Моделирование динамики машинных агрегатов с помощью Mathcad Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

60

ТРУДЫ БГТУ. 2012. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 60-62

УДК 531.3+004.02

Д. В. Гапанюк, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель (БГТУ);

Е. В. Русак, студент (БГТУ)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ МАШИННЫХ АГРЕГАТОВ С ПОМОЩЬЮ MATHCAD

В работе использовали пакет Mathcad для решения задач динамического анализа и синтеза рычажных механизмов с низшими кинематическими парами. Описана методика оцифровки индикаторных диаграмм. Приведено решение дифференциального уравнения движения машины с учетом реальной механической характеристики двигателя.

Package Mathcad is used for the decision of problems of the dynamic analysis and synthesis of lever mechanisms with the lowest kinematic couples. The technique of numbering of display diagrams is described. The decision of the differential equation of movement of the car taking into account the real mechanical characteristic of the engine is described.

Введение. При проектировании отдельных механизмов машинного агрегата с применением Mathcad предоставляется возможность решения задач динамики машинного агрегата в целом. Покажем эту возможность дополнительного расширения и углубления задач курсового проектирования по теории механизмов и машин на основании имеющихся разработок по проектированию рычажных, зубчатых и кулачковых механизмов [1]. В качестве примера рассмотрим проектирование агрегата кривошипно-рычажных летучих ножниц [2] (рис. 1).

| Разрезаемая заготовка

13

Рис. 1. Кривошипно-рычажные летучие ножницы

Методика расчета. На первой стадии проектирования осуществляется расчет динамических характеристик рычажного механизма по методике, изложенной в работах [3, 4]. Сначала используя метод замкнутых контуров, составляется система уравнений, позволяющая найти функции положения механизма. По рассчитанным функциям осуществляется компьютерное построение схемы механизма и видеофильм, отражающий движение рычажного механизма. Определяются крайние положения и находятся первые и вторые передаточные функции, необ-

ходимые для выполнения динамического синтеза и анализа. На данной стадии проектирования осуществляется динамическое исследование механизма по общепринятой методике, подбирается момент инерции маховика, находится момент двигателя, выполняется расчет реакций в кинематических парах. Этот этап используется как первое приближение для последующего уточнения. Поэтому на данном этапе силы производственных сопротивлений принимаются постоянными на рабочем ходу. Их значение оценивается из условия равенства работ сил полезных сопротивлений за цикл или по другим соображениям.

Далее с помощью пакетов Mathcad и Компас выполняется синтез зубчатых и кулачковых механизмов. Проектирование планетарной ступени осуществляется по условиям сборки, соседства и соосности. При этом пакет Mathcad используется на двух уровнях: или с помощью программ, приведенных в курсе лекций [1], или путем непосредственного визуального анализа расчетов.

Помимо рычажного и зубчатого механизмов, в машинный агрегат входят электродвигатель и кулачковый механизм. Для проектирования кулачкового механизма применяется методика, изложенная в работе [1]. Динамические характеристики отдельных механизмов используются для определения в дальнейшем соответствующих характеристик агрегата.

Оцифровка индикаторных диаграмм. Непосредственно при переходе к проектированию машинного агрегата в первую очередь необходимо учесть изменение усилия резания, представленное на диаграмме. Для этого надо решить два вопроса: это оцифровка индикаторной диаграммы, с последующим применением интерполяции. При этом необходимо предварительно установить соответствие между значением аргумента на диаграмме и номером положения механизма. (При компьютерном подходе рассматривается 360 положений: { = 1..360.)

Для решения этой задачи разработана виртуальная лабораторная работа, где рассматри-

Моделирование динамики машинных агрегатов с помощью Mathcad

61

ваются способы компьютерной обработки всех диаграмм, представленных в работе [2].

Дадим описание фрагмента этой работы по обработке индикаторной диаграммы в нашем случае.

Сначала по У координате конца ножниц в 7-м положении УЕ7 находим величину вертикального смещения кромки ножа относительно первоначального (крайнего) положения:

Ж = УЕ7 - УК.

(1)

Установив максимальное значение этой функции тах(£Е), определяем значение аргумента по диаграмме, которое соответствует 7-му положению механизма:

I =-

SE7

max( SE)

(2)

Данные оцифровки диаграммы представляем вектор-столбцами аргумента и функции:

x: = (0 0.315 0.3825 0.45 1)Т p: = (0 0 2100 0 0)Т

Применив в данном случае кусочно-линейную интерполяцию, находим значения силы Р для каждого 7-го положения. Поскольку на холостом ходу (7 = 1..а, а - номер второго крайнего положения) сила отсутствует, то здесь Р7 = 0, соответственно, в положениях, отвечающих рабочему ходу (7 = а..360), значения Р7 определяются интерполяцией диаграммы Р7 = £7п(7г), где Ь7п(() = /7п7егр(х,р,7).

С учетом найденных значений Р уточняем ранее рассчитанные значения приведенного момента сил тяжести и сил производственных сопротивлений. Далее опираясь на данные синтеза зубчатой передачи, кулачкового механизма и предварительно выбранный двигатель, определяем значения приведенного момента инерции машинного агрегата. Этими данными воспользуемся для динамического анализа.

Динамический анализ. Для этого, следуя методике выполнения виртуальной электронной лабораторной работы по учету механической характеристики двигателя, находим зависимость момента двигателя, приведенного к приводному звену механизма.

По среднему значению угловой скорости (юср = ю(0)) и коэффициенту неравномерности работы вычисляем момент инерции маховика:

7 __ДКпа7Ь

тах0 *

8ю

2

(0)

Тогда

1рг (а) := 1рг (а) + 7тах0 .

(3)

(4)

Определяем начальное значение кинетической энергии, а также кинетическую энергию К = К (а) в зависимости от угла поворота а:

К (0) = 0,51 рг (0)ю2(0), К (а) := К (0) + ДК (а).

(5)

(6)

Теперь рассчитываем угловую скорость ю = ю(а) и представляем ее графически (рис. 2):

ю(а) :=

2К (а)

1,г (а)

(7)

55 50

-№( а )45 40 35

0

Рис. 2. Изменение угловой скорости звена приведения

Двумя способами ведем расчет углового ускорения:

ё ю(а)

е1( а) := ю( а)-

ё (а)

е2(а) :=

тё - Мрс (а) - 0,5ю2 (а)В1рг (а)

МО

(8)

(9)

и строим графики функций е1 и е2 (рис. 3).

е!( а)

е2(а) • • • •

1-10

-1-103-1-

Рис. 3. Изменение углового ускорения звена приведения

Далее рассмотрим решение дифференциального уравнения движения машины с учетом механической характеристики двигателя.

Зависимость момента двигателя, приведенного к приводному звену механизма, определяем по формуле [5]

Мё = 2А ^п

(пёс - пёк )(пёс - пё )

ёс "а' 2, (10)

(пёс - пё ) + (пёс - пёк )

2

4

6

а

а

62

Д. В. Гапанюк, Е. В. Русак

где и - передаточное отношение привода; Мп -значение номинального момента двигателя; пёс, пл и пё - синхронная, критическая и текущая частоты вращения ротора соответственно.

Для расчета параметров в приведенной формуле сначала вычисляем среднюю эффективную мощность, потребляемую механизмом:

Ncp = МВД.

(11)

Тогда мощность двигателя с учетом КПД привода (п = 0,9) составляет = ^ср|.

По таблице из [5] выбираем двигатель с требуемыми характеристиками Хк, Ыёп, пёп). Вычисляем Мёп = Ыйп / юёп. Рассчитываем передаточное отношение привода и = пдн / пср.

Находим п& = пйс к (пЛс - пйп ). Тогда формула для расчета Мё дает зависимость между моментом на валу двигателя и его угловой скоростью.

В свою очередь, обозначив зависимость угловой скорости ведущего звена от угла его поворота как ю1(а), запишем

ю1( a)U • 30

п

(12)

В итоге можем записать зависимость Ма = Ма (ю1(а)).

Для решения дифференциального уравнения и исследования переходных режимов функции 1рг(а), 01рг(а) и Мрс(а) необходимо преобразовать в периодические с периодом 2п. Для этого используем процедуру:

т(а) := а - 2п • trunc

а 2п

(13)

Решим дифференциальное уравнение, записав вычислительный блок:

Given

ю1( а) =

Md (ю1(а)) - Mpc (т(а)) IPr (т(а))ю1(а)

- 0,5DI pr (х(а))ю12(а)

Ipr (х(а))ю1(а)

ю1(0) = 50, ю1: = Odesolve (а, 20п).

70 6

w1( а) w2( а )50 w3( а)

40 30

0

10

20

30

Рис. 4. Зависимости угловой скорости звена приведения при различных начальных условиях

Заключение. В итоге получим искомую зависимость ю1 = ю1(а) на интервале в 10 периодов. Рассмотрим эту зависимость при различных значениях ю1(0) (см. рис. 4). Затем данное уравнение используется для анализа различных режимов работы механизма при разнообразных условиях.

Литература

1. Компьютерная механика. Динамический и кинематический анализ механических систем: курс лекций / С. А. Гляков [и др.]; под ред. М. А. Журавкова. - Минск: БГУ, 2006. - 375 с.

2. Теория механизмов и машин: метод. указания и контр. задания / Н. И. Левитский [и др.]. -М.: Высш. шк., 1989. - 127 с.

3. Бокун, Г. С. Использование пакетов МаШ-cad и Ка81хап для построения схем механизмов и их кинематического анализа / Г. С. Бокун, Д. В. Гапанюк, Н. В. Козырский // Теоретическая и прикладная механика. - 2011. - Вып. 26. -С. 252-255.

4. Бокун, Г. С. Динамический анализ и синтез рычажных механизмов с использованием Mathcad и Ка8^ап / Г. С. Бокун, Д. В. Гапанюк, Н. В. Козырский // Труды БГТУ. - 2011. - № 6: Физ.-мат. науки и информатика. - С. 39-42.

5. Попов, С. А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин / С. А. Попов, Г. А. Тимофеев. - М.: Высш. шк., 2004. - 460 с.

Поступила 28.02.2012

а