Моделирование динамических процессов в экономике Текст научной статьи по специальности «Математика»

3(189) - 2014

Математические методы анализа

УДК 330.43(075.8)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЭКОНОМИКЕ

В. Ф. КОЛПАКОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры теории и практики управления Е-mail: V. Kolpakov53@mail.ru Московский городской психолого-педагогический университет

Рассмотрен один из подходов моделирования динамических процессов в экономике с использованием линейных дифференциальных уравнений. При разработке таких моделей возникает ряд трудностей, которые ограничивают их практическое применение. В работе предлагается такие модели описывать непрерывно, а оценку их параметров производить с помощью дискретно-непрерывного метода идентификации. Результаты исследования показали высокую эффективность и более точные характеристики прогнозов по сравнению с лаговыми моделями.

Ключевые слова: экономический, модель, динамика, лаг, дискретно-непрерывный, метод, идентификация.

Создание экономических моделей. В основе анализа экономических процессов лежат два подхода - фундаментальный и технический.

Первый заключается в гипотезе о том, что в будущем на экономический показатель может повлиять ряд изменившихся условий, зачастую глобальных. Зная о том, какое значение фактор примет в будущем, можно спрогнозировать данный процесс.

Второй подход состоит в исследовании изменения показателя в зависимости от времени. Пре-

небрегая факторами, влияющими на процесс, автор принимает гипотезу о том, что тенденции прошлого будут повторяться и в будущем.

В современной экономико-аналитической деятельности все чаще используются динамические модели, которые включают в себя оба подхода к прогнозированию. Разработка экономической политики как на макро-, так и на микроуровне требует решения задач, определяющих, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Например, как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой сферы экономики в будущем.

Метод динамического моделирования основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного предмета - его динамической модели.

Под моделью вообще понимают нечто способное заменить исследуемый объект для получения нового знания, т. е. это некоторый образ исследуемого явления, процесса, предмета.

Чаще всего модели строятся для: - определения оптимальных значений параметров процесса;

- имитации процесса при различных значениях параметров, когда получают представление об изменении тех или иных его характеристик;

- финансово-экономического анализа деятельности и прогнозирования значений различных параметров процесса.

Информационной базой для анализа динамики экономических процессов являются динамические ряды - цепи наблюдений одного явления (показателя), упорядоченного в зависимости от последовательных значений другого признака.

Экономическое моделирование охарактеризованных выше процессов проводится с применением схем, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Это так называемые модели с распределенным лагом, имеющие следующий общий вид [2]:

^ = Ъ 0 +Ъхи, + Ъ2иг-1 + Ь3и,_2 +... + Ъп+1иг _п + е, где у - объясняемая переменная в момент V, Ъ] = 0, п +1 - коэффициенты уравнения; и- объясняющая переменная с лагом п; е - ошибки.

Однако у такой модели есть ряд недостатков. Проблемы моделей с распределенным лагом. В качестве примера рассмотрим методику оценки параметров динамики объема ВВП России, вызванного изменениями объема инвестиций в экономику.

Объект исследования выбран неслучайно. Инвестиции в основной капитал представляют собой один из главных факторов экономического роста, поэтому экономико-математическое моделирование инвестиционных процессов является важным инструментом прогнозирования развития экономики России.

Следует отметить, что для моделирования была использована статистика достаточно нестабильного периода экономического развития, сопровождавшегося как значительным экономическим ростом, так и большой рецессией, вызванной мировым финансово-экономическим кризисом в конце 2008 г. (источник: данные Минфина России, агентства «Прайм-ТАСС»).

Для наилучшей наглядности и информативности из исходной информации была удалена сезонная составляющая и приведена к индексному виду (см. таблицу). В качестве базового периода для ВВП был выбран июль 2008 г., а для инвестиций -апрель 2008 г.

Графики индексов ВВП и инвестиций представлены соответственно на рис. 1, 2.

Как подтверждают графики, между ВВП и инвестициями в экономику существует достаточно тесная связь, причем динамическая.

При попытке создать модель можно столкнуться с первой же проблемой - невозможностью определения необходимой длины лага. Так как помимо исходной информации автор не имеет представления о данном процессе, он не может предположить, с каким запаздыванием инвестиции будут влиять на ВВП и через сколько месяцев этим влиянием можно будет пренебречь.

Кроме того, в ходе моделирования выявлено, что при длине лага больше двух появляются отрицательные коэффициенты лаговых переменных, что противоречит экономической теории. С другой стороны, этот факт можно использовать в качестве косвенного показателя длины лага. Таким образом, остановимся на модели вида

у ( = Ъ 0 +Ъ1и( + Ъ2иг_1 + Ъзи;-2 + е.

Динамика индексов ВВП у и инвестиций в экономику и, %

Индекс Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

2007г.

и 77,80 79,10 80,71 82,46 84,81 86,06 86,50 86,50 87,61 89,05 91,40 93,39

у 88,20 88,92 89,61 90,10 90,88 91,56 91,76 91,94 92,50 93,60 95,30 96,70

2008 г.

и 94,92 97,85 99,54 100,00 99,6 99,10 98,0 97,00 95,50 92,00 87,95 84,46

у 97,63 98,00 98,38 98,90 99,42 99,76 100,0 99,94 99,25 97,00 94,27 91,44

2009г.

и 82,19 80,50 79,00 78,00 78,92 80,20 82,50 82,95 84,28 85,80 86,20 86,00

у 89,90 89,00 88,68 88,42 88,40 88,87 89,57 90,19 91,08 92,20 92,79 93,38

2010 г.

и 86,00 87,00 89,04 89,02 89,20 90,10 91,30 91,90 92,10 93,00 94,20 95,50

у 93,79 94,26 94,90 95,52 95,96 95,80 95,40 95,16 95,78 96,59 97,85 98,93

2011 г.

и 94,00 92,00 90,00 -

у 99,20 99,00 97,24

Математические методы анализа

3(189) - 2014

2008 2009 Рис. 1. Индекс ВВП, %

2007 2008 2009 2010

Рис. 2. Индекс инвестиций, %о

Рис. 3. Оценка параметров модели с распределенным лагом (компьютерное отображение)

Для определения параметров модели воспользуемся обычным методом наименьших квадратов (МНК). Результаты моделирования с использованием программы Excel представлены на рис. 3.

Из анализа данных рис. 3 следует, что модель yt = 42,412 + 0,3 1ut + 0,253ut_1 + 0,02 lut_2,

где у - оценка объема ВВП, достаточно неплохо описывает реальное статистическое распределение. Подтверждением тому является вполне приемлемый коэффициент детерминации Я2 = 0,937. Однако коэффициенты при лаговых переменных являются статистически незначимыми, что говорит о возможности избавиться от них, а значит, лишить модель сути ее динамики.

Помимо представленной проблемы при дальнейшем анализе данной модели возникают следующие противоречия:

1) высокий уровень мультиколлинеарности факторов модели;

2) при большой величине лага снижается число наблюдений, используемых при моделировании, что естественным образом ведет к снижению числа степеней свободы;

3) неизбежным также является наличие автокорреляции остатков.

Перечисленные факторы свидетельствуют о значительных нарушениях предпосылок МНК, что приводит к неэффективным, а зачастую и к смещенным оценкам.

Для преодоления этих трудностей обычно предлагается та или иная форма «гладкости» распределения лагов. Это приводит к уменьшению числа оцениваемых параметров. К наиболее популярным преобразованиям лаговых моделей относятся преобразования Алмон и Койка.

Результаты исследования с использованием этих преобразований показали, что, несмотря на некоторое снижение коэффициента детерминации, эффективность оценок повышается, они становятся статистически более значимыми. Однако не снимается главная проблема -наличие мультиколлинеарности. Кроме того, здесь величина лага должна быть известна заранее.

Выбор длины лага меньше реального приведет к искажению динамики процесса: не будут учтены факторы, оказывающие значительное влияние на результат. В этом случае остатки будут неслучайными, и оценки по МНК окажутся неэффективными

7х"

33

и смещенными. Проявление таких проблем будет заметным особенно при определении прогнозных значений зависимой переменной с использованием других статистических данных (будет показано ниже).

Выбор большей величины лага по сравнению с ее реальным значением приведет к включению в модель слабо значимых факторов, а следовательно, к снижению эффективности оценок. Кроме того, при этом происходит уменьшение объема выборки, используемой для моделирования, что также ведет к снижению эффективности и состоятельности оценок.

Здесь предлагается для моделирования динамики использовать непрерывную модель, представленную дифференциальным уравнением. Наиболее предпочтительным является применение линейных уравнений первого и второго порядков

т • у'(() + у() = у^); (2)

T2 • y'' (t) + 2TZ У'(t) + y(t) = yvcT(t),

(3)

где Т - постоянная времени;

jycT(t) - установившееся значение;

Z - коэффициент затухания;

В формулах (2) и (3) под установившимся значением понимается тренд между переменными y (t) и u (t) в установившемся режиме, когда u = const и отклики на предысторию значений объясняющей переменной завершены.

Трендовая составляющая этих моделей может быть как линейной, так и нелинейной, например: У уст (t) = bo + biu(t); (4)

У уст (t) = bo + bu(t) + b2u2 (t).

Для оценки параметров модели Т, Z, b0, bp b2 предлагается использовать дискретно-непрерывный метод идентификации.

Дискретно-непрерывный метод идентификации. Под идентификацией понимается получение или уточнение по экспериментальным данным параметров математической модели реального объекта.

Здесь предлагается использовать дискретно-непрерывный метод идентификации [3], базирующийся на известных соотношениях дискретного линейного фильтра Калмана [1]. Свое название этот способ получил в силу того, что модель динамического объекта представлена в непрерывном времени, а измерения координат состояния и управления - в дискретном времени.

Задача идентификации. По результатам наблюдений над входными и выходными координатами

должна быть построена в некотором смысле оптимальная модель этой системы.

Динамический объект описывается системой дифференциальных уравнений в непрерывном времени.

у'(() = / (у, а, и, 0 + ), (5)

где / (у, а, и, t) - р-мерная векторозначная функция;

у = [у1, у2 ..ур ]Т - вектор координат состояния системы;

а = [а1 а2 ... а ]т - д-мерный неизвестный вектор параметров модели (коэффициентов), который необходимо оценить; и = [и1, и2... ит ]т - т-мерный входной вектор (управление);

ю(0 - «белый шум» с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивности 5ш. Модель измерений вектора состояния:

^ = н • ук +vк, к = I2-.

Модель измерений вектора управления:

uk = uk + з к,

к = 1,2...

где zk - г-мерный вектор измерения у (t) в момент

к

Н - матрица связи вектора измерений с координатами состояния;

Ук, пк - независимые последовательности центрированных случайных векторов с корреляционными матрицами, соответственно V (к), V (к);

* ^

ик - т-мерный вектор измерения входного сигнала.

Основное допущение идентификации. Коэффициенты математической модели, подлежащие оцениванию, на интервале наблюдений остаются неизменными, т. е.

а' ^) = 0. Объединим выражения (5) и (6):

| у ) = / (у, а, и, t) + ю(0 [а ' (t) = 0

Систему (7) можно записать в виде X ' (t) = f (X, и, t) + ^), (8)

где х^) = ут ^) ат J - объединенный вектор размерности п = р + д;

( / ( X, и, t) >

(6)

(7)

f (x, u, t) =

O

n-мерная вектороз-

S(t) =

начная функция;

f&(t) ^

O

- вектор шумов объединенной систе-

мы с матрицей интенсивности

Математические методы анализа

3(189) - 2014

=

г ^ О >1

О О

где О - нулевые матрицы соответствующих размерностей.

Уравнение наблюдений вектора х(0 в этом случае будет иметь вид

= Й • х, ,, к = 1,2... (9)

Так как координаты вектора а не измеряются, матрица Н включает в себя исходную матрицу Н и нулевую матрицу размером г х д: Н = [Н : О].

Задача идентификации свелась к задаче нелинейного оценивания вектора х(0 по измеренным наблюдениям вектора состояния у(0 выражения (9) в дискретные моменты времени (к при k = 1,2...

Если найти дискретный линейный аналог (8) относительно опорной точки (х, ы*), то для оценивания можно применить известный линейный дискретный алгоритм фильтра Калмана [5]. В работе это и было сделано. Математические соотношения этих преобразований в статье не представлены.

Идентификация параметров динамической модели экономики с использованием дискретно-непрерывного метода. Пусть модель для рассматриваемого примера имеет вид (2), (4):

у'(*) = Т [-у(*) + Ь 0 +Ъы(г)], (10)

где параметры модели Т, Ъ0, Ъ1 подлежат оцениванию, ы(0 - объясняющий фактор.

Для идентификации параметров Т, Ъ0, Ъ1 составим расширенную модель вида

у 'Ц) = Т[-у(г) + Ъ 0 +Ъы(Г)] Т' = 0 .

Ъ0 = 0 Ъ1 = 0

Обозначим х(^) = [у(0,Т, Ъ0, Ъ1]Т. Тогда исходную систему для идентификации можно представить в виде

х '(0 = ф( х, ы, Г) + ^(0, (11)

где

( 1 ^ - [- х1 (Г) + х 3 (Г) + х4 (Г )ы (Г)]

ф(х,ы,t)=

х2 (t)

Для оценки вектора х(0 модели (11) воспользуемся алгоритмом дискретно-непрерывного метода.

7х"

Оценка параметров модели и численное моделирование динамики инвестиций были реализованы с помощью программного продукта Mathcad [4].

Процессы идентификации параметров модели и оценка координаты состояния у (объем инвестиций) представлены на рис. 4-7.

Т 0,8 0,6 0,4 0,2

0 10 20 30 40 ^ мес. Рис. 4. Процесс идентификации параметра модели Т

ь

55 50 45 40

35 ,

о 10 20 30 40 X, мес.

Рис. 5. Процесс идентификации параметра модели Ъ0

Ъх

0,6

0,50,40,3

0 10 20 30 40 t, мес. Рис. 6. Процесс идентификации параметра модели Ъ1

УГ—

95

90

85

о 10 20 30 40 t, мес.

Рис. 7. Процесс оценивания координаты состояния у

35

у, %

100 95 90 —

85

0

10

20

30

40

t, мес.

Рис. 8. Экспериментальные и модельные изменения объема ВВП:

1 - экспериментальные данные, 2 - модельные данные

Были выбраны следующие итоговые оценки: Ъ0 = 45,12; Ъ1 = 0,551; Т = 0,4.

Результаты проверки соответствия модели экспериментальным данным представлены на рис. 8.

Как показывает рис. 8, совпадение модельных и экспериментальных данных достаточно высокое. Свидетельство тому - значение коэффициента детерминации Я2 = 0,942.

Следующим этапом проверки адекватности модели экспериментальным данным была проверка полноты моделирования динамических свойств модели с лаговыми переменными (1) и непрерывной модели вида (10). Как уже отмечалось, неполное отражение динамических свойств в первую очередь скажется на точности прогноза при других значениях фактора (не используемых при идентификации).

Для оценки параметров моделей была использована статистика без последних четырех измерений. Результаты эксперимента показали, что оценки модели (10) практически не изменились, а оценки лаговой модели изменились существенно:

^ = 43,37 + 0,45х, + 0,0316 х, _1 + 0,0887х, _2.

При этом суммарная ошибка моделирования ^е2 увеличилась на 10 %.

Заключение. Результаты изысканий показали, что предлагаемый метод идентификации достаточно эффективен и может быть использован для динамического моделирования процессов экономики.

В частности, данная схема применима для моделирования показателей отраслей, компаний, например зависимости прибыли от инвестиций в производство, расходов на рекламу или маркетинговых исследований. Причем в качестве временного лага могут быть выбраны как годы, так и кварталы, месяцы.

Следует также отметить, что для анализа и прогнозирования экономических показателей все-таки более привычными и наглядными являются лаговые и авторегрессионные модели, что обусловлено в первую очередь дискретным характером информации.

Адаптация непрерывной модели (10) к дискретным моделям такого типа может быть проведена с использованием аппарата весовых функций, весовых коэффициентов. При этом проблемы состоятельности оценок и выбора величины лага исчезают. Наработки такого рода имеются и будут представлены для публикации в последующем.

Список литературы

1. Брамер К., Зифлинг Г. Фильтр Калмана -Бьюси. М.: Наука, 1982.

2. Елисеева И. И., Курышева С. В., Нерадов-ская Ю. В. Эконометрика: учебник / под ред. И. И. Елисеевой. М.: Проспект, 2010.

3. КочетковЮ. А. Основы автоматики авиационного оборудования: учебник. М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1995.

4. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе MATHCAD: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. СПб: Лань, 2008.

5. Синицын И. И. Фильтры Калмана и Пугачева: учеб. пособие. М.: Университетская книга; Логос, 2006.