4) получим:

V

OAi _ roc + ' CAi

dt dt

dt

A

VC + T10 • -CAi

где = iX + jY + kZ - скорость центра масс квадрокоптера.

Количество движения г-ой массы определим по формуле:

7(1) 10 ■ 'CAi

m

VAi _ mi (VC + T10 • ГС\)

Изменение количества движения определим из выражения:

dqL _ m (dVC + T • -(1)4 _ T F (i) dt _ Щ ( dt + Tl0 -CAi4 _F

(6)

(7)

(8)

(9)

Вектор количества движения рассматриваемой системы, состоящей из корпуса и 4 винтов, определим по формуле:

_ _ 4 _

О = ШС иС + У ШЖ (10)

I=1

Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме имеет

вид:

с Ш; (-С + 71П • ) = (шг +Х т )-С + 7п> =

йг СЛ; с

-- mr —-

dt C dt

dt

В проекциях на координатные оси уравнение (11) примет вид:

do X

(mC + У mi )-

dt

dvY

-У F(

У ix

(mr + У mi)—C -У F ( У 4 dt У i

(0) iy

dv г

(mc +У mi)-C _У Fi dt

(0)

(11)

(12)

где

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Здесь:

У F^ - Tw У F(1) _ Tio

У FÜ

У Fx1 _

У Ff

(sin y sin 9 + cosy cos^ sin 0) -y Fi (cos^ sin y sin 0 - cosy sin) - y Fi cos^ cos 0-X Fi

0 0 0 0

и 0 Fi > F(1) _ f2 0 F2 , F (1) _ F3 _ 0 F3 , F(1) _ f4 _ 0 F4

0

I Fi(1) = 0

F1 +F 2+F3 +F4 Тогда уравнение (13) с учетом (14) будет иметь вид:

0 0

4

У Fi i_i

(13)

(14)

(тс +2 mi )-

do X

dt dür

■■ (sinф sin ф + cosфcos9 sin 0) -2Fi

(mc + 2 mi)-= (cos9sin ф sin 0 - cosф sin) - 2Fi

dt

(тс +2 mi)-

(15)

doc dt

■■ cosф cos0 - 2 Fi

или

mX = (sin ф sin ф + cos ф cosф sin 0)-2 Fi < mY = (cosфsin фsin 0- cosфsin) -2Fi (16)

mZ = cosф cos 0 - 2 Fi

Представленная система дифференциальных уравнений описывает изменение обобщенных координат квадрокоптера X, Y, Z.

Рассмотрим угловые скорости вращения роторов квадрокоптера в локальной системе координат СХ'¡Y¡Z¡ (рис.2, 3). Для этого введем систему координат Ахуя, которая совпадает с центром масс m¡ роторов.

Q/ = ю/ + ©с, i = 1-4;

®i = ii ю/Х + Ji ©iy + ki ©iz; Юс = i1©CX1 + ]\©CYX + k1©CZ!

(17)

(18)

где ,1, ]1, к1 и /„ ¡ъ к, - единичные векторы системы координат СХХ^1 и Аху^и Д - абсолютная угловая скорость вращения г-ого ротора в системе координат СХ1У121, юС, ю,- - векторы угловых скоростей вращения корпуса и г-ого ротора в системе координат СХХ111 иАху?! определяются в виде:

(19)

Ю x1 0 Ю x1

Ю с= Ю71 ' Ю t= 0 ' Ц = Ю У1

©Zj ю/ ю/ +®Z!

или

«i = № x + J1Q y + k1Q

(20)

Рис.2. Схема для определения угловой скорости ротора при сложном движении Определим момент количества движения ротора в системе координат Аху^,

^ЦА- = {(г ХО или Ца1 = (21)

Iх j л/ 0 0

где 1,Л1 = 0 Jy J Ai 0

0 0 Tz J Ai

- тензор инерции ротора. Тогда кинетический момент равен:

m;

Jx J Ai 0 0

L iAl = 0 Jy J Ai 0

0 0 Tz J Ai

ш

Xl ш7! ш, + ш

JAiш X1 JAi ШТ1

Ш, + Ш-,

(22)

Рис. 3. Расчетная схема определения кинетического момента квадрокоптера

Определим момент количества движения в системы:

Ь = 1С Ь,

(23)

где

Lc = Iг Ш,

С шс

кинетическии

момент

относительно центра

масс

квадрокоптера;

Ь = I ^ = (Iд. + т1 ) Ог- - кинетический момент /-го ротора относительно центра масс квадрокоптера

в системе координат СХ1У111 (в соответствии с теоремой Гюйгенса).

Тензоры инерции корпуса 1С и /-го ротора 1/ с учетом того, что главные оси инерции механической системы являются главными центральными осями инерции (все центробежные моменты инерции равны нулю) равны:

I

С

J.

Xl

с

0

0

0 JY1 JC

0

0 0

J

Ii =

JA + mi2 0 0

0

JAi + mil 7 0

0 0

JA + ml l

(24)

Тогда:

LC =

J

X i С

0

0

J

Yi

С 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

J

0

0 Zi

Ai

ш X1 ШС1

TX1

J С ш X1 TY1

JC ШYl JC ШС

(25)

0

L =

JX + шЛ2

0

JAi + mil

2

0 0

Ai ■ mi

0i 0 0 JzAi + mil2

С учетом (25), (26) выражение (23) будет иметь вид:

Ю

X1

1

Ю- +Ю z1

(JA + mil )юx1

(JyAi + ш-1 1)юУ1

(JzAl + mil 2)(«

®i +Юz1

(26)

L =

(Jc1 + 2 JXAi +2 mil2) Ю X1 (Jf1 + 2 JjAi +2 ml2) ю71

(J<Z1 + 2 JAi + 2 mil 2) ®z, + (2 JAi + 2 mil 2) ®i

J Ю X1 rYl

J ®y,

JZ1Ю

'z1 + 2 Jiz ®i

(27)

где JX1 = JX1 + 2 J* +2mil2 > JY = JC1 + 2 JA +2mil

'c

JZ1 = JZ1 +2 J% + 2 ml2

2Jf =2JAAi +2mil2 - приведенные осевые моменты инерции.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы:

dL dL /_ —

~77 = ~77 + (юс х L ) = 2M dt dt

(28)

2

dL dt

JXl&X1 + ®Y1®Z1 (JiZ1 " JY1 )+®Y1 2 Jf ®i j1®Y1 +®X1®Z1 (JX1 " JZ )"®X1 2 JiZ®i

JZ1 ®z + Jf ®i +® Xl ®y (jY1 - JX1)

MX 1

= MY1 MZ1

(29)

В результате на основании (16) и (29) получаем систему дифференциальных уравнений, описывающие движение квадрокоптера:

mX = (sin у sin ф + cosy cos9sin 0) -2 Fi mY = (cosфsin у sin 0-cosy sin) -2 Fi mZ = cosф cos0-2 FF JX1Ю X1 +®Y1 ®Z1 J1 - JY1 )+®Y1 2 Jf ®i = MeXi JY1 ®Y1 +® X1 ®Z1 (jX1 - JZ1 )-Ю X1 2 Jf ®i = Ml JZ1 + Jf ®i +ЮX юy (jY1 - JX1 )=Me

(30)

Систему уравнений (30) необходимо решать совместно с кинематическими соотношениями, выражающие проекции угловой скорости тела

на оси связанной системы координат через угловые скорости углов крена, тангажа и рысканья:

Ю

X1

= ф+ у sin 0

raY =ycos0 COSф + 0 sin ф

Ю

Y1 Z1

(31)

= 0COSф- уcos0sinф

Полученные системы уравнений (30), (31) необходимы для моделирования движения летающего робота.

Выводы. Предложена математическая модель квадрокоптера с учетом массогабаритных свойств четырёх электроприводов, снабженных редуктором. В дальнейшем планируется разрабо-

тать алгоритм численного решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение квадрокоптера по заданной траектории при наличии режима стабилизации положения системы в пространстве по трем углам у, 6, ф. Также планируется создать адаптивный алгоритм, который заключается в использовании различных методик

стабилизации при различных режимах и условиях полёта. Решить задачу оптимального синтеза по

Библиографический список

1. Емельянова, О.В., Попов, Н.И., Яцун, С.Ф. Моделирование движения квадроротационного летающего робота / О.В. Емельянова, Н.И. Попов, С.Ф. Яцун // Актуальные вопросы науки. Материалы VIII Международной научно-практической конференции - М.: Спутник+, 2013. - С.6-8.

2. Загордан, А.М. Элементарная теория вертолёта / А.М. Загордан. - М.: Военное издательство Министерства обороны Союза ССР, 1955.

3. Яцун, С.Ф., Емельянова, О.В., Попов, Н.И. Изучение движения квадрокоптера в вертикальной плоскости / С.Ф. Яцун, О.В. Емельянова, Н.И. Попов // Актуальные вопросы технических наук (II): материалы международной заоч. науч. конф. - Пермь: Меркурий, 2013. - С.66-69.

4. Bresciani, Т. Modeling, identification and control of a quadrotor helicopter. Master's thesis, Department of Automatic control, Lund University, October 2008, p.170.

5. Tahar, М., Zemalache, K.M., Omari, A. Control of under-actuated X4-flyer using indegral Backstepping controller. Przeglad elektrotechniczny (Electrical review), ISSN 0033-2097, R.87 NR 10/2011, pages 251-256.

6. Hoffmann F., Goddemeier N., Bertram T. Attitude estimation and control of a quadrocopter/ The 2010 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Taipei, Taiwan. October 2010, pages 1072-1077.

7. Tommaso, Bresciani. Modelling, Identification and Control of a Quadrotor Helicopter (Modellering, identifiering och reglering av en quadrotor helikopter). Department of Automatic Control Lund University October 2008.

критерию быстродействия при перемещении квадрокоптера из одной точки в другую

References

1. Emelyanova O.V., Popov N.I., Yatsun S.F.

Modelirovanie dvizheniya kvadrorotatsionnogo letayu-schego robota / O.V. Emelyanova, N.I. Popov, S.F. Yatsun // Aktualnyie voprosyi nauki. Materialyi VIII Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii - M.: Sputnik , 2013. - S.6-8.

2. Zagordan A.M. Elementarnaya teoriya vertolYota / A.M. Zagordan. - M.: Voennoe izdatelstvo Ministerstva oboronyi Soyuza SSR, 1955.

3. Yatsun S.F., Emelyanova O.V., Popov N.I. Izuchenie dvizheniya kvadrokoptera v vertikalnoy ploskosti / S.F. Yatsun, O.V. Emelyanova, N.I. Popov // Aktualnyie voprosyi tehnicheskih nauk (II): materialyi mezhdunarodnoy zaoch. nauch. konf. - Perm: Merkuriy, 2013. - S.66-69.

4. Bresciani ^ Modeling, identification and control of a quadrotor helicopter. Master's thesis, Department of Automatic control, Lund University, October 2008, p.170.

5. Tahar М., Zemalache K.M., Omari A. Control of under-actuated X4-flyer using indegral Backstepping controller. Przeglad elektrotechniczny (Electrical review), ISSN 0033-2097, R.87 NR 10/2011, pages 251-256.

6. Hoffmann F., Goddemeier N., Bertram T. Attitude estimation and control of a quadrocopter/ The 2010 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Taipei, Taiwan. October 2010, pages 1072-1077.

7. Tommaso Bresciani. Modelling, Identification and Control of a Quadrotor Helicopter (Modellering, identifiering och reglering av en quadrotor helikopter). Department of Automatic Control Lund University October 2008.

MODELLING OF DYNAMICS OF FLIGHT OF A QUADROTOR HELICOPTER Popov N.I., Ph. D. in Engineering,

Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia; Russia, Voronezh

Emelianova O.V., South-West state university,

teormeh@inbox.ru;

Jatsun S.F. D. Sc. in Engineering,

South-West state university,

teormeh@inbox.ru.

In work questions of mathematical modeling of movement of a quadrotor helicopter are considered, his settlement scheme is provided and the differential equations on the basis of the general theorems of dynamics are worked out.

Keywords: modelling, identification and control of a quadrotor helicopter

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.