Моделирование динамики полета квадрокоптера Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ПОЖАРНАЯ ТЕХНИКА

УДК 681.51

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА КВАДРОКОПТЕРА Н.И. Попов, О.В. Емельянова, С.Ф. Яцун

В работе рассмотрены вопросы математического моделирования движения квадрокоп-тера, приведена его расчетная схема и составлены дифференциальные уравнения на основе общих теорем динамики.

Ключевые слова: квадрокоптер, углы Эйлера-Крылова, матрица поворота.

Введение. Квадрокоптер - это летательный аппарат с четырьмя несущими винтами, вращающимися диагонально в противоположных направлениях. Он обладает рядом преимуществ, таких как: беспилотное управление, надежность, компактность, маневренность, малая взлетная масса при существенной массе полезной нагрузки. Благодаря простоте конструкции квадрокоптеры часто используются в любительском моделировании, удобны для недорогой аэрофото- и киносъёмки — громоздкая камера вынесена из зоны действия винтов.

Первое миниатюрное радиоуправляемое судно было предложено 1898 году Николой Тесла. Вдохновленной этой идеей, в 1910 г. американский военный инженер из Огайо Чарльз Кеттеринг предложил модель летательного аппарата без человека.

В СССР в 1930-1940 гг. авиаконструктором Никитиным разрабатывался торпедоносец-планер специального назначения (ПСН-1 и ПСН-2) типа «летающее крыло» в двух вариантах: пилотируемый тренировочно-пристрелочный и беспилотный с полной автоматикой. К началу 1940 г. был представлен проект беспилотной летающей торпеды с дальностью полёта от 100 км и выше (при скорости полёта 700 км/ч).

Попов Н.И. кандидат тех. наук, Воронежский институт ГПС МЧС России, Россия, г. Воронеж. Емельянова О.В., кандидат тех. наук, ЮЗГУ, Россия, г. Курск; [email protected].

Яцун С.Ф., доктор тех. наук, ЮЗГУ, Россия, г. Курск, [email protected]

© Попов Н.И., Емельянова О.В., Яцун С.Ф., 2014

В 1944 году военными США в был применён впервые в мире классический ударный БПЛА — Interstate TDR. Однако дальше прототипов дело не продвинулось.

Новое рождение мультикоптеры получили в XXI веке. Современные мультикоптеры используют бесколлекторные электродвигатели и литий-полимерные аккумуляторы в качестве источника энергии. Это накладывает определенные ограничения на их полетные характеристики: типичный вес мультикоптера и время полета.

Для изучения основных закономерностей движения квадрокоптера рассмотрим математическую модель, описывающую пространственное движение летающего робота. Квадрокоптер - это электромеханическая система, корпус которой можно моделировать твердым телом с 6-ю степенями свободы [3].

Математическая модель квадрокоптера.

Различные виды движения квадрокоптера было подробно описаны в [1, 3-7]. Пусть положение центра масс квадрокоптера С совпадает с началом подвижной системы координат СХ¡YjZj, а в неподвижной декартовой системе координат описывается координатами X, Y, Z (рис.1).

Ориентацию в пространстве задают углы Эйлера-Крылова, которые обычно применяются в авиационной технике при описании движения аппарата и составляют так называемые углы: крена, тангажа и рысканья. Они соответствуют следующей последовательности поворотов:

1. Поворот на угол у относительно вертикальной оси OZ (R z,y ) — рыскание.

2. Поворот на угол 6 относительно главной поперечной оси инерции ОУ (Я у,6 ) — тангаж.

3. Поворот на угол ф вокруг продольной оси OX (Я х,ф) — крен.

При полёте квадрокоптера на него действуют аэродинамические силы несущих винтов F], F2, F3, F4, приложенные к их центрам масс роторов А], А2, А3 А4 соответственно, и силы тяжести корпуса meg и винтов mg (рис. 1) [1-3], причем силы Fj параллельны оси CZ].

Рис. 1. Расчетная схема квадрокоптера

Положение центра масс квадрокоптера определяют координаты вектора гОС= [Х,У,г]Т. Условимся в дальнейшем системы координат ОХУ2 и СХУгХг понимать под символами ( венно. Тогда векторы сил :

■(0) и (1) соответст-

= Tío •

(1)

гр (1) (0)

где Т- матрица перехода из () в () систему координат.

Результирующая матрица перехода получается путем перемножения трёх основных матриц вращения и имеет следующий вид:

где

Tio = (V, 0, 9) = V) x R(y,0) x R(x,9)=

cosv cos0 cosv sin 9sin 0- cos^sin v sin v sin 9 + cosv cos^sin 0 sin v cos0 cosv cos9 + sin v sin 9sin 0 cos9 sin v sin 0- cosv sin 9

- sin 0

Запишем очевидное равенство:

cos0sin 9

r (0) - f(0)

_(0) rOC + rCAj

rCA) - T10 • rcA

Векторы rj?? для точек Л, имеют вид:

r (1) -

rCA1 -

r (1) rCA2

r (1)

rCA3

— i 0 0

cos9cos0

r (1)

rCAi

(2)

(3)

(4)

0

где I - расстояние от центра масс квадрокоптера С до центра масс роторов А1

Скорости точек Ai определим, продифференцировав равенство (3) по времени:

_ т<0) г(0)

и

Ai

С учетом равенства (4) получим:

V

OAi _ roc + ' CAi

dt dt

dt

A

VC + T10 • -CAi

где = iX + jY + kZ - скорость центра масс квадрокоптера.

Количество движения г-ой массы определим по формуле:

7(1) 10 ■ 'CAi

m

VAi _ mi (VC + T10 • ГС\)

Изменение количества движения определим из выражения:

dqL _ m (dVC + T • -(1)4 _ T F (i) dt _ Щ ( dt + Tl0 -CAi4 _F

(6)

(7)

(8)

(9)

Вектор количества движения рассматриваемой системы, состоящей из корпуса и 4 винтов, определим по формуле:

_ _ 4 _

О = ШС иС + У ШЖ (10)

I=1

Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме имеет

вид:

с Ш; (-С + 71П • ) = (шг +Х т )-С + 7п> =

йг СЛ; с

-- mr —-

dt C dt

dt

В проекциях на координатные оси уравнение (11) примет вид:

do X

(mC + У mi )-

dt

dvY

-У F(

У ix

(mr + У mi)—C -У F ( У 4 dt У i

(0) iy

dv г

(mc +У mi)-C _У Fi dt

(0)

(11)

(12)

где

Здесь:

У F^ - Tw У F(1) _ Tio

У FÜ

У Fx1 _

У Ff

(sin y sin 9 + cosy cos^ sin 0) -y Fi (cos^ sin y sin 0 - cosy sin) - y Fi cos^ cos 0-X Fi

0 0 0 0

и 0 Fi > F(1) _ f2 0 F2 , F (1) _ F3 _ 0 F3 , F(1) _ f4 _ 0 F4

0

I Fi(1) = 0

F1 +F 2+F3 +F4 Тогда уравнение (13) с учетом (14) будет иметь вид:

0 0

4

У Fi i_i

(13)

(14)

(тс +2 mi )-

do X

dt dür

■■ (sinф sin ф + cosфcos9 sin 0) -2Fi

(mc + 2 mi)-= (cos9sin ф sin 0 - cosф sin) - 2Fi

dt

(тс +2 mi)-

(15)

doc dt

■■ cosф cos0 - 2 Fi

или

mX = (sin ф sin ф + cos ф cosф sin 0)-2 Fi < mY = (cosфsin фsin 0- cosфsin) -2Fi (16)

mZ = cosф cos 0 - 2 Fi

Представленная система дифференциальных уравнений описывает изменение обобщенных координат квадрокоптера X, Y, Z.

Рассмотрим угловые скорости вращения роторов квадрокоптера в локальной системе координат СХ'¡Y¡Z¡ (рис.2, 3). Для этого введем систему координат Ахуя, которая совпадает с центром масс m¡ роторов.

Q/ = ю/ + ©с, i = 1-4;

®i = ii ю/Х + Ji ©iy + ki ©iz; Юс = i1©CX1 + ]\©CYX + k1©CZ!

(17)

(18)

где ,1, ]1, к1 и /„ ¡ъ к, - единичные векторы системы координат СХХ^1 и Аху^и Д - абсолютная угловая скорость вращения г-ого ротора в системе координат СХ1У121, юС, ю,- - векторы угловых скоростей вращения корпуса и г-ого ротора в системе координат СХХ111 иАху?! определяются в виде:

(19)

Ю x1 0 Ю x1

Ю с= Ю71 ' Ю t= 0 ' Ц = Ю У1

©Zj ю/ ю/ +®Z!

или

«i = № x + J1Q y + k1Q

(20)

Рис.2. Схема для определения угловой скорости ротора при сложном движении Определим момент количества движения ротора в системе координат Аху^,

^ЦА- = {(г ХО или Ца1 = (21)

Iх j л/ 0 0

где 1,Л1 = 0 Jy J Ai 0

0 0 Tz J Ai

- тензор инерции ротора. Тогда кинетический момент равен:

m;

Jx J Ai 0 0

L iAl = 0 Jy J Ai 0

0 0 Tz J Ai

ш

Xl ш7! ш, + ш

JAiш X1 JAi ШТ1

Ш, + Ш-,

(22)

Рис. 3. Расчетная схема определения кинетического момента квадрокоптера

Определим момент количества движения в системы:

Ь = 1С Ь,

(23)

где

Lc = Iг Ш,

С шс

кинетическии

момент

относительно центра

масс

квадрокоптера;

Ь = I ^ = (Iд. + т1 ) Ог- - кинетический момент /-го ротора относительно центра масс квадрокоптера

в системе координат СХ1У111 (в соответствии с теоремой Гюйгенса).

Тензоры инерции корпуса 1С и /-го ротора 1/ с учетом того, что главные оси инерции механической системы являются главными центральными осями инерции (все центробежные моменты инерции равны нулю) равны:

I

С

J.

Xl

с

0

0

0 JY1 JC

0

0 0

J

Ii =

JA + mi2 0 0

0

JAi + mil 7 0

0 0

JA + ml l

(24)

Тогда:

LC =

J

X i С

0

0

J

Yi

С 0

J

0

0 Zi

Ai

ш X1 ШС1

TX1

J С ш X1 TY1

JC ШYl JC ШС

(25)

0

L =

JX + шЛ2

0

JAi + mil

2

0 0

Ai ■ mi

0i 0 0 JzAi + mil2

С учетом (25), (26) выражение (23) будет иметь вид:

Ю

X1

1

Ю- +Ю z1

(JA + mil )юx1

(JyAi + ш-1 1)юУ1

(JzAl + mil 2)(«

®i +Юz1

(26)

L =

(Jc1 + 2 JXAi +2 mil2) Ю X1 (Jf1 + 2 JjAi +2 ml2) ю71

(J<Z1 + 2 JAi + 2 mil 2) ®z, + (2 JAi + 2 mil 2) ®i

J Ю X1 rYl

J ®y,

JZ1Ю

'z1 + 2 Jiz ®i

(27)

где JX1 = JX1 + 2 J* +2mil2 > JY = JC1 + 2 JA +2mil

'c

JZ1 = JZ1 +2 J% + 2 ml2

2Jf =2JAAi +2mil2 - приведенные осевые моменты инерции.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы:

dL dL /_ —

~77 = ~77 + (юс х L ) = 2M dt dt

(28)

2

dL dt

JXl&X1 + ®Y1®Z1 (JiZ1 " JY1 )+®Y1 2 Jf ®i j1®Y1 +®X1®Z1 (JX1 " JZ )"®X1 2 JiZ®i

JZ1 ®z + Jf ®i +® Xl ®y (jY1 - JX1)

MX 1

= MY1 MZ1

(29)

В результате на основании (16) и (29) получаем систему дифференциальных уравнений, описывающие движение квадрокоптера:

mX = (sin у sin ф + cosy cos9sin 0) -2 Fi mY = (cosфsin у sin 0-cosy sin) -2 Fi mZ = cosф cos0-2 FF JX1Ю X1 +®Y1 ®Z1 J1 - JY1 )+®Y1 2 Jf ®i = MeXi JY1 ®Y1 +® X1 ®Z1 (jX1 - JZ1 )-Ю X1 2 Jf ®i = Ml JZ1 + Jf ®i +ЮX юy (jY1 - JX1 )=Me

(30)

Систему уравнений (30) необходимо решать совместно с кинематическими соотношениями, выражающие проекции угловой скорости тела

на оси связанной системы координат через угловые скорости углов крена, тангажа и рысканья:

Ю

X1

= ф+ у sin 0

raY =ycos0 COSф + 0 sin ф

Ю

Y1 Z1

(31)

= 0COSф- уcos0sinф

Полученные системы уравнений (30), (31) необходимы для моделирования движения летающего робота.

Выводы. Предложена математическая модель квадрокоптера с учетом массогабаритных свойств четырёх электроприводов, снабженных редуктором. В дальнейшем планируется разрабо-

тать алгоритм численного решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение квадрокоптера по заданной траектории при наличии режима стабилизации положения системы в пространстве по трем углам у, 6, ф. Также планируется создать адаптивный алгоритм, который заключается в использовании различных методик

стабилизации при различных режимах и условиях полёта. Решить задачу оптимального синтеза по

Библиографический список

1. Емельянова, О.В., Попов, Н.И., Яцун, С.Ф. Моделирование движения квадроротационного летающего робота / О.В. Емельянова, Н.И. Попов, С.Ф. Яцун // Актуальные вопросы науки. Материалы VIII Международной научно-практической конференции - М.: Спутник+, 2013. - С.6-8.

2. Загордан, А.М. Элементарная теория вертолёта / А.М. Загордан. - М.: Военное издательство Министерства обороны Союза ССР, 1955.

3. Яцун, С.Ф., Емельянова, О.В., Попов, Н.И. Изучение движения квадрокоптера в вертикальной плоскости / С.Ф. Яцун, О.В. Емельянова, Н.И. Попов // Актуальные вопросы технических наук (II): материалы международной заоч. науч. конф. - Пермь: Меркурий, 2013. - С.66-69.

4. Bresciani, Т. Modeling, identification and control of a quadrotor helicopter. Master's thesis, Department of Automatic control, Lund University, October 2008, p.170.

5. Tahar, М., Zemalache, K.M., Omari, A. Control of under-actuated X4-flyer using indegral Backstepping controller. Przeglad elektrotechniczny (Electrical review), ISSN 0033-2097, R.87 NR 10/2011, pages 251-256.

6. Hoffmann F., Goddemeier N., Bertram T. Attitude estimation and control of a quadrocopter/ The 2010 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Taipei, Taiwan. October 2010, pages 1072-1077.

7. Tommaso, Bresciani. Modelling, Identification and Control of a Quadrotor Helicopter (Modellering, identifiering och reglering av en quadrotor helikopter). Department of Automatic Control Lund University October 2008.

критерию быстродействия при перемещении квадрокоптера из одной точки в другую

References

1. Emelyanova O.V., Popov N.I., Yatsun S.F.

Modelirovanie dvizheniya kvadrorotatsionnogo letayu-schego robota / O.V. Emelyanova, N.I. Popov, S.F. Yatsun // Aktualnyie voprosyi nauki. Materialyi VIII Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii - M.: Sputnik , 2013. - S.6-8.

2. Zagordan A.M. Elementarnaya teoriya vertolYota / A.M. Zagordan. - M.: Voennoe izdatelstvo Ministerstva oboronyi Soyuza SSR, 1955.

3. Yatsun S.F., Emelyanova O.V., Popov N.I. Izuchenie dvizheniya kvadrokoptera v vertikalnoy ploskosti / S.F. Yatsun, O.V. Emelyanova, N.I. Popov // Aktualnyie voprosyi tehnicheskih nauk (II): materialyi mezhdunarodnoy zaoch. nauch. konf. - Perm: Merkuriy, 2013. - S.66-69.

4. Bresciani ^ Modeling, identification and control of a quadrotor helicopter. Master's thesis, Department of Automatic control, Lund University, October 2008, p.170.

5. Tahar М., Zemalache K.M., Omari A. Control of under-actuated X4-flyer using indegral Backstepping controller. Przeglad elektrotechniczny (Electrical review), ISSN 0033-2097, R.87 NR 10/2011, pages 251-256.

6. Hoffmann F., Goddemeier N., Bertram T. Attitude estimation and control of a quadrocopter/ The 2010 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Taipei, Taiwan. October 2010, pages 1072-1077.

7. Tommaso Bresciani. Modelling, Identification and Control of a Quadrotor Helicopter (Modellering, identifiering och reglering av en quadrotor helikopter). Department of Automatic Control Lund University October 2008.

MODELLING OF DYNAMICS OF FLIGHT OF A QUADROTOR HELICOPTER Popov N.I., Ph. D. in Engineering,

Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia; Russia, Voronezh

Emelianova O.V., South-West state university,

[email protected];

Jatsun S.F. D. Sc. in Engineering,

South-West state university,

[email protected].

In work questions of mathematical modeling of movement of a quadrotor helicopter are considered, his settlement scheme is provided and the differential equations on the basis of the general theorems of dynamics are worked out.

Keywords: modelling, identification and control of a quadrotor helicopter