CC BY
87
УДК 519.612:632.4
Д. Ю. Голембиовский, Д. В. Денисов2, А. С. Петровых3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ФЬЮЧЕРСНЫХ ЦЕН НА ИНДЕКСЫ РТС И ММВБ
В работе проведено исследование причин существенного расхождения исторических и теоретических фьючерсных цен на индексы РТС и ММВБ. Предложена модель, позволяющая учесть выявленное расхождение для моделирования фьючерсных цен в рамках задачи оценки рисков портфеля производных финансовых инструментов по методу Монте-Карло.
Ключевые слова: фьючерсы на индексы РТС и ММВБ, ценообразование фьючерсов на фондовые индексы, интегрированная модель авторегрессии, модель скользящего среднего, обобщенная модель авторегрессионной условной гетероскедастичности.
1. Введение. Индексный фьючерс — это производный финансовый инструмент (ПФИ), базовым активом которого является фондовый индекс. Контракты данного типа весьма популярны, так как предоставляют обширные возможности для эффективного управления инвестиционным портфелем. Из российских индексных фьючерсов наиболее ликвидными являются фьючерсы на индексы РТС и ММВБ, в состав которых входят 50 наиболее ликвидных акций крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов. Отличие индексов ММВБ и РТС заключается в валюте расчета. Расчет индекса ММВБ осуществляется на основе цен акций, выраженных в рублях РФ, а расчет индекса РТС — на основе цен акций, выраженных в долларах США. Фьючерсы на индексы РТС и ММВБ обращаются на Московской бирже и исполняются в середине последнего месяца каждого квартала.
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.т.н., e-mail: golembQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: dvdenQcs.msu.ru
3 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: alexpetrovykhQmail.ru
13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Для оценки рыночного и кредитного рисков портфеля ПФИ достаточно часто используется метод Монте-Карло [1, 2], основанный на моделировании многочисленных будущих сценариев динамики исходных факторов неопределенности, таких, как процентные ставки, курсы валют, котировки акций, индексов, значений подразумеваемой волатильности опционов. На основании промоделированных будущих значений исходных факторов для каждого сценария рассчитываются соответствующие стоимости ПФИ.
В базовой теории ценообразования индексных фьючерсов, основанной на идеальной модели рынка в условиях отсутствия арбитражных возможностей, для оценки фьючерсной цены фондового индекса используется модель "Cost of Carry" [3]:
F= (r5-X;(Ac-r't'))ert, (1)
^ ieN '
где S текущее значение индекса; t время, оставшееся до погашения контракта; N количество выплат дивидендов в рамках действия контракта; tj время до выплаты ¿-го дивиденда; Г)г размеры соответствующих дивидендов в пунктах индекса; безрисковые процентные
ставки, соответствующие значениям
Расчеты по формуле (1) для фьючерсов на индексы РТС и ММВБ показали, что расхождение теоретических и реальных фьючерсных цен* может быть существенно (см. рис. 1, где приведены графики цен ближайших к погашению контрактов). Исследования проводились на фьючерсных контрактах с января 2012 г. до июня 2015 г. В качестве безрисковых процентных ставок для фьючерсов на индекс ММВБ использовались ставки MosPrime соответствующих сроков до погашения, для фьючерсов на индекс РТС долларовые ставки LIBOR.
160000,00
150000,00
140000,00 -
130000,00 -
120000,00
110000,00
100000,00
N /--■ Г-yv V \ ,J r/V < Ы V
VVi
у' Cv J* r \ ~ л - ft* Г V V W/ U \
. ™ . N r^ 4J V ЛГ i/Sl" 1
17.12.2013 17.02.2014 17.04.2014 17.06.2014 17.08.2014
— — Расчетная цена ММВБ ...... Реальная ценаЫЫВБ — * -Расчетная цена РТС Реальная цена РТС
Рис. 1. Сравнение реальных и теоретических фьючерсных цен индексов ММВБ и РТС
В данной работе проведено исследование причин возникновения расхождения в ценах, а также предложена модель, позволяющая учесть рассматриваемый эффект для дальнейшей генерации сценариев фьючерсных цен в рамках оценки рисков по методу Монте-Карло.
Далее будем рассматривать только фьючерсы на индекс РТС, так как данные инструменты гораздо ликвиднее фьючерсов на индекс ММВБ, что позволяет рассматривать котировки фьючерсов на большем временном горизонте (объем сделок с фьючерсами на индекс ММВБ за три и более месяцев до погашения, как правило, недостаточно велик, чтобы считать рыночные цены справедливыми). Фьючерсные цены индекса ММВБ могут быть с достаточно малой погрешностью (стандартное отклонение коэффициента К составляет 0.266%) получены из соответствующих им
*В качестве реальных фьючерсных цен использовались цены закрытия торгов на Московской бирже. Котировки фьючерсных контрактов на индексы РТС и ММВБ соответствуют будущим котировкам самих индексов, умноженным на 100.
фьючерсных цен индекса РТС по следующей эмпирически полученной формуле:
-Fmicex = -Prtsi • Fxjsdrxjb/K,
где -Fmicex — фьючерсная цена индекса ММВБ, Frtsi — фьючерсная цена индекса РТС, -fbsDRUB — фьючерсная цена валютной пары "доллар США/рубль РФ", К — масштабирующий коэффициент, приблизительно равный 31.5.
2. Обзор альтернативных моделей ценообразования индексных фьючерсов
2.1. Стохастические процентные ставки. Модель "Cost of Carry" описывает ценообразование форвардных контрактов и подразумевает, что безрисковая ставка постоянна. В соответствии с [4], если динамика мгновенной процентной ставки является стохастическим процессом, то форвардные и фьючерсные цены на один и тот же базовый актив могут различаться. В [5, 6] была рассмотрена модель со стохастической процентной ставкой, в которой предполагалось, что динамика котировки индекса S удовлетворяет геометрическому броуновскому движению:
dS = (а — 6)Sdt + aiSdzi,
где а и о\ — параметры сноса и волатильности случайного процесса, 8 — дивидендная доходность индекса, dz\ — белый шум.
Также в описываемой модели предполагается, что динамика мгновенной безрисковой процентной ставки г подчиняется процессу "возврата к среднему" [7]:
dr = — r)dt + a2^/rdz2,
где ж, ц и 02 — параметры скорости возврата, долгосрочного среднего и волатильности стохастического процесса, dz2 — белый шум. В [5] показано, что если процессы dzi, dz2 некоррелированы (р = 0, где Cov(dzi, dz2) = pdt), то фьючерсная цена определяется как
F = 5а(г)еь(т)г, (2)
где
= ( 27exp[(7 + ^)r/2] \е_йт = 2(ехр(7т) - 1)
К) \27+ (7 + ^)(ехр(7т) - 1)) ' {1 2j+ (7 + ^)(ехр(7т) - 1)'
г — время до погашения фьючерсного контракта. Предполагается, что 7 = \Jх1 - 2а\ > 0. Параметры модели а, о\, х, /х и подбираются на основании исторических данных, например, методом наименьших квадратов.
Если р ф 0, то фьючерсная цена может быть получена только при помощи численных методов. Однако в [6] показано, что предположение о неравенстве р нулю в результате не дает значительных отличий от модели (2).
Применение описанной модели (2) для ценообразования фьючерсов на индекс РТС хотя и позволило получить более точные приближения реальных цен, но не сократило даже наполовину абсолютные отклонения теоретических фьючерсных цен от реальных в периоды их максимального расхождения. Так, например, для фьючерса на индекс РТС с погашением в сентябре 2014 г. после подбора всех параметров модели (2) на основании исторических данных теоретическое значение фьючерсной цены 05.05.2014 составило 112104 пунктов, тогда как реальное значение — 106 100 пунктов. Расчет по модели "Cost of Carry" на ту же дату дал значение 112 660 пунктов.
2.2. Кванто. Следует отметить некоторую особенность фьючерсов на индекс РТС. Фактически базовым активом данных контрактов является индекс ММВБ, выраженный в рублях РФ, однако фьючерсы на индекс РТС котируются в долларах США. Подобные инструменты, для которых базовый актив оценивается в одной валюте, а выплаты производятся в другой, называются кванто. Ценообразование кванто несколько отличается от ценообразования ПФИ, выраженного в одной валюте со своим базовым активом. В [1] показано, что в риск-нейтральных условиях для кванто,
выплаты по которому осуществляются в валюте X, справедлива следующая формула ценообразования:
Fx = Fy< l'"v"u '. (3)
где V — базовый актив, котируемый в валюте У": Fx — форвардная цена базового актива V в валюте X; Fy — форвардная цена базового актива V в валюте Y: а у — волатильность базового актива V; ац/ — волатильность форвардного валютного курса Y/X соответствующей срочности; р — коэффициент корреляции между базовым активом V и форвардным валютным курсом Y/X; Т — время, оставшееся до погашения контракта.
Однако исследования показали, что модель (3) также не в состоянии объяснить значительные отклонения теоретических фьючерсных цен от фактических.
2.3. Транзакционные издержки и ограничения на короткую продажу. В [8-10] исследуется влияние транзакционных издержек проведения операций покупки, продажи фьючерсных контрактов и базовых активов (портфеля акций, составляющих рассматриваемый индекс), а также ограничений на короткую продажу фондового индекса. Данные модели не в состоянии объяснить выявленное расхождение фьючерсных цен, так как в момент существенного отклонения реальных фьючерсных цен от теоретических (апрель-май 2014 г.) значительных изменений в условиях торговли на Московской бирже выявлено не было.
2.4. Стохастическая волатильность. В работе [11] модель (2), основанная на предположении о стохастической процентной ставке, дополняется предположением о влиянии на фьючерсные цены стохастической мгновенной волатильности фондового индекса. В данной работе представлена модифицированная модель (2), учитывающая волатильность фондового индекса. В этой же работе представленная модель применена к фьючерсам на американский фондовый индекс NYSE, и в целом результаты модели не сильно отличались от модели "Cost of Carry". Также описанная модель была опробована на корейском и австралийском рынках в работах [10, 12]. В обоих случаях результаты были схожими с моделью "Cost of Carry".
2.5. Определение дат и объемов выплат по дивидендам акций. Еще одним фактором, который может значительно повлиять на фьючерсные цены, является невозможность однозначно определить размеры и даты будущих выплат по дивидендам акций, входящих в индекс. В данной работе мы рассматриваем только фьючерсные контракты со срочностью погашения не более 6 месяцев, а сравнение исторических прогнозных дивидендных выплат в диапазоне до 6 месяцев от ведущих информационных агенств с реальными показывает, что влияние данного фактора незначительно*.
2.6. Альтернативные модели. Задача ценообразования фьючерсных контрактов на фондовые индексы остается актуальной и по сей день. На данный момент не существует единой модели, позволяющей получить наиболее точные результаты при любых условиях. Дополнительные исследования ценообразования фьючерсных контрактов на фондовые индексы можно найти в [13, 14].
3. Модель динамики фьючерсных цен на индекс РТС. Исследование фьючерсов на индекс РТС с начала 2012 г. до середины 2015 г. показало, что начиная с марта 2014 г. отклонение теоретических фьючерсных цен, рассчитанных по модели "Cost of Carry", от реальных значительно увеличилось (см. рис. 1). Это означает, что связанные с кризисом негативные ожидания инвесторов значительным образом влияют на фьючерсные цены. В качестве индикаторов, отражающих настроение инвесторов на рынке, может быть рассмотрен российский индекс волатильности RTSVX, ежедневно рассчитываемый на Московской бирже, или подразумеваемая волатильность соответствующих опционов на индекс РТС "около-денег" IVatm (Implied Volatility of At-The-Money option). Нужные значения IVatm могут быть получены путем кубической интерполяции сплайнами [15] доступных значений поверхности подразумеваемой волатильности опционов на индекс РТС.
* Сравнительный анализ проводился на основании данных по ожидаемым дивидендным выплатам, предоставленных агенством Bloomberg.
Предполагается, что чем больше значения данных индикаторов, тем более негативны ожидания инвесторов, так как в периоды падения рынка волатильность гораздо выше, чем в периоды роста.
Модифицируем стандартную модель "Cost of Carry", добавив в формулу (1) параметр "полезности инвестирования" 5:
Fetose = - dTe~'^ er*\ (4)
откуда величина St = С выражается как
С = In (s(Vclosee^ + Y, d^"'TT
На рис. 2 приведен агрегированный график значений параметра С, построенный по ценам ближайших к погашению фьючерсных контрактов, в сравнении с графиком RTSVX. Исходя из анализа приведенных графиков, можно сделать вывод, что параметр С и волатильность на рынке положительно коррелированы.
2012 2013 2014 2015
Дата
Рис. 2. Сравнение динамики параметра С и волатильности RTSVX
При оценке рисков портфеля ПФИ по методу Монте-Карло предполагается, что в каждый момент времени для каждого сценария определены значения базового актива, процентных ставок и волатильностей RTSVX и IVatm- Для расчета фьючерсной цены по модели (4) необходимо также моделировать динамику параметра С.
Исследовать агрегированный ряд значений параметра С как единый одномерный случайный процесс некорректно, так как на рассматриваемом интервале для расчета используется 14 различных фьючерсов на индекс РТС. Будем рассматривать 14 отдельных одномерных рядов значений параметра С для соответствующих фьючерсов, взятых на интервале в пределах 6 месяцев до погашения (примерно 120 значений, соответствующих рабочим дням).
Результаты теста Дики Фуллера [16], проведенного для анализа стационарности 14 полученных временных рядов, показали, что рассматриваемые ряды являются интегрированными рядами первого порядка. У рядов первых разностей исходных временных рядов наблюдается наличие автокорреляции и кластеризация дисперсии случайных ошибок. Для моделирования интегрированных временных рядов с описанными свойствами часто используется модель ARIMA(1,1,1) [17], которая может быть сведена к модели ARMA(l.l), если исходные значения временных рядов {С']}, 1 ^ i ^ 14, заменить разностями первого порядка {у\ = Q+1 — Q}, 1 ^ i ^ 14.
В данной работе рассматриваются стандартная модель ARIMA(1,1,1) и две модели ARIMAX( 1,1,1) с одним внешним объясняющим фактором х\, 1 ^ i ^ 14 (разности первого порядка ряда RTSVX или ряда IVatm)- Для моделирования условной дисперсии полученных через ARIMA(1,1,1) остатков использовались модели GARCH(1,1) [18] с нормальным условным распределением ошибок е\+1 | е\ ~ N (0, (ст2)\), с условным репараметризованным распределением Johnson's
Su [19] е\+1 | е\ ~ JSU (0, (бг2)|,г/,г), 1 ^ i ^ 14, и с условным variance-gamma-распределением [20]
Для 14 рассматриваемых рядов разностей первого порядка 1 ^ г ^ 14, модель
ARMAX(1,1,1)-GARCH(1,1) задается следующим образом:
$4+1 = /4+1 + 4+ь /4+1 = ЕЫ+1 I ?}] = № + ау\ + Ъе\ + сх\+1, (^2)t+i = Ш+1 I *?]=" + a(ei f + Р(а2)1;
• для модели с нормальным условным распределением:
yj+i | ~ JV (/i0 + ayj + fcj + c®j+1,a; + a(ej)2 + ${о2)\) ;
• для модели с условным распределением Johnson's Su:
yl+1 | T\ ~ JSU (/i0 + ay* + fcj + cx\+1,w + a(ej)2 + v, r) ;
• для модели с условным распределением variance-gamma:
у\+1 | ~ VG (/i0 + ay* + Ъе\ + сх\+ъ ш + a(ej)2 + fi{a2)\, v, г) .
Неизвестные параметры 0 = [/х0, a, Ь, с, а, /3, г/, г] (для моделей с нормальным распределением v = 0, г = 0; для моделей без внешнего объясняющего фактора с = 0) могут быть оценены методом максимального правдоподобия:
14 Тл
max, в
г= 11=2
4+i = yj+1 - (Mo + «У* + bel + c^+i), (^2)t+i = ш + a(4f + ßi^Yt-
Здесь предполагается, что
Ti Ti
ё\ = 0, (<т2)| = - W)2/№ " 1), m = Y,y\lTi, t=l t=i
a êj и (ît2)J — итерационно полученные оценки значений е\ и (о2)\. В приведенном описании моделей использовались следующие обозначения: Et[yt+i | — условное математическое ожидание yt+i, Vt[yt.|_i | — условная дисперсия yt+i, f(yt | Ft-— функция плотности условного распределения yt.
Сравнительный статистический анализ предложенных моделей, базирующийся на информационных критериях Акаике (AIC) [21], Шварца (BIC) [22] и Хэннана-Куинна (HQ) [23], приведен в таблице.
Сравнение моделей на основании информационных критериев
Модель Распределение Фактор LLH AIC BIC HQ
AEIMAX-GAECH Johnson's Su ETSVX 7396.99 -14 775.98 -14 743.91 -9.009
AEIMAX-GAECH VG ETSVX 7394.25 -14 770.49 -14 738.42 -9.006
AEIMAX-GAECH Johnson's Su IV ATM 7384.74 -14 751.48 -14 719.40 -8.994
AEIMA-GAECH Johnson's Su 7381.24 -14 746.47 -14 717.96 -8.992
AEIMAX-GAECH VG IV ATM 7381.49 -14 744.99 -14 712.91 -8.990
AEIMA-GAECH VG 7378.17 -14 740.34 -14 711.83 -8.989
AEIMAX-GAECH Normal ETSVX 7327.83 -14 641.66 -14 616.71 -8.930
AEIMAX-GAECH Normal IV ATM 7315.49 -14 616.99 -14 592.04 -8.915
AEIMA-GAECH Normal 7312.39 -14 612.78 -14 591.40 -8.913
На основании каждого из рассчитанных информационных критериев можно сделать вывод, что наилучшие результаты были получены для моделей с предположением о распределении случайных ошибок Johnson's Su. Среди моделей с одинаковыми предположениями о распределении
случайных величин наихудшие результаты показала модель без объясняющих факторов. Следовательно, изменения рыночной волатильности положительно коррелируют с параметром С и тем самым влияют на ценообразование фьючерсных контрактов на индекс РТС.
Чтобы убедиться в способности наилучшей по информационным критериям из предложенных моделей (модель с объясняющим фактором RTSVX и распределением Johnson's Su) объяснить отклонение исторических цен от теоретических, по методу Монте-Карло были промоделированы 10 тыс. сценариев динамики параметра С. На рис. 3, 4 приведены 0.025- и 0.975-квантили фьючерсных цен, полученных по формуле (4) на основании промоделированных сценариев динамики параметра С, двух контрактов (фьючерс RTSI-6.14 с погашением в июне 2014 г. и фьючерс RTSI-3.15 с погашением в марте 2015 г.) в сравнении с ценами закрытия и теоретическими ценами модели "Cost of Carry".
18.09.14 12.10.14 05.11.14 29.11.14 23.12.14 16.01.15 09.02.15
Дата
Рис. 3. Квантили промоделированных фьючерсных цен фьючерса RTSI-G.14 в сравнении с ценами закрытия
и ценами, полученными по модели "Cost of Carry"
Рис. 4. Квантили промоделированных фьючерсных цен фьючерса RTSI-3.15 в сравнении с ценами закрытия
и ценами, полученными по модели "Cost of Carry"
Из приведенных графиков видно, что цены закрытия рассмотренных фьючерсов попали в 95%-й коридор сценариев предложенной модели даже в периоды максимального расхождения исторических и теоретических цен.
4. Заключение. В работе были исследованы существующие модели ценообразования фьючерсных контрактов на фондовые индексы применительно к фьючерсам на индекс РТС и индекс
ММВБ. Рассмотренные модели оказались не в состоянии объяснить существенное снижение рыночных фьючерсных цен относительно теоретических в период кризиса 2014-2015 гг. Был предложен ряд моделей ценообразования фьючерсов на индекс ММВБ и РТС, основанных на модификации модели "Cost of Carry", которые могут быть применены в рамках метода Монте-Карло для оценки риска операций с производными финансовыми инструментами. Данные модели основаны на модели А Ш \1 А X G A RCI I с различными объясняющими факторами и функциями условного распределения и на предположении, что расхождение между теоретическими и историческими фьючерсными ценами может быть объяснено показателями рыночной волатильности. Сравнительный статистический анализ рассмотренных моделей, базирующийся на информационных критериях Акаике, Шварца и Хэннана-Куинна показал, что лучше всего использовать модель с условным распределением Johnson's Su, использующую в качестве объясняющего фактора индекс волатильности RTSVX. Экспериментально было показано, что предложенная модель ценообразования фьючерсов на индексы РТС и ММВБ в условиях повышенной волатильности позволяет получить более точные результаты, чем классические модели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hull J. С. Options, Futures and Other Derivative Securities. New Jersey: Prentice Hall, 2011.
2. Fabozzi F.J. Valuation of Fixed Income Securities and Derivatives. New Jersey: John Wiley & Sons, 1998.
3. Cornell В., French K. R. The pricing of stock index futures // J. Futures Markets. 1983. 3. N 1. P. 1-14.
4. Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S. A. The relation between forward prices and futures prices // J. Financ. Econ. 1981. 9. N 4. P. 321-346.
5. Ramaswamy K., Sundaresan S.M. The valuation of options on futures contracts // The J. Finance. 1985. 40. N 5. P. 1319-1340.
6. Cakici N., Chatterjee S. Pricing stock index futures with stochastic interest rates //J. Futures Markets. 1991. 11. N 4. P. 441-452.
7. Cox J. C., Ingersoll J.E., Ross S.A. A theory of the term structure of interest rates//Econometrica. 1985. 53. N 2. P. 385-407.
8. Modest D. M. On the pricing of stock index futures // The J. Portfolio Management. 1984. 10. N 4. P. 51-57.
9. Fung J.K.W., Draper P., ChanD.Y. Index arbitrage opportunities and short sales constraints//J. Futures Markets. 1999. N 10. P. 695-715.
10. Gay G. D., Jung D.Y. A further look at transaction costs, short sale restrictions, and futures market efficiency: the case of Korean stock index futures //J. Futures Markets. 1999. 19. N 2. P. 153-174.
11. Hemler M.L., Longstaff F. A. General equilibrium stock index futures prices: theory and empirical evidence // J. Financ. and Quant. Anal. 1991. 26. N 3. P. 287-308.
12. Brailsford T. J., Cusack A.J. A comparison of futures pricing models in a new market: the case of individual share futures // J. Futures Markets. 1997. 17. N 5. P. 515-541.
13. Deville L., Gresse C., De Severac B. Direct and indirect effects of index ETFs on spot-futures pricing and liquidity: evidence from the CAC 40 index // Europ. Financ. Management. 2014. 20. N 2. P. 352-373.
14. BohlM.T., SalmC.A., SchuppliM. Price discovery and investor structure in stock index futures// J. Futures Markets. 2011. 31. N 3. P. 282-306.
15. Fritsch F. N., Carlson R. E. Monotone piecewise cubic interpolation // SIAM J. Numer. Anal. 1980. 17. N 2. P. 238-246.
16. Dickey D. A., Fuller W. A. Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root // J. Amer. Statist. Assoc. 1979. 74. N 366a. P. 427-431.
17. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G. C. Time Series Analysis: Forecasting and Control. New Jersey: John Wiley & Sons, 2011.
18. В oilers lev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity //J. Econometrics. 1986. 31. N 3. P. 307-327.
19. Rigby R. A., Stasinopoulos D.M. Generalized additive models for location, scale and shape // J. R. Statist. Soc. C. 2005. 54. N 3. P. 507-554.
20. Kotz S., Kozubowski T., Podgorski К. The Laplace Distribution and Generalizations: a Revisit with Applications to Communications, Economics, Engineering, and Finance. Berlin: Springer Science & Business Media, 2012.
21. Akaike H. Information theory and an extension of the maximum likelihood principle // Springer Series in Statistics. New York: Springer, 1998. P. 199-213.
22. Schwarz G. Estimating the dimension of a model // Ann. Statist. 1978. 6. N 2. P. 461-464.
23. Hannan E. J., Quinn B. G. The determination of the order of an autoregression // J. R. Statist. Soc. B. 1979. 41. N 2. P. 190-195.
Поступила в редакцию 09.10.15
SIMULATION OF RTS AND MICEX INDICES FUTURES PRICES DYNAMICS
Golembiovsky D. Yu., Denisov D. V., Petrovykh A. S.
In this paper the causes of significant differences of historical and theoretical RTS and MICEX indices futures prices are studied. We propose the model, which allows to take into account the revealed discrepancy to simulate futures prices within the derivatives portfolio risk assessment task based on the Monte Carlo method.
Keywords: futures on RTS and MICEX indices, stock index futures pricing, integrated autoregressive model, moving-average model, generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model.
